Lineārais, īpaši lineārais polinoms, aproksimācija bieži neatbilst funkcijas būtībai. Piemēram, augstas pakāpes polinoms ātri aug, un tāpēc liela segmenta polinoms ir slikti tuvināts pat vienkāršai funkcijai. Tā kā aproksimācija tiek veikta plašā argumenta izmaiņu diapazonā, nelineāras atkarības no koeficientiem izmantošana šeit ir vēl izdevīgāka nekā ar interpolāciju.

Praksē tiek izmantotas divu veidu atkarības. Viena no tām ir kvazilineāra atkarība, kas samazināta ar mainīgo nivelēšanas maiņu uz lineāru, kas tika detalizēti pētīta iepriekšējos punktos. Šī metode ir ļoti efektīva un bieži tiek izmantota eksperimentu apstrādē, jo a priori informācija par procesa fiziku palīdz atrast labu mainīgo aizstājēju. Mums tikai jāpatur prātā, ka aproksimācija, kas ir vislabākā jaunajos mainīgajos, nebūs labākā skalārā reizinājuma izpratnē vecajos mainīgajos. Tāpēc īpaša uzmanība ir jāpievērš svaru izvēlei jaunajos mainīgajos.

Klasisks piemērs ir apstarotā parauga radioaktīvās sabrukšanas problēma, kurā ir ērti mainīgie un t, kur ir sabrukšanas ātrums. Šajos mainīgajos lielumos līkne parasti tiek tuvināta ar lauztu līniju, kuras saites atbilst arvien ilgāk dzīvojošo radioaktīvās sērijas locekļu sabrukumam.

Vēl viens plaši izmantots koeficientu atkarības veids ir daļēji lineāra, kad tuvināšanas funkcija ir racionāla:

Bieži tiek izmantota arī vispārināto polinomu attiecība. Šī tuvināšana ļauj nodot funkcijas polus - tie atbilst vajadzīgās daudzkārtības saucēja nullēm. Bieži vien ir iespējams reproducēt asimptotisko uzvedību pie atbilstošas ​​daudzuma izvēles dēļ, piemēram, ja , tad mums jāiestata . Šajā gadījumā jūs varat ņemt tos pietiekami lielus, lai tiem būtu daudz tuvināšanas koeficientu.

Taču kļūda kvadrātā vairs nebūs koeficientu kvadrātfunkcija, tāpēc nav viegli atrast racionālas funkcijas koeficientus. Pēc analoģijas ar polinomu vidējā kvadrāta tuvinājumu, mēs varam izvirzīt hipotēzi, ka kļūdai ir nulles, kas nav mazākas par brīvo koeficientu skaitu (sal. ar 3. piezīmi 2. punktā). Tad problēma tiek reducēta uz Lagranža interpolāciju virs šīm nullēm un koeficienti tiek atrasti no lineāro vienādojumu sistēmas:

Protams, precīza nulles atrašanās vieta nav zināma; tie tiek izvēlēti nejauši, parasti vienmērīgi sadalīti pa segmentu. Šo metodi sauc par atlasīto punktu metodi. Ar šo metodi iegūtais tuvinājums nepavisam nebūs tas labākais.

Turklāt izvēlēto punktu metode ir nepamatota, tāpat kā jebkura interpolācija, ja tajā ir manāma kļūda.

Vislabāko tuvinājumu var atrast, izmantojot iterētā svara metodi. Ņemiet vērā, ka uzdevums

ir viegli atrisināms: izteiksme kreisajā pusē ir koeficientu kvadrātiskā funkcija, un diferenciācija attiecībā pret tiem noved pie lineāras koeficientu noteikšanas sistēmas, kas līdzīga (38). Jaunā problēma būtībā atšķiras no sākotnējās ar to, ka atsvara vietā tiek izmantots cits atsvars, tāpēc tās risinājums nav labākais tuvinājums. Uzrakstīsim sākotnējo problēmu jaunā formā:

un mēs to atrisināsim ar vienkāršu iteratīvu procesu

var uzskatīt par nulles tuvinājumu. Katrā iterācijā svars ir zināms no iepriekšējās iterācijas, tāpēc koeficienti ir viegli atrodami no kvadrātiskās formas minimālā nosacījuma. Prakse rāda, ka labākās aproksimācijas koeficienti ir vāji atkarīgi no svara izvēles, tāpēc iterācijas parasti ātri saplūst.

a) Apsveriet dažus racionālas funkcijas tuvināšanas piemērus. Liekam

aizstājot pirmos divus sērijas vārdus ar daļskaitli, iegūstam . Šī vienkāršā formula nodrošina precizitāti un ir ļoti ērta aplēsēm.

b) Varbūtību teorijā svarīgu lomu spēlē kļūdu integrālis, kuram ir zināmi sērijas paplašinājumi:

Pirmā sērija saplūst absolūti, bet konverģence ir ļoti lēna; otrā sērija asimptotiski saplūst lielām vērtībām. Aizstājot katras sērijas pirmos nosacījumus ar daļskaitļiem, mēs iegūstam

Norādītajos argumentu maiņas diapazonos pirmās formulas kļūda nepārsniedz 0,4%, bet otrās formulas kļūda nepārsniedz 2,4%. Tādējādi šo tuvinājumu precizitāte ir diezgan pietiekama daudziem praktiskiem lietojumiem.

c) Ļaujiet mums noteikt pie . Šī funkcija ir monotoniska, un ir viegli izveidot daļskaitli

Nelineāras funkcijas aproksimācija

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

g 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Tā kā funkcijas sadalīšanas intervāls ir vienāds, mēs aprēķinām šādus aproksimētās funkcijas atbilstošo sadaļu slīpuma koeficientus:

1. Bloku uzbūve aproksimējošās funkcijas segmentu veidošanai

Laika funkcijas veidošana

Mainīšanas intervāls:

Cikliskais restartēšanas laiks: T = 1s

Tagad modelēsim funkciju:

Tuvināšana

3.1. attēls - vienādojuma risināšanas shēma

3.2. attēls - Nelineāras funkcijas veidošanas blokshēma

Tādējādi tiek automātiski izveidota vienādojuma kreisā puse. Šajā gadījumā parasti tiek pieņemts, ka ir zināms augstākais atvasinājums x//, jo vienādojuma labās puses termini ir zināmi un var tikt savienoti ar U1 ieejām (3.1. attēls). Operacionālais pastiprinātājs U3 darbojas kā +x signāla pārveidotājs. Lai modelētu x//, ķēdē ir jāievada vēl viens apakšpastiprinātājs, kura ieejām nepieciešams piegādāt signālus, kas imitē vienādojuma (3.2) labo pusi.

