Lineaarne, eriti lineaarne polünoom, lähendus ei vasta sageli funktsiooni olemusele. Näiteks kõrge astme polünoom kasvab kiiresti ja seetõttu on suure segmendi polünoomiga isegi lihtne funktsioon halvasti lähendatud. Kuna aproksimeerimine viiakse läbi argumendi laiaulatuslike muutuste korral, on mittelineaarse sõltuvuse kasutamine koefitsientidest siin isegi soodsam kui interpoleerimisel.

Praktikas kasutatakse kahte tüüpi sõltuvusi. Üks on kvaasilineaarne sõltuvus, mida vähendatakse muutujate nivelleerimisega lineaarseks, mida uuriti üksikasjalikult eelmistes lõikudes. See meetod on väga tõhus ja seda kasutatakse sageli katsete töötlemisel, sest a priori informatsioon protsessi füüsika kohta aitab leida muutujatele hea asendus. Peame lihtsalt meeles pidama, et uutes muutujates parim lähendus ei ole parim vanade muutujate skalaarkorrutise tähenduses. Seetõttu tuleb uute muutujate puhul pöörata erilist tähelepanu kaalude valikule.

Klassikaline näide on kiiritatud proovi radioaktiivse lagunemise probleem, kus sobivad muutujad ja t, kus on lagunemiskiirus. Nendes muutujates on kõver tavaliselt lähendatud katkendjoonega, mille lülid vastavad radioaktiivse seeria järjest pikema elueaga liikmete lagunemisele.

Teine sageli kasutatav koefitsientide sõltuvuse tüüp on murdosaline-lineaarne, kui lähendusfunktsioon on ratsionaalne:

Sageli kasutatakse ka üldistatud polünoomide suhet. See lähendus võimaldab edastada funktsiooni poolused – need vastavad vajaliku kordsuse nimetaja nullidele. Sageli on asümptootilist käitumist võimalik reprodutseerida sobiva koguse valiku tõttu, näiteks kui , siis peame määrama . Sel juhul võite need võtta piisavalt suurteks, et neil oleks palju lähenduskoefitsiente.

Ruutviga ei ole aga enam kordajate ruutfunktsioon, seega pole ratsionaalfunktsiooni kordajate leidmine lihtne. Analoogiliselt polünoomide ruutkeskmise lähendusega võime oletada, et vea nullide arv ei ole väiksem kui vabade koefitsientide arv (võrdle punkti 2 märkusega 3). Seejärel taandatakse probleem Lagrangi interpolatsiooniks nende nullide kohal ja koefitsiendid leitakse lineaarvõrrandisüsteemist:

Muidugi pole nullide täpne asukoht teada; need valitakse juhuslikult, tavaliselt jaotatakse segmendis ühtlaselt. Seda meetodit nimetatakse valitud punktide meetodiks. Selle meetodi abil saadud lähendus ei ole üldse parim.

Lisaks on valitud punktide meetod ebamõistlik, nagu ka igasugune interpoleerimine, kui selles on märgatav viga.

Parima ligikaudse hinnangu saab leida itereeritud kaalumeetodi abil. Pange tähele, et ülesanne

on kergesti lahendatav: vasakpoolne avaldis on koefitsientide ruutfunktsioon ja diferentseerimine nende suhtes toob kaasa koefitsientide määramise lineaarse süsteemi, mis on sarnane (38-ga). Uus probleem erineb sisuliselt algsest selle poolest, et raskuse asemel kasutatakse teistsugust raskust, mistõttu pole selle lahendus just kõige parem lähendus. Kirjutame algülesande uuel kujul:

ja me lahendame selle lihtsa iteratiivse protsessiga

võib võtta nulli lähenduseks. Igal iteratsioonil on kaal teada eelmisest iteratsioonist, nii et koefitsiendid on ruutvormi miinimumtingimusest kergesti leitavad. Praktika näitab, et parima lähenduse koefitsiendid sõltuvad nõrgalt kaalu valikust, mistõttu iteratsioonid lähenevad tavaliselt kiiresti.

a) Vaatleme mõningaid näiteid lähendamisest ratsionaalse funktsiooniga. Paneme

asendades seeria kaks esimest liiget murdosaga, saame . See lihtne valem tagab täpsuse ja on hinnangute tegemiseks väga mugav.

b) Tõenäosusteoorias mängib olulist rolli veaintegraal, mille jaoks on teada seeria laiendused:

Esimene seeria läheneb absoluutselt, kuid lähenemisel on väga aeglane; teine ​​seeria läheneb asümptootiliselt suurte väärtuste korral. Asendades iga seeria esimesed liikmed murdarvudega, saame

Näidatud argumendimuutuste vahemikes ei ületa esimese valemi viga 0,4% ja teise valemi viga ei ületa 2,4%. Seega on nende lähenduste täpsus paljude praktiliste rakenduste jaoks üsna piisav.

c) Olgem sätestatud . See funktsioon on monotoonne ja murdosa on lihtne konstrueerida

Mittelineaarse funktsiooni lähendamine

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Kuna funktsiooni jaotuse intervall on võrdne, arvutame ligikaudse funktsiooni vastavate osade järgmised kaldekoefitsiendid:

1. Plokkide konstrueerimine lähendusfunktsiooni segmentide moodustamiseks

Ajafunktsiooni moodustamine

Muutmise intervall:

Tsükliline taaskäivitusaeg: T = 1 s

Nüüd modelleerime funktsiooni:

Lähendamine

Joonis 3.1 - võrrandi lahendamise skeem

Joonis 3.2 - Mittelineaarse funktsiooni moodustamise plokkskeem

Seega moodustatakse võrrandi vasak pool automaatselt. Sellisel juhul eeldatakse kokkuleppeliselt, et kõrgeim tuletis x// on teada, kuna võrrandi paremal pool olevad terminid on teada ja neid saab ühendada U1 sisenditega (joonis 3.1). Operatsioonivõimendi U3 toimib +x signaali muundurina. X// simuleerimiseks on vaja ahelasse sisestada veel üks alamvõimendi, mille sisenditesse on vaja anda signaale, mis simuleerivad võrrandi (3.2) paremat poolt.

Kõikide muutujate skaalad arvutatakse, võttes arvesse, et masina muutuja maksimaalne väärtus absoluutväärtusest üle on 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10/x/max; Mx // = 10 / x //max;

Minu = 10 / ymax. (3.3)

Ajaskaala Mt = T / tmax = 1, kuna ülesannet simuleeritakse reaalajas.

Arvutatakse integreerivate võimendite iga sisendi edastuskoefitsiendid.

Võimendi U1 puhul leitakse ülekandekoefitsiendid järgmiste valemite abil:

K11 = Mx/b/ (MyMt); K12 = Mx/a2/ (MxMt);

K13 = Mx/a1/ (MxMt). (3.4)

Võimendi U2 jaoks:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

ja võimendi U3 jaoks:

K31 = 1. (3,6)

Algtingimuste pinged arvutatakse valemite abil:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Võrrandi (3.2) parem pool on kujutatud mittelineaarse funktsiooniga, mis on määratud lineaarse lähendusega. Sel juhul on vaja kontrollida, et lähendusviga ei ületaks määratud väärtust. Mittelineaarse funktsiooni moodustamise plokkskeem on toodud joonisel 3.2.

Elektriskeemi kirjeldus

Ajafunktsiooni (Ф) genereerimise plokk on tehtud ühe (moodustada t) või kahe järjestikku ühendatud (moodustada t2) null algtingimustega integreeriva võimendi kujul.

Sel juhul, kui esimese integraatori sisendisse suunatakse signaal U, saame selle väljundis:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3,8)

Kui paneme K11E=1, saame u1(t)= t.

Teise integraatori väljundis saame:

u2(t) = K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

Seadistus K11K21E/2 = 1, saame u2(t)= t2.

Lähendusfunktsiooni segmentide moodustamise plokid on realiseeritud mittelineaarsete funktsioonide (DBNF) dioodiplokkide kujul, mille sisendväärtus on aja t või t2 funktsioon. DBNF-i arvutamise ja koostamise protseduur on toodud.

Lähendava funktsiooni segmentide liitja (SAD) teostatakse diferentsiaalse lõppvõimendi kujul.

