Տարբերվող ֆունկցիայի գրաֆիկի կետերը: Գործառույթների տարբերակում. Ածանցյալ ունեցող ֆունկցիայի շարունակականությունը: Թեորեմ

Հոդվածի բովանդակությունը

ածանցյալ- ֆունկցիայի ածանցյալ y = զ(x), տրված որոշակի ընդմիջումով ( ա, բ) կետում xայս միջակայքը կոչվում է այն սահմանը, որին ձգտում է ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը զայս պահին արգումենտի համապատասխան աճին, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի:

Ածանցյալը սովորաբար նշվում է հետևյալ կերպ.

Լայնորեն օգտագործվում են նաև այլ նշանակումներ.

Ակնթարթային արագություն.

Թող կետը Մշարժվում է ուղիղ գծով. Հեռավորությունը սշարժվող կետ՝ հաշվված ինչ-որ սկզբնական դիրքից Մ 0 , կախված է ժամանակից տ, այսինքն. սժամանակի ֆունկցիա կա տ: ս= զ(տ). Թող ժամանակի ինչ-որ պահի տշարժվող կետ Մհեռավորության վրա էր սմեկնարկային դիրքից Մ 0, իսկ հաջորդ պահին տ+D տհայտնվել է մի դիրքում Մ 1 - հեռավորության վրա ս+D սսկզբնական դիրքից ( տես նկարը.).

Այսպիսով, որոշակի ժամանակահատվածում Դ տհեռավորությունը սչափով փոխվել է Դ ս. Այս դեպքում ասում են, որ ժամանակային միջակայքում Դ տմեծությունը սստացել է հավելավճար Դ ս.

Միջին արագությունը բոլոր դեպքերում չի կարող ճշգրիտ բնութագրել կետի շարժման արագությունը Մժամանակի մի կետում տ. Եթե, օրինակ, մարմինը միջակայքի սկզբում Դ տշարժվել է շատ արագ, իսկ վերջում՝ շատ դանդաղ, այդ դեպքում միջին արագությունը չի կարողանա արտացոլել կետի շարժման նշված հատկանիշները և պատկերացում տալ տվյալ պահին դրա շարժման իրական արագության մասին։ տ. Միջին արագության միջոցով իրական արագությունն ավելի ճշգրիտ արտահայտելու համար հարկավոր է ավելի կարճ ժամանակ հատկացնել D տ. Առավել լիովին բնութագրում է տվյալ պահին կետի շարժման արագությունը տսահմանը, որին միջին արագությունը ձգտում է D տ® 0. Այս սահմանը կոչվում է ընթացիկ արագություն.

Այսպիսով, շարժման արագությունը տվյալ պահին կոչվում է ուղու ավելացման հարաբերակցության սահման D սժամանակի ավելացում Դ տ, երբ ժամանակի աճը ձգտում է զրոյի: Որովհետեւ

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը. Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող:

Շոշափումների կառուցումն այն խնդիրներից է, որը հանգեցրեց դիֆերենցիալ հաշվարկի ծնունդին: Լայբնիցի կողմից գրված դիֆերենցիալ հաշվարկի հետ կապված առաջին հրատարակված աշխատանքը վերնագրված էր Մաքսիմայի և նվազագույնի, ինչպես նաև շոշափողների նոր մեթոդ, որի համար ոչ կոտորակային, ոչ էլ իռացիոնալ մեծությունները խոչընդոտ չեն, և դրա համար հաշվարկի հատուկ տեսակ.

Թող կորը լինի ֆունկցիայի գրաֆիկը y =զ(x) ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ( սմ. բրինձ.):

Որոշակի արժեքով xգործառույթը կարևոր է y =զ(x) Այս արժեքները xԵվ yկորի կետը համապատասխանում է Մ 0(x, y) Եթե ​​փաստարկը xտալ ավելացում Դ x, ապա փաստարկի նոր արժեքը x+D xհամապատասխանում է նոր ֆունկցիայի արժեքին y+Դ y = զ(x + Դ x) Կորի համապատասխան կետը կլինի կետը Մ 1(x+D x,y+D y) Եթե ​​դուք սեկանտ եք նկարում Մ 0Մ 1 և նշվում է j-ով առանցքի դրական ուղղությամբ լայնակի ձևավորված անկյունը Եզ, նկարից անմիջապես պարզ է դառնում, որ.

Եթե ​​հիմա Դ xձգտում է զրոյի, ապա կետը Մ 1-ը շարժվում է կորի երկայնքով՝ մոտենալով կետին Մ 0 և անկյուն ժ փոխվում է Դ x. ժամը Dx® 0 j անկյունը ձգտում է դեպի որոշակի սահման a և կետով անցնող ուղիղ գիծ Մ 0, իսկ x առանցքի դրական ուղղություն ունեցող բաղադրիչը՝ a անկյունը, կլինի ցանկալի շոշափողը։ Նրա թեքությունը հետևյալն է.