Visu mainīgo lielumu skalas tiek aprēķinātas, ņemot vērā, ka mašīnas mainīgā maksimālā vērtība, kas pārsniedz absolūto vērtību, ir 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10/x/ max; Mx // = 10 / x //max;

Mans = 10 / ymax. (3.3)

Laika skala Mt = T / tmax = 1, jo problēma tiek simulēta reālajā laikā.

Tiek aprēķināti pārraides koeficienti katrai integrējošo pastiprinātāju ieejai.

Pastiprinātājam U1 pārraides koeficienti tiek atrasti, izmantojot formulas:

K11 = Mx/b/ (MyMt); K12 = Mx/a2/ (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Pastiprinātājam U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

un pastiprinātājam U3:

K31 = 1. (3,6)

Sākotnējo apstākļu spriegumus aprēķina, izmantojot formulas:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Vienādojuma (3.2) labā puse ir attēlota ar nelineāru funkciju, kuru precizē ar lineāru tuvinājumu. Šajā gadījumā ir jāpārbauda, ​​vai tuvinājuma kļūda nepārsniedz noteiktu vērtību. Nelineāras funkcijas veidošanas blokshēma parādīta 3.2. attēlā.

Shēmas apraksts

Laika funkcijas (Ф) ģenerēšanas bloks ir izveidots viena (veidotu t) vai divu virknē savienotu (veidotu t2) integrētu pastiprinātāju veidā ar nulles sākuma nosacījumiem.

Šajā gadījumā, kad signāls U tiek ievadīts pirmā integratora ieejā, tā izejā mēs iegūstam:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Liekot K11E=1, mums ir u1(t)=t.

Otrā integratora izvadā mēs iegūstam:

u2(t)= K21 = K11K21Et2/2 (3,9)

Iestatījums K11K21E/2 = 1, mums ir u2(t)= t2.

Bloki aproksimējošās funkcijas segmentu veidošanai tiek realizēti nelineāro funkciju (DBNF) diožu bloku veidā, kuru ievades vērtība ir laika t vai t2 funkcija. DBNF aprēķināšanas un konstruēšanas procedūra ir dota.

Tuvināšanas funkcijas segmentu summators (SAD) tiek veikts diferenciālā gala pastiprinātāja veidā.

Sākotnējie nosacījumi modelēšanas shēmas integratoriem tiek ieviesti, izmantojot mezglu ar mainīgu struktūru (3.3. attēls). Šī shēma var darboties divos režīmos:

a) integrācija - ar taustiņu K pozīcijā 1. Šajā gadījumā ķēdes sākuma signālu pietiekami precīzi apraksta ar ideāla integratora vienādojumu:

u1(t)= - (1/RC) . (3.10)

Šis režīms tiek izmantots, modelējot uzdevumu. Lai pārbaudītu integratora parametru R un C izvēles pareizību, pārbaudiet integratora sākotnējā sprieguma vērtību kā laika funkciju un lietderīgo integrācijas laiku pieļaujamās kļūdas robežās?Uperm.

Sākotnējā integratora sprieguma lielums

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

simulācijas laikā T, integrējot ieejas signālu E, izmantojot darbības pastiprinātāju ar pastiprinājumu Ky bez atgriezeniskās saites ķēdes, nedrīkst pārsniegt mašīnas mainīgā lieluma vērtību (10 V).

Integrācijas laiks

Ti = 2RC(Kу + 1)?Uadd (3.12)

ar izvēlētajiem ķēdes parametriem nevajadzētu būt mazākam par simulācijas laiku T.

b) sākuma nosacījumu iestatīšana tiek realizēta, pārslēdzot taustiņu K pozīcijā 2. Šis režīms tiek izmantots, sagatavojot modelēšanas ķēdi risinājuma procesam. Šajā gadījumā ķēdes sākotnējo signālu apraksta ar vienādojumu:

u0(t)= - (R2/R1) E (3,13)

kur u0(t) ir sākotnējo nosacījumu vērtība.

Lai samazinātu sākotnējo nosacījumu veidošanās laiku un nodrošinātu drošu darbību, ķēdes parametriem jāatbilst nosacījumam: R1C1 = R2C.

Izveidojiet pilnīgu aprēķinu shēmu. Šajā gadījumā jāizmanto 3.1. apakšnodaļā norādītie simboli.

Izmantojot ievades un avota datu bitu dziļumu, izveidojiet bloku B1 un B2 shēmas un savienojiet tās ar RS bloku.

(Lūdzu, ņemiet vērā papildu sadaļu, kas datēta ar 06/04/2017 raksta beigās.)

Grāmatvedība un kontrole! Tiem, kam pāri 40, vajadzētu labi atcerēties šo saukli no mūsu valsts sociālisma un komunisma celtniecības laikmeta.

Bet bez labi izveidotas grāmatvedības valsts, reģiona, uzņēmuma vai mājsaimniecības efektīva funkcionēšana nav iespējama nevienā sociāli ekonomiskajā sabiedrības veidošanā! Lai sastādītu darbības un attīstības prognozes un plānus, nepieciešami sākotnējie dati. Kur tās var dabūt? Tikai viens uzticams avots ir jūsu iepriekšējo laika periodu statistikas ieraksti.

Manā izpratnē ikvienam saprātīgam cilvēkam ir jāņem vērā savas darbības rezultāti, jāvāc un jāreģistrē informācija, jāapstrādā un jāanalizē dati, kā arī jāpiemēro analīzes rezultāti, lai pieņemtu pareizos lēmumus nākotnē. Tas nav nekas vairāk kā dzīves pieredzes uzkrāšana un racionāla izmantošana. Ja neveicat svarīgu datu uzskaiti, pēc noteikta laika jūs tos aizmirsīsit un, atsākot risināt šīs problēmas, atkal pieļausiet tās pašas kļūdas, kuras pieļāvāt, kad to darījāt pirmo reizi.

"Es atceros, ka pirms 5 gadiem mēs saražojām līdz 1000 šādu produktu vienībām mēnesī, un tagad mēs tik tikko varam salikt 700!" Atveram statistiku un redzam, ka pirms 5 gadiem viņi nesaražoja pat 500 gabalus...

“Cik jūsu automašīnas kilometrs maksā, ņemot vērā visi izmaksas? Atveram statistiku – 6 rubļi/km. Brauciens uz darbu – 107 rubļi. Lētāk nekā braukt ar taksometru (180 rubļi) vairāk nekā pusotru reizi. Un bija reizes, kad ar taksi bija lētāk...

"Cik ilgs laiks nepieciešams, lai izgatavotu 50 m augsta stūra sakaru torņa tērauda konstrukcijas?" Atveram statistiku - un pēc 5 minūtēm atbilde gatava...

"Cik maksās dzīvokļa remonts?" Paceļam vecos rekordus, veicam pēdējo gadu inflācijas korekciju, ņemam vērā, ka pagājušajā reizē iegādājāmies materiālus par 10% lētāk nekā tirgus cena un jau zinām aptuvenās izmaksas...

Veicot savas profesionālās darbības uzskaiti, Tu vienmēr būsi gatavs atbildēt uz sava priekšnieka jautājumu: “Kad!!!???” Veicot mājsaimniecības uzskaiti, ir vieglāk plānot izdevumus lieliem pirkumiem, atvaļinājumiem un citiem izdevumiem nākotnē, veicot atbilstošus pasākumus papildu ienākumu gūšanai vai nevajadzīgu izdevumu samazināšanai jau šodien.

Šajā rakstā es izmantošu vienkāršu piemēru, lai parādītu, kā savāktos statistikas datus var apstrādāt programmā Excel turpmākai izmantošanai nākamo periodu prognozēšanā.

Statistikas datu tuvināšana programmā Excel ar analītisko funkciju.

Ražotnē tiek ražotas būvmetāla konstrukcijas no lokšņu un profilu metāla izstrādājumiem. Objekts darbojas stabili, pasūtījumi ir viena veida, strādnieku skaits nedaudz svārstās. Ir dati par produkcijas izlaidi par iepriekšējiem 12 mēnešiem un par apstrādātā metāla velmējumu apjomu šajos laika periodos pa grupām: loksnes, I-sijas, kanāli, leņķi, apaļas caurules, taisnstūra profili, apaļie izstrādājumi. Veicot sākotnējo datu provizorisko analīzi, radās pieņēmums, ka kopējais metāla konstrukciju ražošanas apjoms mēnesī būtiski atkarīgs no pasūtījumu leņķu skaita. Pārbaudīsim šo pieņēmumu.

Pirmkārt, daži vārdi par tuvināšanu. Meklēsim likumu - analītisko funkciju, tas ir, funkciju, kas noteikta ar vienādojumu, kas labāk nekā citi raksturo metāla konstrukciju kopējās izlaides atkarību no leņķa tērauda daudzuma izpildītajos pasūtījumos. Tas ir tuvinājums, un atrasto vienādojumu sauc par sākotnējās funkcijas tuvināšanas funkciju, kas norādīta tabulas veidā.

1. Ieslēdziet programmu Excel un ievietojiet tabulu ar statistikas datiem uz lapas.

2. Tālāk mēs veidojam un formatējam izkliedes diagrammu, kurā pa X asi iestatām argumenta vērtības - apstrādāto stūru skaitu tonnās. Pa Y asi mēs attēlojam sākotnējās funkcijas vērtības - kopējo metāla konstrukciju saražoto apjomu mēnesī, kas norādīts tabulā.

3. Mēs “norādījam” peli uz jebkuru no diagrammas punktiem un ar peles labo pogu noklikšķiniet, lai atvērtu konteksta izvēlni (kā saka viens no maniem labiem draugiem - strādājot nepazīstamā programmā, kad nezināt, ko darīt, biežāk noklikšķiniet ar peles labo pogu...). Nolaižamajā izvēlnē atlasiet “Pievienot tendences līniju...”.

4. Parādītajā logā “Trend Line” cilnē “Tips” atlasiet “Lineārs”.

6. Diagrammā parādījās taisna līnija, kas tuvina mūsu tabulas atkarību.

Papildus pašai līnijai mēs redzam šīs līnijas vienādojumu un, pats galvenais, mēs redzam parametra R 2 vērtību - aproksimācijas ticamības vērtību! Jo tuvāk tās vērtība ir 1, jo precīzāk izvēlētā funkcija tuvina tabulas datus!

7. Mēs veidojam tendenču līnijas, izmantojot jaudas, logaritmisko, eksponenciālo un polinomu tuvinājumus tāpat kā lineāru tendenču līniju.

No visām atlasītajām funkcijām mūsu datiem vislabāk atbilst otrās pakāpes polinoms, kuram ir maksimālais ticamības koeficients R 2 .

Tomēr es gribu jūs brīdināt! Ja ņemat augstākas pakāpes polinomus, iespējams, iegūsit vēl labākus rezultātus, bet līknēm būs savdabīgs izskats... Šeit ir svarīgi saprast, ka mēs meklējam funkciju, kurai ir fiziska nozīme. Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka mums ir nepieciešama aproksimējoša funkcija, kas sniegs adekvātus rezultātus ne tikai aplūkotajā X vērtību diapazonā, bet arī ārpus tā, proti, tā atbildēs uz jautājumu: “Kāda būs metāla konstrukciju izvade, ja mēnesī apstrādātie leņķi ir mazāki par 45 un vairāk par 168 tonnām! Tāpēc neiesaku aizrauties ar augstas pakāpes polinomiem un rūpīgi izvēlēties parabolu (otrās pakāpes polinomu)!

Tātad, mums ir jāizvēlas funkcija, kas ne tikai labi interpolē tabulas datus vērtību diapazonā X = 45...168, bet arī ļauj veikt adekvātu ekstrapolāciju ārpus šī diapazona. Šajā gadījumā es izvēlos logaritmisko funkciju, lai gan var izvēlēties arī lineāru, jo tā ir visvienkāršākā. Aplūkotajā piemērā, izvēloties lineāro tuvinājumu programmā Excel, kļūdas būs lielākas nekā izvēloties logaritmisko, bet ne par daudz.

8. Mēs noņemam visas tendenču līnijas no diagrammas lauka, izņemot logaritmisko funkciju. Lai to izdarītu, ar peles labo pogu noklikšķiniet uz nevajadzīgajām rindām un parādītajā konteksta izvēlnē atlasiet “Notīrīt”.

9. Visbeidzot tabulas datu punktiem pievienosim kļūdu joslas. Lai to izdarītu, ar peles labo pogu noklikšķiniet uz jebkura no diagrammas punktiem un konteksta izvēlnē atlasiet “Format data series…” un konfigurējiet datus cilnē “Y-errors”, kā parādīts attēlā zemāk.

10. Pēc tam ar peles labo pogu noklikšķiniet uz jebkuras kļūdu diapazona līnijas, konteksta izvēlnē atlasiet “Format error bars…” un cilnes “Skats” logā “Format error bars” noregulējiet līniju krāsu un biezumu.

Visi citi diagrammas objekti tiek formatēti tādā pašā veidā.Excel!

Diagrammas gala rezultāts ir parādīts nākamajā ekrānuzņēmumā.

Rezultāti.

Visu iepriekšējo darbību rezultāts bija iegūtā formula tuvinājuma funkcijai y=-172.01*ln (x)+1188.2. Zinot to, un stūru skaitu ikmēneša darbu komplektā, ar lielu varbūtības pakāpi (±4% - skat. kļūdu joslas) iespējams prognozēt kopējo metāla konstrukciju saražoto apjomu mēnesī! Piemēram, ja mēneša plāns ir 140 tonnas leņķu, tad kopējā izlaide, visām pārējām lietām vienādi, visticamāk, būs 338 ± 14 tonnas.

Lai palielinātu tuvinājuma ticamību, vajadzētu būt daudz statistikas datu. Ar divpadsmit vērtību pāriem nepietiek.

No prakses teikšu, ka aproksimējošas funkcijas atrašana ar ticamības koeficientu R 2 >0,87 jāuzskata par labu rezultātu. Lielisks rezultāts ir ar R 2 >0,94.

Praksē var būt grūti noteikt vienu svarīgāko noteicošo faktoru (mūsu piemērā mēneša laikā apstrādāto stūru masu), taču, ja pamēģināsi, to vienmēr var atrast katrā konkrētajā uzdevumā! Protams, mēneša kopējā izlaide patiešām ir atkarīga no simtiem faktoru, kuru ņemšana vērā prasa ievērojamas darbaspēka izmaksas no standartu noteicējiem un citiem speciālistiem. Bet rezultāts tik un tā būs aptuvens! Tātad, vai ir vērts uzņemties izmaksas, ja ir daudz lētāka matemātiskā modelēšana!

Šajā rakstā esmu pieskāries tikai aisberga virsotnei, ko sauc par statistikas datu vākšanu, apstrādi un praktisko izmantošanu. Ceru, ka no raksta komentāriem un vērtējumiem meklētājprogrammās uzzināšu, vai man izdevās vai nē jūsu interesi par šo tēmu.

Izvirzītajam jautājumam par viena mainīgā funkcijas tuvināšanu ir plašs praktisks pielietojums dažādās dzīves jomās. Bet funkcijas aproksimācijas problēmas risinājumam ir daudz plašāks pielietojums vairāki neatkarīgi mainīgie... Par to un vairāk lasiet nākamajos emuāra rakstos.

Abonēt uz rakstu paziņojumiem logā, kas atrodas katra raksta beigās vai logā lapas augšpusē.

Neaizmirsti Apstiprināt abonējiet, noklikšķinot uz saites vēstulē, kas jums atnāks uz norādīto pastu (var nonākt mapē « Spams » )!!!

Ar interesi lasīšu jūsu komentārus, dārgie lasītāji! Rakstiet!

P.S. (06/04/2017)

Ļoti precīza, skaista tabulas datu aizstāšana ar vienkāršu vienādojumu.

Jūs neesat apmierināts ar iegūto aproksimācijas precizitāti (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Vai izteiksmes izmēri un augstas pakāpes aproksimējošā polinoma līnijas forma nav acij tīkama?

Lūdzu, skatiet lapu "", lai iegūtu precīzāku un kompaktāku tabulas datu aproksimācijas rezultātu un apgūtu vienkāršu paņēmienu augstas precizitātes tuvināšanas problēmu risināšanai ar viena mainīgā lieluma funkciju.

Izmantojot piedāvāto darbību algoritmu, tika atrasta ļoti kompakta funkcija, kas nodrošina visaugstāko aproksimācijas precizitāti: R 2 =0,9963!!!

Nelineāro un transcendentālo vienādojumu sistēmu atrisināšana.

Nelineāro un transcendentālo vienādojumu sistēmas. Vienādojumu atrisināšana skaitliskā formā.

Skaitliskās metodes problēmu risināšanai

Radiofizika un elektronika

(Pamācība)

Voroņeža 2009

Mācību grāmata sagatavota Fizikālās elektronikas katedrā

Voroņežas Valsts universitātes fakultāte.

Aplūkotas ar elektronisko shēmu automatizētu analīzi saistīto problēmu risināšanas metodes. Tiek prezentēti grafu teorijas pamatjēdzieni. Dots Kirhofa likumu matricas-topoloģiskais formulējums. Aprakstītas pazīstamākās matricu-topoloģiskās metodes: mezglu potenciālu metode, cilpas strāvu metode, diskrēto modeļu metode, hibrīda metode, mainīgo stāvokļu metode.

1. Nelineāro raksturlielumu tuvināšana. Interpolācija. 6

1.1. Ņūtona un Lagranža polinomi 6

1.2. Splaina interpolācija 8

1.3. Mazāko kvadrātu metode 9

2. Algebrisko vienādojumu sistēmas 28

2.1. Lineāro vienādojumu sistēmas. Gausa metode. 28

2.2. Retas vienādojumu sistēmas. LU faktorizēšana. 36

2.3. Nelineāru vienādojumu atrisināšana 37

2.4. Nelineāru vienādojumu sistēmu atrisināšana 40

2.5. Diferenciālvienādojumi. 44

2. Ekstrēma meklēšanas metodes. Optimizācija. 28

2.1. Ekstrēmās meklēšanas metodes. 36

2.2. Pasīvā meklēšana 28

2.3. Secīgā meklēšana 36

2.4. Daudzdimensiju optimizācija 37

Atsauces 47

Nelineāro raksturlielumu tuvināšana. Interpolācija.

1.1. Ņūtona un Lagranža polinomi.

Risinot daudzas problēmas, rodas nepieciešamība aizstāt funkciju f, par kuru ir nepilnīga informācija vai kuras forma ir pārāk sarežģīta, ar vienkāršāku un ērtāku funkciju F, kas vienā vai otrā nozīmē tuvu f, dodot tās aptuvenu. pārstāvība. Tuvināšanai (tuvināšanai) izmanto noteiktai klasei piederošas funkcijas F, piemēram, noteiktas pakāpes algebriskos polinomus. Funkcijas aproksimācijas uzdevumam ir daudz dažādu versiju, atkarībā no tā, kuras funkcijas f tiek tuvinātas, kuras funkcijas F tiek izmantotas tuvināšanai, kā tiek saprasta funkciju f un F tuvums utt.

Viena no aptuveno funkciju konstruēšanas metodēm ir interpolācija, kad noteiktos punktos (interpolācijas mezglos) jāsakrīt sākotnējās funkcijas f un aproksimējošās funkcijas F vērtības. Vispārīgākā gadījumā atvasinājumiem dotajos punktos jāsakrīt.

Funkciju interpolāciju izmanto, lai aizstātu grūti aprēķināmu funkciju ar citu, kuru ir vieglāk aprēķināt; aptuvenai funkcijas atjaunošanai no tās vērtībām atsevišķos punktos; funkciju skaitliskai diferencēšanai un integrācijai; nelineāru un diferenciālvienādojumu skaitliskai atrisināšanai u.c.

Vienkāršākā interpolācijas problēma ir šāda. Noteiktai segmenta funkcijai punktos, kurus sauc par interpolācijas mezgliem, ir norādītas n+1 vērtības. Kurā . Ir nepieciešams izveidot interpolācijas funkciju F(x), kas interpolācijas mezglos iegūst tādas pašas vērtības kā f(x):

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

Ģeometriski tas nozīmē atrast noteikta veida līkni, kas iet caur doto punktu sistēmu (x i, y i), i = 0,1,…,n.

Ja argumenta vērtības pārsniedz reģionu, tad mēs runājam par ekstrapolāciju - funkcijas turpinājumu ārpus tās definīcijas reģiona.

Visbiežāk funkcija F(x) tiek konstruēta algebriskā polinoma formā. Ir vairāki algebriskās interpolācijas polinomu attēlojumi.

Viena no metodēm, kā interpolēt funkcijas, kas ņem vērtības punktos, ir izveidot Lagranža polinomu, kam ir šāda forma:

Interpolācijas polinoma pakāpe, kas iet caur n+1 interpolācijas mezgliem, ir vienāda ar n.

No Lagranža polinoma formas izriet, ka jauna mezgla punkta pievienošana noved pie izmaiņām visos polinoma terminos. Tā ir Lagranža formulas neērtība. Bet Lagranža metode satur minimālu aritmētisko darbību skaitu.

Lai konstruētu pieaugošu pakāpju Lagranža polinomus, var izmantot šādu iterācijas shēmu (Aitken shēmu).

Polinomus, kas iet caur diviem punktiem (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1; j=i+1,…,n), var attēlot šādi:

Polinomi, kas iet cauri trim punktiem (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), var izteikt ar polinomiem L ij un L jk:

Polinomi četriem punktiem (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) tiek konstruēti no polinomiem L ijk un L jkl:

Process turpinās, līdz tiek iegūts polinoms, kas iet cauri n dotajiem punktiem.

Algoritmu Lagranža polinoma vērtības aprēķināšanai punktā XX, īstenojot Aitken shēmu, var uzrakstīt, izmantojot operatoru:

for (int i=0;i

for (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

tā tiks uztverta kā kļūda - atkārtota mainīgā deklarācija,

mainīgais i jau ir deklarēts

for (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

kur masīvs F ir Lagranža polinoma starpvērtības. Sākotnēji F[I] ir jāiestata vienāds ar y i . Pēc cilpu izpildes F[N] ir N pakāpes Lagranža polinoma vērtība punktā XX.

Vēl viena interpolācijas polinoma attēlošanas forma ir Ņūtona formulas. Ļaut būt vienādā attālumā esošiem interpolācijas mezgliem; i=0,1,…,n ; - interpolācijas solis.

Ņūtona pirmā interpolācijas formula, ko izmanto priekšējai interpolācijai, ir:

Nosauktās (galīgās) i-tās kārtas atšķirības. Tie ir definēti šādi:

Normalizēts arguments.

Kad Ņūtona interpolācijas formula pārvēršas Teilora sērijā.

Ņūtona 2. interpolācijas formula tiek izmantota, lai interpolētu "atpakaļ":

Pēdējā ierakstā atšķirību (sauktas par "uz priekšu" atšķirībām) vietā tiek izmantotas "atpakaļ" atšķirības:

Nevienlīdzīgi izvietotu mezglu gadījumā t.s atdalītas atšķirības

Šajā gadījumā interpolācijas polinomam Ņūtona formā ir forma

Atšķirībā no Lagranža formulas, pievienojot jaunu vērtību pāri. (x n +1, y n +1) šeit tiek reducēts līdz vienam jaunam terminam. Tāpēc interpolācijas mezglu skaitu var viegli palielināt, neatkārtojot visu aprēķinu. Tas ļauj novērtēt interpolācijas precizitāti. Tomēr Ņūtona formulām ir nepieciešams vairāk aritmētisku darbību nekā Lagranža formulām.

