Linearna, osobito linearna polinomska aproksimacija često ne odgovara prirodi funkcije. Na primjer, polinom visokog stupnja brzo raste i stoga je čak i jednostavna funkcija slabo aproksimirana polinomom na velikom segmentu. Budući da se aproksimacija provodi u širokom rasponu promjena argumenta, korištenje nelinearne ovisnosti o koeficijentima ovdje je čak i povoljnije nego kod interpolacije.

U praksi se koriste dvije vrste ovisnosti. Jedna je kvazilinearna ovisnost, reducirana izravnavanjem promjene varijabli na linearnu, koja je detaljno proučavana u prethodnim paragrafima. Ova metoda je vrlo učinkovita i često se koristi pri obradi eksperimenata, jer apriorne informacije o fizici procesa pomažu u pronalaženju dobre zamjene varijabli. Samo trebamo imati na umu da aproksimacija koja je najbolja u novim varijablama neće biti najbolja u smislu skalarnog produkta u starim varijablama. Stoga se posebna pozornost mora posvetiti izboru pondera u novim varijablama.

Klasičan primjer je problem radioaktivnog raspada ozračenog uzorka, u kojem su pogodne varijable i t, gdje je brzina raspada. U tim varijablama krivulja je obično aproksimirana isprekidanom linijom, čije veze odgovaraju raspadu sve dugovječnijih članova radioaktivnog niza.

Druga često korištena vrsta ovisnosti o koeficijentima je frakcijsko-linearna, kada je aproksimirajuća funkcija racionalna:

Često se koristi i omjer generaliziranih polinoma. Ova aproksimacija omogućuje nam prenošenje polova funkcije - oni odgovaraju nulama nazivnika tražene množine. Često je moguće reproducirati asimptotsko ponašanje na zbog odgovarajućeg izbora količine, na primjer, ako je , tada moramo postaviti . U ovom slučaju, možete ih uzeti dovoljno velike da imaju mnogo koeficijenata aproksimacije.

Međutim, kvadrat pogreške više neće biti kvadratna funkcija koeficijenata, pa nije lako pronaći koeficijente racionalne funkcije. Po analogiji s aproksimacijom srednjeg kvadrata polinomima, možemo pretpostaviti da pogreška ima broj nula koji nije manji od broja slobodnih koeficijenata (usporedi s opaskom 3 u paragrafu 2). Tada se problem svodi na Lagrangeovu interpolaciju preko tih nula, a koeficijenti se nalaze iz sustava linearnih jednadžbi:

Naravno, točan položaj nula je nepoznat; odabiru se nasumično, obično ravnomjerno raspoređeni po segmentu. Ova metoda se naziva metoda odabranih točaka. Aproksimacija dobivena ovom metodom neće biti nimalo najbolja.

Osim toga, metoda odabranih točaka je nerazumna, kao i svaka interpolacija ako ima primjetnu pogrešku.

Najbolja aproksimacija može se pronaći korištenjem metode ponavljanih težina. Imajte na umu da zadatak

lako se rješava: izraz s lijeve strane je kvadratna funkcija koeficijenata i diferencijacija s obzirom na njih dovodi do linearnog sustava za određivanje koeficijenata, slično (38). Novi se problem bitno razlikuje od izvornog po tome što se umjesto utega koristi drugačija težina, pa njegovo rješenje nije najbolja aproksimacija. Napišimo izvorni problem u novom obliku:

a riješit ćemo ga jednostavnim iterativnim postupkom

može se uzeti kao nulta aproksimacija. U svakoj iteraciji, težina je poznata iz prethodne iteracije, tako da se koeficijenti lako pronalaze iz minimalnog uvjeta kvadratnog oblika. Praksa pokazuje da koeficijenti najbolje aproksimacije slabo ovise o izboru težine, pa iteracije obično brzo konvergiraju.

a) Razmotrite neke primjere aproksimacije racionalnom funkcijom. Stavimo

zamjenom prva dva člana niza s razlomkom, dobivamo . Ova jednostavna formula osigurava točnost i vrlo je prikladna za procjene.

b) U teoriji vjerojatnosti važnu ulogu ima integral pogreške za koji su poznata proširenja nizova:

Prvi niz apsolutno konvergira, ali je kod konvergencije vrlo spor; drugi niz asimptotski konvergira za velike vrijednosti . Zamjenom prvih članova svakog niza s razlomcima, dobivamo

U navedenim rasponima promjene argumenata pogreška prve formule ne prelazi 0,4%, a pogreška druge formule ne prelazi 2,4%. Stoga je točnost ovih aproksimacija sasvim dovoljna za mnoge praktične primjene.

c) Postavimo na . Ova je funkcija monotona i za nju je lako konstruirati razlomak

Aproksimacija nelinearne funkcije

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Budući da je interval dijeljenja funkcije jednak, izračunavamo sljedeće koeficijente nagiba odgovarajućih odsječaka aproksimirane funkcije:

1. Konstrukcija blokova za formiranje segmenata aproksimirajuće funkcije

Formiranje vremenske funkcije

Interval izmjene:

Cikličko vrijeme ponovnog pokretanja: T = 1s

Sada modelirajmo funkciju:

Približavanje

Slika 3.1 - Shema za rješavanje jednadžbe

Slika 3.2 - Blok dijagram formiranja nelinearne funkcije

Tako se automatski formira lijeva strana jednadžbe. U ovom slučaju, konvencionalno se pretpostavlja da je najveća derivacija x// poznata, budući da su članovi na desnoj strani jednadžbe poznati i mogu se povezati s ulazima U1 (Slika 3.1). Operacijsko pojačalo U3 djeluje kao inverter +x signala. Za simulaciju x// potrebno je u sklop uvesti još jedno subpojačalo na čije ulaze je potrebno dovesti signale koji simuliraju desnu stranu jednadžbe (3.2).