Հետևաբար, զ´( x) = տգա

դրանք. ածանցյալ արժեք զ´( x) տրված արգումենտի արժեքի համար xհավասար է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող անկյան շոշափողին զ(x) համապատասխան կետում Մ 0(x,y) դրական առանցքի ուղղությամբ Եզ.

Գործառույթների տարբերակելիություն.

Սահմանում. Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) կետում ունի ածանցյալ x = x 0, ապա ֆունկցիան այս պահին տարբերակելի է:

Ածանցյալ ունեցող ֆունկցիայի շարունակականությունը: Թեորեմ.

Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) ինչ-որ պահի տարբերակելի է x = x 0, ապա այս պահին այն շարունակական է:

Այսպիսով, ֆունկցիան չի կարող ածանցյալ ունենալ ընդհատման կետերում։ Հակառակ եզրակացությունը սխալ է, այսինքն. նրանից, որ ինչ-որ պահի x = x 0 ֆունկցիա y = զ(x) շարունակական է, չի նշանակում, որ այն տարբերակելի է այս պահին: Օրինակ՝ ֆունկցիան y = |x| շարունակական բոլորի համար x(–Ґ x x = 0-ը չունի ածանցյալ: Այս պահին գրաֆիկին շոշափող չկա: Կա աջ և ձախ շոշափող, բայց դրանք չեն համընկնում:

Որոշ թեորեմներ տարբերվող ֆունկցիաների վերաբերյալ. Թեորեմ ածանցյալի արմատների մասին (Ռոլեի թեորեմ).Եթե ​​ֆունկցիան զ(x) հատվածի վրա շարունակական է [ա,բ], տարբերակելի է այս հատվածի բոլոր ներքին կետերում և ծայրերում x = աԵվ x = բգնում է զրոյի ( զ(ա) = զ(բ) = 0), ապա հատվածի ներսում [ ա,բ] կա առնվազն մեկ կետ x= Հետ, ագ բ, որում ածանցյալը զў( x) գնում է զրոյի, այսինքն. զў( գ) = 0.

Վերջավոր աճի թեորեմ (Լագրանժի թեորեմ).Եթե ​​ֆունկցիան զ(x) շարունակական է [ ա, բ] և տարբերակելի է այս հատվածի ներքին բոլոր կետերում, այնուհետև հատվածի ներսում [ ա, բ] կա առնվազն մեկ կետ Հետ, ագ բ որ

զ(բ) – զ(ա) = զў( գ)(բ– ա).

Թեորեմ երկու ֆունկցիաների հավելումների հարաբերակցության մասին (Կոշիի թեորեմ).Եթե զ(x) Եվ է(x) – հատվածի վրա շարունակական երկու ֆունկցիա [ա, բ] և տարբերակելի այս հատվածի բոլոր ներքին կետերում, և էў( x) այս հատվածի ներսում ոչ մի տեղ չի անհետանում, այնուհետև հատվածի ներսում [ ա, բ] կա այդպիսի կետ x = Հետ, ագ բ որ

Տարբեր պատվերների ածանցյալներ:

Թողեք գործառույթը y =զ(x) տարբերվում է որոշակի ընդմիջումով [ ա, բ]. Ածանցյալ արժեքներ զ ў( x), ընդհանուր առմամբ, կախված է x, այսինքն. ածանցյալ զ ў( x) նույնպես ֆունկցիա է x. Այս ֆունկցիան տարբերակելիս ստանում ենք ֆունկցիայի այսպես կոչված երկրորդ ածանցյալը զ(x), որը նշվում է զ ўў ( x).

Ածանցյալ n-Գործառույթի րդ կարգը զ(x) կոչվում է ածանցյալի (առաջին կարգի) ածանցյալ n- 1- th-ը և նշվում է նշանով y(n) = (y(n– 1))ў.

Տարբեր պատվերների դիֆերենցիալներ:

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ y = զ(x), որտեղ x– անկախ փոփոխական, այո դի = զ ў( x)dx, որոշ գործառույթներ x, բայց սկսած xմիայն առաջին գործոնը կարող է կախված լինել զ ў( x), երկրորդ գործոնը ( dx) անկախ փոփոխականի աճն է xև կախված չէ այս փոփոխականի արժեքից: Որովհետեւ դիկա մի ֆունկցիա ից x, ապա մենք կարող ենք որոշել այս ֆունկցիայի դիֆերենցիալը։ Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը կոչվում է այս ֆունկցիայի երկրորդ դիֆերենցիալ կամ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ և նշվում է. դ 2y:

դ(dx) = դ 2y = զ ўў( x)(dx) 2 .