Ja n=1 iegūstam lineārās interpolācijas formulu:

Ja n=2 mums būs paraboliskās interpolācijas formula:

Interpolējot funkcijas, augstas pakāpes algebriskos polinomus izmanto reti, jo ir ievērojamas skaitļošanas izmaksas un lielas kļūdas vērtību aprēķināšanā.

Praksē visbiežāk izmanto gabalos lineāro vai gabalos parabolisko interpolāciju.

Izmantojot pa daļām lineāro interpolāciju, funkcija f(x) intervālā (i=0,1,…,n-1) tiek tuvināta ar taisnas līnijas segmentu

Aprēķinu algoritmu, kas realizē pa daļām lineāro interpolāciju, var uzrakstīt, izmantojot operatoru:

for (int i=0;i

if ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Izmantojot pirmo cilpu, mēs meklējam, kur atrodas vēlamais punkts.

Izmantojot pa daļām parabolisko interpolāciju, polinoms tiek konstruēts, izmantojot 3 mezglpunktus, kas ir vistuvāk argumenta dotajai vērtībai.

Aprēķinu algoritmu, kas realizē pa daļām parabolisko interpolāciju, var uzrakstīt, izmantojot operatoru:

for (int i=0;i

y0=Fy; Ja i=0 elements neeksistē!

x0=Fx; Tas pats

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Interpolācijas izmantošana ne vienmēr ir ieteicama. Apstrādājot eksperimentālos datus, funkciju vēlams izlīdzināt. Eksperimentālo atkarību tuvināšana, izmantojot mazāko kvadrātu metodi, balstās uz prasību samazināt vidējo kvadrātisko kļūdu

Tuvinošā polinoma koeficienti tiek atrasti, atrisinot m+1 lineāro vienādojumu sistēmu, t.s. “normālie” vienādojumi, k=0,1,…,m

Papildus algebriskajiem polinomiem funkciju tuvināšanai plaši izmanto trigonometriskos polinomus

(sk. “Ciparu harmoniku analīze”).

Splaini ir efektīvs līdzeklis funkcijas tuvināšanai. Splainam ir nepieciešams, lai tā vērtības un atvasinājumi mezglpunktos sakristu ar interpolēto funkciju f(x) un tās atvasinājumiem līdz noteiktai secībai. Tomēr splainu uzbūve dažos gadījumos prasa ievērojamas skaitļošanas izmaksas.

1 | | | | | | | | | | | |

Eksperimenta laikā veikto mērījumu rezultātā iegūstam noteiktas funkcijas tabulas piešķiršanu f(x), izsaka attiecības starp diviem ģeogrāfiskiem parametriem:

X	x 1	x 2	…	x n
f(x)	y 1	plkst.2	…	g n

Protams, jūs varat atrast formulu, kas šo atkarību izsaka analītiski, izmantojot interpolācijas metodi. Tomēr interpolācijas mezglos iegūtās funkcijas analītiskās specifikācijas vērtību sakritība ar pieejamajiem empīriskajiem datiem bieži vien var nenozīmēt sākotnējās un interpolācijas funkciju uzvedības sakritību visā novērošanas intervālā. Turklāt ģeogrāfisko rādītāju tabulas atkarība vienmēr tiek iegūta mērījumu rezultātā ar dažādiem instrumentiem, kuriem ir noteikta un ne vienmēr pietiekami maza mērījumu kļūda. Prasība pēc precīzas tuvināšanas un tuvināšanas funkciju vērtību sakritības mezglos ir vēl nepamatotāka, ja funkcijas vērtības f(x), tie, kas iegūti mērījumu rezultātā, paši par sevi ir aptuveni.

Viena mainīgā funkcijas tuvināšanas problēma no paša sākuma noteikti ņem vērā sākotnējās funkcijas uzvedību visā novērošanas intervālā. Problēmas formulējums ir šāds. Funkcija y= f(x) norādīts tabulā (1). Ir jāatrod noteikta veida funkcija:

kas atrodas punktos x 1 , x 2 , …, x nņem vērtības pēc iespējas tuvāk tabulā norādītajām vērtībām y 1, y 2, …, y n.

Praksē aproksimējošās funkcijas veidu visbiežāk nosaka, salīdzinot funkcijas aptuveni konstruētā grafika formu y= f(x) ar pētniekam zināmu funkciju grafikiem, kas norādīti analītiski (visbiežāk elementāras funkcijas, kas pēc izskata ir vienkāršas). Proti, saskaņā ar (1) tabulu tiek izveidots izkliedes diagramma f(x), tad tiek novilkta gluda līkne, kas pēc iespējas labāk atspoguļo punktu atrašanās vietas raksturu. Pamatojoties uz šādā veidā iegūto līkni, kvalitatīvā līmenī tiek noteikta aproksimējošās funkcijas forma.

Apsveriet 6. attēlu.

6. attēlā parādītas trīs situācijas:

• Grafikā (a) attiecības X Un plkst tuvu lineārai; taisne šeit atrodas tuvu novērošanas punktiem, un pēdējie no tās novirzās tikai salīdzinoši nelielu nejaušu ietekmju rezultātā.
• Grafiks (b) parāda reālo attiecību starp daudzumiem X Un plkst ir aprakstīta ar nelineāru funkciju, un neatkarīgi no tā, kādu taisni mēs zīmēsim, novērojumu punktu novirze no tās būs nozīmīga un negadījuma rakstura. Tajā pašā laikā uzzīmētais parabolas zars diezgan labi atspoguļo lielumu attiecības raksturu.
• Grafikā (c) ir skaidra saistība starp mainīgajiem lielumiem X Un plkst prombūtnē; neatkarīgi no tā, kādu savienojuma formulu mēs izvēlētos, tās parametrizācijas rezultāti būs neveiksmīgi. Jo īpaši abas izvēlētās taisnes ir vienlīdz sliktas, lai izdarītu secinājumus par mainīgā lieluma paredzamajām vērtībām plkst pēc mainīgām vērtībām X.

