Eine allgemeine Methode zur Untersuchung der Stabilität nichtlinearer Systeme ist die direkte Lyapunov-Methode. Es basiert auf Lyapunovs Theorem über die Stabilität nichtlinearer Systeme. Als Forschungsapparat wird die sogenannte Lyapunov-Funktion verwendet, die eine vorzeichenbestimmte Funktion der Koordinaten des Systems ist, die auch eine vorzeichenbestimmte Ableitung nach der Zeit hat. Die Anwendung dieser Methode ist durch ihre Komplexität begrenzt.

Eine einfachere Methode zur Berechnung der Stabilität nichtlinearer Systeme ist die vom rumänischen Wissenschaftler V. M. Popov entwickelte Methode. Für einige Sonderfälle ist es jedoch geeignet.

Prozesse in einem nichtlinearen System können auf der Grundlage einer stückweisen linearen Näherung untersucht werden. In diesem Fall werden die nichtlinearen Eigenschaften einzelner Verbindungen in mehrere lineare Abschnitte unterteilt, innerhalb derer sich das Problem als linear herausstellt und recht einfach gelöst werden kann. An den Grenzen von Abschnitten ist es notwendig, einzelne Prozessteile zu einem einzigen Prozess zusammenzufügen. Die Methode kann verwendet werden, wenn die Anzahl der Abschnitte, in die die nichtlineare Kennlinie unterteilt wird, gering ist. Dies ist beispielsweise bei Relaiskennlinien der Fall (siehe Abb. 5.1). Bei einer großen Anzahl von Abschnitten erweist sich die Methode als zu umständlich. Der Einsatz eines Computers ermöglicht es jedoch, diese Schwierigkeit zu überwinden und Prozesse in nichtlinearen Systemen für beliebige nichtlineare Eigenschaften und im Allgemeinen bei Vorliegen nichtlinearer Abhängigkeiten beliebiger Art erfolgreich zu berechnen.

Die Phasenraummethode ermöglicht im Prinzip die Untersuchung von Systemen mit Nichtlinearitäten beliebiger Art sowie mit mehreren Nichtlinearitäten. Dabei wird im Phasenraum ein sogenanntes Phasenporträt der ablaufenden Prozesse (in einem nichtlinearen System) erstellt. Anhand des Erscheinens des Phasenporträts kann man die Stabilität, die Möglichkeit des Auftretens von Selbst- Schwingungen und die Genauigkeit im stationären Zustand. Die Dimension des Phasenraums entspricht jedoch der Ordnung der Differentialgleichung des nichtlinearen Systems. Dies macht es schwierig, die Methode zur Untersuchung von Systemen zu verwenden, die durch eine Differentialgleichung größer als 2 beschrieben werden Ordnung. Im Fall einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist der Phasenraum eine Phasenebene, und diese Methode kann erfolgreich angewendet werden.

Zur Analyse zufälliger Prozesse in nichtlinearen automatischen Systemen können Sie den mathematischen Apparat der Theorie der Markov-Zufallsprozesse verwenden. Allerdings ist die Komplexität der Methode und der Möglichkeit

Die Lösung der Fokker-Planck-Gleichung, die in der Analyse nur für Gleichungen erster und in einigen Fällen zweiter Ordnung erforderlich ist, schränkt ihre Verwendung ein.

Alle aufgeführten Methoden sind korrekt. Ihre Komplexität und begrenzte Anwendung führten zur Entwicklung näherungsweiser, aber einfacherer Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme. Näherungsmethoden ermöglichen es in vielen Fällen, auf einfache Weise transparente und gut sichtbare Ergebnisse der Analyse nichtlinearer Systeme zu erhalten. Phasentrajektorien in der Umgebung - a< x < a представляют собой прямые с коэффициентом наклона -1/Т 1 при различных значениях начальных условий.

Wir platzieren Pfeile auf geraden Linien, sodass die endgültige Bewegung zum Koordinatenursprung tendiert.

Lassen x > a, . In diesem Fall hat das ursprüngliche System nichtlinearer Gleichungen die Form

(27)

wobei c i eine Familie von Isoklinen ist, bei denen es sich um gerade Linien parallel zur x-Achse handelt, d. h. , wobei aus dem Ausdruck für bestimmt wird

. (28)

Auf diese Weise

. (29)

Angesichts der Werte von konstruieren wir eine Familie von Isoklinen. Wir bestimmen die Schnittwinkel von Isoklinen anhand von Phasentrajektorien.

Als . Wenn zum Beispiel, dann a = 90°.

Lassen X< – a, . Die Konstruktion führen wir auf ähnliche Weise durch, da sich das Vorzeichen geändert hat, ergeben sich unterschiedliche Schnittwinkel der Isoklinen mit der Phasentrajektorie. Das Phasenporträt des Systems ist in Abb. dargestellt. 15.

Reis. 14 Abb. 15

Entfernen wir die Vereinfachung K = 0, d.h. Betrachten wir den Einfluss der negativen Rückkopplung auf die Motorgeschwindigkeit auf die Art der Phasenbahn.

In diesem Fall sehen die Gleichungen so aus:

(30)

Lassen , in diesem Fall erfolgt die Umschaltung unter der Bedingung (und nicht die Bedingung x = a), das ist die Geradengleichung (Abb. 16)

Gleichzeitig nimmt die Zahl der Überschwinger ab; Sie können eine Steigung wählen, bei der es keine Schwankungen gibt.

Betrachten wir ein Phasenporträt ohne Einschränkungen. In einem System ohne Einschränkungen kann das Phasenporträt auf einer Dreiblattfläche mit geneigten Kanten dargestellt werden (Abb. 17). Blatt 2 entspricht in diesem Fall der Totzone z = 0, Blatt 1 entspricht negativen z-Werten, und Blatt 3 ist positiv. Aufgrund der Hysterese kommt es zu einer teilweisen Überlappung der Blätter.

Reis. 16 Abb. 17

Lassen Sie uns das System erkunden. Lassen Sie uns den Einfluss der negativen Rückkopplung auf die Motordrehzahl untersuchen (d. h. den Einfluss des Werts - K). Lassen Sie den Wert von K zunehmen, während die Steigung der Geraden abnimmt, und es kann sich herausstellen, dass der Schnitt flacher ist als die Steigung der Kennlinie im mittleren Teil. Dies führt zu häufigem Wechseln. Dieser Modus wird als Gleiten bezeichnet. Wenn die Zone sehr schmal ist, scheint die Bewegung in den stationären Zustand zu gleiten (Abb. 18a).

Wenn Sie das Vorzeichen der Rückkopplung von einer negativen Verbindung zu einer positiven Verbindung ändern, ändert sich die Steigung der Schaltlinien und die Anzahl der Schwingungen nimmt zu, das System „schwingt“. Das System arbeitet wie ein Generator und es kann entweder ein geschlossener Kreislauf – Selbstschwingungen – oder ein divergenter transienter Prozess auftreten (Abb. 18b).

Vorteile der Methode: Einfachheit und Klarheit für Systeme 2. Ordnung; Geeignet für alle Arten nichtlinearer Elemente.

Mängel: Die Methode ist für Systeme oberhalb der 2. Ordnung umständlich und wird daher nicht für n > 2 verwendet.

Betrachten wir einige Beispiele für die Erstellung von Phasenporträts nichtlinearer Steuerungssysteme

Beispiel 1. Gegeben sei ein System, bestehend aus einem linearen Teil und einem nichtlinearen Element (Verstärker mit Modulbegrenzung) (Abb. 19). Dies ist ein stückweise lineares System, da es sich in bestimmten Abschnitten wie ein lineares (im Bereich) verhält – a, +a[). Nehmen wir an, dass im Bereich (] – a, +а[) die Verstärkung groß und das System instabil ist und das Phasenporträt durch einen besonderen Punkt „instabiler Fokus“ gekennzeichnet ist. Außerhalb der Region ist der Gewinn gering; gehen wir davon aus, dass das System stabil ist und durch einen besonderen Punkt gekennzeichnet ist – einen „stabilen Fokus“.

Für große Abweichungen x > |a| Die Gesamtverstärkung des Systems ist gering, das System ist stabil und der Prozess verfällt.

Bei kleinen Abweichungen ist der Gesamtgewinn des Systems groß – der Prozess divergiert zu einer geschlossenen Trajektorie, die das Vorhandensein stabiler Selbstschwingungen charakterisiert (Abb. 20).

In diesem System gibt es drei Arten von Bewegungen: Selbstoszillationen; konvergierende Schwingungen; divergierende Schwingungen

Beispiel 2. Gegeben sei ein System mit der Charakteristik einer nichtlinearen Verbindung vom Typ „Totzone“ (Abb. 21). Es ist notwendig, eine Phase aufzubauen

Erstellen Sie ein Porträt eines gegebenen Systems, bestimmen Sie das Vorhandensein von Grenzzyklen und analysieren Sie deren Stabilität.

Lassen Sie uns ein Phasenporträt erstellen

1) Wenn – a< x < +a f(x) = 0, а система уравнений имеет вид

Das Phasenporträt in diesem Bereich stellt eine Familie von Geraden mit dem Koeffizienten k = -1 dar, und der Gleichgewichtszustand ist Lyapunov-stabil und stellt ein Segment der Achse y = 0 im Intervall – a dar

2) Für x > +a f(x) = x – a, und das Gleichungssystem hat die Form

und dem Schnittwinkel der Isokline durch die Phasentrajektorie gemäß der Formel a = arctan c, die Ergebnisse sind in den Tabellen 1 und 2 angegeben.

Tabelle 1

Tabelle 2

3) Bei x< – a f(x) = x + a, а система уравнений имеет вид

Beispiel 4. Erstellen Sie für ein gegebenes System (Abb. 26) ein ungefähres Phasenporträt.

Das Originaldiagramm kann wie folgt dargestellt werden (Abb. 27).

Lassen Sie uns ein Phasenporträt erstellen.

1) Bei –1< x < +1 f(x) = x, а система уравнений имеет вид

Für jedes c i bestimmen wir den Winkelsteigungskoeffizienten der Isokline – k mithilfe der Formel

2) Für x > +1 ist f(x) = 1 und das Gleichungssystem hat die Form

Für jedes c i bestimmen wir den Winkelsteigungskoeffizienten der Isokline – k mithilfe der Formel und der Schnittwinkel der Isokline durch die Phasentrajektorie gemäß der Formel a = arctan c.

