Tijela pod utjecajem sile teže. Gibanje tijela pod utjecajem sile teže. Gibanje tijela pod utjecajem sile teže: formule za rješavanje zadataka

Na temelju tumačenja drugog Newtonovog zakona možemo zaključiti da se promjena gibanja događa djelovanjem sile. Mehanika razmatra sile različite fizičke prirode. Mnogi od njih određeni su djelovanjem gravitacijskih sila.

Godine 1862. I. Newton otkrio je zakon univerzalne gravitacije. Predložio je da su sile koje drže Mjesec iste prirode kao i sile koje uzrokuju pad jabuke na Zemlju. Značenje hipoteze je postojanje privlačnih sila usmjerenih duž pravca koje povezuju centre mase, kao što je prikazano na slici 1. 10. 1 . Kuglasto tijelo ima centar mase koji se poklapa sa središtem lopte.

Crtanje 1 . 10 . 1 . Gravitacijske sile privlačenja između tijela. F 1 → = - F 2 → .

Definicija 1

S obzirom na poznate smjerove gibanja planeta, Newton je pokušao otkriti koje sile djeluju na njih. Ovaj proces se zove inverzni problem mehanike.

Glavni zadatak mehanike je odrediti koordinate tijela poznate mase s njegovom brzinom u bilo kojem trenutku pomoću poznatih sila koje djeluju na tijelo i zadanog stanja (izravni zadatak). Obrnuto se izvodi određivanjem sila koje djeluju na tijelo s njegovim poznatim smjerom. Takvi problemi doveli su znanstvenika do otkrića definicije zakona univerzalne gravitacije.

Definicija 2

Sva se tijela međusobno privlače silom izravno proporcionalnom njihovim masama i obrnuto proporcionalnom kvadratu udaljenosti između njih.

F = G m 1 m 2 r 2 .

Vrijednost G određuje koeficijent proporcionalnosti svih tijela u prirodi, naziva se gravitacijska konstanta i označava se formulom G = 6,67 · 10 - 11 N · m 2 / k g 2 (CI).

Većina pojava u prirodi objašnjava se prisutnošću sile univerzalne gravitacije. Kretanje planeta, umjetnih satelita Zemlje, putanje leta balističkih projektila, kretanje tijela u blizini površine Zemlje - sve je objašnjeno zakonom gravitacije i dinamike.

Definicija 3

Manifestacija gravitacije karakterizira prisutnost gravitacija. Tako se naziva sila privlačenja tijela prema Zemlji i u blizini njezine površine.

Kada se M označi kao masa Zemlje, RZ je radijus, m je masa tijela, tada formula za gravitaciju ima oblik:

F = G M R Z 2 m = m g .

Gdje je g ubrzanje gravitacije, jednako g = G M R 3 2.

Gravitacija je usmjerena prema središtu Zemlje, kao što je prikazano u primjeru Mjesec-Zemlja. U nedostatku drugih sila tijelo se giba ubrzanjem sile teže. Njegova prosječna vrijednost je 9,81 m/s2. S poznatim G i polumjerom R 3 = 6,38 · 10 6 m, masa Zemlje M izračunava se pomoću formule:

M = g R 3 2 G = 5,98 10 24 k g.

Ako se tijelo udalji od Zemljine površine, tada se učinak gravitacije i ubrzanja uslijed gravitacije mijenjaju obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti r od središta. Slika 1. 10. Slika 2 pokazuje kako se gravitacijska sila koja djeluje na astronauta broda mijenja s udaljenošću od Zemlje. Očito je F njegove privlačnosti prema Zemlji jednak 700 N.

Crtanje 1 . 10 . 2 . Promjene gravitacijske sile koja djeluje na astronauta dok se udaljava od Zemlje.

Primjer 1

Zemlja-Mjesec prikladan je primjer interakcije sustava dvaju tijela.

Udaljenost do Mjeseca je r L = 3,84 · 10 6 m. To je 60 puta veće od polumjera Zemlje R Z. To znači da će u prisustvu sile teže gravitacijsko ubrzanje α L Mjesečeve orbite biti α L = g R Z r L 2 = 9,81 m/s 2 60 2 = 0,0027 m/s 2.

Usmjerena je prema središtu Zemlje i naziva se centripetalna. Izračun se vrši prema formuli a L = υ 2 r L = 4 π 2 r L T 2 = 0,0027 m / s 2, gdje je T = 27,3 dana period revolucije Mjeseca oko Zemlje. Rezultati i izračuni izvedeni na različite načine pokazuju da je Newton bio u pravu u svojoj pretpostavci o istoj prirodi sile koja drži Mjesec u orbiti i sile gravitacije.

Mjesec ima vlastito gravitacijsko polje koje određuje ubrzanje sile teže g L na površini. Masa Mjeseca je 81 puta manja od mase Zemlje, a polumjer mu je 3,7 puta. Ovo pokazuje da ubrzanje g L treba odrediti iz izraza:

g L = G M L R L 2 = G M Z 3, 7 2 T 3 2 = 0, 17 g = 1, 66 m / s 2.

Ovako slaba gravitacija tipična je za astronaute na Mjesecu. Stoga možete napraviti ogromne skokove i korake. Skok od jednog metra na Zemlji odgovara sedam metara na Mjesecu.

Kretanje umjetnih satelita bilježi se izvan Zemljine atmosfere pa na njih djeluju gravitacijske sile Zemlje. Putanja kozmičkog tijela može varirati ovisno o početnoj brzini. Kretanje umjetnog satelita u okozemnoj orbiti približno se uzima kao udaljenost do središta Zemlje, jednaka radijusu R Z. Oni lete na visinama od 200 - 300 km.

Definicija 4

Iz toga slijedi da je centripetalna akceleracija satelita, koju stvaraju gravitacijske sile, jednaka gravitacijskoj akceleraciji g. Brzina satelita će dobiti oznaku υ 1. Zovu je prva izlazna brzina.

Primjenom kinematičke formule za centripetalno ubrzanje dobivamo

a n = υ 1 2 R Z = g, υ 1 = g R Z = 7,91 · 10 3 m/s.

Ovom brzinom satelit je mogao obletjeti Zemlju za vrijeme koje je jednako T 1 = 2 πR Z υ 1 = 84 min 12 s.

Ali period revolucije satelita u kružnoj orbiti u blizini Zemlje mnogo je duži nego što je gore navedeno, budući da postoji razlika između polumjera stvarne orbite i polumjera Zemlje.

