Notacja to metoda zapisu liczby przy użyciu określonego zestawu znaków specjalnych (cyfr).

Notacja:

• daje reprezentację zbioru liczb (liczb całkowitych i/lub rzeczywistych);

• nadaje każdej liczbie unikalną reprezentację (lub przynajmniej standardową reprezentację);

• wyświetla algebraiczną i arytmetyczną strukturę liczby.

Nazywa się zapisywanie liczby w jakimś systemie liczbowym kod numeryczny.

Wywoływana jest osobna pozycja na wyświetlaczu liczbowym wypisać, co oznacza, że ​​numer pozycji to numer rangi.

Nazywa się liczbę cyfr w liczbie głębia bitowa i pokrywa się z jego długością.

Systemy liczbowe dzielą się na pozycyjny I niepozycyjny. Systemy liczb pozycyjnych są podzielone

NA jednorodny I mieszany.

system liczb ósemkowy, system liczb szesnastkowych i inne systemy liczbowe.

Tłumaczenie systemów liczbowych. Liczby można konwertować z jednego systemu liczbowego na inny.

Tabela zgodności liczb w różnych systemach liczbowych.

Istnieją pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe.

W niepozycyjnych systemach liczbowych waga cyfry (tj. jej udział w wartości liczby) nie zależy od jej stanowiska pisząc numer. Zatem w rzymskim systemie liczbowym w liczbie XXXII (trzydzieści dwa) waga liczby X na dowolnej pozycji wynosi po prostu dziesięć.

W systemach liczb pozycyjnych waga każdej cyfry zmienia się w zależności od jej pozycji (pozycji) w ciągu cyfr reprezentujących liczbę. Na przykład w liczbie 757,7 pierwsze siedem oznacza 7 setek, drugie - 7 jednostek, a trzecie - 7 dziesiątych jednostki.

Już sam zapis liczby 757,7 oznacza skrócony zapis wyrażenia

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Każdy system liczb pozycyjnych charakteryzuje się tym, że podstawa.

Za podstawę systemu można przyjąć dowolną liczbę naturalną - dwa, trzy, cztery itd. Stąd, możliwych niezliczonych systemów pozycyjnych: binarny, trójskładnikowy, czwartorzędowy itp. Zapisywanie liczb w każdym systemie liczbowym z podstawą Q oznacza skrócone wyrażenie

A n-1 Q n-1 + za n-2 Q n-2 + ... + a 1 Q 1 + za 0 Q 0 + za -1 Q -1 + ... + za -M Q -M ,

Gdzie A I - liczby systemu liczbowego; N I M - liczba odpowiednio cyfr całkowitych i ułamkowych. Na przykład:

Jakich systemów numerycznych używają specjaliści do komunikacji z komputerem?

Oprócz dziesiętnych powszechnie stosowane są systemy o podstawie będącej całkowitą potęgą liczby 2, a mianowicie:

dwójkowy(używane są cyfry 0, 1);

ósemkowy(używane są cyfry 0, 1, ..., 7);

szesnastkowy(dla pierwszych liczb całkowitych od zera do dziewięciu stosuje się cyfry 0, 1, ..., 9, a dla kolejnych liczb - od dziesięciu do piętnastu - symbole A, B, C, D, E, F jako cyfry).

Warto zapamiętać zapis w tych systemach liczbowych dla pierwszych dwóch dziesiątek liczb całkowitych:

Ze wszystkich systemów liczbowych szczególnie proste i dlatego System liczb binarnych jest interesujący pod względem technicznym w komputerach.

Co to jest system liczbowy?

Co to jest system liczbowy? System liczbowy to zestaw technik i zasad, według których liczby są zapisywane i odczytywane.

Istnieją pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe.

W niepozycyjnych systemach liczbowych waga cyfry (to znaczy jej udział w wartości liczby) nie zależy od jej pozycji w zapisie liczby. Zatem w rzymskim systemie liczbowym w liczbie XXXII (trzydzieści dwa) waga liczby X na dowolnej pozycji wynosi po prostu dziesięć.

W systemach liczb pozycyjnych waga każdej cyfry zmienia się w zależności od jej pozycji (pozycji) w ciągu cyfr reprezentujących liczbę. Na przykład w liczbie 757,7 pierwsze siedem oznacza 7 setek, drugie - 7 jednostek, a trzecie - 7 dziesiątych jednostki.

Już sam zapis liczby 757,7 oznacza skrócony zapis wyrażenia:

Każdy system liczb pozycyjnych charakteryzuje się podstawą.

Podstawą systemu liczb pozycyjnych jest liczba różnych cyfr używanych do reprezentowania liczb w danym systemie liczbowym.

Za podstawę systemu można przyjąć dowolną liczbę naturalną - dwa, trzy, cztery itd. W rezultacie możliwa jest nieskończona liczba systemów pozycyjnych: binarny, potrójny, czwartorzędowy itp.

Jak generowane są liczby całkowite w systemach liczb pozycyjnych?

W każdym systemie liczbowym cyfry są uporządkowane według ich znaczenia: 1 jest większe od 0, 2 jest większe od 1 itd.

Promowanie cyfry oznacza zastąpienie jej kolejną wyższą cyfrą.

Przesunięcie liczby 1 oznacza zastąpienie jej liczbą 2, przesunięcie liczby 2 oznacza zastąpienie jej liczbą 3 itd. Promowanie cyfry wiodącej (np. cyfry 9 w systemie dziesiętnym) oznacza zastąpienie jej cyfrą 0. W systemie binarnym, który wykorzystuje tylko dwie cyfry - 0 i 1, promowanie 0 oznacza zastąpienie go cyfrą 1, a promowanie 1 oznacza zastąpienie go przez 0.

Aby utworzyć liczbę całkowitą po dowolnej liczbie całkowitej, należy przesunąć skrajną prawą cyfrę liczby; jeśli po awansie jakakolwiek liczba spadnie do zera, musisz przesunąć ją na lewo od niej.

Stosując tę ​​zasadę, zapisujemy pierwsze dziesięć liczb całkowitych

· w systemie binarnym: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· w układzie trójskładnikowym: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· w systemie pięciokrotnym: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· w systemie ósemkowym: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Oprócz dziesiętnych powszechnie stosowane są systemy o podstawie będącej całkowitą potęgą liczby 2, a mianowicie:

System binarny	Układ czwartorzędowy	Układ ósemkowy	System dziesiętny	System szesnastkowy
1	1	1	1	1
10	2	2	2	2
11	3	3	3	3
100	10	4	4	4
101	11	5	5	5
110	12	6	6	6
111	13	7	7	7
1000	20	10	8	8
1001	21	11	9	9
1010	22	12	10	A
1011	23	13	11	B
1100	30	14	12	C
1101	31	15	13	D
1110	32	16	14	mi
1111	33	17	15	F
10000	40	20	16	10

Dlaczego ludzie używają systemu dziesiętnego, a komputery systemu binarnego?

Ludzie wolą system dziesiętny prawdopodobnie dlatego, że od czasów starożytnych liczą na palcach, a ludzie mają dziesięć palców u rąk i nóg. Ludzie nie zawsze i nie wszędzie używają systemu dziesiętnego. Na przykład w Chinach przez długi czas używano pięciocyfrowego systemu liczbowego.

Komputery korzystają z systemu binarnego, ponieważ ma on wiele zalet w porównaniu z innymi systemami:

· do jego realizacji potrzebne są urządzenia techniczne posiadające dwa stany stabilne (jest prąd – brak prądu, namagnesowane – nie namagnesowane itd.), a nie np. dziesiątkowe, jak w systemie dziesiętnym;

· prezentacja informacji tylko przez dwa stany jest niezawodna i odporna na zakłócenia;

· potrafi wykorzystać aparat algebry Boole'a do wykonywania przekształceń logicznych informacji;

· Arytmetyka binarna jest znacznie prostsza niż arytmetyka dziesiętna.

Wadą systemu binarnego jest szybki wzrost liczby cyfr potrzebnych do zapisania liczb.

Dlaczego komputery używają również ósemkowych i szesnastkowych systemów liczbowych?

System binarny, wygodny dla komputerów, jest niewygodny dla ludzi ze względu na swoją objętość i nietypową notację.

Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na binarny i odwrotnie odbywa się za pomocą maszyny. Aby jednak profesjonalnie posługiwać się komputerem, trzeba nauczyć się rozumieć słowo maszyna. Dlatego opracowano systemy ósemkowy i szesnastkowy.

Liczby w tych systemach są prawie tak samo łatwe do odczytania jak dziesiętne, wymagają odpowiednio trzech (ósemkowych) i czterech (szesnastkowych) razy mniej cyfr niż w systemie binarnym (wszak cyfry 8 i 16 to odpowiednio trzecia i czwarta potęga liczby 2) .

Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny

Liczba p różnych cyfr stosowanych w systemie pozycyjnym określa nazwę systemu liczbowego i nazywana jest podstawą systemu liczbowego - „p”. Dowolną liczbę N w systemie liczb pozycyjnych o podstawie p można przedstawić jako wielomian o podstawie p:

N = za n p n +a n-1 p n-1 + ... +a 1 p+a 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ... (1.1)

gdzie N jest liczbą, a j są współczynnikami (cyframi liczby), p jest podstawą systemu liczbowego (p>1). Zwyczajowo przedstawia się liczby jako ciąg cyfr:

N = za n za n -1 ... za 1 za 0 . a -1 a -2 ...

Konwersja liczb na system dziesiętny odbywa się poprzez zestawienie szeregu potęgowego z podstawą systemu (patrz wzór 1.1), z którego liczba jest tłumaczona. Następnie obliczana jest wartość sumy.

Konwersja liczb dziesiętnych całkowitych na niedziesiętny system liczbowy odbywa się poprzez kolejne dzielenie liczby dziesiętnej przez podstawę systemu, na który jest ona konwertowana, aż do uzyskania ilorazu tej podstawy. Liczbę w nowym systemie zapisuje się jako resztę z dzielenia, zaczynając od ostatniej.

Przykład: Zamieńmy liczbę 75 z postaci dziesiętnej na binarną, ósemkową i szesnastkową:

Odpowiedź: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Zamiana ułamków właściwych z systemu dziesiętnego na system niedziesiętny. Aby przekonwertować zwykły ułamek dziesiętny na inny system, ułamek ten należy kolejno pomnożyć przez podstawę systemu, na który jest konwertowany. W tym przypadku mnożone są tylko części ułamkowe. Ułamki w nowym systemie zapisywane są w postaci całych części iloczynów, zaczynając od pierwszej.

Przykład. Przekonwertujmy liczbę 0,36 z systemu dziesiętnego na binarny, ósemkowy i szesnastkowy:

Aby zamienić nieregularny ułamek dziesiętny na system liczbowy o podstawie innej niż dziesiętna, należy oddzielnie przeliczyć całą część i część ułamkową. Przetłumacz 23,125 10 2 s.s.

Systemy liczbowe nazywamy wielokrotnymi, jeśli zachodzi zależność: S = R N, gdzie S, R są podstawami systemów liczbowych, N jest stopniem krotności (liczba całkowita: 2, 3 ...).

Aby przekonwertować liczbę z systemu liczbowego R na jej wielokrotny system liczbowy S, należy postępować w następujący sposób: przechodząc od punktu w lewo i w prawo, dzielą liczbę na grupy N cyfr, uzupełniając skrajną lewą i prawą grupę zerami, jeśli niezbędny. Grupa jest następnie zastępowana odpowiednią cyfrą z systemu liczbowego S.

Tłumacz 1101111001.1101 2 "8" s.s.	Tłumacz 11111111011.100111 2 "16" s.c.

Aby przeliczyć liczbę z systemu liczbowego S na jej wielokrotny system liczbowy R, wystarczy zastąpić każdą cyfrę tej liczby odpowiednią liczbą z systemu liczbowego R, przy czym nieistotne są zera w górnym (00512) i niskim (15,124000) cyfry są odrzucane.

Tłumacz 305,4 8 "2" s.s.	Tłumacz 7B2.E 16 "2" s.s.

Jeśli chcesz dokonać konwersji z systemu liczbowego S na R, pod warunkiem, że nie są one wielokrotnościami, musisz spróbować wybrać system liczbowy K taki, że: S = K N i R = K N .

Tłumacz 175,24 8 "16" s.s.

Wynik: 175,24 8 = 7D,5 16.

Jeżeli nie można znaleźć systemu liczbowego K, wówczas tłumaczenie należy wykonać przy użyciu systemu liczb dziesiętnych jako środka pośredniego.

Przykłady na to wszystko

Konwersja liczb ósemkowych i szesnastkowych na system binarny jest bardzo prosta: wystarczy zastąpić każdą cyfrę odpowiadającą jej triadą binarną (trzy cyfry) lub tetradą (cztery cyfry).