Դիֆերենցիալ n-առաջին կարգի կոչվում է դիֆերենցիալ առաջին դիֆերենցիալ n- 1- րդ կարգը:

d n y = դ(d n–1y) = զ(n)(x)dx(n).

Մասնակի ածանցյալ.

Եթե ​​ֆունկցիան կախված է ոչ թե մեկ, այլ մի քանի արգումենտից x i(եստատանվում է 1-ից մինչև n,ես= 1, 2,… n),զ(x 1,x 2,… x n), այնուհետև դիֆերենցիալ հաշվարկում ներմուծվում է մասնակի ածանցյալ հասկացությունը, որը բնութագրում է մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, երբ փոխվում է միայն մեկ արգումենտ, օրինակ. x i. 1-ին կարգի մասնակի ածանցյալի նկատմամբ x iսահմանվում է որպես սովորական ածանցյալ, և ենթադրվում է, որ բոլոր արգումենտները բացառությամբ x i, պահել մշտական ​​արժեքներ։ Մասնակի ածանցյալների համար նշվում է նշումը

Այս կերպ սահմանված 1-ին կարգի մասնակի ածանցյալները (որպես նույն արգումենտների ֆունկցիաներ) կարող են իրենց հերթին ունենալ նաև մասնակի ածանցյալներ, դրանք երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ են և այլն։ Տարբեր փաստարկներից վերցված նման ածանցյալները կոչվում են խառը: Նույն կարգի շարունակական խառը ածանցյալները կախված չեն տարբերակման կարգից և հավասար են միմյանց։

Աննա Չուգայնովա

Ածանցյալ գործառույթներըմի կետում կոչվում է ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանագիծ արգումենտի աճին, պայմանով, որ այն հակված է զրոյի:

Ածանցյալը գտնելու հիմնական կանոնները

Եթե ​​- և - տարբերվող ֆունկցիաներ են , կետում (այսինքն՝ ֆունկցիաներ, որոնք կետում ունեն ածանցյալներ), ապա.

4) .

Հիմնական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոն.Եթե ​​և, այսինքն. , որտեղ և ունեն ածանցյալներ, ապա

Պարամետրիկորեն նշված ֆունկցիայի տարբերակումը. Թող փոփոխականի կախվածությունը փոփոխականից պարամետրային կերպով որոշվի պարամետրի միջոցով.

Առաջադրանք 3. Գտեք այս ֆունկցիաների ածանցյալները:

1)

Լուծում. Կիրառելով կանոն 2-ը ածանցյալ աղյուսակի ածանցյալները և 1 և 2 բանաձևերը գտնելու համար՝ մենք ստանում ենք.

Լուծում.Կիրառելով կանոն 4-ը ածանցյալների աղյուսակի ածանցյալները և 1 և 13 բանաձևերը գտնելու համար՝ մենք ստանում ենք.

.

Լուծում.Կիրառելով կանոն 3-ը ածանցյալների աղյուսակի ածանցյալները և 5 և 11 բանաձևերը գտնելու համար՝ մենք ստանում ենք.

Լուծում.Ենթադրենք, որտեղ, ըստ բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու բանաձևի, մենք ստանում ենք.

Լուծում. Մենք ունենք. Այնուհետև, պարամետրորեն նշված ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու բանաձևի համաձայն, ստանում ենք.

4. Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ. L'Hopital-ի կանոն.

Ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալկոչվում է նրա ածանցյալի ածանցյալ, այսինքն. . Երկրորդ ածանցյալի համար օգտագործվում են հետևյալ նշումները՝ կամ , կամ .

Ֆունկցիայի 1-ին կարգի ածանցյալկոչվում է նրա երրորդ կարգի ածանցյալ: Երրորդ կարգի ածանցյալի համար օգտագործվում են հետևյալ նշումները. կամ , կամ .

L'Hopital-ի կանոն.Թող ֆունկցիաները լինեն տարբերվող կետի հարևանությամբ, իսկ ածանցյալը չի ​​անհետանում: Եթե ​​ֆունկցիաները և միաժամանակ կամ անսահման փոքր են, կամ անսահման մեծ են at-ում, և կա հարաբերակցության սահմանը at-ում, ապա կա նաև սահմանաչափ հարաբերակցության համար: Ավելին

.

Կանոնը կիրառվում է նաև այն դեպքում, երբ.

Նկատի ունեցեք, որ որոշ դեպքերում անորոշությունների բացահայտումը կամ կարող է պահանջել L'Hopital-ի կանոնի կրկնակի կիրառում:

Տիպային անորոշություններ և այլն: տարրական փոխակերպումների օգնությամբ դրանք հեշտությամբ կարող են կրճատվել ձևի կամ .