Izračunavaju se skale svih varijabli, uzimajući u obzir da je najveća vrijednost varijable stroja iznad apsolutne vrijednosti 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/ max; Mx // = 10 / x //max;

Moj = 10 / ymax. (3.3)

Vremenska skala Mt = T / tmax = 1, budući da se problem simulira u stvarnom vremenu.

Izračunavaju se koeficijenti prijenosa za svaki ulaz integrirajućih pojačala.

Za pojačalo U1 koeficijenti prijenosa nalaze se pomoću formula:

K11 = Mx/ b / (MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Za pojačalo U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3.5)

i za pojačalo U3:

K31 = 1. (3.6)

Naponi početnih uvjeta izračunavaju se pomoću formula:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Desna strana jednadžbe (3.2) predstavljena je nelinearnom funkcijom, koja je određena linearnom aproksimacijom. U tom slučaju potrebno je provjeriti da pogreška aproksimacije ne prelazi zadanu vrijednost. Blok dijagram formiranja nelinearne funkcije prikazan je na slici 3.2.

Opis sheme strujnog kruga

Blok za generiranje vremenske funkcije (F) izveden je u obliku jednog (za t) ili dva serijski spojena (t2) integrirajuća pojačala s nultim početnim uvjetima.

U ovom slučaju, kada se signal U primijeni na ulaz prvog integratora, na njegovom izlazu dobivamo:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Stavljajući K11E=1, imamo u1(t)= t.

Na izlazu drugog integratora dobivamo:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

Postavljajući K11K21E/2 = 1, imamo u2(t)= t2.

Blokovi za formiranje segmenata aproksimirajuće funkcije realizirani su u obliku diodnih blokova nelinearnih funkcija (DBNF), čija je ulazna vrijednost funkcija vremena t ili t2. Postupak za izračunavanje i konstruiranje DBNF-a dat je u.

Zbrajalo (SAD) segmenata aproksimacijske funkcije izvedeno je u obliku diferencijalnog završnog pojačala.

Početni uvjeti za integratore kruga za modeliranje uvode se pomoću čvora s promjenjivom strukturom (slika 3.3). Ova shema može raditi u dva načina:

a) integracija - s ključem K u položaju 1. U ovom slučaju izvorni signal sklopa opisan je s dovoljnom točnošću jednadžbom idealnog integratora:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Ovaj se način rada koristi pri modeliranju zadatka. Za provjeru ispravnosti izbora parametara R i C integratora treba provjeriti vrijednost početnog napona integratora u funkciji vremena i korisno vrijeme integracije unutar dopuštene pogreške?Uperm.

Veličina početnog napona integratora

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

tijekom simulacije, T pri integraciji ulaznog signala E pomoću operacijskog pojačala s pojačanjem Ky bez kruga povratne sprege ne bi trebao premašiti vrijednost varijable stroja (10 V).

Vrijeme integracije

Ti = 2RC(Ku + 1)?Udodaj (3.12)

s odabranim parametrima kruga ne smije biti kraće od vremena simulacije T.

b) postavljanje početnih uvjeta provodi se prebacivanjem ključa K u položaj 2. Ovaj se način rada koristi prilikom pripreme kruga modeliranja za proces rješenja. U ovom slučaju, izvorni signal kruga opisan je jednadžbom:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

gdje je u0(t) vrijednost početnih uvjeta.

Kako bi se smanjilo vrijeme formiranja početnih uvjeta i osigurao pouzdan rad, parametri sklopa moraju zadovoljiti uvjet: R1C1 = R2C.

Konstruirajte potpunu računsku shemu. U tom slučaju trebate koristiti simbole navedene u pododjeljku 3.1.

Koristeći bitnu dubinu ulaznih i izvornih podataka, konstruirajte sheme sklopova blokova B1 i B2 i spojite ih na RS blok.

(Obratite pažnju na dodatni odjeljak od 04.06.2017. na kraju članka.)

Računovodstvo i kontrola! Oni stariji od 40 godina trebali bi dobro zapamtiti ovaj slogan iz doba izgradnje socijalizma i komunizma kod nas.

Ali bez dobro uhodanog računovodstva nemoguće je učinkovito funkcioniranje zemlje, regije, poduzeća ili kućanstva u bilo kojoj društveno-ekonomskoj formaciji društva! Za izradu prognoza i planova aktivnosti i razvoja potrebni su početni podaci. Gdje ih mogu nabaviti? Samo jedan pouzdan izvor je tvoje statističke evidencije prethodnih vremenskih razdoblja.

Po mom shvaćanju, svaka zdrava osoba treba uzeti u obzir rezultate svojih aktivnosti, prikupljati i bilježiti informacije, obrađivati ​​i analizirati podatke, te primijeniti rezultate analize za donošenje ispravnih odluka u budućnosti. To nije ništa drugo nego akumulacija i racionalno korištenje nečijeg životnog iskustva. Ako ne vodite evidenciju važnih podataka, nakon određenog vremena ćete ih zaboraviti i, kada se ponovno počnete baviti ovim problemima, opet ćete raditi iste greške koje ste napravili kada ste to prvi put učinili.

“Sjećam se da smo prije 5 godina proizvodili i do 1000 komada takvih proizvoda mjesečno, a sada ih jedva skupimo 700!” Otvorimo statistiku i vidimo da prije 5 godina nisu proizveli ni 500 komada...

“Koliko košta kilometar vašeg automobila, uzimajući u obzir svatko troškovi? Otvorimo statistiku – 6 rubalja/km. Putovanje na posao - 107 rubalja. Jeftinije od vožnje taksijem (180 rubalja) više od jedan i pol puta. A nekada je bilo jeftinije uzeti taksi...

"Koliko je vremena potrebno za izradu čeličnih konstrukcija kutnog komunikacijskog tornja visokog 50 metara?" Otvaramo statistiku - i za 5 minuta odgovor je spreman...

“Koliko će koštati renoviranje sobe u stanu?” Izvučemo staru evidenciju, napravimo usklađivanje s inflacijom proteklih godina, uzmemo u obzir da smo prošli put kupili materijal 10% jeftinije od tržišne cijene i već znamo procijenjeni trošak...

Vodeći evidenciju o svojim profesionalnim aktivnostima, uvijek ćete biti spremni odgovoriti na pitanje svog šefa: “Kada!!!???” Vodeći kućanske evidencije lakše je planirati izdatke za velike kupovine, godišnji odmor i druge izdatke u budućnosti, poduzimajući odgovarajuće mjere za ostvarivanje dodatnih prihoda ili smanjenje nepotrebnih izdataka već danas.

U ovom članku ću na jednostavnom primjeru pokazati kako se prikupljeni statistički podaci mogu obraditi u Excelu za daljnju upotrebu u predviđanju budućih razdoblja.

Aproksimacija statističkih podataka u Excelu s analitičkom funkcijom.

U proizvodnom pogonu izrađuju se građevinske metalne konstrukcije od lima i profila. Stranica radi stabilno, narudžbe su iste vrste, broj radnika lagano varira. Postoje podaci o proizvodnji proizvoda za prethodnih 12 mjeseci io količini prerađenog valjanog metala u tim vremenskim razdobljima po grupama: limovi, I-grede, kanali, kutnici, okrugle cijevi, pravokutni profili, okrugli proizvodi. Nakon preliminarne analize početnih podataka, proizašla je pretpostavka da ukupna mjesečna proizvodnja metalnih konstrukcija značajno ovisi o broju kutnika u narudžbama. Provjerimo ovu pretpostavku.

Prije svega, nekoliko riječi o aproksimaciji. Tražit ćemo zakon - analitičku funkciju, odnosno funkciju određenu jednadžbom koja bolje od ostalih opisuje ovisnost ukupnog učinka metalnih konstrukcija o količini kutnog čelika u izvršenim narudžbama. Ovo je aproksimacija, a pronađena jednadžba se naziva aproksimirajuća funkcija za izvornu funkciju, zadanu u obliku tablice.

1. Uključite Excel i postavite tablicu sa statističkim podacima na list.

2. Zatim gradimo i oblikujemo dijagram raspršenosti, u kojem duž X osi postavljamo vrijednosti argumenta - broj obrađenih uglova u tonama. Duž Y osi crtamo vrijednosti izvorne funkcije - ukupnu proizvodnju metalnih konstrukcija mjesečno, navedenu u tablici.

3. Miš “usmjeravamo” na bilo koju točku na grafikonu i desnim klikom otvaramo kontekstni izbornik (kao što jedan moj dobar prijatelj kaže - kada radite u nepoznatom programu, kada ne znate što učiniti, češće klikati desnom tipkom miša...). U padajućem izborniku odaberite "Dodaj liniju trenda...".

4. U prozoru "Linija trenda" koji se pojavi, na kartici "Vrsta" odaberite "Linearno".

6. Na grafikonu se pojavila ravna linija, aproksimirajući našu ovisnost u tablici.

Osim same linije, vidimo jednadžbu ove linije i, što je najvažnije, vidimo vrijednost parametra R 2 - vrijednost pouzdanosti aproksimacije! Što je njegova vrijednost bliža 1, odabrana funkcija točnije aproksimira tablične podatke!

7. Linije trenda gradimo koristeći potencijsku, logaritamsku, eksponencijalnu i polinomsku aproksimaciju na isti način kao što smo izgradili linearnu liniju trenda.

Od svih odabranih funkcija polinom drugog stupnja najbolje aproksimira naše podatke i ima najveći koeficijent pouzdanosti R 2 .

Međutim, želim vas upozoriti! Ako uzmete polinome viših stupnjeva, vjerojatno ćete dobiti još bolje rezultate, ali krivulje će izgledati zamršeno... Ovdje je važno razumjeti da tražimo funkciju koja ima fizičko značenje. Što to znači? To znači da nam je potrebna aproksimirajuća funkcija koja će dati odgovarajuće rezultate ne samo unutar razmatranog raspona vrijednosti X, već i izvan njega, odnosno odgovoriti na pitanje: „Koji će biti učinak metalnih konstrukcija ako broj mjesečno obrađenih uglova je manje od 45 i više od 168 tona! Stoga ne preporučam zanositi se polinomima visokih stupnjeva i pažljivo birati parabolu (polinom drugog stupnja)!

Dakle, moramo odabrati funkciju koja ne samo da dobro interpolira tablične podatke unutar raspona vrijednosti X = 45...168, već također omogućuje odgovarajuću ekstrapolaciju izvan tog raspona. U ovom slučaju biram logaritamsku funkciju, iako možete odabrati i linearnu jer je najjednostavnija. U primjeru koji razmatramo, pri odabiru linearne aproksimacije u Excelu, pogreške će biti veće nego pri odabiru logaritamske, ali ne mnogo.

8. Uklanjamo sve linije trenda iz polja grafikona, osim logaritamske funkcije. Da biste to učinili, desnom tipkom miša kliknite nepotrebne retke i odaberite "Očisti" iz kontekstnog izbornika koji se pojavi.

9. Na kraju ćemo tabličnim podatkovnim točkama dodati trake pogrešaka. Da biste to učinili, desnom tipkom miša kliknite bilo koju točku na grafikonu i odaberite "Format data series..." u kontekstnom izborniku i konfigurirajte podatke na kartici "Y-greške" kao na slici ispod.

10. Zatim desnom tipkom miša kliknite bilo koju liniju raspona pogrešaka, odaberite "Formatiraj trake pogrešaka..." u kontekstnom izborniku i u prozoru "Formatiraj trake pogrešaka" na kartici "Prikaz", prilagodite boju i debljinu linija.

Svi drugi objekti dijagrama formatirani su na isti način.Excel!

Konačni rezultat grafikona prikazan je na sljedećoj snimci zaslona.

Rezultati.

Rezultat svih prethodnih radnji bila je rezultirajuća formula za aproksimirajuću funkciju y=-172.01*ln (x)+1188.2. Poznavajući to i broj uglova u mjesečnom nizu radova, moguće je s visokim stupnjem vjerojatnosti (±4% - vidi trake pogrešaka) predvidjeti ukupnu proizvodnju metalnih konstrukcija za mjesec! Na primjer, ako je plan za mjesec 140 tona uglova, tada će ukupna proizvodnja, ako su sve ostale stvari jednake, najvjerojatnije biti 338 ± 14 tona.

Da bi se povećala pouzdanost aproksimacije, potrebno je imati mnogo statističkih podataka. Dvanaest parova vrijednosti nije dovoljno.

Iz prakse ću reći da se pronalaženje aproksimirajuće funkcije s koeficijentom pouzdanosti R 2 >0,87 treba smatrati dobrim rezultatom. Izvrstan rezultat je s R 2 >0,94.

U praksi može biti teško identificirati jedan najvažniji odlučujući faktor (u našem primjeru, masa uglova obrađenih u mjesec dana), ali ako pokušate, uvijek ga možete pronaći u svakom konkretnom zadatku! Naravno, ukupna mjesečna proizvodnja stvarno ovisi o stotinama čimbenika, uzimajući u obzir koji zahtijeva značajne troškove rada od postavljača standarda i drugih stručnjaka. Ali rezultat će i dalje biti približan! Dakle, isplati li se izlagati troškovima kada postoji puno jeftinije matematičko modeliranje!

Ovim člankom dotaknuo sam se samo vrha ledenog brijega koji se zove prikupljanje, obrada i praktična uporaba statističkih podataka. Nadam se da ću iz komentara i ocjena članka na tražilicama saznati jesam li vas uspio ili ne zainteresirati za ovu temu.

Postavljeno pitanje aproksimacije funkcije jedne varijable ima široku praktičnu primjenu u raznim područjima života. Ali rješenje problema aproksimacije funkcije ima puno veću primjenu nekoliko neovisnih varijable... Pročitajte o ovome i više u sljedećim člancima na blogu.

Pretplatite se na najave članaka u prozoru koji se nalazi na kraju svakog članka ili u prozoru na vrhu stranice.

Ne zaboravi potvrditi pretplatite se klikom na link u pismu koje će vam doći na navedenu poštu (može stići u mapu « Spam » )!!!

Sa zanimanjem ću pročitati vaše komentare, dragi čitatelji! Pisati!

p.s. (04.06.2017.)

Vrlo precizna, lijepa zamjena tabličnih podataka jednostavnom jednadžbom.

Niste zadovoljni dobivenom aproksimacijskom točnošću (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Jesu li dimenzije izraza i oblik crte polinoma visokog stupnja aproksimacije neugodni oku?

Molimo pogledajte stranicu "" kako biste dobili točniji i kompaktniji rezultat aproksimacije vaših tabličnih podataka i naučili jednostavnu tehniku ​​za rješavanje problema visoke preciznosti aproksimacije funkcijom jedne varijable.

Korištenjem predloženog algoritma djelovanja, pronađena je vrlo kompaktna funkcija koja daje najveću točnost aproksimacije: R 2 =0,9963!!!

Rješavanje sustava nelinearnih i transcendentnih jednadžbi.

Sustavi nelinearnih i transcendentnih jednadžbi. Rješavanje jednadžbi u numeričkom obliku.

Numeričke metode rješavanja problema

Radiofizika i elektronika

(Tutorial)

Voronjež 2009

Udžbenik je izrađen na Zavodu za fizikalnu elektroniku

Fakultet Voronješkog državnog sveučilišta.

Razmatraju se metode rješavanja problema povezanih s automatiziranom analizom elektroničkih sklopova. Prikazani su osnovni pojmovi teorije grafova. Dana je matrično-topološka formulacija Kirchhoffovih zakona. Opisane su najpoznatije matrično-topološke metode: metoda čvornih potencijala, metoda struja petlje, metoda diskretnih modela, hibridna metoda, metoda promjenjivih stanja.

1. Aproksimacija nelinearnih karakteristika. Interpolacija. 6

1.1. Newtonov i Lagrangeov polinom 6

1.2. Spline interpolacija 8

1.3. Metoda najmanjih kvadrata 9

2. Sustavi algebarskih jednadžbi 28

2.1. Sustavi linearnih jednadžbi. Gaussova metoda. 28

2.2. Rijetki sustavi jednadžbi. LU faktorizacija. 36

2.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi 37

2.4. Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi 40

2.5. Diferencijalne jednadžbe. 44

2. Metode traženja ekstrema. Optimizacija. 28

2.1. Ekstremne metode pretraživanja. 36

2.2. Pasivna pretraga 28

2.3. Sekvencijalno pretraživanje 36

2.4. Višedimenzionalna optimizacija 37

Literatura 47

Aproksimacija nelinearnih karakteristika. Interpolacija.

1.1. Newtonov i Lagrangeov polinom.

Prilikom rješavanja mnogih problema postaje potrebno zamijeniti funkciju f, o kojoj postoje nepotpuni podaci ili je oblik previše složen, s jednostavnijom i prikladnijom funkcijom F, bliskom u jednom ili onom smislu f, dajući njenu aproksimaciju reprezentacija. Za aproksimaciju (aproksimaciju) koriste se funkcije F koje pripadaju određenoj klasi, npr. algebarski polinomi zadanog stupnja. Postoji mnogo različitih verzija problema aproksimacije funkcije, ovisno o tome koje se funkcije f aproksimiraju, koje se funkcije F koriste za aproksimaciju, kako se razumijeva bliskost funkcija f i F itd.

Jedna od metoda za konstruiranje aproksimativnih funkcija je interpolacija, kada se zahtijeva da se u određenim točkama (čvorovima interpolacije) podudaraju vrijednosti izvorne funkcije f i aproksimirajuće funkcije F. U općenitijem slučaju, vrijednosti derivacije u datim točkama moraju se podudarati.

Interpolacija funkcije koristi se za zamjenu funkcije koju je teško izračunati drugom koju je lakše izračunati; za približnu obnovu funkcije iz njezinih vrijednosti u pojedinim točkama; za numeričko diferenciranje i integraciju funkcija; za numeričko rješavanje nelinearnih i diferencijalnih jednadžbi itd.

Najjednostavniji problem interpolacije je sljedeći. Za određenu funkciju na segmentu specificirane su n+1 vrijednosti u točkama koje se nazivaju interpolacijski čvorovi. pri čemu . Potrebno je konstruirati interpolirajuću funkciju F(x) koja uzima iste vrijednosti u čvorovima interpolacije kao f(x):

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

Geometrijski, to znači pronaći krivulju određenog tipa koja prolazi kroz zadani sustav točaka (x i, y i), i = 0,1,…,n.

Ako vrijednosti argumenta idu izvan regije, tada govorimo o ekstrapolaciji - nastavku funkcije izvan regije njezine definicije.

Najčešće se funkcija F(x) konstruira u obliku algebarskog polinoma. Postoji nekoliko prikaza algebarskih interpolacijskih polinoma.

Jedna od metoda za interpolaciju funkcija koje uzimaju vrijednosti u točkama je konstruiranje Lagrangeovog polinoma, koji ima sljedeći oblik:

Stupanj interpolacijskog polinoma koji prolazi kroz n+1 interpolacijskih čvorova jednak je n.

Iz oblika Lagrangeovog polinoma slijedi da dodavanje nove čvorne točke dovodi do promjene svih članova polinoma. To je nepogodnost Lagrangeove formule. Ali Lagrangeova metoda sadrži minimalan broj aritmetičkih operacija.

Za konstruiranje Lagrangeovih polinoma rastućih stupnjeva može se koristiti sljedeća iteracijska shema (Aitkenova shema).

Polinomi koji prolaze kroz dvije točke (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n) mogu se prikazati na sljedeći način:

Polinomi koji prolaze kroz tri točke (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), može se izraziti preko polinoma L ij i L jk:

Polinomi za četiri točke (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) konstruirani su od polinoma L ijk i L jkl:

Proces se nastavlja sve dok se ne dobije polinom koji prolazi kroz n zadanih točaka.

Algoritam za izračunavanje vrijednosti Lagrangeovog polinoma u točki XX, implementirajući Aitkenovu shemu, može se napisati korištenjem operatora:

za (int i=0;i

za (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

to će se percipirati kao greška - ponovljena deklaracija varijable,

varijabla i je već deklarirana

za (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

gdje je niz F međuvrijednosti Lagrangeovog polinoma. U početku, F[I] treba postaviti jednako y i . Nakon izvođenja petlji, F[N] je vrijednost Lagrangeovog polinoma stupnja N u točki XX.

Drugi oblik predstavljanja interpolacijskog polinoma su Newtonove formule. Neka su ekvidistantni čvorovi interpolacije; i=0,1,…,n ; - korak interpolacije.

Newtonova prva interpolacijska formula, koja se koristi za interpolaciju unaprijed, je:

Nazvane (konačne) razlike i-tog reda. Oni su definirani ovako:

Normalizirani argument.

Kada se Newtonova interpolacijska formula pretvori u Taylorov niz.

Newtonova 2. interpolacijska formula koristi se za interpolaciju "natrag":

U zadnjem unosu, umjesto razlika (koje se nazivaju "naprijed" razlike), koriste se "natrag" razlike:

U slučaju nejednako razmaknutih čvorova, tzv odvojene razlike

U ovom slučaju interpolacijski polinom u Newtonovom obliku ima oblik

Za razliku od Lagrangeove formule, dodavanje novog para vrijednosti. (x n +1, y n +1) ovdje se svodi na dodavanje jednog novog člana. Stoga se broj interpolacijskih čvorova može lako povećati bez ponavljanja cijelog izračuna. To vam omogućuje procjenu točnosti interpolacije. Međutim, Newtonove formule zahtijevaju više aritmetičkih operacija nego Lagrangeove formule.

Za n=1 dobivamo formulu za linearnu interpolaciju:

Za n=2 imat ćemo formulu za paraboličku interpolaciju:

Pri interpolaciji funkcija rijetko se koriste algebarski polinomi visokog stupnja zbog značajnih troškova računanja i velikih pogrešaka u izračunavanju vrijednosti.

U praksi se najčešće koristi komadno linearna ili komadno parabolična interpolacija.

Kod komadno-linearne interpolacije, funkcija f(x) na intervalu (i=0,1,…,n-1) aproksimira se ravnim segmentom

Algoritam izračuna koji implementira komadno linearnu interpolaciju može se napisati pomoću operatora:

za (int i=0;i

if ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Pomoću prve petlje tražimo gdje se nalazi željena točka.

S komadnom paraboličnom interpolacijom, polinom se konstruira korištenjem 3 čvorne točke najbliže navedenoj vrijednosti argumenta.

Algoritam izračuna koji implementira paraboličku interpolaciju po komadima može se napisati pomoću operatora:

za (int i=0;i

y0=Fy; Kada je i=0 element ne postoji!

x0=Fx; Isto

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Korištenje interpolacije nije uvijek preporučljivo. Pri obradi eksperimentalnih podataka poželjno je izgladiti funkciju. Aproksimacija eksperimentalnih ovisnosti metodom najmanjih kvadrata temelji se na zahtjevu da se minimalizira korijen srednje kvadratne pogreške

Koeficijenti aproksimirajućeg polinoma nalaze se iz rješavanja sustava m+1 linearnih jednadžbi, tzv. “normalne” jednadžbe, k=0,1,…,m

Osim algebarskih polinoma, trigonometrijski polinomi naširoko se koriste za aproksimaciju funkcija

(vidi “numerička harmonijska analiza”).

Splines su učinkovito sredstvo za aproksimaciju funkcije. Spline zahtijeva da se njegove vrijednosti i derivacije u čvornim točkama podudaraju s interpoliranom funkcijom f(x) i njezinim derivacijama do određenog reda. Međutim, konstrukcija splineova u nekim slučajevima zahtijeva značajne računalne troškove.

1 | | | | | | | | | | | |

Neka se kao rezultat mjerenja tijekom pokusa dobije tablični zadatak određene funkcije f(x), izražavajući odnos između dva geografska parametra:

x	x 1	x 2	…	x n
f(x)	y 1	u 2	…	y n

Naravno, metodom interpolacije možete pronaći formulu koja analitički izražava ovu ovisnost. Međutim, podudarnost vrijednosti dobivene analitičke specifikacije funkcije na interpolacijskim čvorovima s dostupnim empirijskim podacima često ne mora značiti podudarnost ponašanja izvorne i interpolacijske funkcije u cijelom intervalu promatranja. Osim toga, tablična ovisnost geografskih pokazatelja uvijek se dobiva kao rezultat mjerenja raznim instrumentima koji imaju određenu i ne uvijek dovoljno malu grešku mjerenja. Zahtjev za točnim podudaranjem vrijednosti aproksimirajuće i aproksimirajuće funkcije u čvorovima tim je neopravdaniji ako su vrijednosti funkcije f(x), oni dobiveni kao rezultat mjerenja sami su približni.

Problem aproksimacije funkcije jedne varijable od samog početka nužno uzima u obzir ponašanje izvorne funkcije u cijelom intervalu promatranja. Formulacija problema je sljedeća. Funkcija y= f(x) dati tablicom (1). Potrebno je pronaći funkciju zadanog tipa:

koji je u točkama x 1 , x 2 , …, x n uzima vrijednosti što bliže tabličnim y 1, y 2, …, y n.

U praksi se tip aproksimirajuće funkcije najčešće određuje usporedbom oblika aproksimativno izgrađenog grafa funkcije y= f(x) s analitički specificiranim grafovima funkcija poznatih istraživaču (najčešće elementarnih funkcija koje su izgledom jednostavne). Naime, prema tablici (1) konstruiran je dijagram raspršenosti f(x), tada se crta glatka krivulja, koja najbolje odražava prirodu položaja točaka. Na temelju ovako dobivene krivulje utvrđuje se oblik aproksimirajuće funkcije na kvalitativnoj razini.

Razmotrite sliku 6.

Slika 6 prikazuje tri situacije:

• U grafikonu (a) odnos x I na blizu linearnog; ravna linija je ovdje blizu točaka promatranja, a one odstupaju od nje samo kao rezultat relativno malih slučajnih utjecaja.
• Grafikon (b) prikazuje stvarni odnos između veličina x I na je opisana nelinearnom funkcijom, i bez obzira koju ravnu crtu nacrtali, odstupanje točaka promatranja od nje bit će značajno i neslučajno. Istovremeno, nacrtana grana parabole prilično dobro odražava prirodu odnosa između veličina.
• Na grafikonu (c) postoji jasan odnos između varijabli x I na odsutan; kakvu god formulu povezivanja odabrali, rezultati njezine parametrizacije bit će neuspješni. Konkretno, obje odabrane ravne linije jednako su loše za izvođenje zaključaka o očekivanim vrijednostima varijable na po varijabilnim vrijednostima x.