Na przykład:

Aby przekonwertować liczbę z formatu binarnego na ósemkowy lub szesnastkowy, należy podzielić ją po lewej i prawej stronie przecinka dziesiętnego na triady (w przypadku ósemkowego) lub tetrady (w przypadku szesnastkowego) i zastąpić każdą taką grupę odpowiednią cyfrą ósemkową (szesnastkową) . Na przykład:

Dodawanie w różnych systemach liczbowych

Tabele dodawania można łatwo utworzyć za pomocą reguły zliczania.

Odejmowanie w różnych systemach liczbowych

Mnożenie w różnych systemach liczbowych

Podczas mnożenia liczb wielocyfrowych w różnych systemach liczb pozycyjnych można zastosować zwykły algorytm mnożenia liczb w kolumnie, ale wyniki mnożenia i dodawania liczb jednocyfrowych należy zapożyczyć z tablic mnożenia i dodawania odpowiadających systemowi w pytanie.

Podział w różnych systemach liczbowych

Dzielenie w dowolnym systemie liczb pozycyjnych odbywa się według tych samych zasad, co dzielenie przez kąt w systemie dziesiętnym. W systemie binarnym dzielenie jest szczególnie proste, ponieważ następna cyfra ilorazu może wynosić tylko zero lub jeden.

Mnożymy przez podstawę nowego systemu liczbowego, aż nowy ułamek będzie zawierał wymaganą liczbę cyfr, o której decyduje wymagana dokładność przedstawienia ułamka. Ułamek właściwy w nowym systemie liczbowym zapisuje się z części całkowitych iloczynów powstałych w wyniku mnożenia sekwencyjnego, a pierwszą częścią całkowitą będzie najwyższa cyfra nowego ułamka. Weźmy przykład...

Reprezentacje w nich są dość dużymi liczbami, gdyż skutkuje to niezwykle uciążliwym zapisem liczb lub wymaga bardzo dużego użytego alfabetu liczb. Komputery posługują się wyłącznie pozycyjnymi systemami liczbowymi, w których ilościowy odpowiednik każdej cyfry alfabetu zależy nie tylko od rodzaju tej cyfry, ale także od jej umiejscowienia w zapisie liczby. Systemy liczb pozycyjnych...

Sekwencje 0 i 1. Przykładowo nieujemna liczba całkowita A2=T 111100002 będzie przechowywana w komórce w następujący sposób: 1 1 1 1 0 0 0 0 Oznacza to, że możemy zapisać wszystkie liczby od 0 do 255 w formacie binarnym system liczbowy w 1 komórce pamięci. 2.2 Reprezentacja liczb w komputerze Liczby całkowite w komputerze są przechowywane w komórkach pamięci, w tym przypadku każda cyfra komórki pamięci odpowiada...

Reprezentowanie liczb za pomocą symboli pisanych.

Notacja:

• przedstawia reprezentacje zbioru liczb (liczb całkowitych i/lub rzeczywistych);
• nadaje każdej liczbie unikalną reprezentację (lub przynajmniej standardową reprezentację);
• odzwierciedla algebraiczną i arytmetyczną strukturę liczb.

Systemy liczbowe dzielą się na pozycyjny, niepozycyjny I mieszany.

Pozycyjne systemy liczbowe

W systemach liczb pozycyjnych ten sam znak numeryczny (cyfra) w zapisie liczby ma różne znaczenia w zależności od miejsca (cyfry), w którym się znajduje. Wynalazek numeracji pozycyjnej, opartej na znaczeniu cyfr, przypisuje się Sumerom i Babilończykom; Taka numeracja została opracowana przez Hindusów i miała nieocenione konsekwencje w historii cywilizacji ludzkiej. Do takich systemów należy nowoczesny system liczb dziesiętnych, którego pojawienie się wiąże się z liczeniem na palcach. Pojawił się w średniowiecznej Europie za pośrednictwem włoskich kupców, którzy z kolei pożyczyli go od muzułmanów.

System liczb pozycyjnych zwykle odnosi się do systemu liczb bogatych, który jest określany przez liczbę całkowitą tzw podstawa systemy liczbowe. Liczba całkowita bez znaku w systemie liczb -ary jest reprezentowana jako skończona liniowa kombinacja potęg liczby:

, gdzie nazywane są liczbami całkowitymi w liczbach, spełniając nierówność.

Każdy stopień w takim zapisie nazywany jest wagą rangi. Starszeństwo cyfr i odpowiadających im cyfr zależy od wartości wskaźnika (liczby cyfr). Zazwyczaj w przypadku liczb niezerowych lewe zera są pomijane.

Jeżeli nie ma rozbieżności (np. gdy wszystkie liczby są podane w postaci unikalnych znaków pisanych), liczbę zapisuje się jako ciąg jej cyfr alfanumerycznych, ułożonych w kolejności malejącej pierwszeństwa cyfr od lewej do prawej:

Na przykład liczba sto trzy reprezentowane w systemie dziesiętnym jako:

Najczęściej stosowanymi systemami pozycjonowania są:

W systemach pozycyjnych im większa podstawa systemu, tym mniejsza liczba cyfr (czyli cyfr pisanych) wymagana do zapisania liczby.

Mieszane systemy liczbowe

Mieszany system liczbowy jest uogólnieniem systemu liczbowego -rich i często odnosi się również do pozycyjnych systemów liczbowych. Podstawą systemu liczb mieszanych jest rosnący ciąg liczb, a każda liczba w nim jest reprezentowana jako kombinacja liniowa:

, gdzie współczynniki nazywa się jak poprzednio w liczbach, obowiązują pewne ograniczenia.

Zapisanie liczby w systemie liczb mieszanych polega na umieszczeniu jej cyfr w kolejności malejącej według indeksu, zaczynając od pierwszej niezerowej.

W zależności od rodzaju, systemy liczb mieszanych mogą być potęgowe, wykładnicze itp. Dla niektórych system liczb mieszanych pokrywa się z systemem liczbowym bogatym w wykładniczy.

Najbardziej znanym przykładem systemu liczb mieszanych jest reprezentacja czasu w postaci liczby dni, godzin, minut i sekund. W tym przypadku wartość „dni, godzin, minut, sekund” odpowiada wartości sekund.

Silniowy system liczbowy

W silniowy system liczbowy podstawy są ciągiem silni, a każdą liczbę naturalną przedstawia się jako:

, Gdzie .

System liczbowy silni jest używany, gdy dekodowanie permutacji za pomocą list inwersji: mając numer permutacji, można ją odtworzyć w następujący sposób: liczbę o jeden mniejszą od liczby (numeracja zaczyna się od zera) zapisuje się w silniowym systemie liczbowym, a współczynnik liczby i! będzie oznaczać liczbę inwersji elementu i+1 w zbiorze, w którym dokonywane są permutacje (liczba elementów mniejszych od i+1, ale znajdujących się na prawo od niego w żądanej permutacji)

Przykład: rozważ zestaw permutacji 5 elementów, w sumie jest ich 5! = 120 (od permutacji nr 0 - (1,2,3,4,5) do permutacji nr 119 - (5,4,3,2,1)), znajdźmy 101. permutację: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; niech ti będzie współczynnikiem dla liczby i!, wówczas t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, wówczas: liczba elementów mniejszych od 5, ale znajdujących się po prawej stronie wynosi 4; liczba elementów mniejsza niż 4, ale umieszczona po prawej stronie, wynosi 0; liczba elementów mniejsza niż 3, ale umieszczona po prawej stronie, wynosi 2; liczba elementów mniejszych od 2, ale znajdujących się po prawej stronie wynosi 0 (ostatni element permutacji „umieszczony” jest na jedynym pozostałym miejscu) - zatem 101. permutacja będzie wyglądać następująco: (5,3,1,2 ,4) Sprawdzenie tej metody można przeprowadzić poprzez bezpośrednie zliczenie inwersji dla każdego elementu permutacji.

System liczbowy Fibonacciego w oparciu o liczby Fibonacciego. Każdą liczbę naturalną przedstawia się w postaci:

, gdzie są liczby Fibonacciego, a współczynniki mają skończoną liczbę jedynek i nie ma dwóch jedynek pod rząd.

Niepozycyjne systemy liczbowe

W niepozycyjnych systemach liczbowych wartość oznaczana przez cyfrę nie zależy od jej pozycji w liczbie. W takim przypadku system może nałożyć ograniczenia na położenie liczb, np. tak, aby były one ułożone w kolejności malejącej.

Dwumianowy system liczbowy

Reprezentacja za pomocą współczynników dwumianowych

, Gdzie .

