Точки на графике дифференцируемой функции. Дифференцирование функций. Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема

Содержание статьи

ПРОИЗВОДНАЯ –производной функции y = f (x ), заданной на некотором интервале (a , b ) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

Широко употребляются и другие обозначения:

Мгновенная скорость.

Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M 0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t : s = f (t ). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M 0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M 1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис .).

Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds . В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds .

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t . Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t . Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:

Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt , когда приращение времени стремится к нулю. Так как

Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления .

Пусть кривая есть график функции y = f (x ) в прямоугольной системе координат (см . рис.).

При некотором значении x функция имеет значение y = f (x ). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M 0(x , y ). Если аргументу x дать приращение Dx , то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+ Dy = f (x + Dx ). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M 1(x + Dx , y + Dy ). Если провести секущую M 0M 1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox , из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M 1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M 0, и угол j изменяется с изменением Dx . При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M 0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

Следовательно, f ´(x ) = tga

т.е. значение производной f ´(x ) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x ) в соответствующей точке M 0(x ,y ) с положительным направлением оси Ox .

Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f (x ) имеет производную в точке x = x 0, то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f (a ) = f (b ) = 0), то внутри отрезка [a ,b ] существует, по крайней мере одна, точка x = с , a c b, в которой производная f ў(x ) обращается в нуль, т.е. f ў(c ) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a , b ] найдется по крайней мере одна точка с , a c b, что

f (b ) – f (a ) = f ў(c )(b – a ).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f (x ) и g (x ) – две функции, непрерывные на отрезке [a , b ] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ў(x ) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a , b ] найдется такая точка x = с , a c b, что

Производные различных порядков.

Пусть функция y = f (x ) дифференцируема на некотором отрезке [a , b ]. Значения производной f ў(x ), вообще говоря, зависят от x , т.е. производная f ў(x ) представляет собой тоже функцию от x . При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f (x ), которая обозначается f ўў (x ).

Производной n- го порядка от функции f (x ) называется производная (первого порядка) от производной n- 1- го и обозначается символом y (n ) = (y (n – 1))ў.

Дифференциалы различных порядков.

Дифференциал функции y = f (x ), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x )dx , некоторая функция от x , но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x ), второй же сомножитель (dx ) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x , то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2y :

d (dx ) = d 2y = f ўў(x )(dx ) 2 .

Дифференциалом n- го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n- 1- го порядка:

d n y = d (d n –1 y ) = f (n )(x )dx (n ).

Частная производная.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x i (i изменяется от 1 до n , i = 1, 2,… n ), f (x 1, x 2,… x n ), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x i . Частная производная 1-ого порядка по x i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x i , сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.

Анна Чугайнова

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что стремится к нулю.

Основные правила нахождения производной

Если - и - дифференцируемые функции в точке , (т.е. функции, имеющие производные в точке ), то:

4) .

Таблица производных основных функций

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Правило дифференцирования сложной функции. Если и , т.е. , где и имеют производные, то

Дифференцирование функции, заданной параметрически . Пусть зависимость переменной от переменной задана параметрически посредством параметра :

Задание 3 . Найти производные данных функций.

1)

Решение . Применяя правило 2 нахождения производных и формулы 1 и 2 таблицы производных, получаем:

Решение. Применяя правило 4 нахождения производных и формулы 1 и 13 таблицы производных, получаем:

.

Решение. Применяя правило 3 нахождения производных и формулы 5 и 11 таблицы производных, получаем:

Решение. Полагая , где , согласно формуле нахождения производной сложной функции, получим:

Решение . Имеем: Тогда, согласно формуле нахождения производной функции, заданной параметрически, получаем:

4. Производные высших порядков. Правило Лопиталя .

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной, т.е. . Для второй производной используются следующие обозначения: или , или .

Производной - го порядка от функции называется производная от ее производной -го порядка. Для производной -го порядка используются следующие обозначения: или , или .

Правило Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки , причем производная не обращается в нуль. Если функции и являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при , и при этом существует предел отношения при , то существует также и предел отношения при . Причем

.

Правило применимо и в случае, когда .

Заметим, что в некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.

Неопределенности вида и т.д. с помощью элементарных преобразований легко сводятся к неопределенностям вида или .

Задание 4 . Найти предел , пользуясь правилом Лопиталя.

Решение Здесь мы имеем неопределенность вида , т.к. при . Применим правило Лопиталя:

.

После применения правила Лопиталя мы снова получили неопределенность вида , т.к. при . Применяя снова правило Лопиталя повторно, получим:

.

5. Исследование функций

а) Возрастание и убывание функций

Функция называется возрастающей на отрезке , если для любых точек и из отрезка , где , имеет место неравенство . Если функция непрерывна на отрезке и при , то возрастает на отрезке .

Функция называется убывающей на отрезке ,если для любых точек и из отрезка , где , имеет место неравенство . Если функция непрерывна на отрезке и при , то убывает на отрезке .

Если функция является только возрастающей или только убывающей на данном интервале, то она называется монотонной на интервале.

b) Экстремумы функций

точкой минимума функции .

Если существует -окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности имеет место неравенство , то точка называется точкой максимума функции .

Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.

Точка называется стационарной точкой, если или не существует.

Если существует -окрестность стационарной точки такая, что при и при , то - точка максимума функции .

Если существует -окрестность стационарной точки такая, что при и при , то -точка минимума функции .

a) Направление выпуклости. Точки перегиба

выпуклым вверх на интервале , еслион расположен ниже касательной, построенной к графику функции в любой точке этого интервала.

Достаточным условием выпуклости вверх графика функции на интервале является выполнение неравенства для любого из рассматриваемого интервала.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , еслион расположен выше касательной, построенной к графику функции в любой точке этого интервала.

Достаточным условием выпуклости вниз графика функции на интервале является выполнение неравенства для любого из рассматриваемого интервала.

Точка , в которой меняется направление выпуклости графика функции , называется точкой перегиба.

Точка , где или не существует, является абсциссой точки перегиба, если слева и справа от нее имеет разные знаки.

d) Асимптоты

Если расстояние от точки графика функции до некоторой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат, то прямую называют асимптотой графика функции.

Если существует число такое, что , то прямая является вертикальной асимптотой.

Если существуют пределы , то прямая является наклонной (горизонтальной при k=0) асимптотой.

e) Общее исследование функции

1. Область определения функции

2. Точки пересечения графика с осями координат

3. Исследование функции на непрерывность, четность / нечетность и периодичность

4. Интервалы монотонности функции

5. Точки экстремума функции

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

7. Асимптоты графика функции

8. График функции.

Задание 5 . Исследовать функцию и построить ее график.

Решение . 1) Функция определена на всей числовой оси за исключением точки , где знаменатель дроби обращается в нуль. . Имеем: не принадлежит области определения данной функции. Следовательно, стационарными точками данной функции являются точки, минимальное значение (что показано на рисунке).

8) Используя полученные данные, построим график исходной функции: