Apzīmējums ir skaitļa rakstīšanas metode, izmantojot noteiktu speciālo rakstzīmju (ciparu) kopu.

Apzīmējums:

• sniedz skaitļu kopas (veselus skaitļus un/vai reālus) attēlojumu;

• piešķir katram skaitlim unikālu attēlojumu (vai vismaz standarta attēlojumu);

• parāda skaitļa algebrisko un aritmētisko struktūru.

Tiek izsaukta skaitļa rakstīšana kādā skaitļu sistēmā numura kods.

Ciparu displejā tiek izsaukta atsevišķa pozīcija izlāde, kas nozīmē, ka pozīcijas numurs ir ranga numurs.

Tiek izsaukts skaitļa ciparu skaits bitu dziļums un sakrīt ar tā garumu.

Skaitļu sistēmas iedala pozicionāls Un nepozicionāls. Pozīciju skaitļu sistēmas ir sadalītas

ieslēgts viendabīgs Un sajaukts.

oktālo skaitļu sistēma, heksadecimālā skaitļu sistēma un citas skaitļu sistēmas.

Skaitļu sistēmu tulkošana. Skaitļus var pārvērst no vienas skaitļu sistēmas citā.

Ciparu atbilstības tabula dažādās skaitļu sistēmās.

Ir pozicionālās un nepozicionālās skaitļu sistēmas.

Nepozicionālajās skaitļu sistēmās cipara svars (t.i., ieguldījums, ko tas dod skaitļa vērtībā) nav atkarīgs no viņas amata rakstot numuru. Tādējādi romiešu skaitļu sistēmā skaitļā XXXII (trīsdesmit divi) skaitļa X svars jebkurā pozīcijā ir vienkārši desmit.

Pozicionālo skaitļu sistēmās katra cipara svars mainās atkarībā no tā pozīcijas (pozīcijas) ciparu apzīmējošo ciparu secībā. Piemēram, ciparā 757,7 pirmais septiņs nozīmē 7 simtus, otrais - 7 vienības, bet trešais - 7 vienības desmitdaļas.

Pats skaitļa 757.7 apzīmējums nozīmē izteiksmes saīsinātu apzīmējumu

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Jebkuru pozicionālo skaitļu sistēmu raksturo tā pamata.

Par sistēmas bāzi var ņemt jebkuru naturālu skaitli – divi, trīs, četri utt. Tāpēc iespējamas neskaitāmas pozicionēšanas sistēmas: binārs, trīskāršs, kvartārs utt. Ciparu rakstīšana katrā skaitļu sistēmā ar bāzi q nozīmē saīsinājumu

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

Kur a i - skaitļu sistēmas numuri; n Un m - attiecīgi veselu skaitļu un daļskaitļu skaits. Piemēram:

Kādas numuru sistēmas speciālisti izmanto, lai sazinātos ar datoru?

Papildus decimālskaitļiem plaši tiek izmantotas sistēmas, kuru bāze ir vesela skaitļa pakāpe 2, proti:

binārs(tiek izmantoti cipari 0, 1);

oktāls(tiek izmantoti cipari 0, 1, ..., 7);

heksadecimāls(pirmajiem veselajiem skaitļiem no nulles līdz deviņiem izmanto ciparus 0, 1, ..., 9, bet nākamajiem skaitļiem - no desmit līdz piecpadsmit - simboliem A, B, C, D, E, F kā cipari).

Ir lietderīgi atcerēties apzīmējumu šajās skaitļu sistēmās pirmajiem diviem veselu skaitļu desmitiem:

No visām skaitļu sistēmām īpaši vienkārši un tāpēc Bināro skaitļu sistēma ir interesanta tehniskai ieviešanai datoros.

Kas ir skaitļu sistēma?

Kas ir skaitļu sistēma? Ciparu sistēma ir paņēmienu un noteikumu kopums, ar kuru palīdzību tiek rakstīti un lasīti skaitļi.

Ir pozicionālās un nepozicionālās skaitļu sistēmas.

Nepozicionālajās skaitļu sistēmās cipara svars (tas ir, ieguldījums skaitļa vērtībā) nav atkarīgs no tā pozīcijas skaitļa apzīmējumā. Tādējādi romiešu skaitļu sistēmā skaitļā XXXII (trīsdesmit divi) skaitļa X svars jebkurā pozīcijā ir vienkārši desmit.

Pozicionālo skaitļu sistēmās katra cipara svars mainās atkarībā no tā pozīcijas (pozīcijas) ciparu apzīmējošo ciparu secībā. Piemēram, ciparā 757,7 pirmais septiņs nozīmē 7 simtus, otrais - 7 vienības, bet trešais - 7 vienības desmitdaļas.

Pats skaitļa 757.7 apzīmējums nozīmē izteiksmes saīsinātu apzīmējumu:

Jebkuru pozicionālo skaitļu sistēmu raksturo tās bāze.

Pozicionālās skaitļu sistēmas bāze ir dažādu ciparu skaits, ko izmanto, lai attēlotu skaitļus noteiktā skaitļu sistēmā.

Par sistēmas bāzi var ņemt jebkuru naturālu skaitli – divi, trīs, četri utt. Līdz ar to ir iespējams bezgalīgs skaits pozicionālo sistēmu: binārās, trīskāršās, kvartārās utt.

Kā pozicionālo skaitļu sistēmās tiek ģenerēti veseli skaitļi?

Katrā skaitļu sistēmā cipari tiek sakārtoti atbilstoši to nozīmei: 1 ir lielāks par 0, 2 ir lielāks par 1 utt.

Cipara paaugstināšana nozīmē tā aizstāšanu ar nākamo augstāko.

Pavirzīt uz priekšu skaitli 1 nozīmē aizstāt to ar 2, pavirzīt uz priekšu skaitli 2 nozīmē aizstāt to ar 3 utt. Galvenā cipara paaugstināšana (piemēram, skaitļa 9 decimālajā sistēmā) nozīmē tā aizstāšanu ar 0. Binārajā sistēmā, kas izmanto tikai divus ciparus - 0 un 1, 0 paaugstināšana nozīmē tā aizstāšanu ar 1 un veicināšanu. 1 nozīmē tā aizstāšanu ar 0.

Lai izveidotu veselu skaitli pēc jebkura dotā vesela skaitļa, skaitļa galējais labais cipars ir jāpavirza uz priekšu; ja kāds cipars pēc paaugstināšanas kļūst par nulli, jums ir jāpaaugstina cipars, kas atrodas pa kreisi no tā.

Piemērojot šo noteikumu, mēs pierakstām pirmos desmit veselus skaitļus

· binārajā sistēmā: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· trīskāršā sistēmā: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· pieckāršu sistēmā: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· oktālajā sistēmā: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Papildus decimālskaitļiem plaši tiek izmantotas sistēmas, kuru bāze ir vesela skaitļa pakāpe 2, proti:

Binārā sistēma	Kvartāra sistēma	Oktālā sistēma	Decimālsistēma	Heksadecimālā sistēma
1	1	1	1	1
10	2	2	2	2
11	3	3	3	3
100	10	4	4	4
101	11	5	5	5
110	12	6	6	6
111	13	7	7	7
1000	20	10	8	8
1001	21	11	9	9
1010	22	12	10	A
1011	23	13	11	B
1100	30	14	12	C
1101	31	15	13	D
1110	32	16	14	E
1111	33	17	15	F
10000	40	20	16	10

Kāpēc cilvēki izmanto decimālo sistēmu, bet datori izmanto bināro sistēmu?

Cilvēki dod priekšroku decimālajai sistēmai, iespējams, tāpēc, ka viņi jau kopš seniem laikiem ir skaitījuši uz pirkstiem, un cilvēkiem ir desmit roku un kāju pirksti. Cilvēki ne vienmēr un ne visur izmanto decimālo skaitļu sistēmu. Piemēram, Ķīnā viņi ilgu laiku izmantoja piecu ciparu skaitļu sistēmu.

Un datori izmanto bināro sistēmu, jo tai ir vairākas priekšrocības salīdzinājumā ar citām sistēmām:

· lai to realizētu, nepieciešamas tehniskas ierīces ar diviem stabiliem stāvokļiem (ir strāva - nav strāvas, magnetizēts - nav magnetizēts utt.), nevis, piemēram, ar desmit, kā decimāldaļās;

· informācijas pasniegšana tikai caur diviem stāvokļiem ir uzticama un trokšņa izturīga;

· iespējams izmantot Būla algebras aparātu informācijas loģisko transformāciju veikšanai;

· Binārā aritmētika ir daudz vienkāršāka nekā decimālā aritmētika.

Binārās sistēmas trūkums ir skaitļu ierakstīšanai nepieciešamo ciparu skaita straujais pieaugums.

Kāpēc datori izmanto arī oktālo un heksadecimālo skaitļu sistēmas?

Datoriem ērtā binārā sistēma ir neērta cilvēkiem tās apjomīguma un neparastā apzīmējuma dēļ.

Skaitļu pārveidošanu no decimālās sistēmas uz bināro sistēmu un otrādi veic mašīna. Taču, lai profesionāli lietotu datoru, jāiemācās saprast vārdu mašīna. Tāpēc tika izstrādātas oktālās un heksadecimālās sistēmas.

Skaitļi šajās sistēmās ir gandrīz tikpat viegli nolasāmi kā decimālskaitļi; tiem ir nepieciešams attiecīgi trīs (oktāli) un četras (heksadecimālās) reizes mazāk ciparu nekā binārajā sistēmā (galu galā skaitļi 8 un 16 ir attiecīgi skaitļa trešā un ceturtā pakāpe 2) .

Skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā

Pozicionālajā sistēmā izmantotais dažādu ciparu skaitlis p nosaka skaitļu sistēmas nosaukumu un tiek saukts par skaitļu sistēmas bāzi - “p”. Jebkuru skaitli N pozicionālajā skaitļu sistēmā ar bāzi p var attēlot kā polinomu bāzē p:

N = a n p n +a n-1 p n-1 + ... +a 1 p+a 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ... (1.1)

šeit N ir skaitlis, a j ir koeficienti (skaitļa cipari), p ir skaitļu sistēmas bāze (p>1). Ir ierasts attēlot skaitļus kā ciparu secību:

N = a n a n -1 ... a 1 a 0 . a -1 a -2...

Skaitļu pārvēršana decimālajā sistēmā tiek veikta, sastādot pakāpju rindu ar sistēmas bāzi (skat. formulu 1.1), no kuras pārvērš skaitli. Pēc tam tiek aprēķināta summas vērtība.

Veselu decimālo skaitļu pārveidošanu par skaitļu sistēmu, kas nav decimāldaļa, veic, secīgi dalot decimālskaitli ar tās sistēmas bāzi, kurā tas tiek pārveidots, līdz tiek iegūts šīs bāzes koeficients. Skaitlis jaunajā sistēmā tiek rakstīts kā dalījuma atlikumi, sākot no pēdējā.

Piemērs: pārveidosim skaitli 75 no decimālskaitļa uz bināru, oktālu un heksadecimālu:

Atbilde: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Pareizu daļskaitļu pārvēršana no decimālo skaitļu sistēmas uz skaitļu sistēmu, kas nav decimālā. Lai parasto decimāldaļskaitli pārvērstu citā sistēmā, šī daļa ir secīgi jāreizina ar tās sistēmas bāzi, kurā tā tiek pārveidota. Šajā gadījumā tiek reizinātas tikai daļējas daļas. Daļskaitļi jaunajā sistēmā tiek rakstīti veselu produktu daļu veidā, sākot no pirmās.

Piemērs. Pārveidosim skaitli 0,36 no decimālās sistēmas uz bināro, oktālo un heksadecimālo:

Lai pārvērstu neregulāru decimāldaļskaitli skaitļu sistēmā ar bāzi, kas nav decimāldaļa, atsevišķi jāpārvērš visa daļa un daļdaļa atsevišķi. Tulkot 23.125 10 2 s.s.

Skaitļu sistēmas sauc par daudzkārtējām, ja spēkā ir sekojoša sakarība: S = R N , kur S, R ir skaitļu sistēmu bāzes, N ir daudzkārtības pakāpe (vesels skaitlis: 2, 3 ...).

Lai pārvērstu skaitli no skaitļu sistēmas R uz tās vairāku skaitļu sistēmu S, rīkojieties šādi: pārejot no punkta pa kreisi un pa labi, tie sadala skaitli N ciparu grupās, papildinot vistālāk kreisās un galējās labās grupas ar nullēm, ja nepieciešams. Pēc tam grupa tiek aizstāta ar atbilstošo ciparu no S numuru sistēmas.

Tulkot 1101111001.1101 2 "8" s.s.	Tulkot 11111111011.100111 2 "16" s.c.

Lai pārvērstu skaitli no skaitļu sistēmas S uz vairāku skaitļu sistēmu R, pietiek ar katru šī skaitļa ciparu aizstāt ar atbilstošo skaitli no skaitļu sistēmas R, bet nenozīmīgas nulles augstajā (00512) un zemajā (15.124000) cipari tiek izmesti.

Tulkot 305.4 8 "2" s.s.	Tulkot 7B2.E 16 "2" s.s.

Ja jums ir nepieciešams konvertēt no skaitļu sistēmas S uz R, ja tie nav daudzkārtņi, tad jums ir jāmēģina izvēlēties skaitļu sistēmu K, lai: S = K N un R = K N .

Tulkot 175.24 8 "16" s.s.

Rezultāts: 175,24 8 = 7D,5 16.

Ja skaitļu sistēmu K nevar atrast, tad tulkošana jāveic, izmantojot decimālo skaitļu sistēmu kā starpposmu.

Piemēri tam visam

Astotnieku un heksadecimālo skaitļu pārveidošana binārajā sistēmā ir ļoti vienkārša: pietiek ar to, lai katru ciparu aizstātu ar līdzvērtīgu bināro triādi (trīs cipari) vai tetradu (četri cipari).

Piemēram:

Lai pārvērstu skaitli no bināra uz oktālu vai heksadecimālu, tas ir jāsadala pa kreisi un pa labi no decimāldaļas triādēs (astoņskaitlim) vai tetradēs (heksadecimālam) un katra šāda grupa jāaizstāj ar atbilstošo oktālo (heksadecimālo) ciparu. . Piemēram:

Saskaitīšana dažādās skaitļu sistēmās

Saskaitīšanas tabulas ir viegli izveidot, izmantojot skaitīšanas kārtulu.

Atņemšana dažādās skaitļu sistēmās

Reizināšana dažādās skaitļu sistēmās

Reizinot daudzciparu skaitļus dažādās pozicionālo skaitļu sistēmās, var izmantot ierasto algoritmu skaitļu reizināšanai kolonnā, bet viencipara skaitļu reizināšanas un saskaitīšanas rezultāti ir jāaizņemas no reizināšanas un saskaitīšanas tabulām, kas atbilst sistēmai jautājums.

Sadalījums dažādās skaitļu sistēmās

Dalīšana jebkurā pozicionālā skaitļu sistēmā tiek veikta saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem kā dalīšana ar leņķi decimālajā sistēmā. Binārajā sistēmā dalīšana ir īpaši vienkārša, jo koeficienta nākamais cipars var būt tikai nulle vai viens.

Reiziniet ar jaunās skaitļu sistēmas bāzi, līdz jaunajā daļskaitlī ir nepieciešamais ciparu skaits, ko nosaka nepieciešamā daļskaitļa attēlojuma precizitāte. Pareiza daļa jaunajā skaitļu sistēmā tiek rakstīta no veselu skaitļu daļām, kas iegūtas secīgas reizināšanas rezultātā, un pirmā veselā skaitļa daļa būs jaunās daļas augstākais cipars. Ņemsim piemēru...

Tajos attēlotie ir diezgan lieli skaitļi, jo tas rada ārkārtīgi apgrūtinošu skaitļu apzīmējumu vai prasa ļoti lielu izmantoto skaitļu alfabētu. Datori izmanto tikai pozicionālo skaitļu sistēmas, kurās katra alfabēta cipara kvantitatīvais ekvivalents ir atkarīgs ne tikai no šī cipara veida, bet arī no tā atrašanās vietas skaitļa apzīmējumā. Pozīciju skaitļu sistēmas...

Secības 0 un 1. Piemēram, nenegatīvs vesels skaitlis A2=T 111100002 tiks saglabāts šūnā šādi: 1 1 1 1 0 0 0 0 Tas nozīmē, ka mēs varam ierakstīt visus skaitļus no 0 līdz 255 binārajā formā. skaitļu sistēma 1 atmiņas šūnā. 2.2 Ciparu attēlojums datorā Veselie skaitļi datorā tiek glabāti atmiņas šūnās, šajā gadījumā katrs atmiņas šūnas cipars atbilst...

Ciparu attēlošana, izmantojot rakstiskus simbolus.

Apzīmējums:

• sniedz skaitļu kopas (veselus skaitļus un/vai reālus) attēlojumus;
• piešķir katram skaitlim unikālu attēlojumu (vai vismaz standarta attēlojumu);
• atspoguļo skaitļu algebrisko un aritmētisko struktūru.

Skaitļu sistēmas iedala pozicionāls, nepozicionāls Un sajaukts.

Pozīciju skaitļu sistēmas

Pozicionālo skaitļu sistēmās vienai un tai pašai ciparu zīmei (ciparam) skaitļa apzīmējumā ir dažādas nozīmes atkarībā no vietas (cipara), kur tā atrodas. Pozicionālās numerācijas izgudrojums, kas balstīts uz ciparu vietas nozīmi, tiek attiecināts uz šumeriem un babiloniešiem; Šādu numerāciju izstrādāja hinduisti, un tai bija nenovērtējamas sekas cilvēces civilizācijas vēsturē. Šādas sistēmas ietver mūsdienu decimālo skaitļu sistēmu, kuras rašanās ir saistīta ar skaitīšanu uz pirkstiem. Viduslaiku Eiropā tas parādījās ar itāļu tirgotāju starpniecību, kuri savukārt to aizņēmās no musulmaņiem.

Pozicionālā skaitļu sistēma parasti attiecas uz bagāto skaitļu sistēmu, ko nosaka vesels skaitlis, ko sauc pamata numuru sistēmas. Neparakstīts vesels skaitlis skaitļu sistēmā tiek attēlots kā galīga lineāra skaitļa pakāpju kombinācija:

, kur sauc veselus skaitļus skaitļos, apmierinot nevienlīdzību.

Katru grādu šādā apzīmējumā sauc par ranga svaru. Ciparu un tiem atbilstošo ciparu stāžu nosaka rādītāja (cipara numura) vērtība. Parasti skaitļos, kas nav nulle, kreisās nulles tiek izlaistas.

Ja nav neatbilstību (piemēram, ja visi skaitļi ir uzrādīti unikālu rakstzīmju veidā), numurs tiek rakstīts kā burtu un ciparu ciparu secība, kas norādīta dilstošā secībā pēc ciparu prioritātes no kreisās uz labo:

Piemēram, numurs simts trīs decimālo skaitļu sistēmā attēlots kā:

Pašlaik visbiežāk izmantotās pozicionēšanas sistēmas ir:

Pozicionālajās sistēmās, jo lielāka ir sistēmas bāze, jo mazāk ciparu (tas ir, rakstīto ciparu) ir nepieciešams, rakstot skaitli.

Jauktās skaitļu sistēmas

Jauktā skaitļu sistēma ir bagātās skaitļu sistēmas vispārinājums un bieži attiecas arī uz pozicionālām skaitļu sistēmām. Jauktās skaitļu sistēmas pamatā ir pieaugoša skaitļu secība, un katrs skaitlis tajā tiek attēlots kā lineāra kombinācija:

, kur koeficientus sauc tāpat kā iepriekš skaitļos, tiek piemēroti daži ierobežojumi.

Skaitļa rakstīšana jauktā skaitļu sistēmā ir tā ciparu uzskaitīšana indeksa dilstošā secībā, sākot ar pirmo, kas nav nulle.

Atkarībā no veida kā funkcijas jauktās skaitļu sistēmas var būt jaudas, eksponenciālas utt. Ja dažiem jauktā skaitļu sistēma sakrīt ar eksponenciāli bagātu skaitļu sistēmu.

Slavenākais jauktās skaitļu sistēmas piemērs ir laika attēlojums kā dienu, stundu, minūšu un sekunžu skaits. Šajā gadījumā vērtība “dienas, stundas, minūtes, sekundes” atbilst sekunžu vērtībai.

Faktoru skaitļu sistēma

IN Faktoru skaitļu sistēma bāzes ir faktoriālu secība, un katrs naturālais skaitlis tiek attēlots kā:

, Kur.

Faktoru skaitļu sistēma tiek izmantota, ja permutāciju dekodēšana pēc inversiju sarakstiem: ja ir permutācijas skaitlis, to var reproducēt šādi: skaitlis, kas ir par vienu mazāks par skaitli (numerācija sākas no nulles), tiek ierakstīts faktoriālo skaitļu sistēmā, un skaitļa koeficients i! apzīmēs elementa i+1 inversiju skaitu kopā, kurā tiek veiktas permutācijas (elementu skaits, kas ir mazāks par i+1, bet atrodas pa labi no tā vēlamajā permutācijā)

Piemērs: apsveriet 5 elementu permutāciju kopu, kopā ir 5! = 120 (no permutācijas numura 0 - (1,2,3,4,5) līdz permutācijas numuram 119 - (5,4,3,2,1)), atradīsim 101. permutāciju: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; lai ti ir skaitļa i koeficients!, tad t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, tad: elementu skaits, kas mazāks par 5, bet atrodas pa labi, ir 4; elementu skaits, kas mazāks par 4, bet atrodas pa labi, ir 0; elementu skaits, kas mazāks par 3, bet atrodas pa labi, ir 2; elementu skaits, kas mazāks par 2, bet atrodas pa labi, ir 0 (pēdējais elements permutācijā tiek “nolikts” vienīgajā atlikušajā vietā) - tātad 101. permutācija izskatīsies šādi: (5,3,1,2 ,4) Šīs metodes pārbaudi var veikt, tieši saskaitot katra permutācijas elementa inversijas.

Fibonači skaitļu sistēma pamatojoties uz Fibonači skaitļiem. Katrs naturālais skaitlis ir attēlots šādā formā:

, kur ir Fibonači skaitļi, un koeficientiem ir ierobežots vieninieku skaits un pēc kārtas nav divu vieninieku.

Nepozicionālās skaitļu sistēmas

Nepozicionālajās skaitļu sistēmās vērtība, ko apzīmē cipars, nav atkarīga no tā pozīcijas skaitļā. Šādā gadījumā sistēma var noteikt ierobežojumus skaitļu novietojumam, piemēram, lai tie būtu sakārtoti dilstošā secībā.

Binomiālā skaitļu sistēma

Attēlošana, izmantojot binomiālos koeficientus

, Kur.

Atlikušo klašu sistēma (RSS)

Skaitļa attēlojums atlieku klašu sistēmā ir balstīts uz atlikuma jēdzienu un ķīniešu atlikuma teorēmu. RNS nosaka relatīvi primāro vērtību kopa moduļi ar reizinājumu tā, ka katrs vesels skaitlis no segmenta ir saistīts ar atlikumu kopu, kur

…

Tajā pašā laikā ķīniešu atlikuma teorēma garantē skaitļu attēlojuma unikalitāti no intervāla.

RNS aritmētiskās darbības (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana) tiek veiktas komponentiski, ja ir zināms, ka rezultāts ir vesels skaitlis un arī atrodas .

RNS trūkumi ir spēja attēlot tikai ierobežotu skaitu skaitļu, kā arī efektīvu algoritmu trūkums RNS attēloto skaitļu salīdzināšanai. Salīdzināšanu parasti veic, tulkojot argumentus no RNS uz jauktu radix skaitļu sistēmu.

Stern-Brocot skaitļu sistēma- pozitīvu racionālu skaitļu rakstīšanas veids, pamatojoties uz Stern-Brocot koku.