System klas resztkowych (RSS)

Reprezentacja liczb w systemie klas reszt opiera się na koncepcji reszt i chińskim twierdzeniu o resztach. RNS jest określany przez zbiór liczb względnie pierwszych moduły z iloczynem w taki sposób, że każda liczba całkowita z segmentu jest powiązana ze zbiorem reszt, gdzie

…

Jednocześnie chińskie twierdzenie o resztach gwarantuje jednoznaczność reprezentacji liczb z przedziału.

W RNS operacje arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) są wykonywane składowo, jeśli wiadomo, że wynik jest liczbą całkowitą i leży w .

Wadami RNS jest możliwość reprezentowania jedynie ograniczonej liczby liczb, a także brak skutecznych algorytmów porównywania liczb reprezentowanych w RNS. Porównanie zwykle przeprowadza się poprzez tłumaczenie argumentów z RNS na system liczb mieszanych.

System liczbowy Sterna – Brocota- sposób zapisywania dodatnich liczb wymiernych oparty na drzewie Sterna–Brocota.

Systemy liczbowe różnych narodów

System numeracji jednostek

Podobno chronologicznie pierwszy system liczbowy każdego narodu, który opanował liczenie. Liczbę naturalną reprezentuje się poprzez powtórzenie tego samego znaku (kreski lub kropki). Na przykład, aby przedstawić liczbę 26, musisz narysować 26 linii (lub wykonać 26 nacięć na kości, kamieniu itp.). Następnie, dla wygody postrzegania dużych liczb, znaki te grupuje się w grupy po trzy lub pięć. Następnie równe grupy znaków zaczynają być zastępowane jakimś nowym znakiem - w ten sposób powstają prototypy przyszłych liczb.

Starożytny egipski system liczbowy

Babiloński system liczbowy

Alfabetyczne systemy liczbowe

Alfabetyczny system liczbowy był używany przez starożytnych Ormian, Gruzinów, Greków (jonowy system liczbowy), Arabów (abjadia), Żydów (patrz gematria) i innych ludów Bliskiego Wschodu. W słowiańskich księgach liturgicznych grecki system alfabetu został przetłumaczony na litery cyrylicy.

Żydowski system liczbowy

Grecki system liczbowy

Rzymski system liczbowy

Kanonicznym przykładem prawie niepozycyjnego systemu liczbowego jest system rzymski, w którym zamiast cyfr używa się liter łacińskich:
ja jestem za 1,
V-5,
X-10,
L - 50,
C - 100,
D-500,
M - 1000

Na przykład II = 1 + 1 = 2
tutaj symbol I oznacza 1 niezależnie od jego miejsca w liczbie.

W rzeczywistości system rzymski nie jest całkowicie niepozycyjny, ponieważ odejmuje się od niego mniejszą cyfrę znajdującą się przed większą, na przykład:

IV = 4, natomiast:
VI = 6

System liczbowy Majów

Zobacz też

Notatki

Spinki do mankietów

• Gaszkow S. B. Systemy liczbowe i ich zastosowania. - M.: MTsNMO, 2004. - (Biblioteka „Edukacja Matematyczna”).
• Fomin S.V. Systemy liczbowe. - M.: Nauka, 1987. - 48 s. - (Popularne wykłady z matematyki).
• Jaglom I. Systemy liczbowe // Kwant. - 1970. - nr 6. - s. 2-10.
• Liczby i systemy liczbowe. Encyklopedia internetowa na całym świecie.
• Stachow A. Rola systemów liczbowych w historii komputerów.
• Systemy liczbowe Mikushin A.V. Kurs wykładów „Urządzenia cyfrowe i mikroprocesory”
• Butler J. T., Sasao T. Redundantne wielowartościowe systemy liczbowe W artykule omówiono systemy liczbowe wykorzystujące cyfry większe niż jeden i umożliwiające redundancję w reprezentacji liczb

Fundacja Wikimedia. 2010.

woły (kategorie). Podejście to stosowane jest w przekazywaniu, przechowywaniu i przetwarzaniu informacji i zazwyczaj nie jest powiązane z treścią semantyczną informacji.

1.5.2. Podejście probabilistyczne

W teoria informacji, informację definiuje się jako usuniętą niepewność. Uwzględnia to wartość informacji dla odbiorcy. Ilość informacji zależy od tego, jak bardzo zmniejsza się miara niepewności (entropia) po otrzymaniu komunikatu lub wystąpieniu zdarzenia.

Za jednostkę ilości informacji (bit) uważa się ilość informacji zawierającą komunikat, który zmniejsza niepewność informacji 2-krotnie. Generalnie ilość informacji (H) zawartej w komunikacie o tym, że zaszło jedno z N równie prawdopodobnych zdarzeń, określa się w następujący sposób:

Grupa 8 bitów nazywana jest bajtem. Jeśli bit jest minimalną jednostką informacji, to bajt jest jednostką główną. Istnieją pochodne jednostki informacji:

1 bajt = 8 bitów;

1 kilobajt = 210 bajtów = 1024 bajty;

1 megabajt = 220 bajtów = 1024 kilobajtów;

1 gigabajt = 230 bajtów = 1024 megabajtów;

1 terabajt = 240 bajtów = 1024 gigabajtów.

1.6. Systemy liczbowe stosowane w informatyce

System liczbowy to zbiór technik i zasad zapisywania liczb za pomocą cyfr. Istnieją niepozycyjne i pozycyjne systemy liczbowe.

W W niepozycyjnym systemie liczbowym każdy symbol ma swoje specyficzne znaczenie, które nie zależy od pozycji symbolu w zapisie liczbowym. Na przykład w rzymskim systemie liczbowym

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Liczba 77 jest zapisana LXXVII.

W W pozycyjnym systemie liczbowym wartość dowolnej cyfry w obrazie liczby zależy od jej pozycji (pozycji) w szeregu cyfr reprezentujących daną liczbę. Na przykład: 77 - 7 jednostek i 7 dziesiątek.

Każdy system liczb pozycyjnych ma ściśle określoną liczbę symboli (cyfr) reprezentujących dowolną liczbę:

– binarny – 2: 0 i 1;

– dziesiętny - 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Liczba cyfr używanych w systemie liczb pozycyjnych do zapisywania liczb nazywana jest podstawą systemu liczbowego. Podstawą systemu liczbowego może być dowolna liczba naturalna.

Niech q będzie podstawą systemu, wówczas dowolną liczbę w systemie liczbowym o podstawie q można przedstawić jako:

A q = za n q n + za n –1 q n –1 + ... + za 1 q 1 + za 0 q 0 + za –1 q –1 + za –2 q –2 + ... + a –k q–k , (3) gdzie A q jest liczbą zapisaną w systemie liczbowym o podstawie q,

n + 1 – liczba cyfr części całkowitej liczby,

i i to cyfry liczby, gdzie 0 ≤ a i< q ,

k - liczba cyfr części ułamkowej liczby.

W informatyce stosowane są wyłącznie pozycyjne systemy liczbowe: dziesiętny, binarny, ósemkowy, szesnastkowy.

1.6.1. Zasady konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny

Zasada nr 1. Aby przekonwertować liczbę dziesiętną całkowitą A na system liczbowy o podstawie q, należy podzielić liczbę A przez podstawę q, aż do otrzymania reszty całkowitej mniejszej niż q. Otrzymany iloraz należy ponownie podzielić przez q, aż do uzyskania całej reszty mniejszej niż q, itd. aż ostatni iloraz będzie mniejszy niż q. Następnie liczbę dziesiętną A w systemie liczbowym o podstawie q należy zapisać jako ciąg reszt dzielenia w odwrotnej kolejności ich otrzymania, przy czym najwyższa cyfra daje ostatni iloraz.

Zasada 2. Aby zamienić ułamek dziesiętny na system liczbowy o podstawie q, pomnóż tę liczbę przez podstawę q. Częścią całkowitą iloczynu będzie pierwsza cyfra liczby w systemie liczbowym o podstawie q. Następnie odrzucając całą część, pomnóż ponownie przez podstawę q itd. do czasu uzyskania wymaganej liczby cyfr w nowym systemie numeracyjnym lub do czasu zakończenia tłumaczenia.

Zasada 3. Liczby mieszane systemu dziesiętnego są tłumaczone w dwóch etapach: osobno część całkowita według własnej reguły i oddzielnie część ułamkowa według własnej reguły. Następnie zapisywany jest wynik ogólny, którego część ułamkową oddziela się przecinkiem.

Zasada 4. Aby dokonać konwersji liczby z systemu liczbowego o podstawie q na system dziesiętny, należy skorzystać z formy zapisu liczby w postaci (3).

Zasada 5. Aby przekonwertować liczbę całkowitą z systemu binarnego na system ósemkowy, potrzebny jest ciąg cyfr binarnych o różnych rozmiarach.