3) Bei x< -1 f(x) = -1.

Der linke Teil des Phasenporträts ist ähnlich aufgebaut wie der rechte.

Literatur

1. Atabekov G.I., Timofeev A.B., Kupalyan S.D., Khukhrikov S.S. Theoretische Grundlagen der Elektrotechnik (EVG). Nichtlineare Stromkreise. Elektromagnetisches Feld. 5. Aufl. Verlag: LAN, 2005. – 432 S.

2. Gavrilov Nichtlineare Schaltkreise in Schaltkreismodellierungsprogrammen. Verlag: SOLON-PRESS, 2002. – 368 S.

3. Dorf R., Bischof R. Automatisierung. Moderne Steuerungssysteme. 2002 – 832 S.

4. Theorie der automatischen Steuerung. Lehrbuch für Universitäten für besondere Zwecke „Automatisierung und Telemechanik“. In 2 Stunden / N.A. Babakov, A.A. Voronov et al.: Ed. A.A. Voronova. – 2. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich – M.: Höher. Schule, 1986. – 367 S., mit Abb.

5. Kharazov V.G. Integrierte Prozessleitsysteme: Handbuch. Verlag: PROFESSIYA, PUBLISHING ESTATE, 2009. – 550 S.

Artikel:

„Theorie der automatischen Steuerung“

Thema:

„Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme“

1. Methode der Differentialgleichungen

Die Differentialgleichung eines geschlossenen nichtlinearen Systems n-ter Ordnung (Abb. 1) lässt sich in ein System von n-Differentialgleichungen erster Ordnung in der Form umwandeln:

wobei: – Variablen, die das Verhalten des Systems charakterisieren (eine davon kann eine kontrollierte Variable sein); – nichtlineare Funktionen; u – Einfluss einstellen.

Typischerweise werden diese Gleichungen in endlichen Differenzen geschrieben:

,

Wo sind die Anfangsbedingungen?

Bei Abweichungen

nicht groß, dann kann dieses System als System algebraischer Gleichungen gelöst werden. Die Lösung kann grafisch dargestellt werden.

2. Phasenraummethode

Betrachten wir den Fall, dass der äußere Einfluss Null ist (U = 0).

Die Bewegung des Systems wird durch eine Änderung seiner Koordinaten bestimmt -

als Funktion der Zeit. Die Werte charakterisieren zu jedem Zeitpunkt den Zustand (die Phase) des Systems und bestimmen die Koordinaten des Systems mit n-Achsen und können als Koordinaten eines (darstellenden) Punktes M dargestellt werden (Abb. 2).

Phasenraum wird der Koordinatenraum des Systems genannt.

Wenn sich die Zeit t ändert, bewegt sich Punkt M entlang einer Trajektorie namens Phasenbahn. Wenn wir die Anfangsbedingungen ändern, erhalten wir eine Familie von Phasentrajektorien namens Phasenporträt. Das Phasenporträt bestimmt die Art des Übergangsprozesses in einem nichtlinearen System. Das Phasenporträt weist spezielle Punkte auf, zu denen die Phasentrajektorien des Systems tendieren oder sich davon entfernen (es können mehrere davon sein).

Das Phasenporträt kann geschlossene Phasentrajektorien enthalten, die aufgerufen werden Grenzzyklen. Grenzzyklen kennzeichnen Selbstschwingungen im System. Die Phasentrajektorien schneiden sich nirgendwo, außer an speziellen Punkten, die die Gleichgewichtszustände des Systems charakterisieren. Grenzzyklen und Gleichgewichtszustände können stabil oder instabil sein.

Das Phasenporträt charakterisiert das nichtlineare System vollständig. Ein charakteristisches Merkmal nichtlinearer Systeme ist das Vorhandensein verschiedener Bewegungsarten, mehrerer Gleichgewichtszustände und das Vorhandensein von Grenzzyklen.

Die Phasenraummethode ist eine grundlegende Methode zur Untersuchung nichtlinearer Systeme. Es ist viel einfacher und bequemer, nichtlineare Systeme auf der Phasenebene zu untersuchen, als transiente Prozesse im Zeitbereich darzustellen.

Geometrische Konstruktionen im Raum sind weniger visuell als Konstruktionen auf einer Ebene, wenn das System zweiter Ordnung ist und die Phasenebenenmethode verwendet wird.

Anwendung der Phasenebenenmethode für lineare Systeme

Lassen Sie uns die Beziehung zwischen der Art des Übergangsprozesses und den Kurven der Phasentrajektorien analysieren. Phasentrajektorien können entweder durch Integration der Phasentrajektoriengleichung oder durch Lösen der ursprünglichen Differentialgleichung 2. Ordnung erhalten werden.

Das System sei gegeben (Abb. 3).

Betrachten wir die Freizügigkeit des Systems. Außerdem: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Im Allgemeinen hat die Differentialgleichung die Form

Wo (1)

Dies ist eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung; ihre charakteristische Gleichung ist gleich

. (2)

Aus den Beziehungen werden die Wurzeln der charakteristischen Gleichung bestimmt

(3)

Stellen wir eine Differentialgleichung 2. Ordnung in Form eines Systems dar

Gleichungen 1. Ordnung:

(4) Änderungsrate der kontrollierten Variablen.

Im betrachteten linearen System repräsentieren die Variablen x und y die Phasenkoordinaten. Wir konstruieren das Phasenporträt im Raum der Koordinaten x und y, d.h. auf der Phasenebene.

Wenn wir die Zeit aus Gleichung (1) ausschließen, erhalten wir die Gleichung von Integralkurven oder Phasentrajektorien.

. (5)

Dies ist eine trennbare Gleichung

. (6)

Betrachten wir mehrere Fälle

1. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung (3) sollen die Form haben

(diese. ). (7)

In diesem Fall wird der Übergangsprozess durch die Gleichungen beschrieben

x = A sin (wt+j), (8)

y = Aw cos (wt+j),

diese. stellt ungedämpfte Schwingungen mit konstanter Amplitude A und Anfangsphase – j dar.

Auf der Phasenebene (Abb. 4) sind diese Gleichungen parametrische Gleichungen einer Ellipse mit den Halbachsen A und wA (wobei A die Integrationskonstante ist).

Wenn wir benennen

Die Ellipsengleichung kann durch Lösen der Gleichung der Phasentrajektorien erhalten werden

(9)

Aus der Bedingung wird der Gleichgewichtszustand bestimmt

,

in diesem Fall x 0 = y 0 = 0.

Der singuläre Punkt wird „Zentrum“ genannt und entspricht einem stabilen Gleichgewicht, da sich die Phasentrajektorien nicht von ihm entfernen.

2. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung (3) sollen die Form haben

(10)

In diesem Fall wird der Übergangsprozess durch die Gleichungen beschrieben:

Aus der Gleichung der Phasentrajektorien

wir erhalten die Gleichung

Dies ist eine Gleichung einer Familie von Hyperbeln, wenn sich A ändert (Abb. 5).

Alle technischen Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme werden in zwei Hauptgruppen unterteilt: exakte und ungefähre. Zu den genauen Methoden gehören die A. M. Lyapunov-Methode, die Phasenebenenmethode, die Punkttransformationsmethode und die V. M. Popov-Frequenzmethode. Näherungsmethoden basieren auf der Linearisierung nichtlinearer Systemgleichungen mittels harmonischer oder statistischer Linearisierung. In der Praxis kommt eine Kombination verschiedener Methoden zum Einsatz. Es ist zu beachten, dass in absehbarer Zeit Bedarf an einer Weiterentwicklung der Theorie und Praxis nichtlinearer Systeme besteht.

Betrachten wir die folgenden Methoden zur Analyse nichtlinearer Systeme:

1) Phasenebenenmethode. Es dient zur Untersuchung nichtlinearer Systeme, die durch Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung beschrieben werden. Es besteht darin, das Phasenporträt des Systems in den Koordinaten der untersuchten Größe und ihrer Ableitung zu konstruieren und zu untersuchen.

Betrachten wir den Fall, dass der äußere Einfluss Null ist (U = 0). Die Bewegung des Systems wird durch eine Änderung seiner Koordinaten bestimmt - X i als Funktion der Zeit. Werte X i charakterisiert zu jedem Zeitpunkt den Zustand (die Phase) des Systems und bestimmt die Koordinaten des Systems mit n - Achsen und kann als Koordinaten eines (darstellenden) Punktes M dargestellt werden (Abb. 10).

Abbildung 10

Der Phasenraum ist der Koordinatenraum des Systems.

Wenn sich die Zeit t ändert, bewegt sich Punkt M entlang einer Trajektorie, die Phasentrajektorie genannt wird. Wenn wir die Anfangsbedingungen ändern, erhalten wir eine Familie von Phasentrajektorien, die als Phasenporträt bezeichnet wird. Das Phasenporträt bestimmt die Art des Übergangsprozesses in einem nichtlinearen System. Das Phasenporträt weist spezielle Punkte auf, zu denen die Phasentrajektorien des Systems tendieren oder sich davon entfernen (es können mehrere davon sein).

Das Phasenporträt kann geschlossene Phasentrajektorien enthalten, die als Grenzzyklen bezeichnet werden. Grenzzyklen kennzeichnen Selbstschwingungen im System. Die Phasentrajektorien schneiden sich nirgendwo, außer an speziellen Punkten, die die Gleichgewichtszustände des Systems charakterisieren. Grenzzyklen und Gleichgewichtszustände können stabil oder instabil sein.

Das Phasenporträt charakterisiert das nichtlineare System vollständig. Ein charakteristisches Merkmal nichtlinearer Systeme ist das Vorhandensein verschiedener Bewegungsarten, mehrerer Gleichgewichtszustände und das Vorhandensein von Grenzzyklen.

Beispiel

Zeichnen Sie Phasentrajektorien für ein nichtlineares System mit drei verschiedenen Nichtlinearitäten – ein Zwei-Positions-Relais, ein Drei-Positions-Relais mit einer Totzone (±0,2) und ein Zwei-Positions-Relais mit Hysterese (±0,1), wenn der lineare Teil eine hat Übertragungsfunktion

Lösung

Entsprechend der Aufgabenstellung lässt sich das Modell eines nichtlinearen Systems in Form von Abb. 11 darstellen.

Für alle Nichtlinearitäten akzeptieren wir den Signalwert am Relaisausgang als ±2.

Abbildung 11 – Modell eines nichtlinearen automatischen Steuerungssystems

Dann werden die Zustandsgleichungen in die Form geschrieben

Wenn wir die zweite der Gleichungen durch die erste dividieren, erhalten wir die Phasentrajektoriengleichung

Abhängig davon, auf welcher Seite der Relaisschaltlinie sich der darstellende Punkt befindet, lauten die Lösungen der Differentialgleichung wie folgt:

rechts der Schaltlinie für x1 > 0 x 1 = 4 ln |x 2 + 10| - 0,4x 2 + c 1 ;

links der Schaltlinie bei x1< 0 x 1 = 4 ln |x 2 - 10| - 0,4x 2 + c 2 ;

Bei einem Dreistellungsrelais beträgt die Bewegung des darstellenden Punktes innerhalb der Totzone -0,2

wobei с 1, с 2 und с 3 Integrationskonstanten abhängig von den Anfangsbedingungen sind.

In Abb. Abbildung 9 zeigt die Phasenverläufe eines nichtlinearen automatischen Steuerungssystems mit verschiedenen nichtlinearen Elementen. Das Anpassen oder Zusammenfügen von Abschnitten von Phasentrajektorien erfolgt entlang von Schaltlinien.

Abbildung 12 – Phasenverläufe von Relaissystemen

Aus der Analyse der Phasenverläufe lassen sich folgende Schlussfolgerungen ziehen:

1. Unter den gegebenen Anfangsbedingungen sind alle Systeme stabil. Darüber hinaus sind Systeme mit Zwei-Positions-Relais „im Großen und Ganzen“ stabil;

2. Systeme mit Zweistellungsrelais weisen stabile Schwingungen auf. Die Abszisse des Grenzzyklus bestimmt die Amplitude der Schwingungen A o, und die Frequenz kann aus der Ordinate des Grenzzyklus A o ω o bestimmt werden;

3. Ein System mit einem Dreistellungsrelais mit Totzone verfügt über ein „spezielles Segment“. Nach Durchlaufen des Übergangsprozesses kann das System jeden Wert innerhalb der Totzone annehmen, wie in Abb. 9 dargestellt.

Somit ist die Phasenraummethode eine grundlegende Methode zur Untersuchung nichtlinearer Systeme. Es ist viel einfacher und bequemer, nichtlineare Systeme auf der Phasenebene zu untersuchen, als transiente Prozesse im Zeitbereich darzustellen.

Geometrische Konstruktionen im Raum sind weniger visuell als Konstruktionen auf einer Ebene, wenn das System zweiter Ordnung ist und die Phasenebenenmethode verwendet wird.

2) Harmonische Linearisierungsmethode.

Die Idee der harmonischen Linearisierungsmethode gehört N.M. Krylov und N.N. Bogolyubov und basiert auf dem Ersatz eines nichtlinearen Elements des Systems durch eine lineare Verbindung, deren Parameter unter einer harmonischen Eingangswirkung aus der Bedingung der Gleichheit der Amplituden der ersten Harmonischen am Ausgang des nichtlinearen Elements und bestimmt werden die äquivalente lineare Verbindung. Die Methode ist ungefähr und kann nur verwendet werden, wenn der lineare Teil des Systems ein Tiefpassfilter ist, d. h. Filtert alle harmonischen Komponenten heraus, die am Ausgang eines nichtlinearen Elements entstehen, mit Ausnahme der ersten Harmonischen. In diesem Fall kann der lineare Teil durch eine Differentialgleichung beliebiger Ordnung beschrieben werden und das nichtlineare Element kann entweder einwertig oder mehrwertig sein. Die Methode kann zur Berechnung der Parameter natürlicher Schwingungen in einem System wirksam sein; sie wird auch zur Analyse der Genauigkeit unter harmonischem Antriebseinfluss verwendet.

Die Methode der harmonischen Linearisierung basiert auf der Annahme, dass am Eingang des nichtlinearen Elements ein harmonischer Einfluss mit der Frequenz ω und der Amplitude A anliegt, d. h. x = À sinωt. Unter der Annahme, dass der lineare Teil ein Tiefpassfilter ist, wird das Spektrum des Ausgangssignals des linearen Teils nur durch die erste Harmonische begrenzt, die durch die Fourier-Reihe bestimmt wird (dies ist die Näherung des Verfahrens, da höhere Harmonische von der Betrachtung ausgeschlossen sind). ). Dann wird der Zusammenhang zwischen der ersten Harmonischen des Ausgangssignals und dem Einfluss der Eingangsharmonischen des nichtlinearen Elements in Form einer Übertragungsfunktion dargestellt:

Gleichung (1.6) wird als harmonische Linearisierungsgleichung bezeichnet, und die Koeffizienten q und q" sind die harmonischen Linearisierungskoeffizienten, abhängig von der Amplitude A und der Frequenz ω der Eingabeaktion. Es ist zu beachten, dass für statische einwertige Koeffizienten q" (A) = 0. Unterzieht man Gleichung (1.6) der Laplace-Transformation unter Null-Anfangsbedingungen und ersetzt anschließend den Operator p durch jω (p = jω), erhält man den äquivalenten komplexen Übertragungskoeffizienten des nichtlinearen Elements

W ne (jω,A) = q + jq" (1.7)

Nach der Durchführung der harmonischen Linearisierung können für die Analyse und Synthese nichtlinearer automatischer Steuerungssysteme alle Methoden zur Untersuchung linearer Systeme einschließlich der Verwendung verschiedener Stabilitätskriterien verwendet werden. Bei der Untersuchung nichtlinearer Systeme auf Basis der Methode der harmonischen Linearisierung wird zunächst die Frage nach der Existenz und Stabilität periodischer (selbstschwingender) Moden gelöst. Wenn der periodische Modus stabil ist, enthält das System Selbstschwingungen mit der Frequenz ω 0 und der Amplitude A 0 . Betrachten wir ein nichtlineares System, das einen linearen Teil mit einer Übertragungsfunktion enthält

und ein nichtlineares Element mit einem äquivalenten komplexen Übertragungskoeffizienten (1.7). Das berechnete Blockdiagramm des nichtlinearen Systems hat die Form von Abb. 13.

Abbildung 13 – Blockdiagramm eines nichtlinearen automatischen Steuerungssystems

Um die Möglichkeit des Auftretens von Selbstschwingungen in einem nichtlinearen System mithilfe der Methode der harmonischen Linearisierung abzuschätzen, ist es erforderlich, die Bedingungen der Stabilitätsgrenze zu ermitteln, wie dies bei der Analyse der Stabilität linearer Systeme der Fall war. Wenn der lineare Teil durch die Übertragungsfunktion (1.8) und das nichtlineare Element (1.7) beschrieben wird, hat die charakteristische Gleichung des geschlossenen Systems die Form:

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (1.10)

Basierend auf dem Mikhailov-Stabilitätskriterium ist die Stabilitätsgrenze der Durchgang des Mikhailov-Hodographen durch den Ursprung. Aus den Ausdrücken (1.10) kann man die Abhängigkeit der Amplitude und Frequenz der Eigenschwingungen von den Parametern des Systems ermitteln, beispielsweise vom Transmissionskoeffizienten k des linearen Teils des Systems. Dazu ist es notwendig, den Transmissionskoeffizienten k als variablen Wert in den Gleichungen (1.10) zu berücksichtigen, d.h. Schreiben Sie diese Gleichung in der Form:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 ( 1.11)

wobei ω o und A o die mögliche Frequenz und Amplitude der Eigenschwingungen sind.

Dann werden die Real- und Imaginärteile der Gleichung (1.11) auf Null gesetzt.

Mit dem für uns interessanten Parameter k können wir eine Stabilitätsgrenze (D-Partition) konstruieren (Abb. 11).

Abbildung 14 – D-Partition der Ebene des Parameters K eines nichtlinearen automatischen Steuerungssystems

Aus der Analyse von Abb. 14 können wir schließen, dass in Region 1 Selbstschwingungen unmöglich sind und der kritische Koeffizient gleich kr ist, und in Region 2 konvergieren die Schwingungen zur Amplitude A o und Frequenz ω o (selbstschwingender Modus), je nachdem die Anfangsbedingungen. Anhand des Diagramms in Abb. 11 können Sie den Übertragungskoeffizienten k auswählen, bei dem Amplitude und Frequenz möglicher Eigenschwingungen akzeptable Werte haben oder ganz fehlen.

In der Praxis wird häufiger die grafisch-analytische Methode zur Bestimmung der möglichen Amplituden und Frequenzen von Eigenschwingungen in nichtlinearen Systemen eingesetzt. Gemäß dem Nyquist-Stabilitätskriterium treten ungedämpfte Schwingungen in einem linearen System dann auf, wenn die Amplituden-Phasen-Kennlinie eines Open-Loop-Systems durch einen Punkt mit den Koordinaten verläuft. Diese Bedingung ist auch die Bedingung für die Existenz von Selbstschwingungen in einem harmonisch linearisierten nichtlinearen System (Abb. 11), d. h.

1 + W lch (jω)*W ne (jω,A)=0 (1.13)

oder W lch (jω)=-1/W ne (jω,A). (1.14)

Die Lösung der Gleichung (1.14) bezüglich der Frequenz und Amplitude der Eigenschwingungen kann grafisch als Schnittpunkt des Hodographen der Frequenzcharakteristik des linearen Teils des Systems Wlch(jω) und des Hodographen der inversen Charakteristik erhalten werden des nichtlinearen Teils -1/Wne(jω,A) (Abb. 15). Wenn sich diese Hodographen nicht schneiden, existiert das Selbstoszillationsregime im untersuchten System nicht.

Abbildung 15 – Hodogramme der linearen und nichtlinearen Teile des Systems

Für die Stabilität eines selbstoszillierenden Modus mit der Frequenz ω 0 und der Amplitude A 0 ist es erforderlich, dass der Punkt auf dem Hodographen des nichtlinearen Teils M der erhöhten Amplitude A 0 +ΔA im Vergleich zum Wert am Punkt entspricht Der Schnittpunkt der Hodographen wird nicht durch den Hodographen des Frequenzgangs des linearen Teils des Systems abgedeckt, da sonst die Selbstschwingungen instabil sind. In Abb. Abbildung 15 zeigt ein Beispiel für die Position von Hodographen für den Fall, dass in einem nichtlinearen System stabile Selbstoszillationen vorliegen. Die Parameter der Selbstschwingungen am Eingang des nichtlinearen Elements werden am Schnittpunkt der Hodographen bestimmt: Frequenz aus W lch (jω) und Amplitude aus W ne -1 (A). Die Untersuchung nichtlinearer Systeme ist mit logarithmischen Frequenzverläufen (Template-Methode) möglich. Die Methode der harmonischen Balance ermöglicht die Synthese nichtlinearer automatischer Steuerungssysteme, um die erforderlichen Qualitätsindikatoren durch Änderung der Parameter entweder des linearen Teils oder des nichtlinearen Elements sicherzustellen.

Beispiel

Bestimmen Sie die mögliche Frequenz von Selbstschwingungen, wenn Sie eine eindeutige Nichtlinearität in Form eines Zweistellungsrelais in ein automatisches Steuersystem einführen, das über einen LFC der Form verfügt (Abbildung 16).

Abbildung 16 – LFC des linearen Teils

Lösung Es ist bekannt, dass die Kennlinie - 1/W ne (jω,A) eines einwertigen nichtlinearen Elements (Zweipunktrelais) vollständig auf der negativen reellen Halbachse liegt, daher ist die a.f.h. der lineare Teil W lch (jω) kann ihn nur in einem Winkel von -180° schneiden. Die Frequenz möglicher Selbstschwingungen wird durch W lch (jω) und l.f.h bestimmt. (Abb. 7.8) zeigt, dass die Phasenwinkelverschiebung -180° bei einer Frequenz von ω = 300 rad/s auftritt. Dies ist die mögliche Frequenz von Selbstoszillationen, wenn eindeutige Nichtlinearität in das ACS eingeführt wird.

Die Methode der harmonischen Linearisierung wird zur Analyse transienter Betriebsbedingungen, zur Beurteilung der Stabilität des Systems und der Möglichkeit des Auftretens periodischer Schwingungen verwendet.

3) Statistische Linearisierungsmethode.

Die Methode basiert darauf, nichtlineare Transformationen von Prozessen durch statistisch äquivalente lineare Transformationen zu ersetzen. Das nichtlineare Element wird durch ein lineares Äquivalent ersetzt (Abbildung 17). Durch die Ersetzung wird das System linearisiert, was den Einsatz von Methoden zur Untersuchung linearer Systeme ermöglicht.

Das Ersetzen einer nichtlinearen Transformation durch eine lineare ist nur in mancher Hinsicht ungefähr und fair. Daher besteht bei Verwendung unterschiedlicher Kriterien keine eindeutige Gleichwertigkeit.

Insbesondere dann, wenn die Nichtlinearität durch eine trägheitsfreie Abhängigkeit der Form bestimmt ist

Es werden zwei Äquivalenzkriterien verwendet.

Abbildung 17

Das erste Kriterium setzt Gleichheit am Ausgang des nichtlinearen Elements und seines linearen Äquivalents der mathematischen Erwartungen und Varianzen der Prozesse voraus.

Das zweite Kriterium ist das Minimum der mittleren quadratischen Differenz zwischen den Prozessen am Ausgang des nichtlinearen Elements und seinem linearen Äquivalent.

Stellen wir den Prozess am Ein- und Ausgang eines nichtlinearen Elements in der Form dar:

wo ist die mathematische Erwartung des Prozesses am Ausgang des NE;

─ zentrierte Zufallskomponente.

Der Prozess am Ausgang des linearen Äquivalents wird wie folgt dargestellt:

wobei ─ linearer äquivalenter Transmissionskoeffizient gemäß mathematischer Erwartung; ─ Transmissionskoeffizient für die zentrierte Zufallskomponente.

Verwenden wir das erste Äquivalenzkriterium:

Aus diesen Gleichungen finden wir

wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte des Prozesses am Eingang des nichtlinearen Elements ist.

Transmissionskoeffizient des linearen Äquivalents für die zentrierte Zufallskomponente (nach dem ersten Kriterium).

Nach dem zweiten Äquivalenzkriterium:

Um festzustellen, für welche Äquivalenzbedingung die Bedingung erfüllt ist, ermitteln wir die partiellen Ableitungen und setzen sie mit Null gleich:

Bei der Berechnung dieser Koeffizienten wird davon ausgegangen, dass die Eingabeverteilung normal ist:

Nachdem wir die Mengen bestimmt haben

Ersetzen Sie für typische Nichtlinearitäten diese durch lineare äquivalente Übertragungskoeffizienten und analysieren Sie das System mit linearen Methoden.

Für die Haupttypen der Nichtlinearitäten und die Normalverteilung des Eingabeprozesses werden die Koeffizienten berechnet und in Form von Tabellenwerten dargestellt. Insbesondere für die Eigenschaften des Relaistyps (Abb. 19)

Abbildung 19 – Eigenschaften des Relaistyps:

die Koeffizienten sind gleich.

„Theorie der automatischen Steuerung“

„Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme“

1. Methode der Differentialgleichungen

Die Differentialgleichung eines geschlossenen nichtlinearen Systems n-ter Ordnung (Abb. 1) lässt sich in ein System von n-Differentialgleichungen erster Ordnung in der Form umwandeln:

wobei: – Variablen, die das Verhalten des Systems charakterisieren (eine davon kann eine kontrollierte Variable sein); – nichtlineare Funktionen; u – Einfluss einstellen.

Typischerweise werden diese Gleichungen in endlichen Differenzen geschrieben:

Wo sind die Anfangsbedingungen?

Wenn die Abweichungen nicht groß sind, kann dieses System als System algebraischer Gleichungen gelöst werden. Die Lösung kann grafisch dargestellt werden.

2. Phasenraummethode

Betrachten wir den Fall, dass der äußere Einfluss Null ist (U = 0).

Die Bewegung des Systems wird durch eine Änderung seiner Koordinaten – als Funktion der Zeit – bestimmt. Die Werte charakterisieren zu jedem Zeitpunkt den Zustand (die Phase) des Systems und bestimmen die Koordinaten des Systems mit n-Achsen und können als Koordinaten eines (darstellenden) Punktes M dargestellt werden (Abb. 2).

Der Phasenraum ist der Koordinatenraum des Systems.

Wenn sich die Zeit t ändert, bewegt sich Punkt M entlang einer Trajektorie, die Phasentrajektorie genannt wird. Wenn wir die Anfangsbedingungen ändern, erhalten wir eine Familie von Phasentrajektorien, die als Phasenporträt bezeichnet wird. Das Phasenporträt bestimmt die Art des Übergangsprozesses in einem nichtlinearen System. Das Phasenporträt weist spezielle Punkte auf, zu denen die Phasentrajektorien des Systems tendieren oder sich davon entfernen (es können mehrere davon sein).

Das Phasenporträt kann geschlossene Phasentrajektorien enthalten, die als Grenzzyklen bezeichnet werden. Grenzzyklen kennzeichnen Selbstschwingungen im System. Die Phasentrajektorien schneiden sich nirgendwo, außer an speziellen Punkten, die die Gleichgewichtszustände des Systems charakterisieren. Grenzzyklen und Gleichgewichtszustände können stabil oder instabil sein.

Das Phasenporträt charakterisiert das nichtlineare System vollständig. Ein charakteristisches Merkmal nichtlinearer Systeme ist das Vorhandensein verschiedener Bewegungsarten, mehrerer Gleichgewichtszustände und das Vorhandensein von Grenzzyklen.

Die Phasenraummethode ist eine grundlegende Methode zur Untersuchung nichtlinearer Systeme. Es ist viel einfacher und bequemer, nichtlineare Systeme auf der Phasenebene zu untersuchen, als transiente Prozesse im Zeitbereich darzustellen.

Geometrische Konstruktionen im Raum sind weniger visuell als Konstruktionen auf einer Ebene, wenn das System zweiter Ordnung ist und die Phasenebenenmethode verwendet wird.

Anwendung der Phasenebenenmethode für lineare Systeme

Lassen Sie uns die Beziehung zwischen der Art des Übergangsprozesses und den Kurven der Phasentrajektorien analysieren. Phasentrajektorien können entweder durch Integration der Phasentrajektoriengleichung oder durch Lösen der ursprünglichen Differentialgleichung 2. Ordnung erhalten werden.

Das System sei gegeben (Abb. 3).

Betrachten wir die Freizügigkeit des Systems. In diesem Fall: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Im Allgemeinen hat die Differentialgleichung die Form

Wo (1)

Dies ist eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung; ihre charakteristische Gleichung ist gleich

. (2)

Aus den Beziehungen werden die Wurzeln der charakteristischen Gleichung bestimmt

(3)

Stellen wir eine Differentialgleichung 2. Ordnung in Form eines Systems dar

Gleichungen 1. Ordnung:

(4)

Wo ist die Änderungsrate der kontrollierten Variablen?

Im betrachteten linearen System repräsentieren die Variablen x und y die Phasenkoordinaten. Wir konstruieren das Phasenporträt im Raum der Koordinaten x und y, d.h. auf der Phasenebene.

Wenn wir die Zeit aus Gleichung (1) ausschließen, erhalten wir die Gleichung von Integralkurven oder Phasentrajektorien.

. (5)

Dies ist eine trennbare Gleichung

Betrachten wir mehrere Fälle

Die Dateien GB_prog.m und GB_mod.mdl sowie die Analyse der spektralen Zusammensetzung des periodischen Modus am Ausgang des linearen Teils – unter Verwendung der Dateien GB_prog.m und R_Fourie.mdl. Inhalt der Datei GB_prog.m: % Untersuchung nichtlinearer Systeme mit der Methode der harmonischen Balance % Verwendete Dateien: GB_prog.m, GB_mod.mdl und R_Fourie.mdl. % Verwendete Bezeichnungen: NE – nichtlineares Element, LP – linearer Teil. %Alles löschen...

Trägheitsfrei im zulässigen (von oben begrenzten) Frequenzbereich, darüber hinaus wird es träge. Je nach Art der Charakteristik werden nichtlineare Elemente mit symmetrischer und asymmetrischer Charakteristik unterschieden. Eine Eigenschaft, die nicht von der Richtung der sie bestimmenden Größen abhängt, heißt symmetrisch, d.h. Symmetrie relativ zum Ursprung des Systems haben ...