Derivat teori. Läser derivatan grafen

B8. Unified State Exam

1. Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och en tangent till denna graf ritad vid punkten med abskissan x0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x0. Svar: 2

Svar: -5

På intervallet (–9;4).

Svar: 2

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) vid punkten x0 Svar: 0,5

5. Hitta tangenspunkten för linjen y = 3x + 8 och grafen för funktionen y = x3+x2-5x-4. I ditt svar, ange abskissan för denna punkt. Svar: -2

Bestäm antalet heltalsvärden för argumentet för vilka derivatan av funktionen f(x) är negativ. Svar: 4

Svar: 2

Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f(x) är parallell med eller sammanfaller med den räta linjen y=5–x. Svar: 3

Intervall (-8; 3).

Rak linje y = -20. Svar: 2

10.

Svar: -0,5

Svar: 1

12. Figuren visar grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0.

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x0. Svar: 0,5

13. Figuren visar grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0.

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x0. Svar: -0,25

14.

Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f(x) är parallell med eller sammanfaller med den räta linjen y = x+7. Svar: 4

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x0. Svar: -2

16.

intervall (-14;9).

Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) på segmentet [-12;7]. Svar: 3

på intervallet (-10;8).

Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(x) på segmentet [-9;7]. Svar: 4

18. Linjen y = 5x-7 rör vid grafen för funktionen y = 6x2 + bx-1 i en punkt med en abskissa mindre än 0. Hitta b. Svar: 17

Svar:-0,25

Svar: 6

21. Hitta tangenten till grafen för funktionen y=x2+6x-7, parallell med den räta linjen y=5x+11. I ditt svar, ange abskissan för tangenspunkten. Svar: -0,5

22.

Svar: 4

23. f "(x) på intervallet (-16;4).

På segmentet [-11;0] hittar du antalet maximala poäng för funktionen. Svar: 1

B8 Grafer över funktioner, derivator av funktioner. Funktionsforskning . Unified State Exam

1. Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och en tangent till denna graf ritad vid punkten med abskissan x0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) vid punkten x0.

2. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-6; 5).

Vid vilken punkt av segmentet [-5; -1] f(x) tar det minsta värdet?

3. Figuren visar en graf över derivatan av funktionen y = f(x), definierad

På intervallet (–9;4).

Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f(x) är parallell med den räta linjen

y = 2x-17 eller sammanfaller med det.

4. Figuren visar grafen för funktionen y = f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0.

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x0

5. Hitta tangenspunkten för linjen y = 3x + 8 och grafen för funktionen y = x3+x2-5x-4. I ditt svar, ange abskissan för denna punkt.

6. Figuren visar en graf över funktionen y = f(x), definierad på intervallet (-7; 5).

Bestäm antalet heltalsvärden för argumentet för vilka derivatan av funktionen f(x) är negativ.

7. Figuren visar en graf över funktionen y=f "(x), definierad på intervallet (-8; 8).

Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(x) som hör till segmentet [-4; 6].

8. Figuren visar en graf över funktionen y = f "(x), definierad på intervallet (-8; 4).

Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f(x) är parallell med eller sammanfaller med den räta linjen y=5–x.

9. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen y = f(x), definierad på

Intervall (-8; 3).

Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen är parallell

Rak linje y = -20.

10. Figuren visar grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0.

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) vid punkten x0.

11 . Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-9;9).

Hitta antalet minimipunkter för funktionen $f(x)$ på segmentet [-6;8]. 1

12. Figuren visar grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0.

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) vid punkten x0.

13. Figuren visar grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0.

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) vid punkten x0.

14. Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-6;8).

Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f(x) är parallell med eller sammanfaller med den räta linjen y = x+7.

15 . Figuren visar grafen för funktionen y = f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0.

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) vid punkten x0.

16. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på

intervall (-14;9).

Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) på segmentet [-12;7].

17 . Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x), definierad

på intervallet (-10;8).

Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(x) på segmentet [-9;7].

18. Linjen y = 5x-7 rör vid grafen för funktionen y = 6x2 + bx-1 i en punkt med en abskissa mindre än 0. Hitta b.

19 . Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0.

Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) vid punkten x0.

20 . Hitta antalet punkter i intervallet (-1;12) där derivatan av funktionen y = f(x) som visas i grafen är lika med 0.

21. Hitta tangenten till grafen för funktionen y=x2+6x-7, parallell med den räta linjen y=5x+11. I ditt svar, ange abskissan för tangenspunkten.

22. Figuren visar en graf över funktionen y=f(x). Hitta antalet heltalspunkter i intervallet (-2;11) där derivatan av funktionen f(x) är positiv.

23. Figuren visar grafen för funktionen y= f "(x) på intervallet (-16;4).

På segmentet [-11;0] hittar du antalet maximala poäng för funktionen.

Hallå! Låt oss göra det kommande Unified State Examen med högkvalitativa systematiska förberedelser och envishet i att slipa vetenskapens granit!!! IDet finns en tävlingsuppgift i slutet av inlägget, var först! I en av artiklarna i det här avsnittet, du och jag, där grafen för funktionen gavs och olika frågor ställdes angående extrema, intervall för ökning (minskning) och annat.

I den här artikeln kommer vi att överväga problemen som ingår i Unified State Examination i matematik, där en graf av derivatan av en funktion ges och följande frågor ställs:

1. Vid vilken punkt i ett givet segment får funktionen det största (eller minsta) värdet.
2. Hitta antalet maximala (eller minimum) poäng för funktionen som hör till ett givet segment.
3. Hitta antalet extrema punkter för funktionen som hör till ett givet segment.
4. Hitta extremumpunkten för den funktion som hör till det givna segmentet.
5. Hitta intervallen för ökande (eller minskande) funktion och i svaret ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.
6. Hitta intervallen för ökning (eller minskning) av funktionen. I ditt svar, ange längden på det största av dessa intervall.
7. Hitta antalet punkter där tangenten till funktionens graf är parallell med eller sammanfaller med en linje av formen y = kx + b.
8. Hitta abskissan för den punkt där tangenten till funktionens graf är parallell med abskissaxeln eller sammanfaller med den.

Det kan finnas andra frågor, men de kommer inte att orsaka dig några svårigheter om du förstår och (länkar tillhandahålls till artiklar som ger den information som behövs för lösningen, jag rekommenderar att du upprepar dem).

Grundläggande information (kortfattat):

1. Derivatan med ökande intervall har ett positivt tecken.

Om derivatan vid en viss punkt från ett visst intervall har ett positivt värde, så ökar grafen för funktionen på detta intervall.

2. Med avtagande intervall har derivatan ett negativt tecken.

Om derivatan vid en viss punkt från ett visst intervall har ett negativt värde, så minskar grafen för funktionen på detta intervall.

3. Derivatan i punkt x är lika med lutningen på tangenten som ritas till grafen för funktionen i samma punkt.

4. Vid punkterna för extremum (maximum-minimum) för funktionen är derivatan lika med noll. Tangenten till grafen för funktionen vid denna punkt är parallell med x-axeln.

Detta måste tydligt förstås och komma ihåg!!!

Den derivata grafen "förvirrar" många människor. Vissa människor misstag det av misstag för grafen för själva funktionen. Därför, i sådana byggnader, där du ser att en graf ges, fokusera omedelbart din uppmärksamhet i tillståndet på det som är givet: grafen för funktionen eller grafen för funktionens derivata?

Om det är en graf av derivatan av en funktion, behandla den som en "reflektion" av själva funktionen, som helt enkelt ger dig information om den funktionen.

Tänk på uppgiften:

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierat på intervallet (–2;21).

Vi kommer att svara på följande frågor:

1. Vid vilken punkt på segmentet är funktionen f(X) tar det största värdet.

På ett givet intervall är derivatan av en funktion negativ, vilket betyder att funktionen på detta intervall minskar (den minskar från intervallets vänstra gräns till höger). Således uppnås det största värdet av funktionen på segmentets vänstra kant, d.v.s. vid punkt 7.

Svar: 7

2. Vid vilken punkt på segmentet är funktionen f(X)

Från denna derivata graf kan vi säga följande. På ett givet intervall är derivatan av funktionen positiv, vilket betyder att funktionen på detta intervall ökar (den ökar från intervallets vänstra gräns till höger). Således uppnås det minsta värdet av funktionen på segmentets vänstra kant, det vill säga vid punkten x = 3.

Svar: 3

3. Hitta antalet maximala poäng för funktionen f(X)

Maxpoängen motsvarar de punkter där derivattecknet ändras från positivt till negativt. Låt oss överväga var tecknet ändras på detta sätt.

På segmentet (3;6) är derivatan positiv, på segmentet (6;16) är den negativ.

På segmentet (16;18) är derivatan positiv, på segmentet (18;20) är den negativ.

På ett givet segment har funktionen alltså två maxpunkter x = 6 och x = 18.

Svar: 2

4. Hitta antalet minimipunkter för funktionen f(X), som tillhör segmentet.

Minsta poäng motsvarar punkter där derivattecknet ändras från negativt till positivt. Vår derivata är negativ på intervallet (0;3) och positiv på intervallet (3;4).

Således har funktionen på segmentet endast en minimipunkt x = 3.

*Var försiktig när du skriver ner svaret - antalet poäng registreras, inte x-värdet kan ett sådant misstag göras på grund av ouppmärksamhet.

Svar: 1

5. Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(X), som tillhör segmentet.

Notera vad du behöver hitta kvantitet extrema punkter (dessa är både max- och minimumpunkter).

Extremumpunkter motsvarar punkter där derivatans tecken ändras (från positiv till negativ eller vice versa). I grafen som ges i villkoret är dessa nollorna för funktionen. Derivaten försvinner vid punkterna 3, 6, 16, 18.

Funktionen har alltså 4 extrema punkter på segmentet.

Svar: 4

6. Hitta intervallen för ökande funktion f(X)

Ökningsintervall för denna funktion f(X) motsvarar de intervall på vilka dess derivata är positiv, det vill säga intervallen (3;6) och (16;18). Observera att intervallets gränser inte ingår i det (runda parenteser - gränser ingår inte i intervallet, hakparenteser - ingår). Dessa intervall innehåller heltalspunkter 4, 5, 17. Deras summa är: 4 + 5 + 17 = 26

Svar: 26

7. Hitta intervallen för minskande funktion f(X) vid ett givet intervall. I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Minska intervaller för en funktion f(X) motsvarar intervall där derivatan av funktionen är negativ. I detta problem är dessa intervaller (–2;3), (6;16), (18:21).