Dažādu tautu skaitļu sistēmas

Vienību numuru sistēma

Acīmredzot hronoloģiski katras tautas, kas apguvusi skaitīšanu, pirmā skaitļu sistēma. Dabisku skaitli attēlo, atkārtojot to pašu zīmi (domuzīmi vai punktu). Piemēram, lai attēlotu skaitli 26, ir jānozīmē 26 līnijas (vai jāizveido 26 iegriezumi uz kaula, akmens utt.). Pēc tam, lai atvieglotu lielu skaitļu uztveršanu, šīs zīmes tiek sagrupētas grupās pa trim vai piecām. Tad vienāda tilpuma zīmju grupas sāk aizstāt ar kādu jaunu zīmi - tā rodas nākotnes skaitļu prototipi.

Senās Ēģiptes skaitļu sistēma

Babilonijas skaitļu sistēma

Alfabētiskās skaitļu sistēmas

Alfabētiskās skaitļu sistēmas izmantoja senie armēņi, gruzīni, grieķi (jonu skaitļu sistēma), arābi (abjadia), ebreji (skat. gematria) un citas Tuvo Austrumu tautas. Slāvu liturģiskajās grāmatās grieķu alfabēta sistēma tika tulkota kirilicas burtos.

Ebreju skaitļu sistēma

Grieķijas skaitļu sistēma

Romiešu skaitļu sistēma

Gandrīz nepozicionālas skaitļu sistēmas kanoniskais piemērs ir romiešu sistēma, kurā kā skaitļi tiek izmantoti latīņu burti:
Es apzīmē 1,
V-5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Piemēram, II = 1 + 1 = 2
šeit simbols I apzīmē 1 neatkarīgi no tā vietas ciparā.

Faktiski romiešu sistēma nav pilnīgi nepozicionāla, jo no tās tiek atņemts mazākais cipars, kas ir pirms lielākā, piemēram:

IV = 4, savukārt:
VI = 6

Maiju skaitļu sistēma

Skatīt arī

Piezīmes

Saites

• Gaškovs S. B. Skaitļu sistēmas un to pielietojumi. - M.: MTsNMO, 2004. - (Bibliotēka “Matemātiskā izglītība”).
• Fomins S.V. Skaitļu sistēmas. - M.: Nauka, 1987. - 48 lpp. - (Populāras lekcijas par matemātiku).
• Jagloms I. Skaitļu sistēmas // Kvants. - 1970. - Nr.6. - P. 2-10.
• Skaitļi un skaitļu sistēmas. Tiešsaistes enciklopēdija visā pasaulē.
• Stahovs A. Skaitļu sistēmu loma datoru vēsturē.
• Mikušins A.V. Skaitļu sistēmas. Lekciju kurss "Digitālās ierīces un mikroprocesori"
• Batlers J. T., Sasao T. Liekas vairāku vērtību skaitļu sistēmas Rakstā ir apskatītas skaitļu sistēmas, kurās tiek izmantoti skaitļi, kas ir lielāki par vienu un kas pieļauj dublēšanu skaitļu attēlošanā

Wikimedia fonds. 2010. gads.

vērši (kategorijas). Šo pieeju izmanto informācijas pārraidē, glabāšanā un apstrādē, un tā parasti nav saistīta ar informācijas semantisko saturu.

1.5.2. Varbūtības pieeja

IN informācijas teorija, informācija tiek definēta kā nenoteiktība noņemta. Tas ņem vērā informācijas vērtību saņēmējam. Informācijas apjomu nosaka, cik daudz nenoteiktības (entropijas) mērs samazinās pēc ziņojuma saņemšanas vai notikuma iestāšanās.

Informācijas daudzuma vienība (bit) tiek uzskatīta par informācijas apjomu, kas satur ziņojumu, kas samazina informācijas nenoteiktību 2 reizes. Parasti informācijas apjoms (H), kas ietverts ziņojumā, ka ir noticis viens no N vienādi iespējamiem notikumiem, tiek noteikts šādi:

8 bitu grupu sauc par baitu. Ja bits ir minimālā informācijas vienība, tad baits ir galvenais. Ir atvasinātas informācijas vienības:

1 baits = 8 biti;

1 kilobaits = 210 baiti = 1024 baiti;

1 megabaits = 220 baiti = 1024 kilobaiti;

1 gigabaits = 230 baiti = 1024 megabaiti;

1 terabaits = 240 baiti = 1024 gigabaiti.

1.6. Datorzinātnēs izmantotās skaitļu sistēmas

Skaitļu sistēma ir paņēmienu un noteikumu kopums skaitļu rakstīšanai, izmantojot ciparus. Ir nepozicionālas un pozicionālas skaitļu sistēmas.

IN Nepozicionālā skaitļu sistēmā katram simbolam ir sava specifiska nozīme, kas nav atkarīga no simbola pozīcijas skaitļu ierakstā. Piemēram, romiešu skaitļu sistēmā

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Skaitli 77 raksta LXXVII.

IN Pozicionālā skaitļu sistēmā jebkura cipara vērtība skaitļa attēlā ir atkarīga no tā pozīcijas (pozīcijas) ciparu virknē, kas apzīmē doto skaitli. Piemēram: 77 - 7 vienības un 7 desmiti.

Katrai pozicionālo skaitļu sistēmai ir stingri noteikts simbolu (ciparu) skaits, kas attēlo jebkuru skaitli:

– binārais - 2: 0 un 1;

– decimālskaitlis — 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ciparu skaitu, ko pozicionālajā skaitļu sistēmā izmanto skaitļu rakstīšanai, sauc par skaitļu sistēmas bāzi. Skaitļu sistēmas bāze var būt jebkurš naturāls skaitlis.

Lai q ir sistēmas bāze, tad jebkuru skaitli skaitļu sistēmā ar bāzi q var attēlot šādi:

A q = a n q n + a n –1 q n –1 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a –1 q –1 + a –2 q –2 + ... + a –k q–k , (3) kur A q ir skaitlis, kas ierakstīts skaitļu sistēmā ar bāzi q,

n + 1 - skaitļa veselās skaitļa daļas ciparu skaits,

un i ir skaitļa cipari, kur 0 ≤ a i< q ,

k - ciparu skaits skaitļa daļējā daļā.

Datorzinātnē tiek izmantotas tikai pozicionālās skaitļu sistēmas: decimālais, binārais, oktālais, heksadecimālais.

1.6.1. Noteikumi skaitļu pārveidošanai no vienas skaitļu sistēmas citā

1. noteikums. Lai pārvērstu veselu decimālo skaitli A skaitļu sistēmā ar bāzi q, skaitlis A jādala ar bāzi q, līdz tiek iegūts vesels atlikums, kas ir mazāks par q. Iegūtais koeficients atkal jādala ar q, līdz tiek iegūts vesels atlikums, kas mazāks par q utt. līdz pēdējais koeficients ir mazāks par q. Tad decimālskaitlis A skaitļu sistēmā ar bāzi q jāraksta kā dalīšanas atlieku secība to saņemšanas apgrieztā secībā, kur augstākais cipars dod pēdējo koeficientu.

2. noteikums. Lai decimālo daļu pārvērstu skaitļu sistēmā ar bāzi q, reiziniet šo skaitli ar bāzi q. Produkta veselā daļa būs skaitļa pirmais cipars skaitļu sistēmā ar bāzi q. Pēc tam, izmetot visu daļu, vēlreiz reiziniet ar bāzi q utt. līdz tiek iegūts nepieciešamais ciparu skaits jaunajā skaitļu sistēmā vai līdz tulkojuma pabeigšanai.

3. noteikums. Decimālskaitļu sistēmas jauktie skaitļi tiek tulkoti divos posmos: atsevišķi veselā skaitļa daļa saskaņā ar savu likumu un atsevišķi daļskaitļa daļa saskaņā ar savu likumu. Pēc tam tiek pierakstīts kopējais rezultāts, kura daļēja daļa tiek atdalīta ar komatu.

4. noteikums. Lai pārvērstu skaitli no skaitļu sistēmas ar bāzi q uz decimālo skaitļu sistēmu, jāizmanto skaitļa rakstīšanas forma formā (3).

5. noteikums. Lai pārvērstu veselu skaitli no bināro skaitļu sistēmas uz oktālo sistēmu, ir nepieciešama dažāda lieluma bināro ciparu secība.