Satelit se kreće prema principu slobodnog pada, nejasno slično putanji projektila ili balističkog projektila. Razlika je u velikoj brzini satelita, a radijus zakrivljenosti njegove putanje doseže duljinu polumjera Zemlje.

Sateliti koji se kreću po kružnim putanjama na velikim udaljenostima imaju oslabljenu gravitaciju, obrnuto proporcionalnu kvadratu radijusa r putanje. Tada pronalaženje brzine satelita slijedi uvjet:

υ 2 k = g R 3 2 r 2, υ = g R 3 R Z r = υ 1 R 3 r.

Stoga prisutnost satelita u visokim orbitama ukazuje na manju brzinu njihovog kretanja nego iz orbite blizu Zemlje. Formula za razdoblje optjecaja je:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R Z = 2 πR Z υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R Z.

T 1 uzima vrijednost orbitalnog perioda satelita u niskoj Zemljinoj orbiti. T raste s veličinom polumjera orbite. Ako r ima vrijednost 6, 6 R 3 tada je T satelita 24 sata. Kada se lansira u ekvatorijalnoj ravnini, promatrat će se da visi iznad određene točke na zemljinoj površini. Upotreba ovakvih satelita poznata je u svemirskom radiokomunikacijskom sustavu. Orbita polumjera r = 6,6 RZ naziva se geostacionarnom.

Crtanje 1 . 10 . 3 . Model gibanja satelita.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Djelovanje univerzalnih gravitacijskih sila u prirodi objašnjava mnoge pojave: kretanje planeta u Sunčevom sustavu, umjetnih satelita Zemlje, putanje leta balističkih projektila, kretanje tijela u blizini površine Zemlje - sve je to objašnjeno. na temelju zakona univerzalne gravitacije i zakona dinamike.

Zakon gravitacije objašnjava mehaničku strukturu Sunčevog sustava, a iz njega se mogu izvesti Keplerovi zakoni koji opisuju putanje planetarnog gibanja. Za Keplera su njegovi zakoni bili čisto deskriptivni - znanstvenik je jednostavno sažeo svoja zapažanja u matematičkom obliku, bez davanja ikakvih teoretskih temelja za formule. U velikom sustavu svjetskog poretka po Newtonu, Keplerovi zakoni postaju izravna posljedica univerzalnih zakona mehanike i zakona univerzalne gravitacije. Odnosno, opet promatramo kako se empirijski zaključci dobiveni na jednoj razini pretvaraju u strogo potkrijepljene logičke zaključke kada prijeđemo na sljedeću fazu produbljivanja našeg znanja o svijetu.

Newton je prvi izrazio ideju da gravitacijske sile određuju ne samo kretanje planeta Sunčevog sustava; oni djeluju između bilo kojih tijela u Svemiru. Jedna od manifestacija sile univerzalne gravitacije je sila gravitacije - to je zajednički naziv za silu privlačenja tijela prema Zemlji blizu njezine površine.

Ako je M masa Zemlje, RZ njen radijus, m masa datog tijela, tada je sila teže jednaka

gdje je g akceleracija slobodnog pada;

blizu površine Zemlje

Sila gravitacije usmjerena je prema središtu Zemlje. U nedostatku drugih sila, tijelo slobodno pada na Zemlju uz ubrzanje sile teže.

Prosječna vrijednost gravitacijske akceleracije za različite točke na Zemljinoj površini je 9,81 m/s2. Poznavajući ubrzanje sile teže i polumjer Zemlje (RZ = 6,38·106 m), možemo izračunati masu Zemlje

Slika strukture Sunčevog sustava koja slijedi iz ovih jednadžbi i koja spaja zemaljsku i nebesku gravitaciju može se razumjeti na jednostavnom primjeru. Pretpostavimo da stojimo na rubu strme litice, pored topa i hrpe topovskih zrna. Ako jednostavno ispustite topovsku kuglu okomito s ruba litice, ona će početi padati okomito i jednoliko ubrzano. Njegovo gibanje opisat ćemo Newtonovim zakonima za jednoliko ubrzano gibanje tijela s akceleracijom g. Ako sada ispalite topovsku kuglu prema horizontu, ona će poletjeti i pasti u luku. I u ovom slučaju, njegovo kretanje će biti opisano Newtonovim zakonima, samo što se sada primjenjuju na tijelo koje se kreće pod utjecajem gravitacije i ima određenu početnu brzinu u horizontalnoj ravnini. Sada, dok punite top sve težim đuladima i pucate iznova i iznova, otkrit ćete da kako svako sljedeće đulade napušta cijev s većom početnom brzinom, đuladi padaju sve dalje od podnožja litice.

Sada zamislite da smo u top natrpali toliko baruta da je brzina topovske kugle dovoljna da preleti zemaljsku kuglu. Ako zanemarimo otpor zraka, đule će se, obletjevši Zemlju, vratiti na početnu točku točno istom brzinom kojom je prvotno izletjelo iz topa. Jasno je što će se sljedeće dogoditi: jezgra neće tu stati i nastavit će vrtjeti krug za krugom oko planeta.

Drugim riječima, dobit ćemo umjetni satelit koji će kružiti oko Zemlje, poput prirodnog satelita – Mjeseca.

Dakle, korak po korak, prešli smo s opisa gibanja tijela koje pada isključivo pod utjecajem "zemaljske" gravitacije (Newtonova jabuka) na opisivanje gibanja satelita (Mjesec) u orbiti, bez promjene prirode gravitacijske sile. utjecaj od "zemaljskog" do "nebeskog". Upravo je taj uvid omogućio Newtonu da poveže dvije sile gravitacijske privlačnosti koje su se prije njega smatrale različitima po prirodi.

Kako se udaljavamo od Zemljine površine, sila teže i ubrzanje gravitacije mijenjaju se obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti r od središta Zemlje. Primjer sustava dva tijela koja međusobno djeluju je sustav Zemlja-Mjesec. Mjesec se nalazi na udaljenosti od Zemlje rL = 3,84·106 m. Ta je udaljenost otprilike 60 puta veća od polumjera Zemlje RZ. Prema tome, ubrzanje slobodnog pada aL, uslijed gravitacije, u orbiti Mjeseca je

S takvim ubrzanjem usmjerenim prema središtu Zemlje, Mjesec se kreće po orbiti. Stoga je ovo ubrzanje centripetalno ubrzanje. Može se izračunati pomoću kinematičke formule za centripetalno ubrzanje

gdje je T = 27,3 dana period ophoda Mjeseca oko Zemlje.

Podudarnost rezultata izračuna izvedenih na različite načine potvrđuje Newtonovu pretpostavku o jedinstvenoj prirodi sile koja drži Mjesec u orbiti i sile gravitacije.

Mjesečevo vlastito gravitacijsko polje određuje ubrzanje sile teže gL na njegovoj površini. Masa Mjeseca je 81 puta manja od mase Zemlje, a polumjer mu je približno 3,7 puta manji od polumjera Zemlje.

Stoga će ubrzanje gL biti određeno izrazom

U uvjetima tako slabe gravitacije našli su se astronauti koji su sletjeli na Mjesec. Osoba u takvim uvjetima može napraviti goleme skokove. Na primjer, ako osoba na Zemlji skoči u visinu od 1 m, onda bi na Mjesecu mogla skočiti u visinu veću od 6 m.

Razmotrimo pitanje umjetnih Zemljinih satelita. Umjetni sateliti Zemlje kreću se izvan Zemljine atmosfere i na njih djeluju samo gravitacijske sile sa Zemlje.

Ovisno o početnoj brzini, putanja svemirskog tijela može biti različita. Razmotrimo slučaj umjetnog satelita koji se kreće u kružnoj Zemljinoj orbiti. Takvi sateliti lete na visinama reda 200-300 km, a udaljenost do središta Zemlje može se približno uzeti kao jednaka njezinom polumjeru RZ. Tada je centripetalna akceleracija satelita koju mu pridonose gravitacijske sile približno jednaka akceleraciji gravitacije g. Brzinu satelita u niskoj Zemljinoj orbiti označimo s υ1 - ta se brzina naziva prva kozmička brzina. Koristeći kinematičku formulu za centripetalno ubrzanje, dobivamo

Krećući se takvom brzinom, satelit bi obišao Zemlju u vremenu

Zapravo, period revolucije satelita u kružnoj orbiti blizu Zemljine površine nešto je dulji od navedene vrijednosti zbog razlike između polumjera stvarne orbite i polumjera Zemlje. Gibanje satelita može se zamisliti kao slobodni pad, slično kretanju projektila ili balističkih projektila. Jedina razlika je u tome što je brzina satelita tolika da je radijus zakrivljenosti njegove putanje jednak polumjeru Zemlje.

Za satelite koji se kreću duž kružnih putanja na znatnoj udaljenosti od Zemlje, Zemljina gravitacija slabi obrnuto proporcionalno kvadratu polumjera r putanje. Dakle, u visokim orbitama brzina satelita je manja nego u niskoj Zemljinoj orbiti.

Orbitalni period satelita povećava se s povećanjem radijusa orbite. Lako je izračunati da će s radijusom orbite r jednakim približno 6,6 RZ, orbitalni period satelita biti jednak 24 sata. Satelit s takvim orbitalnim periodom, lansiran u ekvatorijalnoj ravnini, visjet će nepomično iznad određene točke na zemljinoj površini. Takvi se sateliti koriste u sustavima svemirske radiokomunikacije. Orbita polumjera r = 6,6 RZ naziva se geostacionarnom.

Druga kozmička brzina je najmanja brzina koju je potrebno prenijeti svemirskoj letjelici na površini Zemlje kako bi se ona, svladavši gravitaciju, pretvorila u umjetni satelit Sunca (umjetni planet). U tom slučaju, brod će se udaljavati od Zemlje duž parabolične putanje.

Slika 5 ilustrira brzine bijega. Ako je brzina letjelice jednaka υ1 = 7,9·103 m/s i usmjerena je paralelno s površinom Zemlje, tada će se brod kretati po kružnoj orbiti na maloj visini iznad Zemlje. Pri početnim brzinama većim od υ1, ali manjim od υ2 = 11,2·103 m/s, orbita broda će biti eliptična. Pri početnoj brzini υ2 brod će se kretati po paraboli, a pri još većoj početnoj brzini po hiperboli.

Kozmičke brzine

Označene su brzine u blizini Zemljine površine: 1) υ = υ1 – kružna putanja;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – parabolična putanja; 5) υ > υ2 – hiperbolička putanja;

6) Mjesečeva putanja

Tako smo saznali da se sva kretanja u Sunčevom sustavu pokoravaju Newtonovom zakonu univerzalne gravitacije.

Na temelju male mase planeta, a posebno ostalih tijela Sunčeva sustava, možemo približno pretpostaviti da se kretanja u cirkumsolarnom prostoru pokoravaju Keplerovim zakonima.

Sva se tijela gibaju oko Sunca po eliptičnim putanjama, sa Suncem u jednom od žarišta. Što je nebesko tijelo bliže Suncu, to je njegova orbitalna brzina veća (planet Pluton, najudaljeniji poznati, kreće se 6 puta sporije od Zemlje).

Tijela se mogu kretati i po otvorenim putanjama: paraboli ili hiperboli. To se događa ako je brzina tijela jednaka ili veća od vrijednosti druge kozmičke brzine za Sunce na određenoj udaljenosti od središnjeg tijela. Ako govorimo o satelitu planeta, tada se brzina bijega mora izračunati u odnosu na masu planeta i udaljenost do njegovog središta.

Gibanje tijela pod utjecajem gravitacije jedna je od središnjih tema dinamičke fizike. Čak i obični školarac zna da se dio dinamike temelji na tri. Pokušajmo temeljito analizirati ovu temu, a članak koji detaljno opisuje svaki primjer pomoći će nam da proučavanje gibanja tijela pod utjecajem gravitacije učinimo što korisnijim.

Malo povijesti

Ljudi su sa znatiželjom promatrali razne pojave koje se događaju u našim životima. Dugo vremena čovječanstvo nije moglo razumjeti principe i strukturu mnogih sustava, ali dugo putovanje proučavanja svijeta oko nas dovelo je naše pretke do znanstvene revolucije. U današnje vrijeme, kada se tehnologija razvija nevjerojatnom brzinom, ljudi gotovo ne razmišljaju o tome kako funkcioniraju pojedini mehanizmi.

U međuvremenu, naši su preci uvijek bili zainteresirani za misterije prirodnih procesa i strukture svijeta, tražili su odgovore na najsloženija pitanja i nisu prestali proučavati sve dok nisu pronašli odgovore na njih. Primjerice, slavni znanstvenik Galileo Galilei još je u 16. stoljeću postavio pitanja: “Zašto tijela uvijek padaju, koja ih sila privlači k tlu?” Godine 1589. proveo je niz pokusa čiji su se rezultati pokazali vrlo vrijednima. Detaljno je proučavao obrasce slobodnog pada raznih tijela, ispuštajući predmete s poznatog tornja u gradu Pisi. Zakone koje je izveo poboljšao je i detaljnije opisao formulama drugi poznati engleski znanstvenik, Sir Isaac Newton. On je taj koji posjeduje tri zakona na kojima se temelji gotovo sva moderna fizika.

Činjenica da su obrasci kretanja tijela opisani prije više od 500 godina i danas relevantni znači da je naš planet podložan nepromjenjivim zakonima. Suvremeni čovjek treba barem površno proučiti osnovne principe svijeta.

Osnovni i pomoćni pojmovi dinamike

Kako biste u potpunosti razumjeli principe takvog pokreta, prvo se trebate upoznati s nekim pojmovima. Dakle, najpotrebniji teorijski pojmovi:

Interakcija je utjecaj tijela jedno na drugo, pri čemu dolazi do promjene ili početka njihovog kretanja jedno u odnosu na drugo. Postoje četiri vrste interakcija: elektromagnetska, slaba, jaka i gravitacijska.
Brzina je fizikalna veličina koja označava brzinu kojom se tijelo giba. Brzina je vektor, što znači da nema samo vrijednost, već i smjer.
Akceleracija je veličina koja nam pokazuje brzinu promjene brzine tijela u određenom vremenskom razdoblju. Ona je također
Putanja putanje je krivulja, a ponekad i ravna linija, koju tijelo ocrtava pri kretanju. Kod jednolikog pravocrtnog gibanja putanja se može podudarati s vrijednošću pomaka.
Put je duljina putanje, odnosno točno onoliko koliko je tijelo prešlo u određenom vremenu.
Inercijalni referentni sustav je medij u kojem je zadovoljen prvi Newtonov zakon, odnosno tijelo zadržava svoju tromost, pod uvjetom da su vanjske sile potpuno odsutne.

Navedeni pojmovi sasvim su dovoljni da ispravno nacrtate ili u svojoj glavi zamislite simulaciju kretanja tijela pod utjecajem gravitacije.

Što znači snaga?

Prijeđimo na glavni koncept naše teme. Dakle, sila je veličina čije je značenje udar ili utjecaj jednog tijela na drugo kvantitativno. A gravitacija je sila koja djeluje na apsolutno svako tijelo koje se nalazi na površini ili u blizini našeg planeta. Postavlja se pitanje: odakle dolazi ta snaga? Odgovor leži u zakonu univerzalne gravitacije.

Što je gravitacija?

Bilo koje tijelo sa Zemlje pod utjecajem je gravitacijske sile koja mu daje određeno ubrzanje. Sila gravitacije uvijek ima vertikalni smjer prema dolje, prema središtu planeta. Drugim riječima, gravitacija vuče objekte prema Zemlji, zbog čega objekti uvijek padaju. Ispada da je gravitacija poseban slučaj sile univerzalne gravitacije. Newton je izveo jednu od glavnih formula za pronalaženje privlačne sile između dva tijela. To izgleda ovako: F = G * (m 1 x m 2) / R 2.

Kolika je gravitacijska akceleracija?

Tijelo koje se oslobodi s određene visine uvijek leti prema dolje pod utjecajem sile teže. Kretanje tijela pod utjecajem gravitacije okomito gore-dolje može se opisati jednadžbama, gdje će glavna konstanta biti vrijednost ubrzanja "g". Ova vrijednost je isključivo posljedica sile gravitacije i iznosi približno 9,8 m/s 2 . Ispada da će se tijelo bačeno s visine bez početne brzine kretati prema dolje s akceleracijom jednakom vrijednosti "g".

Gibanje tijela pod utjecajem sile teže: formule za rješavanje zadataka

Osnovna formula za pronalaženje sile teže je sljedeća: F gravitacija = m x g, gdje je m masa tijela na koje sila djeluje, a "g" je ubrzanje gravitacije (radi pojednostavljenja problema, obično se smatra jednaka 10 m/s 2) .

Postoji još nekoliko formula koje se koriste za pronalaženje jedne ili druge nepoznanice kada se tijelo slobodno kreće. Tako, na primjer, da bi se izračunao put koji je prešlo tijelo, potrebno je zamijeniti poznate vrijednosti u ovu formulu: S = V 0 x t + a x t 2 / 2 (put je jednak zbroju proizvoda početne brzine pomnožene s vremenom i ubrzanja s kvadratom vremena podijeljenog na 2).

Jednadžbe za opisivanje okomitog gibanja tijela

Okomito kretanje tijela pod utjecajem gravitacije može se opisati jednadžbom koja izgleda ovako: x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 / 2. Pomoću ovog izraza možete pronaći koordinate tijela na poznati trenutak u vremenu. Samo trebate zamijeniti veličine poznate u problemu: početnu lokaciju, početnu brzinu (ako tijelo nije samo otpušteno, već gurnuto nekom silom) i ubrzanje, u našem slučaju to će biti jednako ubrzanju g.

Na isti način možete pronaći brzinu tijela koje se kreće pod utjecajem gravitacije. Izraz za pronalaženje nepoznate veličine u bilo kojem trenutku vremena: v = v 0 + g x t (vrijednost početne brzine može biti jednaka nuli, tada će brzina biti jednaka umnošku ubrzanja gravitacije i vremenske vrijednosti pri čemu se tijelo kreće).

Gibanje tijela pod utjecajem gravitacije: problemi i načini njihova rješavanja

Prilikom rješavanja mnogih problema povezanih s gravitacijom, preporučujemo korištenje sljedećeg plana:

Da biste sami odredili prikladan inercijalni referentni sustav, obično je uobičajeno odabrati Zemlju, jer ona ispunjava mnoge zahtjeve za ISO.
Nacrtaj mali crtež ili sliku koja prikazuje glavne sile koje djeluju na tijelo. Gibanje tijela pod utjecajem gravitacije uključuje skicu ili dijagram koji pokazuje u kojem se smjeru tijelo giba podvrgnuto ubrzanju jednakom g.
Zatim se mora odabrati smjer projiciranja sila i rezultirajućih ubrzanja.
Zapiši nepoznate veličine i odredi im smjer.
Na kraju, koristeći gore navedene formule za rješavanje problema, izračunajte sve nepoznate veličine zamjenom podataka u jednadžbe kako biste pronašli ubrzanje ili prijeđenu udaljenost.

Gotovo rješenje za lak zadatak

Kada govorimo o fenomenu kao što je kretanje tijela pod utjecajem onoga što je najpraktičnije riješiti određeni problem, to može biti teško. Međutim, postoji nekoliko trikova pomoću kojih možete lako riješiti i najteži zadatak. Dakle, pogledajmo žive primjere kako riješiti ovaj ili onaj problem. Počnimo s lako razumljivim problemom.

Određeno tijelo pušteno je s visine od 20 m bez početne brzine. Odredite koliko će mu vremena trebati da stigne do površine zemlje.

Rješenje: znamo put koji je tijelo prešlo, znamo da je početna brzina bila jednaka 0. Također možemo utvrditi da na tijelo djeluje samo sila teže, ispada da je to kretanje tijela pod utjecaja gravitacije, te stoga treba koristiti ovu formulu: S = V 0 x t + a x t 2 /2. Budući da je u našem slučaju a = g, tada nakon nekih transformacija dobivamo sljedeću jednadžbu: S = g x t 2 / 2. Sada sve što preostaje je izraziti vrijeme kroz ovu formulu, nalazimo da je t 2 = 2S / g. Zamijenimo poznate vrijednosti (pretpostavljamo da je g = 10 m/s 2) t 2 = 2 x 20 / 10 = 4. Prema tome, t = 2 s.

Dakle, naš odgovor: tijelo će pasti na tlo za 2 sekunde.

Trik za brzo rješavanje problema je sljedeći: možete primijetiti da se opisano kretanje tijela u gornjem problemu događa u jednom smjeru (okomito prema dolje). Vrlo je slično jednoliko ubrzanom gibanju, budući da na tijelo ne djeluje nikakva sila osim sile teže (zanemarujemo silu otpora zraka). Zahvaljujući tome, možete koristiti jednostavnu formulu za pronalaženje putanje tijekom jednoliko ubrzanog gibanja, zaobilazeći slike crteža s rasporedom sila koje djeluju na tijelo.

Primjer rješavanja složenijeg problema

Sada da vidimo kako najbolje riješiti probleme o kretanju tijela pod utjecajem gravitacije, ako se tijelo ne kreće okomito, već ima složeniju prirodu gibanja.

Na primjer, sljedeći zadatak. Tijelo mase m giba se nepoznatom akceleracijom niz nagnutu ravninu čiji je koeficijent trenja jednak k. Odredite vrijednost akceleracije koja nastaje tijekom gibanja zadanog tijela ako je poznat kut nagiba α.

Rješenje: trebali biste koristiti gore opisani plan. Prije svega nacrtajte nagnutu ravninu koja prikazuje tijelo i sve sile koje na njega djeluju. Ispostavilo se da na njega djeluju tri komponente: gravitacija, trenje i sila reakcije oslonca. Opća jednadžba rezultantnih sila izgleda ovako: Trenje F + N + mg = ma.

Glavni vrhunac problema je stanje nagiba pod kutom α. Kada je ox i os oy potrebno uzeti u obzir ovaj uvjet, tada dobivamo sljedeći izraz: mg x sin α - F trenje = ma (za os ox) i N - mg x cos α = F trenje (za oy os).

Trenje F lako je izračunati pomoću formule za pronalaženje sile trenja, ona je jednaka k x mg (koeficijent trenja pomnožen s umnoškom mase tijela i gravitacijskog ubrzanja). Nakon svih izračuna, ostaje samo zamijeniti pronađene vrijednosti u formulu i dobit ćete pojednostavljenu jednadžbu za izračun ubrzanja kojim se tijelo kreće duž nagnute ravnine.

Prema drugom Newtonovom zakonu, preduvjet za konfiguraciju gibanja, odnosno preduvjet za ubrzanje tijela, je sila. Mehanika se bavi silama različite fizičke prirode. Mnoge mehaničke pojave i procesi određeni su djelovanjem sila gravitacija. Zakon globalne gravitacije otkrio je I. Newton 1682. godine. Još 1665. godine, 23-godišnji Newton je sugerirao da su sile koje drže Mjesec u njegovoj orbiti iste prirode kao i sile koje uzrokuju pad jabuke na Zemlju. Prema njegovoj pretpostavci, između svih tijela u svemiru postoje sile privlačenja (gravitacijske sile) usmjerene duž trake koja povezuje središta mase(slika 1.10.1). Za tijelo u obliku homogene lopte, težište se poklapa sa središtem lopte.

Sljedećih godina Newton je pokušao pronaći fizičko objašnjenje za zakoni planetarnog kretanja, koje je otkrio astrolog I. Kepler početkom 17. stoljeća, a daju kvantitativni izraz za gravitacijske sile. Znajući kako se planeti kreću, Newton je želio otkriti koje sile djeluju na njih. Ovaj put se zove problem obrnute mehanike. Ako je glavni zadatak mehanike odrediti koordinate tijela poznate mase i njegove brzine u bilo kojem trenutku na temelju poznatih sila koje djeluju na tijelo i zadanih početnih uvjeta ( jednostavan mehanički problem), onda kada rješavate obrnuti zadatak, morate pronaći sile koje djeluju na tijelo, ako je jasno kako se ono kreće. Rješenje ovog problema dovelo je Newtona do otkrića zakona globalne gravitacije. Sva se tijela međusobno privlače silom izravno proporcionalnom njihovim masama i obrnuto proporcionalnom kvadratu udaljenosti između njih:

Koeficijent proporcionalnosti G sličan je za sva tijela u prirodi. On je pozvan gravitacijska konstanta

Mnoge pojave u prirodi objašnjavaju se djelovanjem globalnih gravitacijskih sila. Kretanje planeta u Sunčevom sustavu, kretanje umjetnih satelita Zemlje, linije leta balističkih projektila, kretanje tijela u blizini površine Zemlje - sve te pojave objašnjavaju se na temelju zakona globalne gravitacije. i zakone dinamike. Jedna od manifestacija sile globalne gravitacije je gravitacija. Ovo je zajednički naziv za silu privlačenja tijela prema Zemlji u blizini njezine površine. Ako je M masa Zemlje, RZ njen radijus, m masa datog tijela, tada je sila teže jednaka

gdje je g - ubrzanje gravitacije na površini Zemlje:

Gravitacija je usmjerena prema središtu Zemlje. U nedostatku drugih sila, tijelo slobodno pada na Zemlju uz ubrzanje sile teže. Prosječna vrijednost gravitacijske akceleracije za različite točke na Zemljinoj površini je 9,81 m/s2. Poznavajući ubrzanje sile teže i polumjer Zemlje (RZ = 6,38·106 m), možemo izračunati masu Zemlje M:

Kako se udaljavamo od Zemljine površine, sila teže i ubrzanje gravitacije mijenjaju se unatrag proporcionalno kvadratu udaljenosti r od središta Zemlje. Riža. 1.10.2 ilustrira promjenu gravitacijske sile koja djeluje na astronauta u svemirskom brodu dok se on udaljava od Zemlje. Sila kojom astronauta privlači Zemlja u blizini njezine površine uzima se na 700 N.

Primjer sustava dva tijela koja međusobno djeluju je sustav Zemlja-Mjesec. Mjesec se nalazi na udaljenosti od Zemlje rL = 3,84·106 m. Ta je udaljenost približno 60 puta veća od Zemljina radijusa RZ. Kako slijedi, ubrzanje gravitacije aL, zbog gravitacije, u orbiti Mjeseca je

S takvim ubrzanjem usmjerenim prema središtu Zemlje, Mjesec se kreće po orbiti. Kako slijedi, ovo ubrzanje je centripetalno ubrzanje. Može se izračunati pomoću kinematičke formule za centripetalno ubrzanje (vidi §1.6):

gdje je T = 27,3 dana period obilaska Mjeseca oko Zemlje. Podudarnost rezultata izračuna izvedenih različitim metodama potvrđuje Newtonovu pretpostavku o jedinstvenoj prirodi sile koja drži Mjesec u orbiti i sile gravitacije. Mjesečevo vlastito gravitacijsko polje određuje ubrzanje sile teže gL na njegovoj površini. Masa Mjeseca je 81 puta manja od mase Zemlje, a polumjer mu je približno 3,7 puta manji od polumjera Zemlje. Stoga će ubrzanje gA biti određeno izrazom:

U uvjetima tako slabe gravitacije našli su se astronauti koji su sletjeli na Mjesec. Osoba u takvim uvjetima može napraviti ogromne skokove. Na primjer, ako osoba na Zemlji skoči u visinu od 1 m, tada bi na Mjesecu mogla skočiti u visinu veću od 6 m. Razmotrimo sada pitanje umjetnih Zemljinih satelita. Umjetni sateliti kreću se izvan Zemljine atmosfere i na njih djeluju samo gravitacijske sile sa Zemlje. Ovisno o početnoj brzini, linija gibanja galaktičkog tijela može biti različita (vidi §1.24). Ovdje ćemo razmotriti samo slučaj radijalnog gibanja umjetnog satelita blizu Zemlje orbita. Takvi sateliti lete na visinama reda veličine 200-300 km, a udaljenost do središta Zemlje može se približno uzeti jednakom njezinom radijusu RZ. Tada je centripetalna akceleracija satelita koju mu pridonose gravitacijske sile približno jednaka akceleraciji gravitacije g. Označimo brzinu satelita u niskoj Zemljinoj orbiti s υ1. Ova brzina se zove prva kozmička brzina. Korištenjem kinematičke formule za centripetalno ubrzanje (vidi §1.6), dobivamo:

Krećući se takvom brzinom, satelit bi obišao Zemlju u vremenu. Zapravo, period orbite satelita u radijalnoj orbiti blizu površine Zemlje malo premašuje naznačenu vrijednost zbog razlike između polumjera stvarne orbite i polumjer Zemlje. Gibanje satelita može se smatrati kao slobodan pad, slično kretanju projektila ili balističkih projektila. Razlika je isključivo u činjenici da je brzina satelita tolika da je radijus zakrivljenosti njegove linije gibanja jednak polumjeru Zemlje. Za satelite koji se kreću duž radijalnih putanja na značajnoj udaljenosti od Zemlje, Zemljina gravitacija slabi unatrag proporcionalno kvadratu polumjera r linije gibanja. Brzina satelita υ nalazi se iz uvjeta

Dakle, u velikim orbitama brzina satelita je manja nego u niskoj Zemljinoj orbiti. Period poziva T takvog satelita jednak je

Ovdje je T1 razdoblje pozivanja satelita u niskoj Zemljinoj orbiti. Razdoblje poziva satelita povećava se s povećanjem radijusa orbite. Lako je izračunati da će s orbitalnim radijusom r jednakim približno 6,6RZ, razdoblje satelitskog poziva biti jednako 24 sata. Satelit s takvim periodom poziva, lansiran u ekvatorijalnoj ravnini, nepomično će lebdjeti iznad određene točke na zemljinoj površini. Takvi se sateliti koriste u kozmičkim radiokomunikacijskim sustavima. Zove se orbita polumjera r = 6,6R3 geostacionarni.

Naziv sekcija i tema

Volumen sati

Razina majstorstva

Tema 3.3. Kretanje nebeskih tijela pod utjecajem gravitacijskih sila.

Zakon univerzalne gravitacije. Poremećaji u gibanju tijela Sunčeva sustava. Masa i gustoća Zemlje. Određivanje mase nebeskih tijela. Kretanje umjetnih Zemljinih satelita i svemirskih letjelica prema planetima.

Opis značajki gibanja tijela Sunčevog sustava pod utjecajem gravitacijskih sila u orbitama s različitim ekscentricitetima. Objašnjenje uzroka plime i oseke na Zemlji i poremećaja u kretanju tijela u Sunčevom sustavu. Razumijevanje osobitosti kretanja i manevara svemirskih letjelica za proučavanje tijela Sunčeva sustava.

3.3.1. Zakon univerzalne gravitacije.

Prema zakonu univerzalne gravitacije, koji se proučava u kolegiju fizike,

sva se tijela u svemiru međusobno privlače silom koja je izravno proporcionalna umnošku njihovih masa i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između njih:

Gdje t 1 I t 2- tjelesne mase;r - udaljenost između njih;G - gravitacijska konstanta.

Otkriću zakona univerzalne gravitacije uvelike su pridonijeli zakoni gibanja planeta koje je formulirao Kepler i druga dostignuća astronomije u 17. stoljeću. Tako je poznavanje udaljenosti do Mjeseca omogućilo Isaacu Newtonu (1643.-1727.) da dokaže identitet sile koja drži Mjesec dok se kreće oko Zemlje i sile koja uzrokuje pad tijela na Zemlju.

Uostalom, ako se sila gravitacije mijenja obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti, kao što slijedi iz zakona univerzalne gravitacije, tada bi Mjesec, koji se nalazi od Zemlje na udaljenosti od približno 60 njezinih radijusa, trebao doživjeti ubrzanje 3600 puta manje od ubrzanja gravitacije na Zemljinoj površini, jednako 9,8 m/s. Stoga bi ubrzanje Mjeseca trebalo biti 0,0027 m/s 2 .

U isto vrijeme, Mjesec, kao i svako tijelo koje se jednoliko kreće po kružnici, ima akceleraciju

Gdje ω - njegova kutna brzina,r - radijus njegove orbite. Ako pretpostavimo da je polumjer Zemlje 6400 km, tada će polumjer mjesečeve orbite bitir= 60 6 400 000 m = 3,84 10 6 m. Siderički period Mjesečeve revolucije T= 27,32 dana, u sekundama je 2,36 10 6 S. Zatim ubrzanje orbitalnog gibanja Mjeseca

Jednakost ove dvije vrijednosti ubrzanja dokazuje da je sila koja drži Mjesec u orbiti sila gravitacije, oslabljena 3600 puta u usporedbi s onom koja djeluje na površini Zemlje.

Također se možete uvjeriti da su pri kretanju planeta, u skladu s trećim Keplerovim zakonom, njihovo ubrzanje i gravitacijska sila Sunca koja djeluje na njih obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti, kao što proizlazi iz zakona univerzalne gravitacije. Doista, prema trećem Keplerovom zakonu, omjer kubova velikih poluosi orbitad i kvadrati optjecajnih razdoblja T postoji konstantna vrijednost:

Ubrzanje planeta je

Iz trećeg Keplerova zakona slijedi

stoga je akceleracija planeta jednaka

Dakle, sila međudjelovanja planeta i Sunca zadovoljava zakon univerzalne gravitacije.

3.3.2. Poremećaji u gibanju tijela Sunčeva sustava.

Keplerovi zakoni su strogo zadovoljeni ako se promatra gibanje dvaju izoliranih tijela (Sunca i planeta) pod utjecajem njihovog međusobnog privlačenja. Međutim, postoji mnogo planeta u Sunčevom sustavu; svi su u interakciji ne samo sa Suncem, već i jedni s drugima. Stoga se gibanje planeta i drugih tijela ne pokorava točno Keplerovim zakonima. Odstupanja tijela od gibanja duž elipse nazivaju se smetnje.

Ovi poremećaji su mali, jer je masa Sunca mnogo veća od mase ne samo pojedinog planeta, već i svih planeta u cjelini. Najveće poremećaje u kretanju tijela u Sunčevom sustavu uzrokuje Jupiter čija je masa 300 puta veća od mase Zemlje. Odstupanja asteroida i kometa posebno su uočljiva kada prolaze blizu Jupitera.

Trenutno se poremećaji uzimaju u obzir pri izračunavanju položaja planeta, njihovih satelita i drugih tijela Sunčevog sustava, kao i putanje svemirskih letjelica koje su lansirane da ih proučavaju. Ali još u 19.st. proračun poremećaja omogućio je da se “na vrhu pera” napravi jedno od najpoznatijih otkrića u znanosti - otkriće planeta Neptuna.

Provodeći još jedno istraživanje neba u potrazi za nepoznatim objektima, William Herschel 1781. otkrio je planet, kasnije nazvan Uran. Nakon otprilike pola stoljeća postalo je očito da se opaženo kretanje Urana ne slaže s izračunatim, čak i kada se uzmu u obzir poremećaji svih poznatih planeta. Na temelju pretpostavke o postojanju drugog "subauranskog" planeta, napravljeni su izračuni njegove orbite i položaja na nebu. Taj smo problem samostalno riješiliJohn Adams u Engleskoj i Urbain Le Verrier u Francuskoj. Na temelju proračuna Le Verriera, njemački astronom Johann Halle 23. rujna 1846. otkrio je do tada nepoznati planet u zviježđu Vodenjaka – Neptun. Ovo otkriće postalo je trijumf heliocentričnog sustava, najvažnija potvrda valjanosti zakona univerzalne gravitacije. Naknadno su uočeni poremećaji u kretanju Urana i Neptuna, što je postalo temelj za pretpostavku o postojanju još jednog planeta u Sunčevom sustavu. Njezina potraga okrunjena je uspjehom tek 1930. godine, kada je, nakon pregleda velikog broja fotografija zvjezdanog neba, otkriven planet najudaljeniji od Sunca, Pluton.

3.3.3. Masa i gustoća Zemlje.

Zakon univerzalne gravitacije omogućio je određivanje mase našeg planeta. Na temelju zakona univerzalne gravitacije, ubrzanje gravitacije može se izraziti na sljedeći način:

Zamijenimo poznate vrijednosti ovih veličina u formulu:

g = 9,8 m/s, G = 6,67 10 -11 N m 2 /kg 2, R = 6370 km - i nalazimo da je masa Zemlje M = 6 10 24 kg

Poznavajući masu i obujam zemaljske kugle, možemo izračunati njezinu prosječnu gustoću: 5,5 10 3 kg/m 3 . S dubinom, zbog povećanja tlaka i sadržaja teških elemenata, gustoća raste.

3.3.4. Određivanje mase nebeskih tijela.

Točnija formula za treći Keplerov zakon, koju je dobio Newton, omogućuje određivanje jedne od najvažnijih karakteristika svakog nebeskog tijela - mase. Izvedimo ovu formulu, pretpostavljajući (u prvoj aproksimaciji) da su orbite planeta kružne.

Neka dva tijela koja se međusobno privlače i okreću oko zajedničkog centra mase imaju masem 1 I m 2 , nalaze se na udaljenosti od središta maser 1 I r 2i vrte se oko njega s točkom T. Udaljenost između njihovih središtaR= r 1 + r 2 . Na temelju zakona univerzalne gravitacije, ubrzanje svakog od ovih tijela je jednako:

Kutna brzina rotacije oko centra mase je . Tada će se centripetalna akceleracija za svako tijelo izraziti na sljedeći način:

Izjednačenje dobivenih izraza za ubrzanja, izražavanje iz njihr 1 I r 2 i zbrajajući ih pojam po pojam, dobivamo:

gdje

Budući da desna strana ovog izraza sadrži samo konstantne veličine, on vrijedi za svaki sustav dvaju tijela koja međusobno djeluju prema zakonu gravitacije i kruže oko zajedničkog središta mase - Sunca i planeta, planeta i satelita. Odredimo masu Sunca, za to napišemo izraz:

Gdje M- masa Sunca;m 1 - masa Zemlje; t 2- masa Mjeseca;T 1 Ia 1 - razdoblje revolucije Zemlje oko Sunca (godina) i velike poluosi njezine orbite; T 2 I a 2- razdoblje revolucije Mjeseca oko Zemlje i velike poluosi Mjesečeve orbite.

Zanemarujući masu Zemlje, koja je zanemariva u odnosu na masu Sunca, i masu Mjeseca, koja je 81 puta manja od mase Zemlje, dobivamo:

Zamjenom odgovarajućih vrijednosti u formulu i uzimanjem mase Zemlje za 1, dobivamo da je Sunce približno 333.000 puta veće mase od našeg planeta.

Mase planeta koji nemaju satelite određene su poremećajima koje imaju na kretanje asteroida, kometa ili svemirskih letjelica koje lete u njihovoj blizini.

3.3.5. Uzroci plime i oseke na Zemlji

Pod utjecajem međusobnog privlačenja čestica tijelo nastoji poprimiti oblik lopte. Ako ta tijela rotiraju, deformiraju se i stisnu duž osi rotacije.

Osim toga, do promjene njihovog oblika dolazi i pod utjecajem međusobnog privlačenja, što je uzrokovano pojavama tzv. plime i oseke Poznati na Zemlji dugo vremena, objašnjeni su samo na temelju zakona univerzalne gravitacije.

Razmotrimo ubrzanja stvorena privlačenjem Mjeseca na različitim točkama na kugli zemaljskoj (slika 3.13). Budući da bodovi A, B su na različitim udaljenostima od Mjeseca, ubrzanja stvorena njegovom gravitacijom bit će različita.

Razlika u ubrzanju uzrokovana privlačenjem drugog tijela u određenoj točki iu središtu planeta naziva se plimno ubrzanje.

Plimna ubrzanja u točkama A I U usmjerena iz središta Zemlje. Kao rezultat toga, Zemlja, a prvenstveno njezina vodena ljuska, rastegnuta je u oba smjera duž linije koja povezuje središta Zemlje i Mjeseca. U točkama A I U postoji visoka plima, a duž kružnice, čija je ravnina okomita na ovu liniju, nastaje oseka na Zemlji. Sunčeva gravitacija također uzrokuje plimu i oseku, no zbog veće udaljenosti one su manje od onih koje uzrokuje Mjesec. Plima i oseka se promatraju ne samo u hidrosferi, već iu atmosferi i litosferi Zemlje i drugih planeta.

Zbog dnevne rotacije Zemlje, ona nastoji za sobom povući i plimne grbe, dok bi se u isto vrijeme, zbog gravitacije Mjeseca koji se oko Zemlje okrene u mjesec dana, plimni pojas trebao kretati duž Zemljine puno sporije izroniti na površinu. Kao rezultat toga dolazi do plimnog trenja između ogromnih masa plimne vode i dna oceana. Usporava rotaciju Zemlje i uzrokuje povećanje duljine dana, koji je u prošlosti bio znatno kraći (5-6 sati). Istodobno, plime i oseke koje uzrokuje Zemlja na Mjesecu su usporile njegovu rotaciju, te je sada jednom stranom okrenut prema Zemlji. Ista spora rotacija karakteristična je za mnoge satelite Jupitera i drugih planeta. Čini se da su snažne plime i oseke uzrokovane Suncem na Merkuru i Veneri razlog njihove izuzetno spore rotacije oko svoje osi.

3.3.6. Kretanje umjetnih Zemljinih satelita i svemirskih letjelica prema planetima.

Mogućnost stvaranja umjetnog satelita Zemlje teorijski je potkrijepio Newton. Pokazao je da postoji takva vodoravno usmjerena brzina pri kojoj tijelo, padajući na Zemlju, ipak neće pasti na nju, već će se kretati oko Zemlje, ostajući na istoj udaljenosti od nje. Ovom brzinom tijelo će se zbog svoje privlačnosti približiti Zemlji isto toliko koliko će se od nje udaljiti zbog zakrivljenosti površine našeg planeta (sl. 3.14). Ova brzina, koja se naziva prva kozmička (ili kružna), poznata vam je iz tečaja fizike:

Pokazalo se da je praktički moguće lansirati umjetni Zemljin satelit tek dva i pol stoljeća nakon Newtonova otkrića - 4. listopada 1957. U više od četrdeset godina od tog dana, koji se često naziva početkom svemirskog doba čovječanstva, oko 4.000 satelita je lansirano u mnogim zemljama svijeta raznih uređaja i namjena. Stvorene su orbitalne stanice na kojima dugo vremena rade posade koje se sastoje od kozmonauta iz različitih zemalja, zamjenjujući jedna drugu. Američki astronauti više puta su posjetili Mjesec; automatske međuplanetarne stanice istraživale su sve planete Sunčevog sustava, s izuzetkom najudaljenijeg planeta Plutona.

Svemirske letjelice (SV), koje se šalju prema Mjesecu i planetima, doživljavaju privlačnost Sunca i, prema Keplerovim zakonima, kao i sami planeti, kreću se po elipsama. Zemljina orbitalna brzina je oko 30 km/s. Ako je geometrijski zbroj brzine svemirske letjelice, koja joj je dojavljena pri lansiranju, i brzine Zemlje veći od ove vrijednosti, tada će se letjelica kretati u orbiti koja se nalazi izvan Zemljine orbite. Ako manje, unutar njega. U prvom slučaju, kada leti prema Marsu ili nekom drugom vanjskom planetu, troškovi energije bit će minimalni ako letjelica dosegne orbitu tog planeta na njegovoj najvećoj udaljenosti od Sunca - u afelu (Slika 3.15). Osim toga, potrebno je izračunati vrijeme lansiranja letjelice tako da do ovog trenutka planet stigne na istu točku svoje orbite. Drugim riječima, početna brzina i dan lansiranja letjelice moraju biti odabrani na takav način da se letjelica i planet, krećući se svaka u svojoj orbiti, istovremeno približavaju točki susreta. U drugom slučaju - za unutarnji planet - susret sa svemirskom letjelicom trebao bi se dogoditi na perihelu njegove orbite (slika 3.16). Takve putanje leta nazivaju se polueliptičan. Glavne osi ovih elipsa prolaze kroz Sunce, koje se nalazi u jednom od žarišta, kao što se očekuje po prvom Keplerovom zakonu.