Modelleerimisahela integraatorite algtingimused tutvustatakse muutuva struktuuriga sõlme abil (joonis 3.3). See skeem võib töötada kahes režiimis:

a) integreerimine - võtmega K asendis 1. Sel juhul kirjeldatakse ahela algsignaali piisava täpsusega ideaalse integraatori võrrandiga:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Seda režiimi kasutatakse ülesande modelleerimisel. Integraatori parameetrite R ja C valiku õigsuse kontrollimiseks kontrollige integraatori algpinge väärtust aja funktsioonina ja kasulikku integreerimisaega lubatava vea piires?Uperm.

Integraatori algpinge suurus

U(t)= – KYE (1 – e – T / [(Ky+1)RC) (3.11)

simulatsiooni ajal ei tohiks T sisendsignaali E integreerimisel, kasutades operatsioonivõimendit Ky ilma tagasisideahelata, ületada masina muutuja väärtust (10 V).

Integratsiooni aeg

Ti = 2RC(Kу + 1)?Uadd (3,12)

valitud vooluahela parameetritega ei tohiks olla lühem kui simulatsiooniaeg T.

b) algtingimuste seadmine realiseerub võtme K lülitamisel asendisse 2. Seda režiimi kasutatakse modelleerimisahela ettevalmistamisel lahendusprotsessi jaoks. Sel juhul kirjeldatakse ahela algset signaali võrrandiga:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3,13)

kus u0(t) on algtingimuste väärtus.

Algtingimuste moodustumise aja vähendamiseks ja töökindla töö tagamiseks peavad ahela parameetrid vastama tingimusele: R1C1 = R2C.

Koostage täielik arvutusskeem. Sel juhul tuleks kasutada alajaotises 3.1 toodud sümboleid.

Kasutades sisend- ja lähteandmete bitisügavust, koostage plokkide B1 ja B2 skeemid ja ühendage need RS-plokiga.

(Pange tähele 06.04.2017 täiendavat jaotist artikli lõpus.)

Raamatupidamine ja kontroll! Üle 40-aastased peaksid seda loosungit meie riigis sotsialismi ja kommunismi ülesehitamise ajast hästi mäletama.

Kuid ilma väljakujunenud raamatupidamiseta on riigi, piirkonna, ettevõtte või majapidamise tõhus toimimine võimatu üheski ühiskonna sotsiaalmajanduslikus formatsioonis! Tegevus- ja arenguprognooside ja -plaanide koostamiseks on vaja lähteandmeid. Kust ma neid saan? Ainult üks usaldusväärne allikas on sinu oma eelnevate perioodide statistilised andmed.

Minu arusaamist mööda peaks iga terve mõistusega inimene arvestama oma tegevuse tulemustega, koguma ja salvestama infot, töötlema ja analüüsima andmeid ning rakendama analüüsi tulemusi edaspidi õigete otsuste tegemiseks. See pole midagi muud kui oma elukogemuse kogumine ja ratsionaalne kasutamine. Kui te oluliste andmete üle arvestust ei pea, unustate need teatud aja möödudes ja kui hakkate nende probleemidega uuesti tegelema, teete uuesti samu vigu, mida tegite seda esimest korda tehes.

"Mäletan, et 5 aastat tagasi tootsime selliseid tooteid kuni 1000 tükki kuus ja nüüd saame vaevu 700 kokku panna!" Avame statistika ja näeme, et 5 aastat tagasi ei tootnud nad isegi 500 tükki...

“Kui palju maksab sinu auto kilomeeter, arvestades kõik kulud? Avame statistika – 6 rubla/km. Töölesõit – 107 rubla. Odavam kui taksoga sõitmine (180 rubla) rohkem kui poolteist korda. Ja oli aegu, kus taksoga sõitmine oli odavam...

"Kui kaua võtab aega 50 m kõrguse nurgas asuva sidetorni teraskonstruktsioonide valmistamine?" Avame statistika - ja 5 minuti pärast on vastus valmis...

"Kui palju maksab korteris toa remont?" Tõmbame üles vanad rekordid, korrigeerime viimaste aastate inflatsiooni, arvestame sellega, et viimati ostsime materjale turuhinnast 10% odavamalt ja teame juba hinnangulist maksumust...