Առաջադրանք 4. Գտեք սահմանը՝ օգտագործելով L'Hopital-ի կանոնը:

ԼուծումԱյստեղ մենք ունենք ձևի անորոշություն, քանի որ ժամը . Եկեք կիրառենք L'Hopital-ի կանոնը.

.

L'Hopital-ի կանոնը կիրառելուց հետո մենք կրկին ձեռք բերեցինք ձևի անորոշություն, քանի որ ժամը . Կրկին կիրառելով L'Hopital-ի կանոնը՝ մենք ստանում ենք.

.

5. Ֆունկցիոնալ ուսումնասիրություն

ա) Աճող և նվազող գործառույթներ

Ֆունկցիան կոչվում է աճողհատվածի վրա , եթե որևէ կետի համար և այն հատվածից, որտեղ , անհավասարությունը պահպանվում է: Եթե ​​ֆունկցիան շարունակական է ինտերվալի վրա և ի համար, ապա այն մեծանում է միջակայքում:

Ֆունկցիան կոչվում է նվազումհատվածի վրա , եթե որևէ կետի համար և այն հատվածից, որտեղ , անհավասարությունը պահպանվում է: Եթե ​​ֆունկցիան շարունակական է ինտերվալի վրա և համար , ապա այն նվազում է ինտերվալի վրա:

Եթե ​​ֆունկցիան որոշակի ընդմիջումով միայն մեծանում կամ նվազում է, ապա այն կոչվում է միապաղաղընդմիջման վրա։

բ) Ֆունկցիոնալ ծայրահեղություն

նվազագույն միավորգործառույթները .

Եթե ​​կա կետի հարևանություն այնպես, որ այս հարևանության բոլոր կետերի համար անհավասարությունը պահպանվի, այնուհետև կետը կոչվում է առավելագույն միավորգործառույթները .

Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են նրա ծայրահեղ կետեր.

Կետը կոչվում է անշարժ կետ,եթե գոյություն չունի կամ չկա.

Եթե ​​կա անշարժ կետի այնպիսի հարևանություն, որ կողմ և համար է, ապա ֆունկցիայի առավելագույն կետն է:

Եթե ​​կա անշարժ կետի այնպիսի հարևանություն, որ for and for-ի համար, ապա ֆունկցիայի նվազագույն կետը:

ա) Ուռուցիկ ուղղություն. Թեքման կետերը

ուռուցիկ վերընդմիջման վրա , եթե այն գտնվում է այս ինտերվալի ցանկացած կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողից ցածր:

Ինտերվալի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկի դեպի վեր ուռուցիկության համար բավարար պայման է անհավասարության կատարումը դիտարկված ինտերվալներից որևէ մեկի համար:

Տարբերվող ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է ուռուցիկ ներքեւընդմիջման վրա , եթե այն գտնվում է ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողից վեր այս միջակայքի ցանկացած կետում:

Ինտերվալի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկի ներքև ուռուցիկության համար բավարար պայման է դիտարկվող միջակայքներից որևէ մեկի անհավասարության կատարումը։

Այն կետը, որտեղ փոխվում է ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության ուղղությունը, կոչվում է թեքման կետ.

Կետը, որտեղ կամ գոյություն չունի, թեքության կետի աբսցիսա է, եթե դրա ձախ և աջ կողմի նշանները տարբեր են:

դ) ասիմպտոտներ

Եթե ​​ֆունկցիայի գրաֆիկի կետից մինչև որոշակի ուղիղ գիծ հեռավորությունը զրոյի է ձգտում, երբ կետը սկզբից անսահման հեռանում է, ապա ուղիղը կոչվում է. ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտ:

Եթե ​​կա այնպիսի թիվ, որ , ապա տողը ուղղահայաց ասիմպտոտ:

Եթե ​​կան սահմանափակումներ , ապա գիծն է թեք (հորիզոնական ժամը k=0) ասիմպտոտ.

ե) ֆունկցիայի ընդհանուր ուսումնասիրություն

1. Ֆունկցիոնալ տիրույթ

2. Գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ

3. Գործառույթի ուսումնասիրություն շարունակականության, զույգ/կենտ և պարբերականության համար

4. Ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը

5. Ֆունկցիայի էքստրեմալ կետերը

6. Ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության միջակայքերը և թեքման կետերը

7. Ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտներ

8. Ֆունկցիայի գրաֆիկ.

Առաջադրանք 5. Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և կառուցեք դրա գրաֆիկը:

Լուծում. 1) Ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա, բացառությամբ այն կետի, որտեղ կոտորակի հայտարարը դառնում է զրո: . Մենք ունենք՝ չի պատկանում այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին: Հետևաբար, այս ֆունկցիայի անշարժ կետերը նվազագույն արժեք ունեցող կետերն են (ինչպես ցույց է տրված նկարում):

8) Օգտագործելով ստացված տվյալները, եկեք կառուցենք սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկը.