Тела под действием земного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести. Движение тела под действием силы тяжести: формулы для решения задач

Исходя из трактовки второго закона Ньютона, можно сделать вывод, что изменение движения происходит посредствам силы. Механика рассматривает силы различной физической природы. Многие из них определяются с помощью действия сил тяготения.

В 1862 году был открыт закон всемирного тяготения И. Ньютоном. Он предположил, что силы, удерживающие Луну, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. Смысл гипотезы состоит в наличии действия сил притяжения, направленных по линии и соединяющих центры масс, как изображено на рисунке 1 . 10 . 1 . Шаровидное тело имеет центр массы, совпадающий с центром шара.

Рисунок 1 . 10 . 1 . Гравитационные силы притяжения между телами. F 1 → = - F 2 → .

Определение 1

При известных направлениях движений планет Ньютон пытался выяснить, какие силы действуют на них. Этот процесс получил название обратной задачи механики .

Основная задача механики – определение координат тела известной массы с его скоростью в любой момент времени при помощи известных сил, действующих на тело, и заданным условием (прямая задача). Обратная же выполняется с определением действующих сил на тело с известным его направлением. Такие задачи привели ученого к открытию определения закона всемирного тяготения.

Определение 2

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

F = G m 1 m 2 r 2 .

Значение G определяет коэффициент пропорциональности всех тел в природе, называемое гравитационной постоянной и обозначаемое по формуле G = 6 , 67 · 10 - 11 Н · м 2 / к г 2 (С И) .

Большинство явлений в природе объясняются наличием действия силы всемирного тяготения. Движение планет, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все объясняется законом тяготения и динамики.

Определение 3

Проявлении силы тяготения характеризуется наличием силы тяжести . Так называется сила притяжения тел к Земле и вблизи ее поверхности.

Когда М обозначается как масса Земли, R З – радиус, m – масса тела, то формула силы тяжести принимает вид:

F = G M R З 2 m = m g .

Где g – ускорение свободного падения, равняющееся g = G M R З 2 .

Сила тяжести направлена к центру Земли, как показано в примере Луна-Земля. При отсутствии действия других сил тело движется с ускорением свободного падения. Его среднее значение равняется 9 , 81 м / с 2 . При известном G и радиусе R 3 = 6 , 38 · 10 6 м производятся вычисления массы Земли М по формуле:

M = g R 3 2 G = 5 , 98 · 10 24 к г.

Если тело удаляется от поверхности Земли, тогда действие силы тяготения и ускорения свободного падения меняются обратно пропорционально квадрату расстояния r к центру. Рисунок 1 . 10 . 2 показывает, как изменяется сила тяготения, действующая на космонавта корабля, при удалении от Земли. Очевидно, что F притягивания его к Земле равняется 700 Н.

Рисунок 1 . 10 . 2 . Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли.

Пример 1

Земля-Луна подходит в качестве примера взаимодействия системы двух тел.

Расстояние до Луны – r Л = 3 , 84 · 10 6 м. Оно в 60 раз больше радиуса Земли R З. Значит, при наличии земного притяжения, ускорение свободного падения α Л орбиты Луны составит α Л = g R З r Л 2 = 9 , 81 м / с 2 60 2 = 0 , 0027 м / с 2 .

Оно направлено к центру Земли и получило название центростремительного. Расчет производится по формуле a Л = υ 2 r Л = 4 π 2 r Л T 2 = 0 , 0027 м / с 2 , где Т = 27 , 3 суток – период обращения Луны вокруг Земли. Результаты и расчеты, выполненные разными способами, говорят о том, что Ньютон был прав в своем предположении единой природы силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Луна имеет собственное гравитационное поле, которое определяет ускорение свободного падения g Л на поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус в 3 , 7 раза. Отсюда видно, что ускорение g Л следует определять из выражения:

g Л = G M Л R Л 2 = G M З 3 , 7 2 T 3 2 = 0 , 17 g = 1 , 66 м / с 2 .

Такая слабая гравитация характерна для космонавтов, находящихся на Луне. Поэтому можно совершать огромные прыжки и шаги. Прыжок вверх на метр на Земле соответствует семиметровому на Луне.

