선형, 특히 선형 다항식 근사는 함수의 특성과 일치하지 않는 경우가 많습니다. 예를 들어, 높은 차수의 다항식은 빠르게 증가하므로 단순한 함수라도 큰 세그먼트의 다항식으로는 제대로 근사되지 않습니다. 근사는 인수의 광범위한 변경에 대해 수행되므로 계수에 대한 비선형 종속성을 사용하는 것이 보간을 사용하는 것보다 훨씬 더 유리합니다.

실제로는 두 가지 유형의 종속성이 사용됩니다. 하나는 이전 단락에서 자세히 연구한 변수를 선형 변수로 평준화 변경하여 감소한 준선형 종속성입니다. 이 방법은 매우 효과적이며 실험을 처리할 때 자주 사용됩니다. 왜냐하면 프로세스의 물리학에 대한 사전 정보가 변수의 적절한 대체를 찾는 데 도움이 되기 때문입니다. 우리는 새 변수에서 가장 좋은 근사치가 이전 변수의 스칼라 곱의 의미에서 가장 좋지 않을 것이라는 점을 명심하면 됩니다. 따라서 새로운 변수의 가중치 선택에 특별한 주의를 기울여야 합니다.

전형적인 예는 조사된 샘플의 방사성 붕괴 문제이며, 여기서 편리한 변수와 t는 붕괴율입니다. 이러한 변수에서 곡선은 일반적으로 파선으로 근사되며, 그 연결은 점점 더 오래 지속되는 방사성 계열 구성원의 붕괴에 해당합니다.

계수에 대해 일반적으로 사용되는 또 다른 종속성 유형은 근사 함수가 유리수인 경우 분수-선형입니다.

일반화된 다항식의 비율도 자주 사용됩니다. 이 근사법을 사용하면 함수의 극점을 전달할 수 있습니다. 이는 필요한 다중도의 분모의 0에 해당합니다. 적절한 수량 선택으로 인해 점근적 동작을 재현하는 것이 종종 가능합니다. 예를 들어 이면 을 설정해야 합니다. 이 경우에는 많은 근사 계수를 가질 만큼 충분히 크게 사용할 수 있습니다.

그러나 오차 제곱은 더 이상 계수의 2차 함수가 아니므로 유리 함수의 계수를 찾는 것이 쉽지 않습니다. 다항식에 의한 평균 제곱근 근사치와 유사하게 오류에 자유 계수 수 이상의 0이 있다는 가설을 세울 수 있습니다(문단 2의 설명 3과 비교). 그런 다음 문제는 이러한 0에 대한 라그랑주 보간으로 축소되고 계수는 선형 방정식 시스템에서 구됩니다.

물론 0의 정확한 위치는 알려져 있지 않습니다. 무작위로 선택되며 일반적으로 세그먼트에 고르게 분포됩니다. 이 방법을 선택된 포인트 방법이라고 합니다. 이 방법으로 얻은 근사치는 전혀 최고가 아닙니다.

게다가 눈에 띄는 오류가 있는 경우 보간법과 마찬가지로 점을 선택하는 방법도 불합리합니다.

반복 가중치 방법을 사용하여 가장 좋은 근사치를 찾을 수 있습니다. 참고로 작업은

쉽게 풀 수 있습니다. 왼쪽의 표현식은 계수의 2차 함수이며 이에 대한 미분은 (38)과 유사하게 계수를 결정하기 위한 선형 시스템으로 이어집니다. 새로운 문제는 가중치 대신 다른 가중치가 사용된다는 점에서 원래 문제와 본질적으로 다르므로 해당 솔루션이 최상의 근사치가 아닙니다. 원래 문제를 새로운 형식으로 작성해 보겠습니다.

간단한 반복 프로세스를 통해 문제를 해결하겠습니다.

0 근사값으로 취할 수 있습니다. 각 반복에서 이전 반복의 가중치를 알 수 있으므로 2차 형식의 최소 조건에서 계수를 쉽게 찾을 수 있습니다. 실습에 따르면 최상의 근사 계수는 가중치 선택에 따라 약하게 달라지므로 일반적으로 반복이 빠르게 수렴됩니다.

a) 유리함수에 의한 근사의 몇 가지 예를 고려하십시오. 넣어보자

계열의 처음 두 항을 분수로 바꾸면 가 됩니다. 이 간단한 공식은 정확성을 보장하며 추정에 매우 편리합니다.

b) 확률 이론에서 중요한 역할은 계열 확장이 알려진 오류 적분에 의해 수행됩니다.

첫 번째 계열은 절대적으로 수렴하지만 수렴 속도는 매우 느립니다. 두 번째 계열은 의 큰 값에 대해 점근적으로 수렴합니다. 각 계열의 첫 번째 항을 분수로 바꾸면 다음을 얻습니다.

표시된 인수 변경 범위에서 첫 번째 공식의 오류는 0.4%를 초과하지 않으며 두 번째 공식의 오류는 2.4%를 초과하지 않습니다. 따라서 이러한 근사값의 정확도는 많은 실제 응용 분야에 매우 충분합니다.

c) 로 설정하겠습니다. 이 함수는 단조적이므로 분수를 구성하기 쉽습니다.

비선형 함수의 근사

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0.5 0.483 0.433 0.354 0.25 0.129 0

함수의 분할 간격이 동일하므로 근사 함수의 해당 섹션에 대해 다음과 같은 기울기 계수를 계산합니다.

1. 근사 함수의 세그먼트를 형성하기 위한 블록 구성

시간 함수의 형성

변경 간격:

주기적 재시작 시간: T = 1s

이제 함수를 모델링해 보겠습니다.

근사

그림 3.1 - 방정식 풀이 방식

그림 3.2 - 비선형 함수 형성의 블록 다이어그램

따라서 방정식의 좌변이 자동으로 형성됩니다. 이 경우, 방정식 우변의 항이 알려져 있고 U1의 입력에 연결될 수 있기 때문에 일반적으로 가장 높은 도함수 x//가 알려져 있다고 가정합니다(그림 3.1). 연산 증폭기 U3은 +x 신호 인버터 역할을 합니다. x//를 시뮬레이션하려면 회로에 또 다른 부증폭기를 도입해야 하며, 입력에는 방정식 (3.2)의 오른쪽을 시뮬레이션하는 신호를 공급해야 합니다.

절대값을 초과하는 기계 변수의 최대값이 10V라는 점을 고려하여 모든 변수의 스케일이 계산됩니다.

Mx = 10 / x최대; Mx/ = 10 / x/ 최대; Mx // = 10 / x //최대;

내 = 10 / ymax. (3.3)

문제가 실시간으로 시뮬레이션되므로 시간 척도 Mt = T / tmax = 1입니다.

적분 증폭기의 각 입력에 대한 전송 계수가 계산됩니다.

증폭기 U1의 경우 전송 계수는 다음 공식을 사용하여 구합니다.

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/a1/(MxMt). (3.4)

증폭기 U2의 경우:

K21 = Mx//(Mx/Mt), (3.5)

증폭기 U3의 경우:

K31 = 1. (3.6)

초기 조건의 전압은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

식 (3.2)의 오른쪽은 선형 근사로 지정되는 비선형 함수로 표시됩니다. 이 경우 근사오차가 규정된 값을 초과하지 않는지 확인할 필요가 있다. 비선형 함수 형성의 블록 다이어그램이 그림 3.2에 나와 있습니다.

회로도 설명

시간 함수(Ф)를 생성하기 위한 블록은 초기 조건이 0인 하나(t를 형성하기 위해) 또는 두 개의 직렬 연결된(t2를 형성하기 위해) 적분 증폭기의 형태로 만들어집니다.

이 경우 신호 U가 첫 번째 적분기의 입력에 적용되면 출력에서 ​​다음을 얻습니다.

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

K11E=1이라고 하면 u1(t)= t가 됩니다.

두 번째 적분기의 출력에서 ​​우리는 다음을 얻습니다:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3.9)

K11K21E/2 = 1로 설정하면 u2(t)= t2가 됩니다.

근사 함수의 세그먼트를 형성하기 위한 블록은 DBNF(비선형 함수의 다이오드 블록) 형태로 구현되며, 입력 값은 시간 t 또는 t2의 함수입니다. DBNF를 계산하고 구성하는 절차는 다음과 같습니다.

근사 함수 세그먼트의 가산기(SAD)는 차동 최종 증폭기의 형태로 수행됩니다.

모델링 회로의 적분기에 대한 초기 조건은 가변 구조의 노드를 사용하여 도입됩니다(그림 3.3). 이 구성표는 두 가지 모드로 작동할 수 있습니다.

a) 통합 - 위치 1에 키 K를 사용합니다. 이 경우 회로의 초기 신호는 이상적인 적분기의 방정식으로 충분히 정확하게 설명됩니다.

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

이 모드는 작업을 모델링할 때 사용됩니다. 적분기의 매개변수 R 및 C 선택의 정확성을 확인하려면 시간 함수로서 적분기의 초기 전압 값과 허용 오차 Uperm 내에서 유용한 적분 시간을 확인하십시오.

초기 적분기 전압의 크기

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

시뮬레이션 중에 피드백 회로 없이 이득 Ky가 있는 연산 증폭기를 사용하여 입력 신호 E를 통합할 때 T는 기계 변수의 값(10V)을 초과해서는 안 됩니다.

통합 시간

Ti = 2RC(Kу + 1)?Uadd(3.12)

선택된 회로 매개변수는 시뮬레이션 시간 T보다 작아서는 안 됩니다.

b) 초기 조건 설정은 키 K를 위치 2로 전환할 때 구현됩니다. 이 모드는 풀이 과정을 위한 모델링 회로를 준비할 때 사용됩니다. 이 경우 회로의 원래 신호는 다음 방정식으로 설명됩니다.

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

여기서 u0(t)는 초기 조건의 값입니다.

초기 조건 형성 시간을 줄이고 안정적인 작동을 보장하려면 회로 매개변수가 R1C1 = R2C 조건을 충족해야 합니다.

완전한 계산 체계를 구축하십시오. 이 경우 하위 섹션 3.1에 제공된 기호를 사용해야 합니다.

입력 데이터와 소스 데이터의 비트 심도를 이용하여 블록 B1, B2의 회로도를 구성하고 이를 RS 블록에 연결합니다.

(기사 마지막 부분에 2017년 6월 4일자 추가 섹션을 참고하세요.)

회계 및 통제! 40세가 넘은 사람들은 우리 나라 사회주의, 공산주의 건설시대의 이 구호를 잘 기억해야 합니다.

그러나 잘 정립된 회계 없이는 사회 경제적 구성에서 국가, 지역, 기업 또는 가구의 효과적인 기능이 불가능합니다! 활동과 개발에 대한 예측과 계획을 작성하려면 초기 데이터가 필요합니다. 어디서 구할 수 있나요? 단 하나 믿을 수 있는출처는 당신 것이전 기간의 통계 기록.

내가 이해하는 바에 따르면, 모든 정상적인 사람은 자신의 활동 결과를 고려하고, 정보를 수집 및 기록하고, 데이터를 처리 및 분석하고, 분석 결과를 적용하여 향후 올바른 결정을 내려야 합니다. 이것은 인생 경험의 축적과 합리적 사용에 지나지 않습니다. 중요한 데이터를 기록해 두지 않으면 일정 시간이 지나면 잊어버리게 되며, 이러한 문제를 다시 처리하기 시작하면 처음에 했던 것과 동일한 실수를 다시 저지르게 됩니다.

“5년 전에는 그러한 제품을 한 달에 최대 1000개까지 생산했는데 지금은 겨우 700개만 조립할 수 있는 것으로 기억합니다!” 통계를 열어보니 5년 전에는 500개도 생산하지 않았는데...

“자동차의 1km 비용은 얼마입니까? 모든 사람소송 비용? 통계를 열어보겠습니다 – 6 루블/km. 출근 여행 – 107 루블. 택시(180루블)를 이용하는 것보다 1.5배 이상 저렴합니다. 택시를 타는 것이 더 저렴할 때도 있었죠...

“50m 높이의 코너 통신탑 철골 구조물을 제작하는 데 얼마나 걸리나요?” 통계를 열면 5분 안에 답변이 준비됩니다...

"아파트에서 방을 개조하는 데 비용이 얼마나 드나요?" 우리는 오래된 기록을 찾아 지난 몇 년간의 인플레이션을 조정하고 지난번에 시장 가격보다 10% 저렴하게 자재를 구입했으며 이미 예상 비용을 알고 있다는 점을 고려합니다...

귀하의 전문적인 활동을 기록함으로써 귀하는 항상 상사의 질문인 "언제!!!???"에 답할 준비가 되어 있을 것입니다. 가계 기록을 보관함으로써 미래의 대량 구매, 휴가 및 기타 비용에 대한 비용을 계획하고 오늘 추가 수입을 얻거나 불필요한 비용을 줄이기 위한 적절한 조치를 취하는 것이 더 쉽습니다.

이 기사에서는 간단한 예를 사용하여 수집된 통계 데이터를 Excel에서 처리하여 미래 기간 예측에 추가로 사용할 수 있는 방법을 보여줍니다.

분석 기능을 사용하여 Excel에서 통계 데이터를 근사화합니다.

생산 현장에서는 판금 및 프로파일 금속 제품으로 건축용 금속 구조물을 생산합니다. 사이트는 안정적으로 운영되고 주문은 동일한 유형이며 작업자 수는 약간 변동됩니다. 지난 12개월 동안의 제품 생산량과 이 기간 동안 시트, I-빔, 채널, 앵글, 원형 파이프, 직사각형 프로파일, 원형 제품 등 그룹별로 처리된 압연 금속의 양에 대한 데이터가 있습니다. 초기 데이터를 예비 분석한 후, 금속 구조물의 월간 총 생산량은 주문 각도 수에 크게 좌우된다는 가정이 생겼습니다. 이 가정을 확인해 보겠습니다.

우선, 근사치에 대해 몇 마디 말씀드리겠습니다. 우리는 분석 함수, 즉 완성된 주문의 앵글강 양에 대한 금속 구조의 총 생산량의 의존성을 다른 것보다 더 잘 설명하는 방정식으로 지정된 함수인 법칙을 찾을 것입니다. 이는 근사치이며, 발견된 방정식을 원래 함수에 대한 근사 함수라고 하며 표 형식으로 제공됩니다.

1. Excel을 켜고 시트에 통계 데이터가 포함된 테이블을 배치합니다.

2. 다음으로, X축을 따라 인수 값(톤 단위로 처리된 모서리 수)을 설정하는 분산형 차트를 작성하고 형식을 지정합니다. Y 축을 따라 원래 함수의 값, 즉 표에 지정된 월간 금속 구조물의 총 생산량을 표시합니다.

3. 차트의 임의 지점에 마우스를 놓고 마우스 오른쪽 버튼을 클릭하여 상황에 맞는 메뉴를 표시합니다(내 좋은 친구 중 한 명이 말했듯이 - 익숙하지 않은 프로그램에서 작업할 때, 무엇을 해야 할지 모를 때, 마우스 오른쪽 버튼을 더 자주 클릭하세요...). 드롭다운 메뉴에서 "추세선 추가..."를 선택합니다.

4. 나타나는 “추세선” 창의 “유형” 탭에서 “선형”을 선택하세요.

6. 그래프에 직선이 나타나 테이블 의존도에 근접했습니다.

선 자체 외에도 우리는 이 선의 방정식을 볼 수 있으며, 가장 중요한 것은 매개변수 R 2의 값, 즉 근사치의 신뢰성 값을 볼 수 있다는 것입니다! 값이 1에 가까울수록 선택한 기능이 표 형식 데이터에 더 정확하게 근접합니다!

7. 선형 추세선을 구축한 것과 동일한 방식으로 거듭제곱, 로그, 지수 및 다항식 근사를 사용하여 추세선을 구축합니다.

선택된 모든 함수 중에서 2차 다항식은 데이터에 가장 근접하며 최대 신뢰도 계수 R 2 를 갖습니다.

그러나 나는 당신에게 경고하고 싶습니다! 더 높은 차수의 다항식을 사용하면 아마도 더 나은 결과를 얻을 수 있지만 곡선은 복잡한 모양을 갖게 됩니다... 여기서 우리가 물리적 의미를 갖는 함수를 찾고 있다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 이것은 무엇을 의미 하는가? 이는 고려된 X 값 범위 내에서뿐만 아니라 그 이상에서도 적절한 결과를 생성할 근사 함수가 필요하다는 것을 의미합니다. 즉, 다음 질문에 답할 것입니다. 월 처리 각도는 45톤 미만, 168톤 이상! 그러므로 나는 높은 차수의 다항식에 휩쓸려 포물선(2차 다항식)을 신중하게 선택하는 것을 권장하지 않습니다!

따라서 X = 45...168 값 범위 내에서 표 형식 데이터를 잘 보간할 뿐만 아니라 이 범위 밖에서도 적절한 외삽을 허용하는 함수를 선택해야 합니다. 이 경우 가장 간단한 선형 함수를 선택할 수도 있지만 로그 함수를 선택합니다. 고려중인 예에서 Excel에서 선형 근사치를 선택할 때 오류는 로그 근사치를 선택할 때보 다 크지 만 그다지 많지는 않습니다.

8. 로그 함수를 제외하고 차트 필드에서 모든 추세선을 제거합니다. 이렇게하려면 불필요한 줄을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 나타나는 상황에 맞는 메뉴에서 "지우기"를 선택하십시오.

9. 마지막으로 표 형식의 데이터 포인트에 오류 막대를 추가합니다. 이렇게 하려면 그래프의 임의 지점을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 상황에 맞는 메뉴에서 "데이터 계열 서식..."을 선택한 다음 아래 그림과 같이 "Y-오류" 탭에서 데이터를 구성합니다.

10. 그런 다음 오류 범위 선 중 하나를 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 상황에 맞는 메뉴에서 "오류 막대 서식..."을 선택한 다음 "보기" 탭의 "오류 막대 서식" 창에서 선의 색상과 두께를 조정합니다.

다른 다이어그램 개체도 같은 방식으로 형식이 지정됩니다.뛰어나다!

차트의 최종 결과는 다음 스크린샷에 표시됩니다.

결과.

모든 이전 작업의 결과는 근사 함수 y=-172.01*ln (x)+1188.2에 대한 결과 공식이었습니다. 이를 알고 월간 작업 세트의 코너 수를 알면 높은 확률(±4% - 오류 막대 참조)로 해당 월의 금속 구조물의 총 생산량을 예측할 수 있습니다! 예를 들어, 해당 월의 계획이 각도 140톤이라면, 다른 모든 조건이 동일할 경우 총 생산량은 338 ± 14톤이 될 가능성이 높습니다.

근사의 신뢰도를 높이려면 통계 데이터가 많아야 합니다. 12쌍의 값으로는 충분하지 않습니다.

실제로, 신뢰도 계수 R 2 >0.87을 갖는 근사 함수를 찾는 것이 좋은 결과로 간주되어야 한다고 말할 것입니다. 우수한 결과는 R 2 >0.94입니다.

실제로는 가장 중요한 결정 요소 중 하나(예: 한 달에 처리되는 코너의 양)를 식별하는 것이 어려울 수 있지만, 시도해 보면 각 특정 작업에서 언제든지 이를 찾을 수 있습니다! 물론, 한 달 동안의 총 생산량은 표준 설정자 및 기타 전문가의 상당한 인건비가 요구된다는 점을 고려하여 실제로 수백 가지 요인에 따라 달라집니다. 그러나 결과는 여전히 대략적입니다! 그렇다면 훨씬 더 저렴한 수학적 모델링이 있을 때 비용을 들일 가치가 있습니까?

이 글에서는 통계자료의 수집, 처리, 활용이라는 빙산의 일각만을 다루었습니다. 검색 엔진에 있는 기사의 댓글과 평가를 통해 이 주제에 대한 관심을 불러일으키는 데 성공했는지 여부를 알아보고 싶습니다.

하나의 변수의 함수를 근사화하는 문제는 다양한 삶의 영역에서 폭넓게 실용적으로 적용됩니다. 그러나 함수 근사 문제에 대한 해결책은 훨씬 더 광범위하게 적용됩니다. 여러 독립변수... 다음 블로그 기사에서 이에 대한 내용과 자세한 내용을 읽어보세요.

구독하다 각 기사 마지막 창이나 페이지 상단 창을 통해 기사 공지사항을 확인하실 수 있습니다.

잊지 마요 확인하다 링크를 클릭하여 구독하세요 지정된 우편으로 귀하에게 올 편지 (폴더에 도착할 수 있음) « 스팸 » )!!!

독자 여러분, 여러분의 의견을 관심있게 읽겠습니다! 쓰다!

추신 (2017년 6월 4일)

표 형식 데이터를 간단한 방정식으로 매우 정확하고 아름답게 대체합니다.

얻은 근사 정확도(R 2)에 만족하지 않습니다.<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

표현의 차원과 고차 근사 다항식의 선 모양이 보기에 좋지 않습니까?

표 형식 데이터에 대한 보다 정확하고 간결한 근사 결과를 얻고 단일 변수 함수로 고정밀 근사 문제를 해결하는 간단한 기술을 배우려면 "" 페이지를 참조하십시오.

제안된 동작 알고리즘을 사용할 때 가장 높은 근사 정확도를 제공하는 매우 컴팩트한 함수가 발견되었습니다: R 2 =0.9963!!!

비선형 및 초월 방정식 시스템 풀기.

비선형 및 초월 방정식 시스템. 수치 형태로 방정식을 푼다.

문제 해결을 위한 수치적 방법

방사선 물리학 및 전자공학

(지도 시간)

보로네시 2009

교과서는 물리전자공학과에서 준비했습니다

보로네시 주립대학교 교수진.

전자회로의 자동화된 분석과 관련된 문제를 해결하는 방법을 고려합니다. 그래프 이론의 기본 개념을 제시한다. 키르히호프 법칙의 행렬-토폴로지 공식이 제공됩니다. 가장 잘 알려진 매트릭스-토폴로지 방법은 노드 전위 방법, 루프 전류 방법, 이산 모델 방법, 하이브리드 방법, 가변 상태 방법에 대해 설명합니다.

1. 비선형 특성의 근사. 보간. 6

1.1. 뉴턴과 라그랑주 다항식 6

1.2. 스플라인 보간 8

1.3. 최소제곱법 9

2. 대수 방정식 시스템 28

2.1. 선형 방정식 시스템. 가우스 방법. 28

2.2. 희소 방정식 시스템. LU 분해. 36

2.3. 비선형 방정식 풀기 37

2.4. 비선형 방정식 풀이 시스템 40

2.5. 미분 방정식. 44

2. 극한값을 검색하는 방법. 최적화. 28

2.1. 극한 검색 방법. 36

2.2. 수동 검색 28

2.3. 순차검색 36

2.4. 다차원 최적화 37

참고문헌 47

비선형 특성의 근사. 보간.

1.1. 뉴턴과 라그랑주 다항식.

많은 문제를 해결할 때 정보가 불완전하거나 형태가 너무 복잡한 함수 f를 어떤 의미에서 f에 가까운 더 간단하고 편리한 함수 F로 대체하여 근사값을 제공해야 합니다. 대표. 근사(근사)의 경우 특정 클래스에 속하는 함수 F(예: 주어진 차수의 대수 다항식)가 사용됩니다. 함수 근사 문제에는 어떤 함수 f가 근사되는지, 어떤 함수 F가 근사에 사용되는지, 함수 f와 F의 근접성을 어떻게 이해하는지 등에 따라 다양한 버전이 있습니다.

근사 함수를 구성하는 방법 중 하나는 특정 지점(보간 노드)에서 원래 함수 f와 근사 함수 F의 값이 일치해야 하는 경우 보간입니다. 보다 일반적인 경우의 값은 주어진 지점의 도함수는 일치해야 합니다.

함수 보간은 계산하기 어려운 함수를 계산하기 쉬운 다른 함수로 대체하는 데 사용됩니다. 개별 지점의 값에서 함수를 대략적으로 복원합니다. 기능의 수치적 차별화와 통합을 위해; 비선형 방정식과 미분 방정식의 수치 해법 등

가장 간단한 보간 문제는 다음과 같습니다. 세그먼트의 특정 기능에 대해 n+1 값은 보간 노드라고 불리는 지점에 지정됩니다. 여기서 . 보간 노드에서 f(x)와 동일한 값을 취하는 보간 함수 F(x)를 구성해야 합니다.

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

기하학적으로 이는 주어진 점 시스템(x i, y i), i = 0,1,…,n을 통과하는 특정 유형의 곡선을 찾는 것을 의미합니다.

인수의 값이 영역을 벗어나면 외삽법, 즉 정의 영역을 넘어서는 함수의 연속에 대해 이야기합니다.

대부분의 경우 함수 F(x)는 대수 다항식의 형태로 구성됩니다. 대수 보간 다항식에는 여러 가지 표현이 있습니다.

점에서 값을 취하는 함수를 보간하는 방법 중 하나는 다음과 같은 형태의 라그랑주 다항식을 구성하는 것입니다.

n+1 보간 노드를 통과하는 보간 다항식의 차수는 n과 같습니다.

라그랑주 다항식의 형태로부터 새로운 절점을 추가하면 다항식의 모든 항이 변경됩니다. 이것이 라그랑주 공식의 불편함이다. 그러나 라그랑주 방법에는 최소한의 산술 연산이 포함되어 있습니다.

증가하는 차수의 라그랑주 다항식을 구성하려면 다음 반복 방식(Aitken 방식)을 사용할 수 있습니다.

두 점 (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n)을 통과하는 다항식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

세 점 (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)를 통과하는 다항식

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n)은 다항식 L ij 및 L jk를 통해 표현될 수 있습니다.

네 점 (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l)에 대한 다항식은 다항식 L ijk 및 L jkl로 구성됩니다.

이 과정은 n개의 주어진 점을 통과하는 다항식이 얻어질 때까지 계속됩니다.

Aitken 체계를 구현하여 점 XX에서 라그랑주 다항식의 값을 계산하는 알고리즘은 다음 연산자를 사용하여 작성할 수 있습니다.

for (int i=0;i

for (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

변수를 반복적으로 선언하면 오류로 인식됩니다.

변수 i는 이미 선언되었습니다.

for (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

여기서 배열 F는 라그랑주 다항식의 중간값입니다. 처음에 F[I]는 y i 와 동일하게 설정되어야 합니다. 루프를 실행한 후 F[N]은 XX 지점에서 N차 라그랑주 다항식의 값입니다.

보간 다항식을 나타내는 또 다른 형태는 뉴턴의 공식입니다. 등거리 보간 노드라고 하자. 나는=0,1,…,n ; - 보간 단계.

순방향 보간에 사용되는 뉴턴의 첫 번째 보간 공식은 다음과 같습니다.

(유한) i차 차이라고 합니다. 그들은 다음과 같이 정의됩니다:

정규화된 인수.

뉴턴의 보간 공식이 테일러 급수로 바뀌는 경우.

뉴턴의 두 번째 보간 공식은 "뒤로" 보간하는 데 사용됩니다.

마지막 항목에서는 차이점("순방향" 차이라고 함) 대신 "역방향" 차이가 사용됩니다.

간격이 일정하지 않은 노드의 경우, 소위 분리된 차이점

이 경우 뉴턴 형식의 보간 다항식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

라그랑주 공식과 달리 새로운 값 쌍을 추가합니다. (x n +1, y n +1)은 여기서 하나의 새로운 항을 추가하여 축소됩니다. 따라서 전체 계산을 반복하지 않고도 보간 노드 수를 쉽게 늘릴 수 있습니다. 이를 통해 보간 정확도를 평가할 수 있습니다. 그러나 뉴턴의 공식은 라그랑주 공식보다 더 많은 산술 연산을 필요로 합니다.

n=1인 경우 선형 보간 공식을 얻습니다.

n=2인 경우 포물선 보간 공식은 다음과 같습니다.

함수를 보간할 때 높은 수준의 대수 다항식은 상당한 계산 비용과 값 ​​계산의 큰 오류로 인해 거의 사용되지 않습니다.

실제로는 조각별 선형 또는 조각별 포물선 보간이 가장 자주 사용됩니다.

조각별 선형 보간을 사용하면 구간(i=0,1,…,n-1)의 함수 f(x)가 직선 세그먼트로 근사화됩니다.

조각별 선형 보간을 구현하는 계산 알고리즘은 다음 연산자를 사용하여 작성할 수 있습니다.

for (int i=0;i

if ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

첫 번째 루프를 사용하여 원하는 지점이 있는 위치를 찾습니다.

조각별 포물선 보간을 사용하면 주어진 인수 값에 가장 가까운 3개의 노드 점을 사용하여 다항식이 구성됩니다.

조각별 포물선 보간을 구현하는 계산 알고리즘은 다음 연산자를 사용하여 작성할 수 있습니다.

for (int i=0;i

y0=Fy; i=0이면 요소가 존재하지 않습니다!

x0=Fx; 똑같다

res=y0+(y1-y0)*(인수-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(인수-x0)*(인수-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

보간법을 사용하는 것이 항상 권장되는 것은 아닙니다. 실험 데이터를 처리할 때는 함수를 매끄럽게 처리하는 것이 바람직합니다. 최소 제곱법을 사용한 실험적 종속성의 근사치는 평균 제곱근 오차를 최소화해야 한다는 요구 사항을 기반으로 합니다.

근사 다항식의 계수는 소위 m+1 선형 방정식 시스템을 풀어서 구합니다. "정규" 방정식, k=0,1,…,m

대수 다항식 외에도 삼각 다항식은 함수를 근사화하는 데 널리 사용됩니다.

(“수치적 고조파 분석” 참조)

스플라인은 함수를 근사화하는 효과적인 수단입니다. 스플라인은 절점의 값과 도함수가 보간된 함수 f(x)와 특정 차수까지의 도함수와 일치해야 합니다. 그러나 경우에 따라 스플라인을 구성하려면 상당한 계산 비용이 필요합니다.

1 | | | | | | | | | | | |

실험 중 측정 결과 특정 기능에 대한 표 형식의 할당을 얻습니다. 에프엑스(F(x)),두 지리적 매개변수 간의 관계를 표현합니다.

엑스	x 1	x 2	…	xn
에프엑스(f(x))	y 1	2시에	…	응

물론, 보간법을 이용하면 이러한 의존성을 분석적으로 표현하는 공식을 찾을 수 있습니다. 그러나 보간 노드에서 얻은 함수의 분석 사양 값과 사용 가능한 경험적 데이터가 일치한다고 해서 전체 관찰 간격에 걸쳐 원래 함수와 보간 함수의 동작이 일치한다는 의미는 아닐 수도 있습니다. 또한 지리적 표시기의 표 형식 의존성은 항상 측정 오류가 항상 충분히 작지는 않은 다양한 도구를 사용한 측정 결과로 얻어집니다. 노드에서 근사 함수와 근사 함수 값의 정확한 일치에 대한 요구 사항은 함수 값이 다음과 같은 경우 더욱 정당화되지 않습니다. 에프엑스(F(x)),측정 결과로 얻은 값은 대략적인 것입니다.

처음부터 한 변수의 함수를 근사화하는 문제는 반드시 전체 관찰 구간에 걸쳐 원래 함수의 동작을 고려해야 합니다. 문제의 정식화는 다음과 같습니다. 기능 y=f(x)표 (1)에 주어진다. 주어진 유형의 함수를 찾는 것이 필요합니다:

어느 지점에 있는지 x 1 , x 2 , …, x n테이블 값에 최대한 가까운 값을 취합니다. y 1, y 2, …, y n.

실제로 근사 함수의 유형은 근사적으로 구성된 함수 그래프의 형태를 비교하여 결정되는 경우가 가장 많습니다. y=f(x)연구자에게 알려진 함수 그래프를 분석적으로 지정합니다(외관이 단순한 기본 함수인 경우가 가장 많습니다). 즉, 표 (1)에 따라 산점도가 구성됩니다. 에프엑스(F(x)),그런 다음 점 위치의 특성을 최대한 반영하여 부드러운 곡선이 그려집니다. 이렇게 얻은 곡선을 바탕으로 정성적 수준에서 근사함수의 형태가 확립된다.

그림 6을 고려해보세요.

그림 6은 세 가지 상황을 보여줍니다.

• 그래프 (a)에서 관계 엑스그리고 ~에선형에 가깝습니다. 여기의 직선은 관측점에 가깝고 후자는 상대적으로 작은 무작위 영향의 결과로만 벗어납니다.
• 그래프 (b)는 수량 간의 실제 관계를 보여줍니다. 엑스그리고 ~에비선형 함수로 설명되며 어떤 직선을 그리더라도 관측점의 편차는 중요하고 무작위적이지 않습니다. 동시에, 그려진 포물선 가지는 수량 간의 관계의 성격을 아주 잘 반영합니다.
• 그래프 (c)에는 변수 사이에 명확한 관계가 있습니다. 엑스그리고 ~에결석한; 어떤 연결 공식을 선택하더라도 매개변수화 결과는 실패합니다. 특히, 선택한 두 직선 모두 변수의 기대값에 대한 결론을 도출하는 데 똑같이 나쁩니다. ~에변수 값별 엑스.

초기 데이터 테이블에 대한 엄격한 기능적 의존성은 거의 관찰되지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 왜냐하면 테이블에 포함된 각 양은 많은 무작위 요인에 따라 달라질 수 있기 때문입니다. 다만, 식(2)(이를 실험식 또는 회귀식이라 한다) ~에~에 엑스) 함수의 값을 찾을 수 있다는 점에서 흥미롭습니다. 에프표가 아닌 값의 경우 엑스, 수량 측정 결과를 "평활화" ~에, 즉. 변화의 전체 범위에 걸쳐 엑스. 이 접근법의 타당성은 궁극적으로 결과 공식의 실제 유용성에 의해 결정됩니다.

기존의 점 "클라우드"를 통해 특정 의미에서 특정 유형의 모든 선 중에서 가장 좋은, 즉 관찰 지점에 "가장 가까운" 확립된 유형의 선을 그리려고 항상 시도할 수 있습니다. 전체. 이를 위해 먼저 평면의 특정 점 집합에 대한 선의 근접성 개념을 정의합니다. 그러한 근접성에 대한 측정은 다양할 수 있습니다. 그러나 합리적인 측정은 분명히 관측점에서 문제의 선까지의 거리와 관련되어야 합니다(다음 방정식으로 제공됨). y=F(x)).

근사 함수를 가정해보자. 에프엑스(F(x))포인트에서 x1, x2, ..., xn문제 와이 1 , 와이 2 , ..., 와이 N. 종종 종속 변수 관측치 간의 차이 제곱의 최소 합이 근접 기준으로 사용됩니다. 응 나회귀 방정식을 사용하여 계산된 이론값 와이나. 여기서는 다음과 같이 믿어집니다. 응 나그리고 x 나는- 알려진 관측 데이터, 그리고 에프- 매개변수를 알 수 없는 회귀선의 방정식(계산 공식은 아래에 제공됩니다). 원하는 함수의 값과 종속변수 관측값의 제곱편차의 합을 최소화하는 근사함수의 매개변수를 추정하는 방법을 호출합니다. 최소한의 방법 정사각형(LS)또는 최소제곱법(LS).

그래서 함수 근사 문제는 에프이제 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. 에프, 표 (1)에 주어진 함수를 찾으십시오. 에프제곱합 Ф가 가장 작도록 특정 유형을 사용합니다.

세 개의 매개변수를 갖는 근사 함수의 예를 사용하여 일반적인 형태로 근사 함수를 찾는 방법을 고려해 보겠습니다.

(3)

허락하다 F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n.해당 값의 차이 제곱의 합 에프그리고 에프다음과 같이 보일 것입니다:

이 합은 Ф의 함수입니다. (a, b, c)세 가지 변수(매개변수 에, 비그리고 씨). 작업은 최소값을 찾는 것입니다. 우리는 극한에 대한 필요조건을 사용합니다:

알려지지 않은 매개변수 a, b, c를 결정하는 시스템을 얻습니다.

(5)

매개변수에 관한 세 가지 미지수를 사용하여 세 가지 방정식의 시스템을 풀었습니다. 에이, 비, 씨,우리는 원하는 함수의 특정 형태를 얻게 될 것입니다 F(x, a, b, c).고려된 예에서 볼 수 있듯이 매개변수 수를 변경하면 접근 방식 자체의 본질이 왜곡되지 않고 시스템(5)의 방정식 수 변경으로만 표현됩니다.

찾은 함수의 값이 나올 것이라고 예상하는 것은 당연하다. F(x, a, b, c)포인트에서 x1, x2, ..., xn, 테이블 값과 다를 것입니다. y 1 , y 2 , ..., y n. 차이 값 y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n)측정값의 편차라고 합니다. 와이식(3)에 의해 계산된 것으로부터. 발견된 실험식 (2)에 대해 원래 표 (1)에 따라 다음을 찾을 수 있습니다.

최소 제곱법에 따라 주어진 유형의 근사 함수(및 발견된 매개변수 값)에 대해 편차 제곱의 합이 가장 작아야 합니다. 동일한 표 형식 함수에 대한 두 가지 다른 근사 중에서 최소 제곱법을 따르면 가장 좋은 것은 합계(4)가 가장 작은 값을 갖는 것으로 간주되어야 합니다.

실험 실습에서는 산점도의 특성에 따라 함수를 근사화합니다. 에프두 개의 매개변수를 사용하는 근사 함수가 자주 사용됩니다.

분명히 근사 함수의 유형이 설정되면 작업은 매개변수 값을 찾는 것으로만 축소됩니다.

실제 연구에서 가장 일반적인 경험적 종속성을 고려해 보겠습니다.

3.3.1. 선형 함수(선형 회귀). 종속성 분석의 시작점은 일반적으로 변수의 선형 종속성을 추정하는 것입니다. 그러나 최소 제곱법을 사용하는 "최고의" 직선은 항상 존재하지만, 최고조차도 항상 충분하지는 않다는 점을 고려해야 합니다. 현실 중독이라면 y=f(x)가 2차 함수이면 어떤 선형 함수도 이를 적절하게 설명할 수 없습니다. 비록 그러한 모든 함수 중에서 확실히 "가장 좋은" 함수가 있을지라도 말입니다. 값이 엑스그리고 ~에전혀 관련이 없으므로 항상 "가장 좋은" 선형 함수를 찾을 수도 있습니다. y=ax+b주어진 관측치 세트에 대해(이 경우 특정 값) ㅏ그리고 비변수의 무작위 편차에 의해서만 결정되며 동일한 모집단의 다양한 표본에 대해 그 자체가 크게 달라집니다.

이제 선형 회귀 계수를 보다 공식적으로 추정하는 문제를 고려해 보겠습니다. 사이의 연관성을 가정해보자. 엑스그리고 와이선형이며 다음 형식으로 원하는 근사 함수를 찾습니다.

매개변수에 대한 편도함수를 찾아보겠습니다.

획득된 관계를 다음 형식의 시스템으로 대체해 보겠습니다.

또는 각 방정식을 n으로 나누면 다음과 같습니다.

다음 표기법을 소개하겠습니다.

(7)

그러면 마지막 시스템은 다음과 같습니다.

(8)

이 시스템의 계수 M x , M y , M xy , M x 2- 각각의 특정 근사 문제에서 공식(7)을 사용하여 쉽게 계산할 수 있는 숫자입니다. x 나, 나- 표 (1)의 값. 시스템 (8)을 풀면 매개변수 값을 얻습니다. ㅏ그리고 비, 따라서 선형 함수의 특정 형태(6)입니다.

원하는 실험식으로 선형 함수를 선택하기 위한 필수 조건은 다음 관계입니다.

3.3.2. 2차 함수(2차 회귀).우리는 이차 삼항식의 형태로 근사 함수를 찾을 것입니다:

편도함수 찾기:

(5) 형식의 시스템을 만들어 보겠습니다.

간단한 변환 후에 우리는 3개의 미지수를 갖는 3개의 선형 방정식 시스템을 얻습니다. 에이, 비, 씨. 선형 함수의 경우와 마찬가지로 시스템의 계수는 표 (1)의 알려진 데이터를 통해서만 표현됩니다.

(10)

여기서는 표기법 (7)을 사용합니다.

시스템 (10)의 해는 매개변수의 값을 제공합니다. 에, 비그리고 와 함께근사 함수의 경우 (9).

다음 형식의 모든 표현식이 있는 경우 2차 회귀가 적용됩니다. y 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2등. 서로 조금씩 다릅니다.

3.3.3. 거듭제곱 함수(기하 회귀) 이제 다음 형식의 근사 함수를 찾아보겠습니다.

(11)

원본 테이블(1)에서 인수값과 함수값이 양수라고 가정하고, 다음 조건에서 등식대수(11)를 취한다. a>0:

기능 이후 에프함수에 대한 근사치입니다. 에프, 기능 lnF함수에 대한 근사값이 됩니다. lnf. 새로운 변수를 소개해보자 u=lnx; 그러면 (12)에서 다음과 같이 된다. lnF의 함수가 될 것이다 유: Ф(유).

나타내자

이제 평등(12)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

저것들. 문제는 선형 함수 형태의 근사 함수를 찾는 것으로 축소되었습니다. 실제로 (위의 가정 하에서) 거듭제곱 함수 형태로 원하는 근사 함수를 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 이 테이블을 사용하여 (1) 값의 로그를 취하여 새 테이블을 만듭니다. 엑스그리고 와이소스 테이블에서;

2. 새 테이블을 사용하여 매개변수를 찾습니다. ㅏ그리고 안에(14) 형식의 근사 함수;

3. 표기법 (13)을 사용하여 매개변수의 값을 찾습니다. ㅏ그리고 중그리고 이를 식 (11)로 대체한다.

원하는 경험식으로 검정력 함수를 선택하기 위한 필수 조건은 다음 관계입니다.

3.3.4. 지수 함수 . 원래 테이블 (1)을 지수 함수 형태로 근사 함수를 찾는 것이 좋습니다.

평등의 로그를 취해보자(15):

(16)

표기법 (13)을 사용하여 (16)을 다음 형식으로 다시 작성합니다.

(17)

따라서 (15) 형태의 근사함수를 찾기 위해서는 원래 표 (1)의 함수값을 로그화하고, 이를 인수의 원래 값과 함께 고려하여 근사함수를 구성해야 한다. 새 테이블의 형식 (17)입니다. 그 후에는 표기법 (13)에 따라 원하는 매개변수의 값을 얻는 것이 남아 있습니다. ㅏ그리고 비이를 식(15)에 대입한다.

원하는 실험식으로 지수 함수를 선택하기 위한 필수 조건은 다음 관계입니다.

.

3.3.5. 분수 선형 함수.우리는 다음과 같은 형태의 근사 함수를 찾을 것입니다:

(18)

우리는 평등 (18)을 다음과 같이 다시 작성합니다:

마지막 동등성에서 매개변수 값을 찾는 것은 다음과 같습니다. ㅏ그리고 비주어진 테이블 (1)에 대해 인수 값은 동일하게 유지되고 함수 값은 역수로 대체되는 새 테이블을 생성한 다음 결과 테이블에 대해 근사값을 찾아야 합니다. 형태의 기능 도끼+B. 매개변수 값을 찾았습니다. ㅏ그리고 비식 (18)로 대체한다.

원하는 경험식으로 분수 선형 함수를 선택하기 위한 필수 조건은 다음 관계입니다.

.

3.3.6. 로그 함수. 근사 함수의 형식은 다음과 같습니다.

선형 함수로 가려면 치환만 하면 충분하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. lnx=u. 값을 찾으려면 다음과 같습니다. ㅏ그리고 비원본 테이블 (1)의 인수 값을 로그하고 함수의 원래 값과 함께 얻은 값을 고려하여 선형 함수 형태로 근사 함수를 찾아야합니다. 이렇게 해서 얻은 새로운 테이블. 승산 ㅏ그리고 비찾은 함수를 식 (19)에 대입합니다.

원하는 실험식으로 로그 함수를 선택하기 위한 필수 조건은 다음 관계입니다.

.

3.3.7. 쌍곡선.표 (1)에서 구성된 산점도가 쌍곡선의 분기를 제공하는 경우 근사 함수는 형식에서 찾을 수 있습니다.