Tiesinis, ypač tiesinis daugianario, aproksimacija dažnai neatitinka funkcijos pobūdžio. Pavyzdžiui, didelio laipsnio daugianomas greitai auga, todėl net ir paprasta funkcija yra prastai aproksimuota didelio segmento daugianario. Kadangi aproksimacija atliekama esant įvairiems argumento pakeitimams, netiesinės priklausomybės nuo koeficientų naudojimas čia yra dar naudingesnis nei naudojant interpoliaciją.

Praktikoje naudojamos dviejų tipų priklausomybės. Viena iš jų yra kvazitiesinė priklausomybė, sumažinta kintamųjų niveliavimo pokyčiu į tiesinį, kuris buvo išsamiai ištirtas ankstesnėse pastraipose. Šis metodas yra labai efektyvus ir dažnai naudojamas apdorojant eksperimentus, nes a priori informacija apie proceso fiziką padeda rasti gerą kintamųjų pakaitalą. Tiesiog reikia nepamiršti, kad aproksimacija, kuri yra geriausia naujuose kintamuosiuose, nebus pati geriausia senųjų kintamųjų skaliarinės sandaugos prasme. Todėl ypatingas dėmesys turi būti skiriamas svorių pasirinkimui naujuose kintamuosiuose.

Klasikinis pavyzdys yra apšvitinto mėginio radioaktyvaus skilimo problema, kurioje patogūs kintamieji ir t, kur yra skilimo greitis. Šiuose kintamuosiuose kreivė paprastai aproksimuojama laužta linija, kurios grandys atitinka vis ilgėjančių radioaktyviųjų serijų narių irimą.

Kitas dažniausiai naudojamas priklausomybės nuo koeficientų tipas yra trupmeninė-tiesinė, kai aproksimacinė funkcija yra racionali:

Taip pat dažnai naudojamas apibendrintų daugianario santykis. Ši aproksimacija leidžia perteikti funkcijos polius – jie atitinka reikiamo dauginio vardiklio nulius. Dėl tinkamo kiekio pasirinkimo dažnai galima atkurti asimptotinį elgesį, pavyzdžiui, jei , tada turime nustatyti . Tokiu atveju galite juos paimti pakankamai didelius, kad būtų daug aproksimavimo koeficientų.

Tačiau kvadratinė paklaida nebebus kvadratinė koeficientų funkcija, todėl nėra lengva rasti racionalios funkcijos koeficientus. Analogiškai su daugianario vidurkio kvadratu aproksimacija galime daryti prielaidą, kad paklaidos nulių skaičius yra ne mažesnis už laisvųjų koeficientų skaičių (palyginkite su 3 pastaba 2 pastraipoje). Tada problema redukuojama iki Lagrango interpoliacijos virš šių nulių ir koeficientai randami iš tiesinių lygčių sistemos:

Žinoma, tiksli nulių padėtis nežinoma; jie parenkami atsitiktinai, dažniausiai tolygiai paskirstomi segmente. Šis metodas vadinamas pasirinktų taškų metodu. Šiuo metodu gautas apytikslis skaičiavimas nebus pats geriausias.

Be to, pasirinktų taškų metodas yra nepagrįstas, kaip ir bet kokia interpoliacija, jei ji turi pastebimą klaidą.

Geriausią apytikslį apskaičiavimą galima rasti naudojant kartotinio svorio metodą. Atkreipkite dėmesį, kad užduotis

nesunkiai išsprendžiamas: kairėje esanti išraiška yra kvadratinė koeficientų funkcija, o diferenciacija jų atžvilgiu lemia tiesinę koeficientų nustatymo sistemą, panašią į (38). Naujoji problema iš esmės skiriasi nuo pradinės tuo, kad vietoj svarelio naudojamas kitas svoris, todėl jos sprendimas nėra pats geriausias apytikslis. Parašykime pradinę problemą nauja forma:

ir mes ją išspręsime paprastu iteraciniu procesu

gali būti priimtas kaip nulinis aproksimacija. Kiekvienoje iteracijoje svoris yra žinomas iš ankstesnės iteracijos, todėl koeficientai lengvai randami iš minimalios kvadratinės formos sąlygos. Praktika rodo, kad geriausios aproksimacijos koeficientai silpnai priklauso nuo svorio pasirinkimo, todėl iteracijos dažniausiai greitai suartėja.

a) Apsvarstykite keletą aproksimavimo pagal racionaliąją funkciją pavyzdžių. Padėkime

pirmuosius du eilutės narius pakeitę trupmena, gauname . Ši paprasta formulė užtikrina tikslumą ir yra labai patogu vertinant.

b) Tikimybių teorijoje svarbų vaidmenį atlieka klaidos integralas, kurio serijos išplėtimai yra žinomi:

Pirmoji serija suartėja absoliučiai, bet konvergencijos metu labai lėta; antroji serija susilieja asimptotiškai didelėms vertėms. Pirmuosius kiekvienos serijos narius pakeitę trupmenomis, gauname

Nurodytuose argumentų kitimo diapazonuose pirmosios formulės paklaida neviršija 0,4%, o antrosios formulės paklaida neviršija 2,4%. Taigi šių aproksimacijų tikslumas yra gana pakankamas daugeliui praktinių pritaikymų.

c) Nustatykime ties . Ši funkcija yra monotoniška ir nesunku sudaryti trupmeną

Netiesinės funkcijos aproksimacija

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Kadangi funkcijos padalijimo intervalas yra lygus, apskaičiuojame šiuos atitinkamų aproksimuotos funkcijos sekcijų nuolydžio koeficientus:

1. Blokų konstravimas aproksimacinės funkcijos segmentams formuoti

Laiko funkcijos formavimas

Keitimo intervalas:

Ciklinio paleidimo laikas: T = 1s

Dabar modeliuokime funkciją:

Aproksimacija

3.1 pav. – Lygties sprendimo schema

3.2 pav. – Netiesinės funkcijos formavimo blokinė diagrama

Taigi automatiškai susidaro kairioji lygties pusė. Šiuo atveju sutartinai daroma prielaida, kad žinoma didžiausia išvestinė x//, nes dešinėje lygties pusėje esantys terminai yra žinomi ir gali būti prijungti prie U1 įėjimų (3.1 pav.). Operacinis stiprintuvas U3 veikia kaip +x signalo keitiklis. Norint imituoti x//, reikia į grandinę įvesti kitą substiprintuvą, į kurio įėjimus reikia tiekti signalus, imituojančius dešinę (3.2) lygties pusę.

Visų kintamųjų skalės apskaičiuojamos atsižvelgiant į tai, kad maksimali mašinos kintamojo vertė, viršijanti absoliučią vertę, yra 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/ max; Mx // = 10 / x //maks.

Mano = 10 / ymax. (3.3)

Laiko skalė Mt = T / tmax = 1, nes problema imituojama realiu laiku.

Skaičiuojami kiekvieno integruojančių stiprintuvų įėjimo perdavimo koeficientai.

Stiprintuvo U1 perdavimo koeficientai randami naudojant formules:

K11 = Mx/b/ (MyMt); K12 = Mx/a2/ (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Stiprintuvui U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

ir stiprintuvui U3:

K31 = 1. (3.6)

Pradinių sąlygų įtampos apskaičiuojamos pagal formules:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0) = Mxx(0) (+1). (3.7)

Dešinė (3.2) lygties pusė pavaizduota netiesine funkcija, kuri nurodoma tiesiniu aproksimavimu. Tokiu atveju būtina patikrinti, ar aproksimacijos paklaida neviršija nurodytos reikšmės. Netiesinės funkcijos formavimo blokinė schema pateikta 3.2 pav.

Grandinės schemos aprašymas

Laiko funkcijos (Ф) generavimo blokas yra pagamintas iš vieno (sudaryti t) arba dviejų nuosekliai sujungtų (sudaryti t2) integruojančių stiprintuvų su nulinėmis pradinėmis sąlygomis.

Šiuo atveju, kai signalas U yra nukreiptas į pirmojo integratoriaus įvestį, jo išvestyje gauname:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Įdėjus K11E=1, gauname u1(t)= t.

Antrojo integratoriaus išvestyje gauname:

u2(t) = K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

Nustačius K11K21E/2 = 1, gauname u2(t)= t2.

Aproksimacinės funkcijos segmentų formavimo blokai realizuojami netiesinių funkcijų (DBNF) diodų blokų pavidalu, kurių įvesties reikšmė yra laiko t arba t2 funkcija. DBNF apskaičiavimo ir sudarymo procedūra pateikta.

Aproksimacinės funkcijos segmentų sumatorius (SAD) atliekamas diferencialinio galutinio stiprintuvo pavidalu.

Pradinės sąlygos modeliavimo grandinės integratoriams pateikiamos naudojant kintamos struktūros mazgą (3.3 pav.). Ši schema gali veikti dviem režimais:

a) integracija - su klavišu K 1 padėtyje. Tokiu atveju pradinis grandinės signalas pakankamai tiksliai aprašomas idealaus integratoriaus lygtimi:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Šis režimas naudojamas modeliuojant užduotį. Norėdami patikrinti integratoriaus parametrų R ir C pasirinkimo teisingumą, patikrinkite integratoriaus pradinės įtampos reikšmę kaip laiko funkciją ir naudingą integravimo laiką leistinosios paklaidos ribose?Uperm.

Pradinės integratoriaus įtampos dydis

U(t)= – KYE (1 – e – T / [(Ky+1)RC) (3.11)

modeliavimo metu T integruojant įvesties signalą E naudojant operacinį stiprintuvą su stiprinimo Ky be grįžtamojo ryšio grandinės neturi viršyti mašinos kintamojo vertės (10 V).

Integracijos laikas

Ti = 2RC(Kу + 1)?Uadd (3.12)

su pasirinktais grandinės parametrais neturėtų būti mažesnis nei modeliavimo laikas T.

b) pradinių sąlygų nustatymas įgyvendinamas perjungiant klavišą K į 2 padėtį. Šis režimas naudojamas ruošiant modeliavimo grandinę sprendimo procesui. Šiuo atveju pradinis grandinės signalas apibūdinamas lygtimi:

u0(t)= – (R2 /R1) E (3,13)

čia u0(t) yra pradinių sąlygų reikšmė.

Siekiant sutrumpinti pradinių sąlygų susidarymo laiką ir užtikrinti patikimą veikimą, grandinės parametrai turi tenkinti sąlygą: R1C1 = R2C.

Sukurkite visą skaičiavimo schemą. Tokiu atveju turėtumėte naudoti 3.1 poskyryje nurodytus simbolius.

Naudodami įvesties ir šaltinio duomenų bitų gylį, sukonstruokite blokų B1 ir B2 schemas ir prijunkite jas prie RS bloko.

(Atkreipkite dėmesį į papildomą 2017-04-06 skyrių straipsnio pabaigoje.)

Apskaita ir kontrolė! Vyresni nei 40 metų žmonės turėtų gerai prisiminti šį socializmo ir komunizmo kūrimo mūsų šalyje laikų šūkį.

Tačiau be nusistovėjusios apskaitos efektyvus šalies, regiono, įmonės ar namų ūkio funkcionavimas neįmanomas jokiame socialiniame ir ekonominiame visuomenės darinyje! Norint sudaryti veiklos ir plėtros prognozes ir planus, reikalingi pradiniai duomenys. Kur galiu juos gauti? Tik vienas patikimasšaltinis yra tavo ankstesnių laikotarpių statistiniai įrašai.

Mano supratimu, kiekvienas sveiko proto žmogus turėtų atsižvelgti į savo veiklos rezultatus, rinkti ir fiksuoti informaciją, apdoroti ir analizuoti duomenis bei taikyti analizės rezultatus, kad ateityje priimtų teisingus sprendimus. Tai ne kas kita, kaip savo gyvenimo patirties kaupimas ir racionalus panaudojimas. Jei neregistruosite svarbių duomenų, po tam tikro laiko juos pamiršite ir, kai vėl pradėsite spręsti šias problemas, vėl darysite tas pačias klaidas, kurias padarėte pirmą kartą tai darydami.

„Prisimenu, kad prieš 5 metus per mėnesį pagamindavome iki 1000 tokių gaminių, o dabar vos spėjame surinkti 700! Atsiverčiame statistiką ir matome, kad prieš 5 metus nebuvo pagaminta net 500 vienetų...

„Kiek kainuoja jūsų automobilio kilometras, atsižvelgiant į Visi išlaidas? Atsiverskime statistiką – 6 rubliai/km. Kelionė į darbą – 107 rubliai. Pigiau nei važiuoti taksi (180 rublių) daugiau nei pusantro karto. O buvo laikai, kai taksi buvo pigiau...

„Kiek laiko užtrunka 50 m aukščio kampinio ryšio bokšto plieninių konstrukcijų gamyba? Atsiverčiame statistiką – ir po 5 minučių atsakymas paruoštas...

„Kiek kainuos kambario remontas bute? Pakeliame senus rekordus, koreguojame pastarųjų metų infliaciją, atsižvelgiame į tai, kad praėjusį kartą pirkome medžiagas 10% pigiau nei rinkos kaina ir jau žinome numatomas išlaidas...

Tvarkydami savo profesinės veiklos apskaitą, visada būsite pasiruošę atsakyti į savo viršininko klausimą: „Kada!!!???“ Tvarkant buitinę apskaitą, lengviau planuoti išlaidas dideliems pirkiniams, atostogoms ir kitoms išlaidoms ateityje, imantis atitinkamų priemonių užsidirbti papildomų pajamų ar sumažinti nereikalingas išlaidas jau šiandien.

Šiame straipsnyje pateiksiu paprastą pavyzdį, kad parodyčiau, kaip surinktus statistinius duomenis galima apdoroti Excel programoje, kad būtų galima toliau naudoti prognozuojant būsimus laikotarpius.

Statistinių duomenų aproksimacija Excel programoje su analitine funkcija.

Gamykloje gaminamos statybinės metalo konstrukcijos iš lakštinio ir profilinio metalo gaminių. Aikštelė veikia stabiliai, užsakymai vienodo tipo, darbuotojų skaičius nežymiai svyruoja. Yra duomenų apie 12 praėjusių mėnesių gaminių išdirbį ir per šiuos laikotarpius apdirbto valcuoto metalo kiekį pagal grupes: lakštai, I-sijos, kanalai, kampai, apvalūs vamzdžiai, stačiakampiai profiliai, apvalūs gaminiai. Preliminariai išanalizavus pirminius duomenis, susidarė prielaida, kad bendra metalo konstrukcijų gamyba per mėnesį labai priklauso nuo kampų skaičiaus užsakymuose. Patikrinkime šią prielaidą.

Visų pirma, keli žodžiai apie apytikslį. Ieškosime dėsnio - analitinės funkcijos, tai yra lygtimi nusakytos funkcijos, kuri geriau nei kitos nusako metalinių konstrukcijų bendros produkcijos priklausomybę nuo kampinio plieno kiekio įvykdytuose užsakymuose. Tai yra aproksimacija, o rasta lygtis vadinama aproksimuojančia pirminės funkcijos funkcija, pateikta lentelės pavidalu.

1. Įjunkite „Excel“ ir įdėkite lentelę su statistikos duomenimis lape.

2. Toliau sukuriame ir suformatuojame sklaidos diagramą, kurioje išilgai X ašies nustatome argumento reikšmes - apdorotų kampų skaičių tonomis. Išilgai Y ašies braižome pradinės funkcijos reikšmes – bendrą metalo konstrukcijų pagaminimą per mėnesį, nurodytas lentelėje.

3. Mes „nukreipiame“ pelę į bet kurį diagramos tašką ir dešiniuoju pelės mygtuku spustelėkite, kad būtų atidarytas kontekstinis meniu (kaip sako vienas iš mano gerų draugų - kai dirbate su nepažįstama programa, kai nežinote, ką daryti, dažniau spustelėkite dešinįjį pelės mygtuką...). Išskleidžiamajame meniu pasirinkite „Pridėti tendencijų liniją...“.

4. Atsidariusiame lange „Trend Line“ skirtuke „Tipas“ pasirinkite „Linear“.

6. Diagramoje atsirado tiesi linija, apytiksliai atitinkanti mūsų lentelės priklausomybę.

Be pačios linijos, matome šios tiesės lygtį ir, svarbiausia, matome parametro R 2 reikšmę – aproksimacijos patikimumo reikšmę! Kuo jo reikšmė artimesnė 1, tuo tiksliau pasirinkta funkcija apytiksliai atitinka lentelės duomenis!

7. Tendencijos linijas sudarome naudodami galios, logaritminę, eksponentinę ir polinominę aproksimaciją taip pat, kaip ir tiesinę tendencijų liniją.

Iš visų pasirinktų funkcijų geriausiai mūsų duomenis apytiksliai atitinka antrojo laipsnio polinomas, turintis maksimalų patikimumo koeficientą R 2 .

Tačiau noriu jus perspėti! Jei imsite aukštesnio laipsnio daugianarius, tikriausiai gausite dar geresnių rezultatų, tačiau kreivės atrodys vingiuotai... Čia svarbu suprasti, kad mes ieškome funkcijos, turinčios fizinę reikšmę. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad mums reikia aproksimacinės funkcijos, kuri duos tinkamus rezultatus ne tik nagrinėjamame X reikšmių diapazone, bet ir už jo ribų, tai yra atsakys į klausimą: „Kokia bus metalinių konstrukcijų išeiga, jei Per mėnesį apdorojami kampai yra mažesni nei 45 ir daugiau nei 168 tonos! Todėl nerekomenduoju jaudintis su aukšto laipsnio daugianariais, o parabolę (antrojo laipsnio daugianarį) rinktis atsargiai!

Taigi, turime pasirinkti funkciją, kuri ne tik gerai interpoliuotų lentelės duomenis reikšmių diapazone X = 45...168, bet ir leistų tinkamai ekstrapoliuoti už šio diapazono ribų. Šiuo atveju renkuosi logaritminę funkciją, nors galima rinktis ir tiesinę, nes ji pati paprasčiausia. Nagrinėjamame pavyzdyje, pasirinkus tiesinį aproksimaciją Excel programoje, paklaidos bus didesnės nei renkantis logaritminę, bet ne daug.

8. Iš diagramos lauko pašaliname visas tendencijų linijas, išskyrus logaritminę funkciją. Norėdami tai padaryti, dešiniuoju pelės mygtuku spustelėkite nereikalingas eilutes ir pasirodžiusiame kontekstiniame meniu pasirinkite „Išvalyti“.

9. Galiausiai prie lentelės duomenų taškų pridėsime klaidų juostas. Norėdami tai padaryti, dešiniuoju pelės mygtuku spustelėkite bet kurį grafiko tašką ir kontekstiniame meniu pasirinkite „Format data series…“ ir sukonfigūruokite duomenis skirtuke „Y klaidos“, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.

10. Tada dešiniuoju pelės mygtuku spustelėkite bet kurią klaidų diapazono eilutę, kontekstiniame meniu pasirinkite „Format error bars…“ ir skirtuke „View“ esančiame lange „Format error bars“ sureguliuokite linijų spalvą ir storį.

Visi kiti diagramos objektai formatuojami tokiu pačiu būdu.Excel!

Galutinis diagramos rezultatas parodytas toliau esančioje ekrano kopijoje.

Rezultatai.

Visų ankstesnių veiksmų rezultatas buvo gauta aproksimacinės funkcijos formulė y=-172.01*ln (x)+1188.2. Žinant jį ir kampų skaičių mėnesio darbų komplekte, galima su didele tikimybe (±4% – žr. klaidų juosteles) numatyti bendrą mėnesio metalinių konstrukcijų gamybą! Pavyzdžiui, jei mėnesio planas yra 140 tonų kampų, tada bendra išeiga, esant visiems kitiems dalykams, greičiausiai bus 338 ± 14 tonų.

Norint padidinti aproksimacijos patikimumą, statistinių duomenų turėtų būti daug. Dvylikos verčių porų neužtenka.

Iš praktikos pasakysiu, kad suradus aproksimuojančią funkciją, kurios patikimumo koeficientas R 2 >0,87, reikėtų laikyti geru rezultatu. Puikus rezultatas, kai R 2 >0,94.

Praktikoje gali būti sunku nustatyti vieną svarbiausią lemiantį veiksnį (mūsų pavyzdyje per mėnesį apdorotų kampų masę), bet jei pabandysite, visada galėsite jį rasti kiekvienoje konkrečioje užduotyje! Žinoma, bendra mėnesio produkcija tikrai priklauso nuo šimtų veiksnių, į kuriuos atsižvelgus reikalaujama didelių darbo sąnaudų iš standartų kūrėjų ir kitų specialistų. Bet rezultatas vis tiek bus apytikslis! Taigi ar verta patirti išlaidų, kai yra daug pigesnis matematinis modeliavimas!

Šiame straipsnyje paliečiau tik ledkalnio viršūnę, vadinamą statistinių duomenų rinkimu, apdorojimu ir praktiniu panaudojimu. Tikiuosi sužinoti, ar man pavyko paskatinti jūsų susidomėjimą šia tema, iš straipsnio komentarų ir įvertinimų paieškos sistemose.

Iškeltas vieno kintamojo funkcijos aproksimavimo klausimas turi platų praktinį pritaikymą įvairiose gyvenimo srityse. Tačiau funkcijos aproksimacijos problemos sprendimas turi daug platesnį pritaikymą keli nepriklausomi kintamieji... Skaitykite apie tai ir dar daugiau tolesniuose tinklaraščio straipsniuose.

Prenumeruoti į pranešimus apie straipsnius kiekvieno straipsnio pabaigoje esančiame lange arba puslapio viršuje esančiame lange.

Nepamiršk patvirtinti užsiprenumeruokite paspaudę nuorodą laiške, kuris jums ateis nurodytu paštu (gali atvykti į aplanką « Šlamštas » )!!!

Mieli skaitytojai, su susidomėjimu skaitysiu jūsų komentarus! Rašyk!

P.S. (2017-06-04)

Labai tikslus, gražus lentelės duomenų pakeitimas paprasta lygtimi.

Jūsų netenkina gautas aproksimacijos tikslumas (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Ar raiškos matmenys ir didelio laipsnio aproksimuojančio daugianario linijos forma nedžiugina akies?

Norėdami gauti tikslesnį ir kompaktiškesnį lentelės duomenų aproksimavimo rezultatą ir išmokti paprastą metodą, kaip išspręsti didelio tikslumo aproksimavimo problemas pagal vieno kintamojo funkciją, žr. „“ puslapį.

Naudojant siūlomą veiksmų algoritmą, buvo rasta labai kompaktiška funkcija, kuri suteikia didžiausią aproksimacijos tikslumą: R 2 =0,9963!!!

Netiesinių ir transcendentinių lygčių sistemų sprendimas.

Netiesinių ir transcendentinių lygčių sistemos. Lygčių sprendimas skaitine forma.

Skaitiniai uždavinių sprendimo metodai

Radiofizika ir elektronika

(Mokomoji programa)

Voronežas 2009 m

Vadovėlis parengtas Fizinės elektronikos katedroje

Voronežo valstybinio universiteto fakultetas.

Nagrinėjami su automatizuota elektroninių grandinių analize susijusių problemų sprendimo metodai. Pateikiamos pagrindinės grafų teorijos sąvokos. Pateikta matricinė-topologinė Kirchhoffo dėsnių formuluotė. Aprašomi žinomiausi matriciniai topologiniai metodai: mazgų potencialų metodas, kilpų srovių metodas, diskrečiųjų modelių metodas, hibridinis metodas, kintamųjų būsenų metodas.