Pidades arvestust oma tööalase tegevuse kohta, oled alati valmis vastama ülemuse küsimusele: “Millal!!!???” Pidades majapidamisarvestust, on edaspidi lihtsam planeerida kulutusi suurteks ostudeks, puhkuseks ja muudeks väljaminekuteks, võttes kasutusele vastavad meetmed lisatulu teenimiseks või juba täna ebavajalike väljaminekute vähendamiseks.

Selles artiklis näitan lihtsa näite abil, kuidas kogutud statistilisi andmeid saab Excelis töödelda, et neid tulevaste perioodide prognoosimisel edasi kasutada.

Statistiliste andmete lähendamine Excelis analüütilise funktsiooniga.

Tootmiskohas toodetakse leht- ja profiilmetalltoodetest ehitusmetallkonstruktsioone. Objekt töötab stabiilselt, tellimused on sama tüüpi, tööliste arv kõigub veidi. Andmed on tootetoodangu kohta eelneva 12 kuu kohta ja nendel perioodidel töödeldud valtsmetalli koguste kohta rühmade kaupa: lehed, I-talad, kanalid, nurgad, ümartorud, ristkülikukujulised profiilid, ümartooted. Pärast esialgsete andmete esialgset analüüsi tekkis eeldus, et metallkonstruktsioonide kogutoodang kuus sõltub oluliselt tellimuste nurkade arvust. Kontrollime seda oletust.

Kõigepealt paar sõna lähendusest. Otsime seadust - analüütilist funktsiooni, see tähendab võrrandiga määratud funktsiooni, mis kirjeldab teistest paremini metallkonstruktsioonide kogutoodangu sõltuvust nurkterase kogusest täidetud tellimustes. See on ligikaudne väärtus ja leitud võrrandit nimetatakse tabeli kujul esitatud algfunktsiooni lähendavaks funktsiooniks.

1. Lülitage Excel sisse ja asetage tabel statistikaandmetega lehele.

2. Järgmisena koostame ja vormindame hajuvusdiagrammi, milles piki X-telge määrame argumendi väärtused - töödeldud nurkade arvu tonnides. Y-teljele joonistame algfunktsiooni väärtused - metallkonstruktsioonide kogutoodang kuus, mis on toodud tabelis.

3. Osutame hiirega diagrammi mis tahes punkti ja paremklõpsame kontekstimenüü kuvamiseks (nagu ütleb üks mu hea sõber - kui töötate võõras programmis, kui te ei tea, mida teha, klõpsa hiire paremat nuppu sagedamini...). Valige rippmenüüst "Lisa trendijoon...".

4. Ilmuva akna „Trendijoon” vahekaardil „Tüüp” valige „Lineaarne”.

6. Graafikule ilmus sirgjoon, mis on ligikaudne meie tabeli sõltuvus.

Lisaks joonele endale näeme selle sirge võrrandit ja mis kõige tähtsam, näeme parameetri R 2 väärtust - lähenduse usaldusväärsuse väärtust! Mida lähemal on selle väärtus 1-le, seda täpsemalt läheneb valitud funktsioon tabeliandmetele!

7. Ehitame trendijooned võimsuse, logaritmilise, eksponentsiaalse ja polünoomilise lähenduse abil samamoodi nagu lineaarse trendijoone.

Kõigist valitud funktsioonidest läheneb meie andmetele kõige paremini teise astme polünoom, millel on maksimaalne usaldusväärsuse koefitsient R 2 .

Siiski tahan teid hoiatada! Kui võtta kõrgema astme polünoomid, siis saad ilmselt veelgi paremaid tulemusi, aga kõverad on kõvera välimusega... Siin on oluline mõista, et me otsime funktsiooni, millel on füüsiline tähendus. Mida see tähendab? See tähendab, et vajame ligikaudset funktsiooni, mis annaks adekvaatseid tulemusi mitte ainult vaadeldavas X väärtuste vahemikus, vaid ka sellest väljaspool, see tähendab, et see vastab küsimusele: "Milline on metallkonstruktsioonide väljund, kui kuus töödeldud nurki on alla 45 ja üle 168 tonni! Seetõttu ei soovita ma kõrgete astmete polünoomidega vaimustuda ja parabooli (teise astme polünoomi) hoolikalt valida!

Seega peame valima funktsiooni, mis mitte ainult ei interpoleeri hästi tabeliandmeid väärtuste vahemikus X = 45...168, vaid võimaldab ka piisavat ekstrapoleerimist väljaspool seda vahemikku. Sel juhul valin logaritmilise funktsiooni, kuigi saab valida ka lineaarse, kuna see on kõige lihtsam. Vaadeldavas näites on Excelis lineaarse lähenduse valimisel vead suuremad kui logaritmi valimisel, kuid mitte palju.

8. Eemaldame diagrammi väljalt kõik trendijooned, välja arvatud logaritmiline funktsioon. Selleks paremklõpsake mittevajalikel ridadel ja valige ilmuvast kontekstimenüüst "Tühjenda".

9. Lõpuks lisame tabeli andmepunktidele vearibad. Selleks paremklõpsake graafiku mis tahes punktil ja valige kontekstimenüüst "Format data series…" ja konfigureerige andmed vahekaardil "Y-vead" nagu alloleval joonisel.

10. Seejärel paremklõpsake ükskõik millisel veavahemiku real, valige kontekstimenüüst "Vorminda vearibad..." ja vahekaardi "Vaade" aknas "Vorminda vearibad" reguleerige joonte värvi ja paksust.

Kõik muud diagrammiobjektid vormindatakse samal viisil.Excel!

Diagrammi lõpptulemus on näidatud järgmisel ekraanipildil.

Tulemused.

Kõigi eelnevate toimingute tulemuseks oli saadud lähendusfunktsiooni y=-172.01*ln (x)+1188.2 valem. Teades seda ja nurkade arvu igakuises tööde komplektis, on võimalik suure tõenäosusega (±4% - vt vearibasid) ennustada kuu metallkonstruktsioonide kogutoodangut! Näiteks kui kuu plaanis on 140 tonni nurki, siis kogutoodanguks, kui kõik muud asjad on võrdne, on suure tõenäosusega 338 ± 14 tonni.

Lähenduse usaldusväärsuse suurendamiseks peaks statistilisi andmeid olema palju. Kaheteistkümnest paarist väärtustest ei piisa.

Praktikast lähtudes ütlen, et lähendava funktsiooni leidmist usaldusväärsuse koefitsiendiga R 2 >0,87 tuleks lugeda heaks tulemuseks. Suurepärane tulemus on R 2 >0,94.

Praktikas võib ühe kõige olulisema määrava teguri (meie näites kuu jooksul töödeldud nurkade massi) tuvastamine olla keeruline, kuid kui proovite, leiate selle alati igast konkreetsest ülesandest! Loomulikult sõltub kuu kogutoodang tõesti sadadest teguritest, mille arvessevõtmine nõuab standardi kehtestajatelt ja teistelt spetsialistidelt märkimisväärseid tööjõukulusid. Kuid tulemus jääb siiski ligikaudseks! Nii et kas tasub kulusid kanda, kui matemaatiline modelleerimine on palju odavam!

Selles artiklis olen puudutanud vaid jäämäe tippu, mida nimetatakse statistiliste andmete kogumiseks, töötlemiseks ja praktiliseks kasutamiseks. Kas mul õnnestus teie huvi selle teema vastu äratada, loodan otsingumootorites artikli kommentaaride ja hinnangute põhjal teada saada.

Tõstatatud probleem ühe muutuja funktsiooni lähendamise kohta on laialdaselt praktiline rakendus erinevates eluvaldkondades. Kuid funktsiooni lähendamise probleemi lahendusel on palju suurem rakendus mitu sõltumatut muutujad... Lugege selle ja muu kohta järgmistest ajaveebi artiklitest.

Telli artiklite teadaannetele iga artikli lõpus asuvas aknas või lehe ülaosas asuvas aknas.

Ära unusta kinnitada tellige, klõpsates lingil kirjas, mis saabub teile määratud postiga (võib jõuda kausta « Spämm » )!!!

Loen teie kommentaare huviga, kallid lugejad! Kirjutage!

P.S. (06/04/2017)

Väga täpne, ilus tabeliandmete asendamine lihtsa võrrandiga.

Te ei ole rahul saadud ligikaudse täpsusega (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Kas avaldise mõõtmed ja kõrgaproksimeeriva polünoomi joone kuju ei meeldi silmale?

Palun vaadake lehekülge "", et saada täpsem ja kompaktsem tulemus tabeliandmete lähendamisest ning õppida lihtsat tehnikat ülitäpse lähenduse probleemide lahendamiseks ühe muutuja funktsiooni abil.

Pakutud toimingute algoritmi kasutades leiti väga kompaktne funktsioon, mis annab suurima lähenduse täpsuse: R 2 =0,9963!!!

Mittelineaarsete ja transtsendentaalsete võrrandite süsteemide lahendamine.

Mittelineaarsete ja transtsendentaalsete võrrandite süsteemid. Võrrandite lahendamine numbrilisel kujul.

Numbrilised meetodid ülesannete lahendamiseks

Radiofüüsika ja elektroonika

(Õpetus)

Voronež 2009

Õpik valmis füüsikalise elektroonika osakonnas

Voroneži Riikliku Ülikooli teaduskond.

Vaadeldakse elektrooniliste lülituste automatiseeritud analüüsiga seotud probleemide lahendamise meetodeid. Esitatakse graafiteooria põhimõisted. Kirchhoffi seaduste maatriks-topoloogiline sõnastus on antud. Kirjeldatakse tuntumaid maatrikstopoloogilisi meetodeid: sõlmepotentsiaalide meetod, silmusvoolude meetod, diskreetmudelite meetod, hübriidmeetod, muutuvate olekute meetod.

1. Mittelineaarsete karakteristikute lähendamine. Interpolatsioon. 6

1.1. Newtoni ja Lagrange'i polünoomid 6

1.2. Splaini interpolatsioon 8

1.3. Vähimruutude meetod 9

2. Algebraliste võrrandite süsteemid 28

2.1. Lineaarvõrrandisüsteemid. Gaussi meetod. 28

2.2. Hõredad võrrandisüsteemid. LU faktoriseerimine. 36

2.3. Mittelineaarsete võrrandite lahendamine 37

2.4. Mittelineaarsete võrrandisüsteemide lahendamine 40

2.5. Diferentsiaalvõrrandid. 44

2. Ekstreemumi otsimise meetodid. Optimeerimine. 28

2.1. Ekstreemsed otsingumeetodid. 36

2.2. Passiivne otsing 28

2.3. Järjestikune otsing 36

2.4. Mitmemõõtmeline optimeerimine 37

Viited 47

Mittelineaarsete karakteristikute lähendamine. Interpolatsioon.

1.1. Newtoni ja Lagrange'i polünoomid.

Paljude ülesannete lahendamisel tekib vajadus asendada funktsioon f, mille kohta on puudulik teave või mille vorm on liiga keeruline, lihtsama ja mugavama funktsiooniga F, mis on ühes või teises mõttes lähedane f-le, andes selle ligikaudse esindus. Lähendamiseks (lähendamiseks) kasutatakse teatud klassi kuuluvaid funktsioone F, näiteks antud astme algebralisi polünoome. Funktsiooni lähendamise ülesandel on palju erinevaid versioone, olenevalt sellest, milliseid funktsioone f lähendatakse, milliseid funktsioone F kasutatakse lähendamiseks, kuidas mõistetakse funktsioonide f ja F lähedust jne.

Üks ligikaudsete funktsioonide konstrueerimise meetodeid on interpoleerimine, kui teatud punktides (interpolatsioonisõlmedes) algfunktsiooni f ja lähendusfunktsiooni F väärtused kattuvad. Üldisemal juhul on tuletised antud punktides peavad kokku langema.

Funktsioonide interpolatsiooni kasutatakse raskesti arvutatava funktsiooni asendamiseks teisega, mida on lihtsam arvutada; funktsiooni ligikaudseks taastamiseks selle väärtustest üksikutes punktides; funktsioonide numbriliseks eristamiseks ja integreerimiseks; mittelineaar- ja diferentsiaalvõrrandite arvuliseks lahendamiseks jne.