Dessa intervall innehåller följande heltalspunkter: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Deras summa är:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Svar: 140

*Var uppmärksam på villkoret: om gränserna ingår i intervallet eller inte. Om gränser ingår måste dessa gränser beaktas i de intervall som beaktas i lösningsprocessen.

8. Hitta intervallen för ökande funktion f(X)

Intervaller med ökande funktion f(X) motsvarar intervall där derivatan av funktionen är positiv. Vi har redan angett dem: (3;6) och (16:18). Den största av dem är intervallet (3;6), dess längd är 3.

Svar: 3

9. Hitta intervallen för minskande funktion f(X). I ditt svar, ange längden på den största av dem.

Minska intervaller för en funktion f(X) motsvarar intervall där derivatan av funktionen är negativ. Vi har redan angett dem, dessa är intervallen (–2;3), (6;16), (18;21), deras längder är respektive 5, 10, 3.

Längden på den största är 10.

Svar: 10

10. Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f(X) parallell med eller sammanfaller med den räta linjen y = 2x + 3.

Värdet på derivatan vid tangenspunkten är lika med tangentens lutning. Eftersom tangenten är parallell med den räta linjen y = 2x + 3 eller sammanfaller med den, är deras vinkelkoefficienter lika med 2. Det betyder att det är nödvändigt att hitta antalet punkter där y′(x 0) = 2. Geometriskt motsvarar detta antalet skärningspunkter för derivatagrafen med den räta linjen y = 2. Det finns 4 sådana punkter på detta intervall.

Svar: 4

11. Hitta extremumpunkten för funktionen f(X), som tillhör segmentet.

Extremumpunkten för en funktion är den punkt där dess derivata är lika med noll, och i närheten av denna punkt ändrar derivatan tecken (från positiv till negativ eller vice versa). På segmentet skär derivatagrafen x-axeln, derivatan ändrar tecken från negativ till positiv. Därför är punkten x = 3 en extrempunkt.

Svar: 3

12. Hitta abskissan för de punkter där tangenterna till grafen y = f (x) är parallella med abskissaxeln eller sammanfaller med den. Ange den största av dem i ditt svar.

Tangenten till grafen y = f (x) kan vara parallell med abskissaxeln eller sammanfalla med den, endast vid punkter där derivatan är lika med noll (dessa kan vara extrema punkter eller stationära punkter i närheten av vilka derivatan gör inte ändra dess tecken). Denna graf visar att derivatan är noll vid punkterna 3, 6, 16,18. Den största är 18.

Du kan strukturera ditt resonemang så här:

Värdet på derivatan vid tangenspunkten är lika med tangentens lutning. Eftersom tangenten är parallell med eller sammanfaller med x-axeln är dess lutning 0 (tangensen för en vinkel på noll grader är faktiskt noll). Därför letar vi efter punkten där lutningen är lika med noll, och därför är derivatan lika med noll. Derivatan är lika med noll vid den punkt där dess graf skär x-axeln, och dessa är punkterna 3, 6, 16,18.

Svar: 18

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierat på intervallet (–8;4). Vid vilken punkt i segmentet [–7;–3] finns funktionen f(X) tar det minsta värdet.

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierat på intervallet (–7;14). Hitta antalet maximala poäng för funktionen f(X), tillhörande segmentet [–6;9].

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierad på intervallet (–18;6). Hitta antalet minimipunkter för funktionen f(X), tillhörande segmentet [–13;1].

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierat på intervallet (–11; –11). Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(X), tillhörande segmentet [–10; -10].

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierad på intervallet (–7;4). Hitta intervallen för ökande funktion f(X). I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierat på intervallet (–5;7). Hitta intervallen för minskande funktion f(X). I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierad på intervallet (–11;3). Hitta intervallen för ökande funktion f(X). I ditt svar, ange längden på den största av dem.

F Figuren visar en graf

Villkoren för problemet är desamma (vilket vi ansåg). Hitta summan av tre tal:

1. Summan av kvadraterna av extrema för funktionen f (x).

2. Skillnaden mellan kvadraterna av summan av maximipunkterna och summan av minimipunkterna för funktionen f (x).

3. Antalet tangenter till f (x) parallellt med den räta linjen y = –3x + 5.

Den första som ger rätt svar kommer att få ett incitamentpris på 150 rubel. Skriv dina svar i kommentarerna. Om det här är din första kommentar på bloggen kommer den inte att dyka upp omedelbart, utan lite senare (oroa dig inte, tiden då kommentaren skrevs registreras).

Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitsikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om webbplatsen på sociala nätverk.

Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet [–5; 6]. Hitta antalet punkter på grafen för f(x), vid vilka tangenten som ritas till grafen för funktionen sammanfaller med eller är parallell med x-axeln

Figuren visar en graf över derivatan av den differentierbara funktionen y = f(x).

Hitta antalet punkter på funktionsgrafen som hör till segmentet [–7; 7], där tangenten till funktionens graf är parallell med den räta linjen som anges av ekvationen y = –3x.

Materialpunkt M börjar röra sig från punkt A och rör sig i en rak linje i 12 sekunder. Grafen visar hur avståndet från punkt A till punkt M förändrades över tiden. Abskissaxeln visar tiden t i sekunder, och ordinataaxeln visar avståndet s i meter. Bestäm hur många gånger under rörelsen hastigheten för punkt M vände till noll (ta inte hänsyn till början och slutet av rörelsen).