1. Netiesinių charakteristikų aproksimacija. Interpoliacija. 6

1.1. Niutono ir Lagranžo daugianariai 6

1.2. Spline interpoliacija 8

1.3. Mažiausių kvadratų metodas 9

2. Algebrinių lygčių sistemos 28

2.1. Tiesinių lygčių sistemos. Gauso metodas. 28

2.2. Retos lygčių sistemos. LU faktorizacija. 36

2.3. Netiesinių lygčių sprendimas 37

2.4. Netiesinių lygčių sistemų sprendimas 40

2.5. Diferencialinės lygtys. 44

2. Ekstremumo paieškos metodai. Optimizavimas. 28

2.1. Ekstremalūs paieškos metodai. 36

2.2. Pasyvi paieška 28

2.3. Nuosekli paieška 36

2.4. Daugiamatis optimizavimas 37

Literatūra 47

Netiesinių charakteristikų aproksimacija. Interpoliacija.

1.1. Niutono ir Lagrando daugianariai.

Sprendžiant daugelį uždavinių, atsiranda būtinybė funkciją f, apie kurią yra neišsamios informacijos arba kurios forma per sudėtinga, pakeisti paprastesne ir patogesne funkcija F, viena ar kita prasme artima f, suteikiant jos apytikslę. atstovavimas. Aproksimacijai (approksimacijai) naudojamos tam tikrai klasei priklausančios funkcijos F, pavyzdžiui, tam tikro laipsnio algebriniai daugianariai. Funkcijos aproksimacijos uždavinio versijų yra daug įvairių, priklausomai nuo to, kurios funkcijos f yra aproksimuojamos, kokios funkcijos F naudojamos aproksimacijai, kaip suprantamas funkcijų f ir F artumas ir t.t.

Vienas iš apytikslių funkcijų konstravimo būdų yra interpoliacija, kai reikalaujama, kad tam tikruose taškuose (interpoliacijos mazguose) pradinės funkcijos f ir aproksimacinės funkcijos F reikšmės sutaptų. Bendresniu atveju išvestinės duotuose taškuose turi sutapti.

Funkcijų interpoliacija naudojama sunkiai apskaičiuojamai funkcijai pakeisti kita, kurią lengviau apskaičiuoti; apytiksliui funkcijos atkūrimui iš jos verčių atskiruose taškuose; už skaitinį funkcijų diferencijavimą ir integravimą; netiesinių ir diferencialinių lygčių skaitiniam sprendimui ir kt.

Paprasčiausias interpoliacijos uždavinys yra toks. Tam tikrai segmento funkcijai n+1 reikšmės nurodomos taškuose, kurie vadinami interpoliacijos mazgais. Kuriame. Būtina sukurti interpoliavimo funkciją F(x), kuri interpoliacijos mazguose įgautų tas pačias reikšmes kaip ir f(x):

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

Geometriškai tai reiškia, kad reikia rasti tam tikro tipo kreivę, einančią per nurodytą taškų sistemą (x i, y i), i = 0,1,…,n.

Jei argumento reikšmės išeina už regiono ribų, mes kalbame apie ekstrapoliaciją - funkcijos tęsimą už jos apibrėžimo srities.

Dažniausiai funkcija F(x) sudaroma algebrinio daugianario forma. Yra keletas algebrinės interpoliacijos polinomų atvaizdų.

Vienas iš funkcijų, kurios taškuose ima reikšmes, interpoliavimo metodų yra Lagranžo daugianario, kurio forma yra tokia:

Interpoliacijos polinomo, einančio per n+1 interpoliacijos mazgus, laipsnis lygus n.

Iš Lagranžo daugianario formos matyti, kad pridėjus naują mazginį tašką pasikeičia visi daugianario terminai. Tai yra Lagrange'o formulės nepatogumai. Tačiau Lagranžo metodas turi minimalų aritmetinių operacijų skaičių.

Didėjančio laipsnio Lagranžo polinomams sudaryti galima naudoti tokią iteracijos schemą (Aitken schema).

Polinomus, einančius per du taškus (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n), galima pavaizduoti taip:

Polinomai, einantys per tris taškus (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), gali būti išreikštas daugianariais L ij ir L jk:

Keturių taškų (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) polinomai sudaromi iš daugianarių L ijk ir L jkl:

Procesas tęsiamas tol, kol gaunamas daugianomas, einantis per n duotus taškus.

Lagranžo polinomo reikšmės taške XX apskaičiavimo algoritmas, įgyvendinantis Aitken schemą, gali būti parašytas naudojant operatorių:

už (int i=0;i

už (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

tai bus suvokiama kaip klaida – pakartotinis kintamojo deklaravimas,

kintamasis i jau buvo deklaruotas

už (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

kur masyvas F yra tarpinės Lagranžo daugianario reikšmės. Iš pradžių F[I] turėtų būti lygus y i . Atlikus kilpas, F[N] yra N laipsnio Lagranžo daugianario reikšmė taške XX.

Kita interpoliacijos daugianario vaizdavimo forma yra Niutono formulės. Leisti būti vienodo atstumo interpoliacijos mazgai; i=0,1,…,n; - interpoliacijos žingsnis.

1-oji Niutono interpoliacijos formulė, kuri naudojama tiesioginiam interpoliavimui, yra:

Vadinami (baigtiniai) i-osios eilės skirtumai. Jie apibrėžiami taip:

Normalizuotas argumentas.

Kai Niutono interpoliacijos formulė virsta Teiloro serija.

2-oji Niutono interpoliacijos formulė naudojama interpoliuoti „atgal“:

Paskutiniame įraše vietoj skirtumų (vadinamų „į priekį“ skirtumais) naudojami „atgaliniai“ skirtumai:

Esant netolygiai išsidėsčiusiems mazgams, vadinamasis atskirti skirtumai

Šiuo atveju interpoliacijos polinomas Niutono formoje turi formą

Priešingai nei Lagrange formulė, pridedant naują reikšmių porą. (x n +1, y n +1) čia sumažinamas iki vieno naujo termino pridėjimo. Todėl interpoliacijos mazgų skaičių galima nesunkiai padidinti nekartojant viso skaičiavimo. Tai leidžia įvertinti interpoliacijos tikslumą. Tačiau Niutono formulėms reikia daugiau aritmetinių operacijų nei Lagranžo formulėms.

Jei n=1 gauname tiesinės interpoliacijos formulę:

Jei n = 2, turėsime parabolinės interpoliacijos formulę:

Interpoliuojant funkcijas aukšto laipsnio algebriniai polinomai retai naudojami dėl didelių skaičiavimo išlaidų ir didelių klaidų skaičiuojant reikšmes.

Praktikoje dažniausiai naudojama gabalinė tiesinė arba dalinė parabolinė interpoliacija.

Taikant dalinę tiesinę interpoliaciją, funkcija f(x) intervale (i=0,1,…,n-1) yra aproksimuojama tiesios linijos atkarpa

Skaičiavimo algoritmas, įgyvendinantis dalinę tiesinę interpoliaciją, gali būti parašytas naudojant operatorių:

už (int i=0;i

if ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Naudodamiesi pirmąja kilpa, ieškome, kur yra norimas taškas.

Taikant dalinę parabolinę interpoliaciją, daugianomas konstruojamas naudojant 3 mazgus, esančius arčiausiai nurodytos argumento vertės.

Skaičiavimo algoritmas, įgyvendinantis dalinę parabolinę interpoliaciją, gali būti parašytas naudojant operatorių:

už (int i=0;i

y0=Fy; Kai i=0 elementas neegzistuoja!

x0=Fx; Tas pats

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Ne visada patartina naudoti interpoliaciją. Apdorojant eksperimentinius duomenis, pageidautina išlyginti funkciją. Eksperimentinių priklausomybių aproksimavimas naudojant mažiausių kvadratų metodą yra pagrįstas reikalavimu sumažinti vidutinę kvadratinę paklaidą

Aproksimacinio polinomo koeficientai randami išsprendus m+1 tiesinių lygčių sistemą, vadinamąją. „normalios“ lygtys, k=0,1,…,m

Be algebrinių polinomų, funkcijoms aproksimuoti plačiai naudojami trigonometriniai polinomai.

(žr. „skaitinė harmoninė analizė“).

Splainai yra veiksminga priemonė aproksimuoti funkciją. Splainas reikalauja, kad jo reikšmės ir išvestinės mazginiuose taškuose sutaptų su interpoliuota funkcija f(x) ir jos išvestinėmis iki tam tikros eilės. Tačiau kai kuriais atvejais splainų statyba reikalauja didelių skaičiavimo išlaidų.

1 | | | | | | | | | | | |

Tegul, atlikus matavimus eksperimento metu, gaunamas tam tikros funkcijos lentelės priskyrimas f(x), išreiškiantis ryšį tarp dviejų geografinių parametrų:

X	x 1	x 2	…	x n
f(x)	y 1	2 val	…	y n

Žinoma, galite rasti formulę, kuri šią priklausomybę išreiškia analitiškai naudojant interpoliacijos metodą. Tačiau gautos analitinės funkcijos specifikacijos interpoliacijos mazguose reikšmių sutapimas su turimais empiriniais duomenimis dažnai gali nereikšti pradinių ir interpoliuojančių funkcijų elgsenos sutapimo per visą stebėjimo intervalą. Be to, lentelinė geografinių rodiklių priklausomybė visada gaunama atliekant matavimus įvairiais instrumentais, kurie turi tam tikrą ir ne visada pakankamai mažą matavimo paklaidą. Tikslaus aproksimuojančių ir aproksimuojančių funkcijų reikšmių mazguose sutapimo reikalavimas yra dar labiau nepagrįstas, jei funkcijos reikšmės f(x), tie, kurie gauti atlikus matavimus, patys yra apytiksliai.

Vieno kintamojo funkcijos aproksimavimo problema nuo pat pradžių būtinai atsižvelgia į pradinės funkcijos elgesį per visą stebėjimo intervalą. Problemos formuluotė yra tokia. Funkcija y = f(x) pateikta pagal lentelę (1). Būtina rasti tam tikro tipo funkciją:

kuris yra taškuose x 1 , x 2 , …, x n paima reikšmes kuo arčiau lentelės y 1, y 2, …, y n.

Praktikoje aproksimacinės funkcijos tipas dažniausiai nustatomas lyginant apytiksliai sudaryto funkcijos grafiko formą y = f(x) su tyrėjui žinomų funkcijų grafikais, nurodytais analitiškai (dažniausiai paprastos išvaizdos elementarios funkcijos). Būtent pagal (1) lentelę sudaromas sklaidos sklypas f(x), tada nubrėžiama lygi kreivė, kuo geriau atspindinti taškų išsidėstymo pobūdį. Remiantis tokiu būdu gauta kreive, kokybiniu lygmeniu nustatoma aproksimacinės funkcijos forma.

Apsvarstykite 6 pav.

6 paveiksle parodytos trys situacijos:

• Grafike (a) santykis X Ir adresu artimas linijiniam; tiesi linija čia yra arti stebėjimo taškų, o pastarieji nuo jos nukrypsta tik dėl palyginti nedidelių atsitiktinių įtakų.
• Grafikas (b) rodo tikrąjį dydžių ryšį X Ir adresu aprašomas netiesine funkcija ir kad ir kokią tiesę nubrėžtume, stebėjimo taškų nuokrypis nuo jos bus reikšmingas ir neatsitiktinis. Tuo pačiu metu nubrėžta parabolės šaka gana gerai atspindi dydžių santykio pobūdį.
• Grafike (c) yra aiškus ryšys tarp kintamųjų X Ir adresu nėra; kad ir kokią ryšio formulę pasirinktume, jos parametravimo rezultatai bus nesėkmingi. Visų pirma, abi pasirinktos tiesės yra vienodai blogos norint daryti išvadas apie numatomas kintamojo vertes adresu pagal kintamąsias reikšmes X.

Reikėtų pažymėti, kad griežta pradinių duomenų lentelės funkcinė priklausomybė pastebima retai, nes kiekvienas joje dalyvaujantis kiekis gali priklausyti nuo daugelio atsitiktinių veiksnių. Tačiau formulė (2) (ji vadinama empirine formule arba regresijos lygtimi adresuįjungta X) yra įdomus, nes leidžia rasti funkcijos reikšmes f nelentelės vertėms X, „išlygindamas“ kiekio matavimų rezultatus adresu, t.y. per visą pokyčių spektrą X. Šio požiūrio pagrindimą galiausiai lemia praktinis gautos formulės naudingumas.

Per esamą taškų „debesį“ visada galite pabandyti nubrėžti nustatyto tipo liniją, kuri tam tikra prasme yra geriausia tarp visų tam tikro tipo linijų, tai yra „arčiausiai“ jų stebėjimo taškų. visuma. Norėdami tai padaryti, pirmiausia apibrėžiame linijos artumo tam tikram plokštumos taškų rinkiniui sąvoką. Tokio artumo priemonės gali skirtis. Tačiau bet kokia pagrįsta priemonė turi būti akivaizdžiai susijusi su atstumu nuo stebėjimo taškų iki atitinkamos linijos (pateikta lygtyje y=F(x)).

Tarkime, kad aproksimacinė funkcija F(x) taškuose x 1, x 2, ..., x n reikalas y 1 , y 2 , ..., y n. Dažnai kaip artumo kriterijus naudojama mažiausia kvadratinių skirtumų suma tarp priklausomo kintamojo stebėjimų. y i ir teorinės vertės, apskaičiuotos naudojant regresijos lygtį y i. Čia manoma, kad y i Ir x i- žinomi stebėjimo duomenys ir F- regresijos tiesės su nežinomais parametrais lygtis (jų apskaičiavimo formulės bus pateiktos žemiau). Apytikslės funkcijos parametrų įvertinimo metodas, kuris sumažina priklausomo kintamojo stebėjimų kvadratinių nuokrypių sumą nuo norimos funkcijos reikšmių, vadinamas metodas mažiausiai kvadratai (LS) arba Mažiausių kvadratų metodas (LS).

Taigi, funkcijos aproksimacijos problema f dabar galima suformuluoti taip: funkcijai f, pateiktą pagal lentelę (1), raskite funkciją F tam tikro tipo, kad kvadratų suma Ф būtų mažiausia.

Panagrinėkime apytikslės funkcijos bendrosios formos radimo metodą, naudodami aproksimacinės funkcijos su trimis parametrais pavyzdį:

(3)

Leisti F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Atitinkamų reikšmių skirtumų kvadratu suma f Ir F atrodys taip:

Ši suma yra Ф funkcija (a, b, c) trys kintamieji (parametrai a, b Ir c). Užduotis yra surasti jos minimumą. Naudojame būtiną ekstremumo sąlygą:

Gauname nežinomų parametrų a, b, c nustatymo sistemą.

(5)

Išsprendus šią trijų lygčių sistemą su trimis parametrų nežinomaisiais a, b, c, gausime konkrečią norimos funkcijos formą F(x, a, b, c). Kaip matyti iš nagrinėjamo pavyzdžio, pakeitus parametrų skaičių nebus iškraipoma paties požiūrio esmė, o tik pasikeis lygčių skaičius sistemoje (5).

Natūralu tikėtis, kad rastos reikšmės veiks F(x, a, b, c) taškuose x 1, x 2, ..., x n, skirsis nuo lentelėje pateiktų verčių y 1 , y 2 , ..., y n. Vertybių skirtumai y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) vadinami išmatuotų verčių nuokrypiais y nuo apskaičiuotų pagal (3) formulę. Dėl rastos empirinės formulės (2) pagal pirminę lentelę (1) galima rasti

kvadratinių nuokrypių suma, kuri, taikant mažiausiųjų kvadratų metodą, tam tikro tipo aproksimuojančiai funkcijai (ir rastoms parametrų reikšmėms) turėtų būti mažiausia. Iš dviejų skirtingų tos pačios lentelės funkcijos aproksimacijų, taikant mažiausiųjų kvadratų metodą, geriausiu reikėtų laikyti tą, kurio suma (4) turi mažiausią reikšmę.

Eksperimentinėje praktikoje kaip apytikslės funkcijos, priklausomai nuo sklaidos diagramos pobūdžio f Dažnai naudojamos aproksimacinės funkcijos su dviem parametrais:

Akivaizdu, kad nustačius aproksimacinės funkcijos tipą, užduotis sumažinama tik iki parametrų reikšmių suradimo.

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančias empirines priklausomybes praktiniuose tyrimuose.

3.3.1. Tiesinė funkcija (tiesinė regresija). Priklausomybių analizės atskaitos taškas paprastai yra kintamųjų tiesinės priklausomybės įvertinimas. Tačiau reikia atsižvelgti į tai, kad „geriausia“ tiesi linija, naudojant mažiausių kvadratų metodą, visada egzistuoja, tačiau net ir geriausia ne visada yra pakankamai gera. Jei iš tikrųjų priklausomybė y=f(x) yra kvadratinė, tada jokia tiesinė funkcija negali jos tinkamai apibūdinti, nors tarp visų tokių funkcijų tikrai bus „geriausia“. Jei vertybės X Ir adresu visiškai nesusiję, taip pat visada galime rasti „geriausią“ tiesinę funkciją y=kirvis+b tam tikram stebėjimų rinkiniui, bet šiuo atveju konkrečioms reikšmėms A Ir b nustatomi tik atsitiktiniais kintamųjų nuokrypiais ir patys labai skirsis skirtingoms tos pačios populiacijos imtims.

Dabar panagrinėkime tiesinės regresijos koeficientų įvertinimo problemą formaliau. Tarkime, kad ryšys tarp x Ir y yra tiesinė ir ieškosime norimos aproksimacinės funkcijos formoje:

Raskime dalines išvestines parametrų atžvilgiu:

Pakeiskime gautus ryšius į (5) formos sistemą:

arba padalijus kiekvieną lygtį iš n:

Įveskime tokį užrašą:

(7)

Tada paskutinė sistema atrodys taip:

(8)

Šios sistemos koeficientai M x , M y , M xy , M x 2- skaičiai, kuriuos kiekvienoje konkrečioje aproksimavimo užduotyje galima lengvai apskaičiuoti naudojant (7) formules, kur x i, y i- vertės iš lentelės (1). Išsprendę sistemą (8), gauname parametrų reikšmes a Ir b, taigi ir specifinė tiesinės funkcijos forma (6).

Būtina sąlyga norint pasirinkti tiesinę funkciją kaip pageidaujamą empirinę formulę, yra ryšys:

3.3.2. Kvadratinė funkcija (kvadratinė regresija). Ieškosime apytikslės funkcijos kvadratinio trinalio pavidalu:

Dalinių išvestinių radimas:

Sukurkime (5) formos sistemą:

Po paprastų transformacijų gauname trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą a, b, c. Sistemos koeficientai, kaip ir tiesinės funkcijos atveju, išreiškiami tik žinomais duomenimis iš (1) lentelės:

(10)

Čia mes naudojame žymėjimą (7), taip pat

Sistemos (10) sprendimas pateikia parametrų reikšmę a, b Ir Su aproksimavimo funkcijai (9).

Kvadratinė regresija taikoma, jei visos formos išraiškos y 2 -2 m 1 + y 0, y 3 -2 y 2 + y 1, y 4 -2 y 3 + y 2 ir tt mažai skiriasi viena nuo kitos.

3.3.3. Galios funkcija (geometrinė regresija). Dabar suraskime aproksimuojančią funkciją formoje:

(11)

Darant prielaidą, kad pradinėje lentelėje (1) argumento ir funkcijos reikšmės yra teigiamos, lygybės (11) logaritmą imame pagal sąlygą a>0:

Nuo funkcijos F yra funkcijos apytikslis rodiklis f, funkcija lnF bus apytikslis funkcijos lnf. Įveskime naują kintamąjį u = lnx; tada, kaip nurodyta (12), lnF bus funkcija u: Ф(u).

Pažymėkime

Dabar lygybė (12) įgauna tokią formą:

tie. problema buvo sumažinta iki apytikslės funkcijos tiesinės formos suradimo. Praktiškai norint rasti norimą apytikslę funkciją galios funkcijos pavidalu (pagal pirmiau pateiktas prielaidas), būtina atlikti šiuos veiksmus:

1. naudodami šią lentelę (1) sukurkite naują lentelę, paimdami reikšmių logaritmus x Ir yšaltinio lentelėje;

2. naudokite naują lentelę parametrams rasti A Ir IN apytikslė formos funkcija (14);

3. Naudodamiesi žymėjimu (13), suraskite parametrų reikšmes a Ir m ir pakeiskite juos išraiška (11).

Būtina sąlyga norint pasirinkti galios funkciją kaip pageidaujamą empirinę formulę yra santykis:

3.3.4. Eksponentinė funkcija . Tegul pradinė lentelė (1) yra tokia, kad aproksimacinės funkcijos patartina ieškoti eksponentinės funkcijos pavidalu:

Paimkime lygybės logaritmą (15):

(16)

Pažymėdami (13), perrašome (16) į formą:

(17)

Taigi, norint rasti aproksimuojančią funkciją formoje (15), reikia logarituoti funkcijos reikšmes pradinėje lentelėje (1) ir, atsižvelgiant į jas kartu su pradinėmis argumento reikšmėmis, sukurti aproksimuojančią funkciją. naujos lentelės formos (17). Po to, pagal žymėjimą (13), belieka gauti ieškomų parametrų reikšmes a Ir b ir pakeiskite juos į (15) formulę.

Būtina sąlyga norint pasirinkti eksponentinę funkciją kaip pageidaujamą empirinę formulę, yra ryšys:

.

3.3.5. Trupmeninė tiesinė funkcija. Mes ieškosime apytikslės funkcijos formoje:

(18)

Lygybę (18) perrašome taip:

Iš paskutinės lygybės matyti, kad reikia rasti parametrų reikšmes a Ir b nurodytai lentelei (1) turite sukurti naują lentelę, kurioje argumentų reikšmės paliekamos tos pačios, o funkcijų reikšmės pakeičiamos atvirkštiniais skaičiais, o tada gautoje lentelėje suraskite apytikslę formos funkcija kirvis+b. Rastos parametrų reikšmės a Ir b pakeisti į (18) formulę.

Būtina sąlyga norint pasirinkti trupmeninę tiesinę funkciją kaip pageidaujamą empirinę formulę, yra santykis:

.

3.3.6. Logaritminė funkcija. Tegul apytikslė funkcija turi tokią formą:

Nesunku pastebėti, kad norint pereiti prie tiesinės funkcijos, pakanka atlikti pakeitimą lnx=u. Iš to išplaukia, kad reikia rasti vertybes a Ir b reikia logarituoti argumento reikšmes pradinėje lentelėje (1) ir, atsižvelgiant į gautas reikšmes kartu su pradinėmis funkcijos reikšmėmis, rasti apytikslę funkciją tiesinės formos. taip gauta nauja lentelė. Šansai a Ir b rastą funkciją pakeiskite formule (19).

Būtina sąlyga norint pasirinkti logaritminę funkciją kaip pageidaujamą empirinę formulę, yra santykis:

.

3.3.7. Hiperbolė. Jei iš (1) lentelės sudaryta sklaidos diagrama duoda hiperbolės šaką, aproksimacinės funkcijos galima ieškoti formoje.