Jāatzīmē, ka stingra funkcionālā atkarība sākotnējo datu tabulai tiek novērota reti, jo katrs no tajā iesaistītajiem daudzumiem var būt atkarīgs no daudziem nejaušiem faktoriem. Tomēr formula (2) (to sauc par empīrisko formulu vai regresijas vienādojumu plkst ieslēgts X) ir interesants, jo tas ļauj atrast funkcijas vērtības f netabulārām vērtībām X, "izlīdzinot" daudzuma mērījumu rezultātus plkst, t.i. visā izmaiņu diapazonā X. Šīs pieejas pamatojumu galu galā nosaka iegūtās formulas praktiskā lietderība.

Caur esošo punktu “mākoni” vienmēr var mēģināt novilkt noteikta tipa līniju, kas savā ziņā ir labākā starp visām noteiktā tipa līnijām, tas ir, “vistuvāk” to novērošanas punktiem. kopums. Lai to izdarītu, vispirms definējam līnijas tuvuma jēdzienu noteiktai plaknes punktu kopai. Šāda tuvuma mēri var atšķirties. Tomēr jebkuram saprātīgam pasākumam acīmredzami jābūt saistītam ar attālumu no novērošanas punktiem līdz attiecīgajai līnijai (norādīts ar vienādojumu y=F(x)).

Pieņemsim, ka aproksimējošā funkcija F(x) punktos x 1, x 2, ..., x n jautājums y 1 , y 2 , ..., y n. Bieži vien kā tuvuma kritērijs tiek izmantota atkarīgā mainīgā novērojumu atšķirību minimālā kvadrāta summa. y i un teorētiskās vērtības, kas aprēķinātas, izmantojot regresijas vienādojumu y i. Šeit tiek uzskatīts, ka y i Un x i- zināmi novērojumu dati un F- regresijas taisnes vienādojums ar nezināmiem parametriem (formulas to aprēķināšanai tiks dotas zemāk). Tiek saukta metode aproksimējošas funkcijas parametru novērtēšanai, kas samazina atkarīgā mainīgā novērojumu kvadrātu noviržu summu no vajadzīgās funkcijas vērtībām. metode vismazāk kvadrāti (LS) vai Mazāko kvadrātu metode (LS).

Tātad, funkcijas aproksimācijas problēma f tagad var formulēt šādi: funkcijai f, kas norādīts tabulā (1), atrodiet funkciju F noteiktu veidu, lai kvadrātu summa Ф būtu mazākā.

Apskatīsim metodi aproksimējošas funkcijas atrašanai vispārīgā formā, izmantojot aproksimējošas funkcijas piemēru ar trim parametriem:

(3)

Ļaujiet F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Atbilstošo vērtību atšķirību kvadrātā summa f Un F izskatīsies šādi:

Šī summa ir funkcija no Ф (a, b, c) trīs mainīgie (parametri a, b Un c). Uzdevums ir atrast tā minimumu. Ekstrēmam izmantojam nepieciešamo nosacījumu:

Iegūstam sistēmu nezināmo parametru a, b, c noteikšanai.

(5)

Atrisinot šo trīs vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem parametriem a, b, c, iegūsim vajadzīgās funkcijas konkrēto formu F(x, a, b, c). Kā redzams no aplūkotā piemēra, parametru skaita maiņa neizraisīs pašas pieejas būtības izkropļojumus, bet tiks izteikta tikai vienādojumu skaita izmaiņās sistēmā (5).

Ir dabiski sagaidīt, ka atrastās vērtības funkcionēs F(x, a, b, c) punktos x 1, x 2, ..., x n, atšķirsies no tabulā norādītajām vērtībām y 1 , y 2 , ..., y n. Atšķirības vērtības y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) sauc par izmērīto vērtību novirzēm y no tiem, kas aprēķināti pēc formulas (3). Atrastajai empīriskajai formulai (2) saskaņā ar sākotnējo tabulu (1) mēs varam atrast

kvadrātu noviržu summai, kurai saskaņā ar mazāko kvadrātu metodi noteikta veida tuvinājuma funkcijai (un atrastajām parametru vērtībām) jābūt mazākajai. No diviem dažādiem vienas un tās pašas tabulas funkcijas tuvinājumiem, izmantojot mazāko kvadrātu metodi, par labāko jāuzskata tā, kurai summai (4) ir mazākā vērtība.

Eksperimentālajā praksē kā tuvinātas funkcijas atkarībā no izkliedes diagrammas rakstura f Bieži tiek izmantotas aproksimējošas funkcijas ar diviem parametriem:

Acīmredzot, kad tiek noteikts tuvināšanas funkcijas veids, uzdevums tiek samazināts tikai līdz parametru vērtību atrašanai.

Apskatīsim praktiskajos pētījumos visbiežāk sastopamās empīriskās atkarības.

3.3.1. Lineārā funkcija (lineārā regresija). Atkarības analīzes sākumpunkts parasti ir mainīgo lineārās atkarības novērtēšana. Taču jāņem vērā, ka “labākā” taisne, izmantojot mazāko kvadrātu metodi, pastāv vienmēr, taču pat labākā ne vienmēr ir pietiekami laba. Ja patiesībā atkarība y=f(x) ir kvadrātveida, tad neviena lineāra funkcija to nevar adekvāti aprakstīt, lai gan starp visām šādām funkcijām noteikti būs viena “labākā”. Ja vērtības X Un plkst vispār nav saistītas, mēs vienmēr varam atrast "labāko" lineāro funkciju y=cirvis+b noteiktai novērojumu kopai, bet šajā gadījumā konkrētām vērtībām A Un b tiek noteiktas tikai pēc mainīgo lielumu nejaušām novirzēm, un tās pašas ļoti atšķirsies dažādiem paraugiem no vienas un tās pašas populācijas.

Tagad izskatīsim lineārās regresijas koeficientu novērtēšanas problēmu formālāk. Pieņemsim, ka savienojums starp x Un y ir lineāra, un mēs meklēsim vēlamo tuvināšanas funkciju formā:

Atradīsim daļējus atvasinājumus attiecībā uz parametriem:

Aizstāsim iegūtās attiecības formā (5) sistēmā:

vai dalot katru vienādojumu ar n:

Ieviesīsim šādu apzīmējumu:

(7)

Tad pēdējā sistēma izskatīsies šādi:

(8)

Šīs sistēmas koeficienti M x , M y , M xy , M x 2- skaitļi, kurus katrā konkrētajā aproksimācijas uzdevumā var viegli aprēķināt, izmantojot formulas (7), kur x i, y i- vērtības no tabulas (1). Atrisinot sistēmu (8), iegūstam parametru vērtības a Un b, un tāpēc lineārās funkcijas (6) īpašā forma.

Nepieciešams nosacījums, lai izvēlētos lineāro funkciju kā vēlamo empīrisko formulu, ir attiecība:

3.3.2. Kvadrātiskā funkcija (kvadrātiskā regresija). Mēs meklēsim aproksimējošu funkciju kvadrātiskā trinoma formā:

Daļēju atvasinājumu atrašana:

Izveidosim formu (5) sistēmu:

Pēc vienkāršām transformācijām iegūstam trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem a, b, c. Sistēmas koeficientus, tāpat kā lineāras funkcijas gadījumā, izsaka tikai ar zināmajiem datiem no tabulas (1):

(10)

Šeit mēs izmantojam apzīmējumu (7), kā arī

Sistēmas (10) risinājums dod parametru vērtību a, b Un Ar tuvinājuma funkcijai (9).

Kvadrātiskā regresija tiek piemērota, ja visas formas izteiksmes y 2 - 2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 utt. maz atšķiras viens no otra.

3.3.3. Jaudas funkcija (ģeometriskā regresija). Tagad atradīsim tuvināto funkciju formā:

(11)

Pieņemot, ka sākotnējā tabulā (1) argumenta un funkcijas vērtības ir pozitīvas, mēs ņemam vienādības (11) logaritmu ar nosacījumu a>0:

Kopš funkcijas F ir funkcijas tuvinājums f, funkcija lnF būs funkcijas tuvinājums lnf. Ieviesīsim jaunu mainīgo u=lnx; tad, kā izriet no (12) lnF būs funkcija u: Ф(u).

Apzīmēsim

Tagad vienlīdzība (12) izpaužas šādā formā:

tie. problēma tika samazināta līdz aproksimējošas funkcijas atrašanai lineāras funkcijas formā. Praksē, lai atrastu vēlamo aptuveno funkciju jaudas funkcijas veidā (saskaņā ar iepriekš veiktajiem pieņēmumiem), ir jāveic šādas darbības:

1. izmantojot šo tabulu (1) izveidojiet jaunu tabulu, ņemot vērtību logaritmus x Un y avota tabulā;

2. izmantojiet jauno tabulu, lai atrastu parametrus A Un IN veidlapas aproksimējošā funkcija (14);

3. Izmantojot apzīmējumu (13), atrodiet parametru vērtības a Un m un aizstājiet tos izteiksmē (11).

Nepieciešams nosacījums, lai izvēlētos jaudas funkciju kā vēlamo empīrisko formulu, ir attiecība:

3.3.4. Eksponenciālā funkcija . Ļaujiet oriģinālajai tabulai (1) būt tādai, ka tuvinājumu ieteicams meklēt eksponenciālas funkcijas veidā:

Ņemsim vienādības logaritmu (15):

(16)

Atzīmējot (13), mēs pārrakstām (16) šādā formā:

(17)

Tādējādi, lai atrastu aproksimējošu funkciju formā (15), ir jālogaritē funkcijas vērtības sākotnējā tabulā (1) un, ņemot vērā tās kopā ar argumenta sākotnējām vērtībām, jākonstruē aproksimējoša funkcija. no veidlapas (17) jaunajai tabulai. Pēc tam saskaņā ar apzīmējumu (13) atliek iegūt meklēto parametru vērtības a Un b un aizstājiet tos formulā (15).

Nepieciešams nosacījums, lai izvēlētos eksponenciālo funkciju kā vēlamo empīrisko formulu, ir attiecība:

.

3.3.5. Daļveida lineāra funkcija. Mēs meklēsim aptuvenu funkciju šādā formā:

(18)

Mēs pārrakstām vienādību (18) šādi:

No pēdējās vienādības izriet, ka atrast parametru vērtības a Un b dotajai tabulai (1) ir jāizveido jauna tabula, kurā argumentu vērtības tiek atstātas nemainīgas, un funkciju vērtības tiek aizstātas ar apgrieztiem skaitļiem, un pēc tam iegūtajai tabulai jāatrod aptuvens formas funkcija cirvis+b. Atrastas parametru vērtības a Un b aizstāt formulā (18).

Nepieciešams nosacījums, lai izvēlētos daļēju lineāro funkciju kā vēlamo empīrisko formulu, ir attiecība:

.

3.3.6. Logaritmiskā funkcija. Ļaujiet tuvinātajai funkcijai būt šādā formā:

Ir viegli saprast, ka, lai pārietu uz lineāro funkciju, pietiek ar aizstāšanu lnx=u. No tā izriet, ka, lai atrastu vērtības a Un b jums ir jālogaritē argumenta vērtības sākotnējā tabulā (1) un, ņemot vērā iegūtās vērtības kopā ar funkcijas sākotnējām vērtībām, jāatrod aproksimējoša funkcija lineāras formā. tādējādi iegūtā jaunā tabula. Likmes a Un b aizvietojiet atrasto funkciju formulā (19).

Nepieciešams nosacījums, lai izvēlētos logaritmisko funkciju kā vēlamo empīrisko formulu, ir attiecība:

.

3.3.7. Hiperbola. Ja izkliedes diagramma, kas veidota no tabulas (1), dod hiperbolas atzaru, tuvinājumu var meklēt formā.