Treba napomenuti da se stroga funkcionalna ovisnost za tablicu početnih podataka rijetko promatra, jer svaka od veličina uključenih u nju može ovisiti o mnogim slučajnim čimbenicima. Međutim, formula (2) (naziva se empirijska formula ili regresijska jednadžba na na x) je zanimljiv jer vam omogućuje pronalaženje vrijednosti funkcije f za netabelarne vrijednosti x, "izglađivanje" rezultata mjerenja količine na, tj. kroz čitav niz promjena x. Opravdanost ovog pristupa u konačnici je određena praktičnom korisnošću dobivene formule.

Kroz postojeći “oblak” točaka uvijek možete pokušati povući liniju utvrđenog tipa, koja je u određenom smislu najbolja među svim linijama datog tipa, odnosno “najbliža” točkama promatranja u njihovoj totalitet. Da bismo to učinili, najprije definiramo koncept blizine pravca određenom skupu točaka na ravnini. Mjere takve blizine mogu varirati. Međutim, svaka razumna mjera mora očito biti povezana s udaljenošću od točaka promatranja do dotične linije (dana jednadžbom y=F(x)).

Pretpostavimo da aproksimirajuća funkcija F(x) u točkama x 1, x 2, ..., x n materija g 1 , g 2 , ..., g n. Često se minimalni zbroj kvadratnih razlika između opažanja zavisne varijable koristi kao kriterij blizine y i te teorijske vrijednosti izračunate pomoću regresijske jednadžbe g ja. Ovdje se vjeruje da y i I x i- poznati podaci promatranja, i F- jednadžba regresijske linije s nepoznatim parametrima (formule za njihov izračun bit će dane u nastavku). Metoda za procjenu parametara aproksimirajuće funkcije koja minimizira zbroj kvadratnih odstupanja opažanja zavisne varijable od vrijednosti željene funkcije naziva se metoda najmanjeg kvadrati (LS) ili Metoda najmanjih kvadrata (LS).

Dakle, problem aproksimacije funkcije f sada se može formulirati na sljedeći način: za funkciju f, dano tablicom (1), pronađite funkciju F određenog tipa tako da zbroj kvadrata F bude najmanji.

Razmotrimo metodu pronalaženja aproksimirajuće funkcije u općem obliku na primjeru aproksimirajuće funkcije s tri parametra:

(3)

Neka F(xi, a, b, c) = yi, i=1, 2, ..., n. Zbroj kvadrata razlika odgovarajućih vrijednosti f I F izgledat će ovako:

Ovaj zbroj je funkcija F (a, b, c) tri varijable (parametri a, b I c). Zadatak se svodi na pronalaženje njegovog minimuma. Koristimo nužni uvjet za ekstrem:

Dobivamo sustav za određivanje nepoznatih parametara a, b, c.

(5)

Nakon što smo riješili ovaj sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice u pogledu parametara a, b, c, dobit ćemo konkretan oblik željene funkcije F(x, a, b, c). Kao što se vidi iz razmatranog primjera, promjena broja parametara neće dovesti do narušavanja suštine samog pristupa, već će se samo izraziti u promjeni broja jednadžbi u sustavu (5).

Prirodno je očekivati ​​da vrijednosti nađene funkcije F(x, a, b, c) u točkama x 1, x 2, ..., x n, razlikovat će se od vrijednosti u tablici y 1 , y 2 , ..., y n. Vrijednosti razlike y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) nazivaju se odstupanja mjernih vrijednosti g od onih izračunatih formulom (3). Za pronađenu empirijsku formulu (2) u skladu s izvornom tablicom (1) moguće je, dakle, pronaći

zbroj kvadrata odstupanja koji bi, sukladno metodi najmanjih kvadrata, za zadanu vrstu aproksimacijske funkcije (i pronađene vrijednosti parametara) trebao biti najmanji. Od dvije različite aproksimacije iste tablične funkcije, prema metodi najmanjih kvadrata, najboljom treba smatrati onu za koju zbroj (4) ima najmanju vrijednost.

U eksperimentalnoj praksi, kao aproksimativne funkcije ovisno o prirodi dijagrama raspršenja fČesto se koriste aproksimativne funkcije s dva parametra:

Očito, kada se utvrdi vrsta funkcije aproksimacije, zadatak se svodi samo na pronalaženje vrijednosti parametara.

Razmotrimo najčešće empirijske ovisnosti u praktičnom istraživanju.

3.3.1. Linearna funkcija (linearna regresija). Početna točka analize ovisnosti obično je procjena linearne ovisnosti varijabli. Treba, međutim, uzeti u obzir da “najbolja” ravna linija metodom najmanjih kvadrata uvijek postoji, ali ni najbolja nije uvijek dovoljno dobra. Ako je u stvarnosti ovisnost y=f(x) je kvadratna, onda je nijedna linearna funkcija ne može adekvatno opisati, iako će među svim takvim funkcijama sigurno biti “najbolja”. Ako vrijednosti x I na nisu uopće povezane, također uvijek možemo pronaći "najbolju" linearnu funkciju y=ax+b za dani skup opažanja, ali u ovom slučaju specifične vrijednosti A I b određeni su samo slučajnim odstupanjima varijabli i sami će uvelike varirati za različite uzorke iz iste populacije.

Razmotrimo sada formalnije problem procjene koeficijenata linearne regresije. Pretpostavimo da veza između x I g je linearna te ćemo željenu aproksimirajuću funkciju tražiti u obliku:

Nađimo parcijalne derivacije u odnosu na parametre:

Zamijenimo dobivene relacije u sustav oblika (5):

ili, dijeleći svaku jednadžbu s n:

Uvedimo sljedeću oznaku:

(7)

Tada će posljednji sustav izgledati ovako:

(8)

Koeficijenti ovog sustava M x, M y, M xy, M x 2- brojevi koji se u svakom konkretnom aproksimacijskom problemu mogu jednostavno izračunati pomoću formula (7), gdje x i, y i- vrijednosti iz tablice (1). Nakon što smo riješili sustav (8), dobivamo vrijednosti parametara a I b, a time i specifični oblik linearne funkcije (6).

Nužan uvjet za izbor linearne funkcije kao željene empirijske formule je odnos:

3.3.2. Kvadratna funkcija (kvadratna regresija). Tražit ćemo aproksimirajuću funkciju u obliku kvadratnog trinoma:

Nalaženje parcijalnih derivacija:

Kreirajmo sustav oblika (5):

Nakon jednostavnih transformacija dobivamo sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice a, b, c. Koeficijenti sustava, kao i kod linearne funkcije, izražavaju se samo preko poznatih podataka iz tablice (1):

(10)

Ovdje se koristi oznaka (7), kao i

Rješenje sustava (10) daje vrijednost parametara a, b I S za aproksimirajuću funkciju (9).

Kvadratna regresija se primjenjuje ako su svi izrazi oblika y 2 -2y 1 + y 0, y 3 -2 y 2 + y 1, y 4 -2 y 3 + y 2 itd. malo razlikuju jedni od drugih.

3.3.3. Funkcija snage (geometrijska regresija) Nađimo sada aproksimirajuću funkciju u obliku:

(11)

Uz pretpostavku da su u izvornoj tablici (1) vrijednosti argumenta i vrijednosti funkcije pozitivne, uzimamo logaritam jednakosti (11) pod uvjetom a>0:

Budući da funkcija F je aproksimacija za funkciju f, funkcija lnf bit će aproksimacija funkcije lnf. Uvedimo novu varijablu u=lnx; tada, kako slijedi iz (12), lnf bit će funkcija u: F(u).

Označimo

Sada jednakost (12) ima oblik:

oni. problem se sveo na pronalaženje aproksimirajuće funkcije u obliku linearne. U praksi, da bismo pronašli željenu aproksimirajuću funkciju u obliku funkcije snage (pod gore navedenim pretpostavkama), potrebno je učiniti sljedeće:

1. koristeći ovu tablicu (1) kreirajte novu tablicu, uzimajući logaritme vrijednosti x I g u izvornoj tablici;

2. koristite novu tablicu za pronalaženje parametara A I U aproksimativna funkcija forme (14);

3. Koristeći notaciju (13), pronaći vrijednosti parametara a I m i zamijenite ih u izraz (11).

Nužan uvjet za izbor funkcije snage kao željene empirijske formule je relacija:

3.3.4. Eksponencijalna funkcija . Neka je izvorna tablica (1) takva da je preporučljivo aproksimirajuću funkciju tražiti u obliku eksponencijalne funkcije:

Uzmimo logaritam jednakosti (15):

(16)

Uzimajući notaciju (13), prepisujemo (16) u obliku:

(17)

Dakle, da biste pronašli aproksimirajuću funkciju u obliku (15), potrebno je logaritmirati vrijednosti funkcije u izvornoj tablici (1) i, uzimajući ih u obzir zajedno s izvornim vrijednostima argumenta, konstruirati aproksimirajuću funkciju obrasca (17) za novu tablicu. Nakon toga, u skladu s oznakom (13), preostaje dobiti vrijednosti traženih parametara a I b i zamijenite ih u formulu (15).

Nužan uvjet za izbor eksponencijalne funkcije kao željene empirijske formule je odnos:

.

3.3.5. Frakcijska linearna funkcija. Tražit ćemo aproksimirajuću funkciju u obliku:

(18)

Jednakost (18) prepisujemo na sljedeći način:

Iz posljednje jednakosti slijedi da za pronalaženje vrijednosti parametara a I b za zadanu tablicu (1), morate stvoriti novu tablicu, u kojoj su vrijednosti argumenata ostavljene iste, a vrijednosti funkcije zamijenjene inverznim brojevima, a zatim za rezultirajuću tablicu pronaći aproksimaciju funkcija forme sjekira+b. Pronađene vrijednosti parametara a I b zamijeniti u formulu (18).

Nužan uvjet za izbor frakcijske linearne funkcije kao željene empirijske formule je relacija:

.

3.3.6. Logaritamska funkcija. Neka aproksimirajuća funkcija ima oblik:

Lako je vidjeti da je za prelazak na linearnu funkciju dovoljno izvršiti zamjenu lnx=u. Slijedi da za pronalaženje vrijednosti a I b morate logaritmirati vrijednosti argumenta u izvornoj tablici (1) i, uzimajući u obzir dobivene vrijednosti u kombinaciji s izvornim vrijednostima funkcije, pronaći aproksimirajuću funkciju u obliku linearne za tako dobivenu novu tablicu. Izgledi a I b nađenu funkciju zamijenite u formulu (19).

Nužan uvjet za izbor logaritamske funkcije kao željene empirijske formule je relacija:

.

3.3.7. Hiperbola. Ako dijagram raspršenja konstruiran iz tablice (1) daje granu hiperbole, aproksimirajuća funkcija može se tražiti u obrascu.