Lihtsaim interpolatsiooniülesanne on järgmine. Segmendi teatud funktsiooni jaoks määratakse n+1 väärtust punktides, mida nimetatakse interpolatsioonisõlmedeks. Kus . On vaja konstrueerida interpoleerimisfunktsioon F(x), mis võtab interpolatsioonisõlmedes samad väärtused kui f(x):

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

Geomeetriliselt tähendab see teatud tüüpi kõvera leidmist, mis läbib antud punktide süsteemi (x i, y i), i = 0,1,…,n.

Kui argumendi väärtused ulatuvad piirkonnast kaugemale, siis räägime ekstrapoleerimisest - funktsiooni jätkamisest väljaspool selle definitsiooni piirkonda.

Kõige sagedamini konstrueeritakse funktsioon F(x) algebralise polünoomi kujul. Algebralise interpolatsiooni polünoomide esitusi on mitu.

Üks punktides väärtusi võtvate funktsioonide interpoleerimise meetoditest on Lagrange'i polünoomi konstrueerimine, millel on järgmine kuju:

Interpolatsioonipolünoomi aste, mis läbib n+1 interpolatsioonisõlme, on võrdne n-ga.

Lagrange'i polünoomi vormist järeldub, et uue sõlmpunkti lisamine toob kaasa muutuse polünoomi kõigis terminites. See on Lagrange'i valemi ebamugavus. Kuid Lagrange'i meetod sisaldab minimaalset arvu aritmeetilisi tehteid.

Kasvavate astmetega Lagrange'i polünoomide konstrueerimiseks saab kasutada järgmist iteratsiooniskeemi (Aitkeni skeem).

Kahte punkti (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n) läbivaid polünoome saab esitada järgmiselt:

Polünoomid, mis läbivad kolme punkti (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), saab väljendada polünoomide L ij ja L jk kaudu:

Nelja punkti (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) polünoomid konstrueeritakse polünoomidest L ijk ja L jkl:

Protsess jätkub, kuni saadakse polünoom, mis läbib n antud punkti.

Algoritmi Lagrange'i polünoomi väärtuse arvutamiseks punktis XX, rakendades Aitkeni skeemi, saab kirjutada operaatori abil:

jaoks (int i=0;i

jaoks (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

seda tajutakse veana - muutuja korduv deklaratsioon,

muutuja i on juba deklareeritud

jaoks (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

kus massiiv F on Lagrange'i polünoomi vaheväärtused. Esialgu peaks F[I] olema võrdne väärtusega y i . Pärast silmuste täitmist on F[N] N-astme Lagrange'i polünoomi väärtus punktis XX.

Teine interpolatsioonipolünoomi esitusviis on Newtoni valemid. Olgu võrdsed interpolatsioonisõlmed; i=0,1,…,n; - interpolatsiooni samm.

Newtoni 1. interpolatsiooni valem, mida kasutatakse edasisuunas interpoleerimiseks, on:

Nimetatud (lõplikuks) i-nda järgu erinevusteks. Need on määratletud järgmiselt:

Normaliseeritud argument.

Kui Newtoni interpolatsioonivalem muutub Taylori seeriaks.

"Tagasi" interpoleerimiseks kasutatakse Newtoni teist interpolatsiooni valemit:

Viimases kirjes kasutatakse erinevuste (mida nimetatakse "edasisuunalisteks" erinevusteks) asemel "tagasi" erinevusi:

Ebavõrdselt asetsevate sõlmede korral kasutatakse nn eraldatud erinevused

Sel juhul on interpolatsioonipolünoomil Newtoni kujul vorm

Vastupidiselt Lagrange'i valemile uue väärtuspaari lisamine. (x n +1, y n +1) taandatakse siin ühe uue liikme lisamiseni. Seetõttu saab interpolatsioonisõlmede arvu lihtsalt suurendada ilma kogu arvutust kordamata. See võimaldab teil hinnata interpolatsiooni täpsust. Newtoni valemid nõuavad aga rohkem aritmeetilisi tehteid kui Lagrange'i valemid.