Figuren visar sektioner av grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x = 0. Det är känt att denna tangent är parallell med den räta linjen som går genom grafens punkter. med abskissan x = -2 och x = 3. Använd denna, hitta värdet på derivatan f"(o).

Figuren visar en graf av y = f’(x) - derivatan av funktionen f(x), definierad på segmentet (−11; 2). Hitta abskissan för den punkt där tangenten till grafen för funktionen y = f(x) är parallell med eller sammanfaller med abskissan.

En materialpunkt rör sig rätlinjigt enligt lagen x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, där x är avståndet från referenspunkten i meter, t är tiden i sekunder, mätt från början av rörelsen. Vid vilken tidpunkt (i sekunder) var dess hastighet lika med 2 m/s?

En materialpunkt rör sig längs en rät linje från den ursprungliga till slutpositionen. Figuren visar en graf över dess rörelse. Abskissaxeln visar tiden i sekunder, och ordinataaxeln visar avståndet från punktens initiala position (i meter). Hitta medelhastigheten för punkten. Ge ditt svar i meter per sekund.

Funktionen y = f (x) definieras på intervallet [-4; 4]. Figuren visar en graf över dess derivata. Hitta antalet punkter på grafen för funktionen y = f (x), tangenten vid vilken bildar en vinkel på 45° med Ox-axelns positiva riktning.

Funktionen y = f (x) definieras på intervallet [-2; 4]. Figuren visar en graf över dess derivata. Hitta abskissan för punkten i grafen för funktionen y = f (x), vid vilken den tar det minsta värdet på segmentet [-2; -0,001].

Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och en tangent till denna graf ritad i punkt x0. Tangenten ges av ekvationen y = -2x + 15. Hitta värdet på derivatan av funktionen y = -(1/4)f(x) + 5 i punkten x0.

På grafen för den differentierbara funktionen y = f (x) är sju punkter markerade: x1,.., x7. Hitta alla markerade punkter där derivatan av funktionen f(x) är större än noll. I ditt svar, ange antalet av dessa punkter.

Figuren visar en graf y = f"(x) av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-10; 2). Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f är (x) är parallell med den räta linjen y = -2x-11 eller sammanfaller med den.

Figuren visar en graf av y=f"(x) - derivatan av funktionen f(x). Det finns nio punkter markerade på abskissaxeln: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Hur många av dessa punkter tillhör intervallen för minskande funktion f(x)?

Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och en tangent till denna graf ritad i punkt x0. Tangenten ges av ekvationen y = 1,5x + 3,5. Hitta värdet på derivatan av funktionen y = 2f(x) - 1 i punkten x0.

Figuren visar en graf av y=F(x) för en av antiderivaten av funktionen f (x). Det finns sex punkter markerade på grafen med abskiss x1, x2, ..., x6. Vid hur många av dessa punkter tar funktionen y=f(x) negativa värden?

Figuren visar en graf över bilen som rör sig längs rutten. Abskissaxeln visar tiden (i timmar), och ordinataaxeln visar tillryggalagd sträcka (i kilometer). Hitta medelhastigheten för bilen på denna rutt. Ge ditt svar i km/h

En materialpunkt rör sig rätlinjigt enligt lagen x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, där x är avståndet från referenspunkten (i meter), t är tiden rörelse (i sekunder). Hitta dess hastighet (i meter per sekund) vid tiden t=6 s

Figuren visar en graf av antiderivatan y = F(x) för någon funktion y = f(x), definierad på intervallet (-6; 7). Använd figuren och bestäm antalet nollor för funktionen f(x) i detta intervall.

Figuren visar en graf av y = F(x) för en av antiderivatorna för någon funktion f(x), definierad på intervallet (-7; 5). Använd figuren och bestäm antalet lösningar till ekvationen f(x) = 0 på intervallet [- 5; 2].

Figuren visar grafen för den differentierbara funktionen y=f(x). Det finns nio punkter markerade på x-axeln: x1, x2, ... x9. Hitta alla markerade punkter där derivatan av funktionen f(x) är negativ. I ditt svar, ange antalet av dessa punkter.

En materialpunkt rör sig rätlinjigt enligt lagen x(t)=12t^3−3t^2+2t, där x är avståndet från referenspunkten i meter, t är tiden i sekunder mätt från början av rörelsen. Hitta dess hastighet (i meter per sekund) vid tiden t=6 s.

Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och en tangent till denna graf ritad vid punkt x0. Tangentekvationen visas i figuren. hitta värdet på derivatan av funktionen y=4*f(x)-3 i punkten x0.

Låt oss föreställa oss en rak väg som går genom ett kuperat område. Det vill säga att den går upp och ner, men svänger inte åt höger eller vänster. Om axeln är riktad horisontellt längs vägen och vertikalt, kommer väglinjen att vara mycket lik grafen för någon kontinuerlig funktion:

Axeln är en viss nivå av nollhöjd; i livet använder vi havsnivån som den.

När vi går framåt längs en sådan väg rör vi oss också upp eller ner. Vi kan också säga: när argumentet ändras (rörelse längs abskissaxeln), ändras värdet på funktionen (rörelse längs ordinataaxeln). Låt oss nu tänka på hur man bestämmer "brantheten" på vår väg? Vilket värde kan detta vara? Det är väldigt enkelt: hur mycket höjden kommer att förändras när man rör sig framåt en viss sträcka. Faktum är att på olika delar av vägen, när vi rör oss framåt (längs x-axeln) med en kilometer, kommer vi att stiga eller falla med ett annat antal meter i förhållande till havsnivån (längs y-axeln).

Låt oss beteckna framsteg (läs "delta x").

Den grekiska bokstaven (delta) används ofta som prefix i matematik, vilket betyder "förändring". Det vill säga - detta är en förändring i kvantitet, - en förändring; vad är det då? Det stämmer, en förändring i storlek.

Viktigt: ett uttryck är en enda helhet, en variabel. Separera aldrig "delta" från "x" eller någon annan bokstav! Det vill säga till exempel.

Så vi har gått framåt, horisontellt, förbi. Om vi jämför vägens linje med grafen för en funktion, hur betecknar vi då stigningen? Visst, . Det vill säga när vi går framåt stiger vi högre.

Värdet är lätt att beräkna: om vi i början var på en höjd och efter att ha flyttat befann vi oss på en höjd, då. Om slutpunkten är lägre än startpunkten blir den negativ - det betyder att vi inte stiger, utan sjunker.

Låt oss återgå till "branthet": det här är ett värde som visar hur mycket (brant) höjden ökar när man går framåt en enhet av avstånd:

Låt oss anta att på en del av vägen, när man kör en kilometer framåt, stiger vägen upp med en kilometer. Då är lutningen på denna plats lika stor. Och om vägen, medan den gick framåt med m, sjönk med km? Då är lutningen lika.

Låt oss nu titta på toppen av en kulle. Om du tar början av sträckan en halv kilometer före toppen, och slutet en halv kilometer efter den, kan du se att höjden är nästan densamma.

Det vill säga, enligt vår logik visar det sig att lutningen här är nästan lika med noll, vilket uppenbarligen inte är sant. Drygt en sträcka på kilometer kan mycket förändras. Det är nödvändigt att överväga mindre områden för en mer adekvat och korrekt bedömning av brant. Om du till exempel mäter förändringen i höjd när du rör dig en meter, blir resultatet mycket mer exakt. Men även denna noggrannhet kanske inte räcker för oss - trots allt, om det finns en stolpe mitt på vägen kan vi helt enkelt passera den. Vilket avstånd ska vi välja då? Centimeter? Millimeter? Mindre är bättre!

I verkligheten är det mer än tillräckligt att mäta avstånd till närmaste millimeter. Men matematiker strävar alltid efter perfektion. Därför uppfanns konceptet oändligt liten, det vill säga det absoluta värdet är mindre än något tal som vi kan namnge. Till exempel säger du: en biljondel! Hur mycket mindre? Och du dividerar detta tal med - och det blir ännu mindre. Och så vidare. Om vi vill skriva att en storhet är oändlig så skriver vi så här: (vi läser "x tenderar att bli noll"). Det är väldigt viktigt att förstå att detta nummer inte är noll! Men väldigt nära det. Det betyder att du kan dividera med det.

Begreppet motsats till infinitesimal är oändligt stort (). Du har förmodligen redan stött på det när du arbetade med ojämlikheter: detta nummer är modulo större än något tal du kan tänka dig. Om du kommer på det största möjliga talet, multiplicera det bara med två så får du ett ännu större tal. Och oändligheten är ännu större än vad som händer. Faktum är att det oändligt stora och det oändligt lilla är det omvända till varandra, det vill säga vid, och vice versa: vid.

Låt oss nu gå tillbaka till vår väg. Den idealiskt beräknade lutningen är lutningen som beräknas för ett oändligt litet segment av banan, det vill säga:

Jag noterar att med en infinitesimal förskjutning kommer höjdförändringen också att vara oändlig. Men låt mig påminna dig om att infinitesimal inte betyder lika med noll. Om man delar infinitesimala tal med varandra kan man få ett helt vanligt tal, till exempel . Det vill säga, ett litet värde kan vara exakt gånger större än ett annat.

Vad är allt detta till för? Vägen, brantheten... Vi ska inte på ett bilrally, men vi lär ut matematik. Och i matematik är allt exakt detsamma, bara kallat annorlunda.

Begreppet derivat

Derivatan av en funktion är förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet för en oändlig ökning av argumentet.

Stegvis i matematik kallar de förändring. I vilken utsträckning argumentet () ändras när det rör sig längs axeln kallas argumentökning och betecknas hur mycket funktionen (höjden) har förändrats när man rör sig framåt längs axeln med ett avstånd funktionsökning och är utsedd.

Så, derivatan av en funktion är förhållandet till när. Vi betecknar derivatan med samma bokstav som funktionen, endast med ett primtal uppe till höger: eller helt enkelt. Så låt oss skriva derivatformeln med dessa notationer:

Som i analogin med vägen, här när funktionen ökar är derivatan positiv och när den minskar är den negativ.

Är det möjligt för derivatan att vara lika med noll? Säkert. Om vi till exempel kör på en plan horisontell väg är brantheten noll. Och det är sant, höjden förändras inte alls. Så är det med derivatan: derivatan av en konstant funktion (konstant) är lika med noll:

eftersom ökningen av en sådan funktion är lika med noll för någon.