Движение искусственных спутников зафиксировано за пределами земной атмосферы, поэтому на них оказывают действие силы тяготения Земли. Траектория космического тела может изменяться в зависимости от начальной скорости. Движение искусственного спутника по околоземной орбите приближенно принимается в качестве расстояния до центра Земли, равняющемуся радиусу R З. Они летают на высотах 200 - 300 к м.

Определение 4

Отсюда следует, что центростремительное ускорение спутника, которое сообщается силами тяготения, равняется ускорению свободного падения g . Скорость спутника примет обозначение υ 1 . Ее называют первой космической скоростью .

Применив кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получаем

a n = υ 1 2 R З = g , υ 1 = g R З = 7 , 91 · 10 3 м / с.

При такой скорости спутник смог облететь Землю за время, равное T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 м и н 12 с.

Но период обращения спутника по круговой орбите вблизи Земли намного больше, чем указано выше, так как существует различие между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.

Спутник движется по принципу свободного падения, отдаленно похожее на траекторию снаряда или баллистической ракеты. Разница заключается в большой скорости спутника, причем радиус кривизны его траектории достигает длины радиуса Земли.

Спутники, которые движутся по круговым траекториям на больших расстояниях, имеют ослабленное земное притяжение, обратно пропорциональное квадрату радиуса r траектории. Тогда нахождение скорости спутника следует по условию:

υ 2 к = g R 3 2 r 2 , υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r .

Поэтому, наличие спутников на высоких орбитах говорит о меньшей скорости их движения, чем с околоземной орбиты. Формула периода обращения равняется:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR з υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.

T 1 принимает значение периода обращения спутника по околоземной орбите. Т возрастает с размерами радиуса орбиты. Если r имеет значение 6 , 6 R 3 то Т спутника равняется 24 часам. При его запуске в плоскости экватора, будет наблюдаться, как висит над некоторой точкой земной поверхности. Применение таких спутников известно в системе космической радиосвязи. Орбиту, имеющую радиус r = 6 , 6 R З, называют геостационарной.

Рисунок 1 . 10 . 3 . Модель движения спутников.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Действием сил всемирного тяготения в природе объясняются многие явления: движение планет в Солнечной системе, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все они находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Закон всемирного тяготения объясняет механическое устройство Солнечной системы, и законы Кеплера, описывающие траектории движения планет, могут быть выведены из него. Для Кеплера его законы носили чисто описательный характер - ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения. То есть мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести - так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности.

Если M – масса Земли, RЗ – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна

где g – ускорение свободного падения;

у поверхности Земли

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения.

Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (RЗ = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли

Картину устройства солнечной системы, вытекающую из этих уравнений и объединяющую земную и небесную гравитацию, можно понять на простом примере. Предположим, мы стоим у края отвесной скалы, рядом пушка и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит - и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

Теперь представим, что мы забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет и продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты.

Иными словами, мы получим искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по орбите, подобно естественному спутнику - Луне.

Так поэтапно мы перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля–Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·106 м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли RЗ. Следовательно, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения

где T = 27,3 сут – период обращения Луны вокруг Земли.

Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gЛ на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли.

Поэтому ускорение gЛ определится выражением

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

Рассмотрим вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники Земли движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли.

В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Рассмотрим случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200–300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через υ1 – такая скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 RЗ, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 RЗ называется геостационарной.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рисунок 5 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Космические скорости

Указаны скорости вблизи поверхности Земли: 1) υ = υ1 – круговая траектория;

2) υ1 < υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – параболическая траектория; 5) υ > υ2 – гиперболическая траектория;

6) траектория Луны

Таким образом,мы выяснили, что все движения в Солнечной системе подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона.

Исходя из малой массы планет и тем более прочих тел Солнечной системы, можно приближенно считать, что движения в околосолнечном пространстве подчиняются законам Кеплера.

Все тела движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Чем ближе к Солнцу небесное тело, тем быстрее его скорость движения по орбите (планета Плутон, самая далекая из известных, движется в 6 раз медленнее Земли).

Тела могут двигаться и по разомкнутым орбитам: параболе или гиперболе. Это случается в том случае, если скорость тела равна или превышает значение второй космической скорости для Солнца на данном удалении от центрального светила. Если речь идет о спутнике планеты, то и космическую скорость надо рассчитывать относительно массы планеты и расстояния до ее центра.

Движение тела под действием силы тяжести является одной из центральных тем в динамической физике. О том, что раздел динамики базируется на трех знает даже обычный школьник. Давайте постараемся разобрать эту тему досконально, а статья, подробно описывающая каждый пример, поможет нам сделать изучение движения тела под действием силы тяжести максимально полезным.

Немного истории

Люди с любопытством наблюдали за различными явлениями, происходящими в нашей жизни. Человечество долгое время не могло понять принципы и устройство многих систем, однако длительный путь изучения окружающего мира привел наших предков к научному перевороту. В наши дни, когда технологии развиваются с неимоверной скоростью, люди почти не задумываются о том, каким образом работают те или иные механизмы.

А между тем наши предки всегда интересовались загадками природных процессов и устройством мира, искали ответы на самые сложные вопросы и не переставали изучать, пока не находили на них ответы. Так, например, известный ученый Галилео Галилей еще в 16 веке задался вопросами: "Почему тела всегда падают вниз, какая же сила притягивает их к земле?" В 1589 году он поставил ряд опытов, результаты которых оказались весьма ценными. Он подробно изучал закономерности свободного падения различных тел, сбрасывая предметы со знаменитой башни в городе Пизе. Законы, которые он вывел, были улучшены и более детально описаны формулами еще одним известным английским ученым - сэром Исааком Ньютоном. Именно ему принадлежат три закона, на которых основана практически вся современная физика.

Тот факт, что закономерности движения тел, описанные более 500 лет назад, актуальны и по сей день, означает, что наша планета подчиняется неизменным законам. Современному человеку необходимо хотя бы поверхностно изучить основные принципы обустройства мира.

Основные и вспомогательные понятия динамики

Для того чтобы полностью понять принципы подобного движения, следует сначала ознакомиться с некоторыми понятиями. Итак, самые необходимые теоретические термины:

Взаимодействие - это воздействие тел друг на друга, при котором происходит изменение или начало их движения относительно друг друга. Различают четыре вида взаимодействия: электромагнитное, слабое, сильное и гравитационное.
Скорость - это физическая величина, обозначающая быстроту, с которой двигается тело. Скорость является вектором, то есть имеет не только значение, но также и направление.
Ускорение - та величина, которая показывает нам быстроту изменения скорости тела в промежуток времени. Она также является
Траектория пути - это кривая, а иногда - прямая линия, которую очерчивает тело при движении. При равномерном прямолинейном движении траектория может совпадать со значением перемещения.
Путь - это длина траектории, то есть ровно столько, сколько прошло тело за определенное количество времени.
Инерциальная система отсчета - это среда, в которой выполняется первый закон Ньютона, то есть тело сохраняет свою инерцию, при условии, что полностью отсутствуют все внешние силы.

Вышеуказанных понятий вполне достаточно для того, чтобы грамотно начертить или представить в голове моделирование движения тела под действием силы тяжести.

Что значит сила?

Давайте перейдем к основному понятию нашей темы. Итак, сила - это величина, смысл которой заключается в воздействии или влиянии одного тела на другое количественно. А сила тяжести - это та сила, которая действует абсолютно на каждое тело, находящееся на поверхности или вблизи нашей планеты. Возникает вопрос: откуда же берется эта самая сила? Ответ заключается в законе всемирного тяготения.

А что такое сила тяжести?

На любое тело со стороны Земли оказывает влияние гравитационная сила, которая сообщает ему некоторое ускорение. Сила тяжести всегда имеет вертикальное направление вниз, к центру планеты. Иначе говоря, сила тяжести притягивает предметы к Земле, вот почему предметы всегда падают вниз. Получается, что сила тяжести - это частный случай силы всемирного тяготения. Ньютон вывел одну из главных формул для нахождения силы притяжение между двумя телами. Выглядит она таким образом: F = G * (m 1 х m 2) / R 2 .

Чему равно ускорение свободного падения?

Тело, которое отпустили с некоторой высоты, всегда летит вниз под действием силы притяжения. Движение тела под действием силы тяжести вертикально вверх и вниз можно описать уравнениями, где основной константой будет являться значение ускорения "g". Эта величина обусловлена исключительно действием силы притяжения, и ее значение приблизительно равно 9,8 м/с 2 . Получается, что тело, брошенное с высоты без начальной скорости, будет двигаться вниз с ускорением равным значению "g".

Движение тела под действием силы тяжести: формулы для решения задач

Основная формула нахождения силы тяжести выглядит следующим образом: F тяжести = m х g, где m - это масса тела, на которое действует сила, а "g" - ускорение свободного падения (для упрощения задач его принято считать равным 10 м/с 2).

Есть еще несколько формул, используемых для нахождения того или иного неизвестного при свободном движении тела. Так, например, для того чтобы вычислить пройденный телом путь, необходимо подставить известные значения в эту формулу: S = V 0 х t + a х t 2 / 2 (путь равен сумме произведений начальной скорости умноженной на время и ускорения на квадрат времени, деленной на 2).

Уравнения для описания вертикального движения тела

Движение тела под действием силы тяжести по вертикали можно описать уравнением, которое выглядит так: x = x 0 + v 0 х t + a х t 2 / 2. Используя данное выражение, можно найти координаты тела в известный момент времени. Необходимо просто подставить известные в задаче величины: начальное местоположение, начальную скорость (если тело не просто отпустили, а толкнули с некоторой силой) и ускорение, в нашем случае оно будет равно ускорению g.

Таким же образом можно найти и скорость тела, которое движется под действием силы притяжения. Выражение для нахождения неизвестной величины в любой момент времени: v = v 0 + g х t (значение начальной скорости может быть равным нулю, тогда скорость будет равна произведению ускорения свободного падения на значение времени, за которое тело совершает движение).

Движение тел под действием силы тяжести: задачи и способы их решений

При решении многих задач, связанных с силой тяжести, рекомендуем воспользоваться следующим планом:

Определить для себя удобную инерциальную систему отсчета, обычно принято выбирать Землю, потому как она отвечает многим требованиям к ИСО.
Нарисовать небольшой чертеж или рисунок, на котором изображены основные силы, действующие на тело. Движение тела под действием силы тяжести подразумевает набросок или схему, на которой указано, в каком направлении движется тело, если на него действует ускорение, равное g.
Затем следует выбрать направление для проецирования сил и полученных ускорений.
Записать неизвестные величины и определить их направление.
И наконец, используя указанные выше формулы для решения задач, вычислить все неизвестные величины, подставив данные в уравнения для нахождения ускорения или пройденного пути.

Готовое решение легкой задачи

Когда речь идет о таком явлении, как движение тела под действием того, каким способом практичнее решать поставленную задачу, может быть затруднительным. Однако есть несколько хитростей, используя которые, можно с легкостью решить даже самое сложное задание. Итак, разберем на живых примерах, как следует решать ту или иную задачу. Начнем с легкой для понимания задачи.

Некоторое тело отпустили с высоты 20 м без начальной скорости. Определить, за какое количество времени оно достигнет поверхности земли.

Решение: нам известен путь, пройденный телом, известно, что начальная скорость была равна 0. Также можем определить, что на тело действует только сила тяжести, получается, что это движение тела под действием силы тяжести, и поэтому следует воспользоваться этой формулой: S = V 0 х t + a х t 2 /2. Так как в нашем случае a = g, то после некоторых преобразований получаем следующее уравнение: S = g х t 2 / 2. Теперь осталось только выразить время через эту формулу, получаем, что t 2 = 2S / g. Подставим известные величины (при этом считаем, что g = 10 м/с 2) t 2 = 2 х 20 / 10 = 4. Следовательно, t = 2 с.

Итак, наш ответ: тело упадет на землю за 2 секунды.

Трюк, позволяющий быстро решить задачу, состоит в следующем: можно заметить, что описанное движение тела в приведенной задаче происходит в одном направлении (вертикально вниз). Оно весьма схоже с равноускоренным движением, так как на тело не действует никакая сила, кроме силы тяжести (силой сопротивления воздуха пренебрегаем). Благодаря этому можно воспользоваться легкой формулой для нахождения пути при равноускоренном движении, минуя изображения чертежей с расстановкой действующих на тело сил.

Пример решения более сложной задачи

А теперь давайте посмотрим, как лучше решать задачи на движение тела под действием силы тяжести, если тело движется не вертикально, а имеет более сложный характер перемещения.

Например, следующая задача. Некоторый предмет массой m движется с неизвестным ускорением вниз по наклонной плоскости, коэффициент трения которой равен k. Определить значение ускорения, которое имеется при движении данного тела, если угол наклона α известен.

Решение: Следует воспользоваться планом, который описан выше. В первую очередь начертить рисунок наклонной плоскости с изображением тела и всех действующих на него сил. Получится, что на него действуют три составляющие: сила тяжести, трения и сила реакции опоры. Выглядит общее уравнение равнодействующих сил так: F трения + N + mg = ma.

Главной изюминкой задачи является условие наклонности под углом α. При ox и ось oy необходимо учесть данное условие, тогда у нас получится следующее выражение: mg х sin α - F трения = ma (для оси ох) и N - mg х cos α = F трения (для оси oy).

F трения легко вычислить по формуле нахождения силы трения, она равна k х mg (коэффициент трения, умноженный на произведение массы тела и ускорения свободного падения). После всех вычислений остается только подставить найденные значения в формулу, получится упрощенное уравнение для вычисления ускорения, с которым движется тело вдоль наклонной плоскости.

По второму закону Ньютона предпосылкой конфигурации движения, другими словами предпосылкой ускорения тел, является сила. В механике рассматриваются силы различной физической природы. Многие механические явления и процессы определяются действием сил тяготения . Закон глобального тяготения был открыт И. Ньютоном в 1682 году. Еще в 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его догадке меж всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по полосы, соединяющей центры масс (рис. 1.10.1). У тела в виде однородного шара центр тяжести совпадает с центром шара.

В следующие годы Ньютон пробовал отыскать физическое разъяснение законам движения планет , открытых астрологом И. Кеплером сначала XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная как движутся планетки, Ньютон желал найти, какие силы на их действуют. Таковой путь носит заглавие оборотной задачки механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в хоть какой момент времени по известным силам, действующим на тело, и данным исходным условиям (ровная задачка механики) , то при решении оборотной задачки нужно найти действующие на тело силы, если понятно, как оно движется. Решение этой задачки и привело Ньютона к открытию закона глобального тяготения. Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и назад пропорциональной квадрату расстояния меж ними:

Коэффициент пропорциональности G схож для всех тел в природе. Его именуют гравитационной неизменной

Многие явления в природе объясняются действием сил глобального тяготения. Движение планет в Солнечной системе, движение искусственных спутников Земли, линии движения полета баллистических ракет, движение тел поблизости поверхности Земли - все эти явления находят разъяснение на базе закона глобального тяготения и законов динамики. Одним из проявлений силы глобального тяготения является сила тяжести . Так принято именовать силу притяжения тел к Земле поблизости ее поверхности. Если M - масса Земли, RЗ - ее радиус, m - масса данного тела, то сила тяжести равна

где g - ускорение свободного падения у поверхности Земли:

Сила тяжести ориентирована к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения. Среднее значение ускорения свободного падения для разных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (RЗ = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли M:

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения меняются назад пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Рис. 1.10.2 иллюстрирует изменение силы тяготения, действующей на астронавта в галлактическом корабле при его удалении от Земли. Сила, с которой астронавт притягивается к Земле поблизости ее поверхности, принята равной 700 Н.

Примером системы 2-ух взаимодействующих тел может служить система Земля-Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·106 м. Это расстояние примерно в 60 раз превосходит радиус Земли RЗ. Как следует, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Как следует, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно высчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения (см. §1.6):

где T = 27,3 сут - период воззвания Луны вокруг Земли. Совпадение результатов расчетов, выполненных различными методами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести. Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gЛ на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Потому ускорение gЛ обусловится выражением:

В критериях таковой слабенькой гравитации оказались астронавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких критериях может совершать огромные прыжки. К примеру, если человек в земных критериях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подскочить на высоту более 6 м. Разглядим сейчас вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники движутся за пределами земной атмосферы, и на их действуют только силы тяготения со стороны Земли. Зависимо от исходной скорости линия движения галлактического тела может быть различной (см. §1.24). Мы разглядим тут только случай движения искусственного спутника по радиальный околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200-300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, примерно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через υ1. Эту скорость именуют первой галлактической скоростью . Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения (см. §1.6), получим:

Двигаясь с таковой скоростью, спутник облетал бы Землю за время По сути период воззвания спутника по радиальный орбите поблизости поверхности Земли несколько превосходит обозначенное значение из-за отличия меж радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение , схожее движению снарядов либо баллистических ракет. Различие заключается исключительно в том, что скорость спутника так велика, что радиус кривизны его линии движения равен радиусу Земли. Для спутников, передвигающихся по радиальным траекториям на значимом удалении от Земли, земное притяжение слабеет назад пропорционально квадрату радиуса r линии движения. Скорость спутника υ находится из условия

Таким макаром, на больших орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите. Период T воззвания такового спутника равен

Тут T1 - период воззвания спутника на околоземной орбите. Период воззвания спутника вырастает с повышением радиуса орбиты. Несложно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном примерно 6,6RЗ, период воззвания спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом воззвания, запущенный в плоскости экватора, будет бездвижно висеть над некой точкой земной поверхности. Такие спутники употребляются в системах галлактической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6R3 именуется геостационарной .

Наименование разделов и тем

Объем часов

Уровень освоения

Тема 3.3. Движение небесных тел под действием сил тяготения.

Закон всемирного тяготения. Возмущения в движении тел Солнечной системы. Масса и плотность Земли. Определение массы небесных тел. Движение искусственных спутников Земли и космических аппаратов к планетам.

Описание особенностей движения тел Солнечной системы под действием сил тяготения по орбитам с различным эксцентриситетом. Объяснение причин возникновения приливов на Земле и возмущений в движении тел Солнечной системы. Понимание особенности движения и маневров космических аппаратов для исследования тел Солнечной системы.

3.3.1. Закон всемирного тяготения.

Согласно закону всемирного тяготения, изученному в курсе физики,

все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

где т 1 и т 2 - массы тел; r - расстояние между ними; G - гравитационная постоянная.

Открытию закона всемирного тяготения во многом способствовали законы движения планет, сформулированные Кеплером, и другие достижения астрономии XVII в. Так, знание расстояния до Луны позволило Исааку Ньютону (1643-1727) доказать тождественность силы, удерживающей Луну при ее движении вокруг Земли, и силы, вызывающей падение тел на Землю.

Ведь если сила тяжести меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, как это следует из закона всемирного тяготения, то Луна, находящаяся от Земли на расстоянии примерно 60 ее радиусов, должна испытывать ускорение в 3600 раз меньшее, чем ускорение силы тяжести на поверхности Земли, равное 9,8 м/с. Следовательно, ускорение Луны должно составлять 0,0027 м/с 2 .

В то же время Луна, как любое тело, равномерно движущееся по окружности, имеет ускорение

где ω - ее угловая скорость, r - радиус ее орбиты. Если считать, что радиус Земли равен6400 км, то радиус лунной орбиты будет составлять r = 60 6 400 000 м = 3,84 10 6 м. Звездный период обращения Луны Т = 27,32 суток, в секундах составляет 2,36 10 6 с. Тогда ускорение орбитального движения Луны

Равенство этих двух величин ускорения доказывает, что сила, удерживающая Луну на орбите, есть сила земного притяжения, ослабленная в 3600 раз по сравнению с действующей на поверхности Земли.

Можно убедиться и в том, что при движении планет, в соответствии с третьим законом Кеплера, их ускорение и действующая на них сила притяжения Солнца обратно пропорциональны квадрату расстояния, как это следует из закона всемирного тяготения. Действительно, согласно третьему закону Кеплера отношение кубов больших полуосей орбит d и квадратов периодов обращения T есть величина постоянная:

Ускорение планеты равно

Из третьего закона Кеплера следует

поэтому ускорение планеты равно

Итак, сила взаимодействия планет и Солнца удовлетворяет закону всемирного тяготения.

3.3.2. Возмущения в движении тел Солнечной системы.

Законы Кеплера строго выполняются, если рассматривается движение двух изолированных тел (Солнце и планета) под действием их взаимного притяжения. Однако в Солнечной системе планет много, все они взаимодействуют не только с Солнцем, но и между собой. Поэтому движение планет и других тел не в точности подчиняется законам Кеплера. Отклонения тел от движения по эллипсам называют возмущениями.

Возмущения эти невелики, так как масса Солнца гораздо больше массы не только отдельной планеты, но и всех планет в целом. Наибольшие возмущения в движении тел Солнечной системы вызывает Юпитер, масса которого в 300 раз превышает массу Земли. Особенно заметны отклонения астероидов и комет при их прохождении вблизи Юпитера.

В настоящее время возмущения учитываются при вычислении положения планет, их спутников и других тел Солнечной системы, а также траекторий космических аппаратов, запускаемых для их исследования. Но еще в XIX в. расчет возмущений позволил сделать одно из самых известных в науке открытий «на кончике пера» - открытие планеты Нептун.

Проводя очередной обзор неба в поиске неизвестных объектов, Вильям Гершель в 1781 г. открыл планету, названную впоследствии Ураном. Спустя примерно полвека стало очевидно, что наблюдаемое движение Урана не согласуется с расчетным даже при учете возмущений со стороны всех известных планет. На основе предположения о наличии еще одной «заурановой» планеты были сделаны вычисления ее орбиты и положения на небе. Независимо друг от друга эту задачу решили Джон Адамc в Англии и Урбен Леверье во Франции. На основе расчетов Леверье немецкий астроном Иоганн Галле 23 сентября 1846 г.обнаружил в созвездии Водолея неизвестную ранее планету - Нептун. Это открытие стало триумфом гелиоцентрической системы, важнейшим подтверждением справедливости закона всемирного тяготения. В дальнейшем в движении Урана и Нептуна были замечены возмущения, которые стали основанием для предположения о существовании в Солнечной системе еще одной планеты. Ее поиски увенчались успехом лишь в 1930 г.,когда после просмотра большого количества фотографий звездного неба была открыта самая далекая от Солнца планета - Плутон.

3.3.3. Масса и плотность Земли.

Закон всемирного тяготения позволил определить массу нашей планеты. Исходя из закона всемирного тяготения, ускорение свободного падения можно выразить так:

Подставим в формулу известные значения этих величин:

g = 9,8 м/с, G = 6,67 10 -11 H м 2 /кг 2 , R = 6370 км - и получим, что масса Земли М = 6 10 24 кг

Зная массу и объем земного шара, можно вычислить его среднюю плотность: 5,5 10 3 кг/м 3 . С глубиной за счет увеличения давления и содержания тяжелых элементов плотность возрастает.

3.3.4. Определение массы небесных тел.

Более точная формула третьего закона Кеплера, которая была получена Ньютоном, дает возможность определить одну из важнейших характеристик любого небесного тела - массу. Выведем эту формулу, считая (в первом приближении) орбиты планет круговыми.

Пусть два тела, взаимно притягивающиеся и обращающиеся вокруг общего центра масс, имеющие массы m 1 и m 2 , находятся от центра масс на расстоянии r 1 и r 2 и обращаются вокруг него с периодом Т. Расстояние между их центрами R = r 1 + r 2 . На основании закона всемирного тяготения ускорение каждого из этих тел равно:

Угловая скорость обращения вокруг центра масс составляет . Тогда центростремительное ускорение выразится для каждого тела так:

Приравняв полученные для ускорений выражения, выразив из них r 1 и r 2 и сложив их почленно, получаем:

откуда

Посколькув правой части этого выражения находятся только постоянные величины, оно справедливо для любой системы двух тел, взаимодействующих по закону тяготения и обращающихся вокруг общего центра масс, - Солнце и планета, планета и спутник. Определим массу Солнца, для этого запишем выражение:

где М - масса Солнца; m 1 - масса Земли; т 2 - масса Луны; T 1 и a 1 - период обращения Земли вокруг Солнца (год) и большая полуось ее орбиты; Т 2 и а 2 - период обращения Луны вокруг Земли и большая полуось лунной орбиты.

Пренебрегая массой Земли, которая ничтожно мала по сравнению с массой Солнца, и массой Луны, которая в 81 раз меньше массы Земли, получим:

Подставив в формулу соответствующие значения и приняв массу Земли за 1, мы получим, что Солнце примерно в 333 000 раз по массе больше нашей планеты.

Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они оказывают на движение астероидов, комет или космических аппаратов, пролетающих в их окрестностях.

3.3.5. Причины возникновения приливов на Земле

Под действием взаимного притяжения частиц тело стремится принять форму шара. Если эти тела вращаются, то они деформируются, сжимаются вдоль оси вращения.

Кроме того, изменение их формы происходит и под действием взаимного притяжения, которое вызывают явления, называемые приливами. Давно известные на Земле, они получили объяснение только на основе закона всемирного тяготения.

Рассмотрим ускорения, создаваемые притяжением Луны в различных точках земного шара (рис. 3.13). Поскольку точки А, В находятся на различных расстояниях от Луны, ускорения, создаваемые ее притяжением, будут различны.

Разность ускорений, вызываемых притяжением другого тела в данной точке и в центре планеты, называется приливным ускорением.

Приливные ускорения в точках А и В направлены от центра Земли. В результате Земля, и в первую очередь ее водная оболочка, вытягивается в обе стороны по линии, соединяющей центры Земли и Луны. В точках А и В наблюдается прилив, а вдоль круга, плоскость которого перпендикулярна этой линии, на Земле происходит отлив. Тяготение Солнца также вызывает приливы, но из-за большей его удаленности они меньше, чем вызванные Луной. Приливы наблюдаются не только в гидросфере, но и в атмосфере и в литосфере Земли и других планет.

Вследствие суточного вращения Земля стремится увлечь за собой приливные горбы, в то же время вследствие тяготения Луны, которая обращается вокруг Земли за месяц, полоса приливов должна перемещаться по земной поверхности значительно медленнее. В результате между огромными массами воды, участвующей в приливных явлениях, и дном океана возникает приливное трение. Оно тормозит вращение Земли и вызывает увеличение продолжительности суток, которые в прошлом были значительно короче (5-6 ч). Вместе с тем приливы, вызываемые Землей на Луне, затормозили ее вращение, и она теперь обращена к Земле одной стороной. Такое же медленное вращение характерно для многих спутников Юпитера и других планет. Сильные приливы, вызываемые на Меркурии и Венере Солнцем, по-видимому, являются причиной их крайне медленного вращения вокруг оси.

3.3.6. Движение искусственных спутников Земли и космических аппаратов к планетам.

Возможность создания искусственного спутника Земли теоретически обосновал еще Ньютон. Он показал, что существует такая горизонтально направленная скорость при которой тело, падая на Землю, тем не менее на нее не упадет, а будет двигаться вокруг Земли, оставаясь от нее на одном и том же расстоянии. При такой скорости тело будет приближаться к Земле вследствие ее притяжения как раз на столько, на сколько из-за кривизны поверхности нашей планеты оно будет от нее удаляться (рис. 3.14). Эту скорость, которую называют первой космической (или круговой), известна вам из курса физики:

Практически осуществить запуск искусственного спутника Земли оказалось возможно лишь через два с половиной столетия после открытия Ньютона - 4 октября 1957 г. За сорок с лишним лет, прошедшие с этого дня, который нередко называют началом космической эры человечества, во многих странах мира запущено около 4000 спутников различного устройства и назначения. Созданы орбитальные станции, на которых длительное время, сменяя друг друга, работают экипажи, состоящие из космонавтов разных стран. Американские астронавты неоднократно посещали Луну, автоматические межпланетные станции исследовали все планеты Солнечной системы, за исключением самой отдаленной планеты Плутон.

Космические аппараты (КА), которые направляются к Луне и планетам, испытывают притяжение со стороны Солнца и согласно законам Кеплера так же, как и сами планеты, движутся по эллипсам. Скорость движения Земли по орбите составляет около 30 км/с. Если геометрическая сумма скорости космического аппарата, которую ему сообщили при запуске, и скорости Земли будет больше этой величины, то КА будет двигаться по орбите, лежащей за пределами земной орбиты. Если меньше - внутри ее. В первом случае, когда он полетит к Марсу или другой внешней планете, энергетические затраты будут наименьшими, если КА достигнет орбиты этой планеты при своем максимальном удалении от Солнца- в афелии (рис. 3.15). Кроме того, необходимо так рассчитать время старта КА, чтобы к этому моменту в ту же точку своей орбиты пришла планета. Иначе говоря, начальная скорость и день запуска КА должны быть выбраны таким образом, чтобы КА и планета, двигаясь каждый по своей орбите, одновременно подошли к точке встречи. Во втором случае - для внутренней планеты - встреча с КА должна произойти в перигелии его орбиты (рис. 3.16). Такие траектории полетов называются полуэллиптическими. Большие оси этих эллипсов проходят через Солнце, которое находится в одном из фокусов, как и полагается по первому закону Кеплера.