Låt oss komma ihåg exemplet på en kulle. Det visade sig att det var möjligt att arrangera segmentets ändar på motsatta sidor av vertexet på ett sådant sätt att höjden vid ändarna visar sig vara densamma, det vill säga segmentet är parallellt med axeln:

Men stora segment är ett tecken på felaktig mätning. Vi kommer att höja vårt segment parallellt med sig självt, sedan kommer dess längd att minska.

Så småningom, när vi är oändligt nära toppen, kommer längden på segmentet att bli oändligt liten. Men samtidigt förblev den parallell med axeln, det vill säga höjdskillnaden vid dess ändar är lika med noll (den tenderar inte till, men är lika med). Så derivatan

Detta kan förstås så här: när vi står allra högst upp ändrar en liten förskjutning åt vänster eller höger vår höjd försumbart.

Det finns också en rent algebraisk förklaring: till vänster om vertexet ökar funktionen, och till höger minskar den. Som vi upptäckte tidigare, när en funktion ökar är derivatan positiv och när den minskar är den negativ. Men det ändras smidigt, utan hopp (eftersom vägen inte ändrar sin lutning kraftigt någonstans). Därför måste det finnas mellan negativa och positiva värden. Det kommer att vara där funktionen varken ökar eller minskar - i vertexpunkten.

Detsamma gäller för tråget (området där funktionen till vänster minskar och till höger ökar):

Lite mer om inkrement.

Så vi ändrar argumentet till magnitud. Vi ändrar från vilket värde? Vad har det (argumentet) blivit nu? Vi kan välja vilken punkt som helst, och nu ska vi dansa från den.

Betrakta en punkt med en koordinat. Värdet på funktionen i den är lika. Sedan gör vi samma steg: vi ökar koordinaten med. Vad är argumentet nu? Väldigt lätt: . Vad är värdet på funktionen nu? Där argumentet går, så gör funktionen: . Hur är det med funktionsökning? Inget nytt: detta är fortfarande det belopp som funktionen har ändrats med:

Öva på att hitta steg:

Hitta ökningen av funktionen vid en punkt då ökningen av argumentet är lika med.
Detsamma gäller funktionen vid en punkt.

Lösningar:

Vid olika punkter med samma argumentökning kommer funktionen inkrement att vara olika. Det betyder att derivatan vid varje punkt är olika (vi diskuterade detta i början - vägens branthet är olika på olika punkter). Därför, när vi skriver en derivata, måste vi ange vid vilken tidpunkt:

Power funktion.

En potensfunktion är en funktion där argumentet till viss del är (logiskt, eller hur?).

Dessutom - i någon utsträckning: .

Det enklaste fallet är när exponenten är:

Låt oss hitta dess derivata vid en punkt. Låt oss komma ihåg definitionen av ett derivat:

Så argumentet ändras från till. Vad är ökningen av funktionen?

Inkrement är detta. Men en funktion när som helst är lika med dess argument. Det är därför:

Derivaten är lika med:

Derivatan av är lika med:

b) Betrakta nu den kvadratiska funktionen (): .

Nu ska vi komma ihåg det. Detta innebär att värdet på ökningen kan försummas, eftersom det är oändligt litet och därför obetydligt mot bakgrund av den andra termen:

Så vi kom på en annan regel:

c) Vi fortsätter den logiska serien: .

Detta uttryck kan förenklas på olika sätt: öppna den första parentesen med formeln för förkortad multiplikation av summans kub, eller faktorisera hela uttrycket med hjälp av formeln för skillnaden mellan kuber. Försök att göra det själv med någon av de föreslagna metoderna.

Så jag fick följande:

Och låt oss komma ihåg det igen. Detta innebär att vi kan försumma alla termer som innehåller:

Vi får: .

d) Liknande regler kan erhållas för stora krafter:

e) Det visar sig att denna regel kan generaliseras för en potensfunktion med en godtycklig exponent, inte ens ett heltal:

(2)

Regeln kan formuleras med orden: "graden flyttas fram som en koefficient och reduceras sedan med ."

Vi kommer att bevisa denna regel senare (nästan i slutet). Låt oss nu titta på några exempel. Hitta derivatan av funktionerna:

(på två sätt: genom formel och med definitionen av derivata - genom att beräkna ökningen av funktionen);

Trigonometriska funktioner.

Här kommer vi att använda ett faktum från högre matematik:

Med uttryck.

Du kommer att lära dig beviset under ditt första år på institutet (och för att komma dit måste du klara Unified State Exam väl). Nu ska jag bara visa det grafiskt:

Vi ser att när funktionen inte existerar - skärs punkten på grafen ut. Men ju närmare värdet, desto närmare är funktionen Detta är vad som "syftar".

Dessutom kan du kontrollera denna regel med hjälp av en miniräknare. Ja, ja, var inte blyg, ta en miniräknare, vi är inte på Unified State Exam än.

Låt oss försöka: ;

Glöm inte att växla din miniräknare till Radians-läge!

etc. Vi ser att ju mindre, desto närmare värdet på förhållandet.

a) Tänk på funktionen. Som vanligt, låt oss hitta dess ökning:

Låt oss göra skillnaden mellan sinus till en produkt. För att göra detta använder vi formeln (kom ihåg ämnet ""): .

Nu derivatan:

Låt oss ersätta: . Sedan för infinitesimal är det också infinitesimal: . Uttrycket för tar formen:

Och nu minns vi det där med uttrycket. Och också, tänk om en oändligt liten kvantitet kan försummas i summan (det vill säga vid).

Så vi får följande regel: derivatan av sinus är lika med cosinus:

Dessa är grundläggande ("tabellformiga") derivator. Här är de i en lista:

Senare kommer vi att lägga till några fler till dem, men dessa är de viktigaste, eftersom de används oftast.

Öva:

Hitta derivatan av funktionen vid en punkt;
Hitta derivatan av funktionen.

Lösningar:

Exponent och naturlig logaritm.

Det finns en funktion i matematik vars derivata för vilket värde som helst är lika med värdet på själva funktionen samtidigt. Det kallas "exponent" och är en exponentiell funktion

Basen för denna funktion - en konstant - är ett oändligt decimaltal, det vill säga ett irrationellt tal (som t.ex.). Det kallas "Euler-numret", vilket är anledningen till att det betecknas med en bokstav.

Så, regeln:

Väldigt lätt att komma ihåg.

Tja, låt oss inte gå långt, låt oss omedelbart överväga den omvända funktionen. Vilken funktion är inversen av exponentialfunktionen? Logaritm:

I vårt fall är basen numret:

En sådan logaritm (det vill säga en logaritm med en bas) kallas "naturlig", och vi använder en speciell notation för den: vi skriver istället.

Vad är det lika med? Självklart, .

Derivatan av den naturliga logaritmen är också mycket enkel:

Exempel:

Hitta derivatan av funktionen.
Vad är derivatan av funktionen?

Svar: Den exponentiella och naturliga logaritmen är unikt enkla funktioner ur ett derivatperspektiv. Exponentiella och logaritmiska funktioner med vilken annan bas som helst kommer att ha en annan derivata, som vi kommer att analysera senare, efter att vi har gått igenom reglerna för differentiering.

Regler för differentiering

Regler för vad? Återigen en ny mandatperiod, igen?!...

Differentieringär processen att hitta derivatan.

Det är allt. Vad mer kan man kalla denna process med ett ord? Inte derivata... Matematiker kallar differentialen för samma inkrement av en funktion vid. Denna term kommer från latinets differentia - skillnad. Här.

När vi härleder alla dessa regler kommer vi att använda två funktioner, till exempel och. Vi kommer också att behöva formler för deras inkrement:

Det finns 5 regler totalt.

Konstanten tas ur derivattecknet.

Om - något konstant tal (konstant), då.

Uppenbarligen fungerar denna regel också för skillnaden: .

Låt oss bevisa det. Låt det vara, eller enklare.

Exempel.

Hitta funktionernas derivator:

vid en punkt;
vid en punkt;
vid en punkt;
vid punkten.

Lösningar:

Derivat av produkten

Allt är liknande här: låt oss introducera en ny funktion och hitta dess ökning:

Derivat:

Exempel:

Hitta derivatorna av funktionerna och;
Hitta derivatan av funktionen vid en punkt.

Lösningar:

Derivat av en exponentiell funktion

Nu räcker dina kunskaper för att lära dig hur man hittar derivatan av valfri exponentialfunktion, och inte bara exponenter (har du glömt vad det är ännu?).

Så, var är någon siffra.

Vi känner redan till derivatan av funktionen, så låt oss försöka reducera vår funktion till en ny bas:

För att göra detta använder vi en enkel regel: . Sedan:

Tja, det fungerade. Försök nu att hitta derivatan, och glöm inte att denna funktion är komplex.

Hände?

Här, kolla själv:

Formeln visade sig vara mycket lik derivatan av en exponent: som den var förblir den densamma, bara en faktor dök upp, som bara är ett tal, men inte en variabel.

Exempel:
Hitta funktionernas derivator:

Svar:

Derivata av en logaritmisk funktion

Det är liknande här: du känner redan till derivatan av den naturliga logaritmen:

Därför, för att hitta en godtycklig logaritm med en annan bas, till exempel:

Vi måste reducera denna logaritm till basen. Hur ändrar man basen för en logaritm? Jag hoppas att du kommer ihåg denna formel:

Först nu skriver vi istället:

Nämnaren är helt enkelt en konstant (ett konstant tal, utan en variabel). Derivaten erhålls mycket enkelt:

Derivater av exponentiella och logaritmiska funktioner finns nästan aldrig i Unified State Exam, men det kommer inte att vara överflödigt att känna till dem.

Derivat av en komplex funktion.

Vad är en "komplex funktion"? Nej, detta är inte en logaritm och inte en arctangens. Dessa funktioner kan vara svåra att förstå (även om du tycker att logaritmen är svår, läs ämnet "Logaritmer" så kommer du att klara det), men ur en matematisk synvinkel betyder ordet "komplex" inte "svårt".

Föreställ dig ett litet löpande band: två personer sitter och gör några handlingar med några föremål. Till exempel lindar den första en chokladkaka i ett omslag, och den andra binder den med ett band. Resultatet är ett sammansatt föremål: en chokladkaka inlindad och bunden med ett band. För att äta en chokladkaka måste du göra de omvända stegen i omvänd ordning.

Låt oss skapa en liknande matematisk pipeline: först kommer vi att hitta cosinus för ett tal och sedan kvadrera det resulterande talet. Så vi får en siffra (choklad), jag hittar dess cosinus (omslag), och sedan kvadrerar du det jag fick (binder det med ett band). Vad hände? Fungera. Det här är ett exempel på en komplex funktion: när vi, för att hitta dess värde, utför den första åtgärden direkt med variabeln och sedan en andra åtgärd med det som resulterade från den första.

Vi kan enkelt göra samma steg i omvänd ordning: först kvadrerar du det, och jag letar sedan efter cosinus för det resulterande talet: . Det är lätt att gissa att resultatet nästan alltid blir annorlunda. En viktig egenskap hos komplexa funktioner: när ordningen på åtgärder ändras ändras funktionen.

Med andra ord, en komplex funktion är en funktion vars argument är en annan funktion: .

För det första exemplet, .

Andra exemplet: (samma sak). .

Den åtgärd vi gör sist kommer att kallas "extern" funktion, och åtgärden som utfördes först - i enlighet därmed "intern" funktion(detta är informella namn, jag använder dem bara för att förklara materialet på ett enkelt språk).

Försök själv avgöra vilken funktion som är extern och vilken intern:

Svar: Att separera inre och yttre funktioner är mycket likt att ändra variabler: till exempel i en funktion

Vi ändrar variabler och får en funktion.

Nåväl, nu ska vi extrahera vår chokladkaka och leta efter derivatet. Proceduren är alltid omvänd: först letar vi efter derivatan av den yttre funktionen, sedan multiplicerar vi resultatet med derivatan av den inre funktionen. I förhållande till det ursprungliga exemplet ser det ut så här:

Ett annat exempel:

Så låt oss äntligen formulera den officiella regeln:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

Det verkar enkelt, eller hur?

Låt oss kolla med exempel:

DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Derivata av en funktion- förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet för en oändligt liten ökning av argumentet:

Grundläggande derivat:

Regler för differentiering:

Konstanten tas ur derivattecknet:

Derivat av summan:

Derivat av produkten:

Derivat av kvoten:

Derivat av en komplex funktion:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

Vi definierar den "interna" funktionen och hittar dess derivata.
Vi definierar den "externa" funktionen och hittar dess derivata.
Vi multiplicerar resultaten av den första och andra punkten.

Nåväl, ämnet är över. Om du läser dessa rader betyder det att du är väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du läser till slutet, då är du i dessa 5%!

Nu det viktigaste.

Du har förstått teorin om detta ämne. Och jag upprepar, det här... det här är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För att ha klarat Unified State Examen, för att ha gått in på college med en budget och, VIKTIGAST, för livet.

Jag ska inte övertyga dig om någonting, jag säger bara en sak...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att många fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på Unified State Exam och i slutändan vara... lyckligare?

FÅ DIN HAND GENOM ATT LÖSA PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

Du kommer inte att bli tillfrågad om teori under tentamen.

Du kommer behöva lösa problem i tid.

Och om du inte har löst dem (MYCKET!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte ha tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa det många gånger för att vinna säkert.

Hitta samlingen var du vill, nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (valfritt) och vi rekommenderar dem naturligtvis.

För att bli bättre på att använda våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på den YouClever-lärobok du just nu läser.

Hur? Det finns två alternativ:

Lås upp alla dolda uppgifter i den här artikeln -
Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i läroboken - Köp en lärobok - 499 RUR

Ja, vi har 99 sådana artiklar i vår lärobok och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under HELA webbplatsens liv.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Stanna bara inte vid teorin.

"Förstå" och "Jag kan lösa" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös dem!

(Figur 1)

Figur 1. Derivatdiagram

Egenskaper för derivata grafer

Med ökande intervall är derivatan positiv. Om derivatan vid en viss punkt från ett visst intervall har ett positivt värde, så ökar grafen för funktionen på detta intervall.
Med avtagande intervall är derivatan negativ (med ett minustecken). Om derivatan vid en viss punkt från ett visst intervall har ett negativt värde, så minskar grafen för funktionen på detta intervall.
Derivatan i punkt x är lika med lutningen på tangenten som ritas till grafen för funktionen i samma punkt.
Vid max- och minimumpunkterna för funktionen är derivatan noll. Tangenten till grafen för funktionen vid denna punkt är parallell med OX-axeln.

Exempel 1

Använd grafen (fig. 2) för derivatan och bestäm vid vilken punkt på segmentet [-3; 5] funktionen är maximal.

Figur 2. Derivatdiagram

Lösning: På detta segment är derivatan negativ, vilket betyder att funktionen minskar från vänster till höger, och det största värdet finns på vänster sida vid punkt -3.

Exempel 2

Använd grafen (fig. 3) för derivatan och bestäm antalet maximala punkter på segmentet [-11; 3].

Figur 3. Derivatdiagram

Lösning: Maxpoängen motsvarar de punkter där derivatans tecken ändras från positivt till negativt. På detta intervall ändrar funktionen tecken från plus till minus två gånger - vid punkt -10 och vid punkt -1. Det betyder att antalet maxpoäng är två.

Exempel 3

Med hjälp av grafen (fig. 3) för derivatan, bestäm antalet minimipunkter i segmentet [-11; -1].

Lösning: Minsta poäng motsvarar de punkter där derivatans tecken ändras från negativt till positivt. På detta segment är en sådan punkt endast -7. Det betyder att antalet minimipoäng på ett givet segment är en.

Exempel 4

Använd grafen (fig. 3) för derivatan och bestäm antalet extrema punkter.

Lösning: De extrema punkterna är både minimi- och maximipunkterna. Låt oss ta reda på antalet punkter där derivatan ändrar tecken.