Kui n=1 saame lineaarse interpolatsiooni valemi:

Kui n=2 on meil paraboolse interpolatsiooni valem:

Funktsioonide interpoleerimisel kasutatakse kõrge astme algebralisi polünoome harva suurte arvutuskulude ja suurte vigade tõttu väärtuste arvutamisel.

Praktikas kasutatakse kõige sagedamini tükikaupa lineaarset või paraboolset interpolatsiooni.

Tükkide kaupa lineaarse interpolatsiooni korral aproksimeeritakse funktsioon f(x) intervallil (i=0,1,…,n-1) sirge lõiguga

Tükkide kaupa lineaarset interpolatsiooni rakendava arvutusalgoritmi saab kirjutada operaatori abil:

jaoks (int i=0;i

if ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Kasutades esimest silmust, otsime soovitud punkti asukohta.

Tükkide kaupa paraboolse interpolatsiooni korral konstrueeritakse polünoom, kasutades argumendi antud väärtusele lähimat 3 sõlmpunkti.

Tükkide kaupa paraboolset interpolatsiooni rakendava arvutusalgoritmi saab kirjutada operaatori abil:

jaoks (int i=0;i

y0=Fy; Kui i=0 elementi ei eksisteeri!

x0=Fx; Sama

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Interpolatsiooni kasutamine ei ole alati soovitatav. Katseandmete töötlemisel on soovitav funktsiooni siluda. Eksperimentaalsete sõltuvuste lähendamine vähimruutude meetodil põhineb nõudel minimeerida ruutkeskmise viga

Lähendava polünoomi kordajad leitakse m+1 lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest nn. "normaal" võrrandid, k=0,1,…,m

Lisaks algebralistele polünoomidele kasutatakse funktsioonide lähendamiseks laialdaselt ka trigonomeetrilisi polünoome

(vt “arvuline harmooniline analüüs”).

Splainid on tõhus vahend funktsiooni lähendamiseks. Splain nõuab, et selle väärtused ja tuletised sõlmpunktides langeksid kokku interpoleeritud funktsiooniga f(x) ja selle tuletistega kuni teatud järjekorras. Kuid splainide ehitamine nõuab mõnel juhul märkimisväärseid arvutuskulusid.

1 | | | | | | | | | | | |

Olgu katse ajal tehtud mõõtmiste tulemusena saadud teatud funktsiooni tabel f(x), väljendab seost kahe geograafilise parameetri vahel:

X	x 1	x 2	…	x n
f(x)	y 1	kell 2	…	y n

Loomulikult võite leida valemi, mis väljendab seda sõltuvust analüütiliselt, kasutades interpolatsioonimeetodit. Interpolatsioonisõlmede funktsiooni analüütilise spetsifikatsiooni väärtuste kokkulangemine olemasolevate empiiriliste andmetega ei pruugi aga sageli tähendada algsete ja interpoleerivate funktsioonide käitumise kokkulangemist kogu vaatlusintervalli jooksul. Lisaks saadakse geograafiliste näitajate tabelisõltuvus alati erinevate mõõtmisvahenditega, millel on kindel ja mitte alati piisavalt väike mõõtmisviga, tehtud mõõtmiste tulemusena. Nõue lähendavate ja lähendavate funktsioonide väärtuste täpse kokkulangemise kohta sõlmedes on seda enam põhjendamatu, kui funktsiooni väärtused f(x), mõõtmiste tulemusel saadud andmed on ise ligikaudsed.

Ühe muutuja funktsiooni lähendamise probleem algusest peale võtab tingimata arvesse algse funktsiooni käitumist kogu vaatlusintervalli jooksul. Probleemi sõnastus on järgmine. Funktsioon y= f(x) antud tabeliga (1). On vaja leida teatud tüüpi funktsioon:

mis on punktides x 1, x 2, …, x n võtab väärtused võimalikult lähedased tabeli väärtustele y 1, y 2, …, y n.

Praktikas määratakse ligikaudse funktsiooni tüüp kõige sagedamini funktsiooni ligikaudselt konstrueeritud graafiku vormi võrdlemise teel. y= f(x) uurijale teadaolevate, analüütiliselt täpsustatud funktsioonide graafikutega (enamasti elementaarfunktsioonid, mis on välimuselt lihtsad). Nimelt koostatakse tabeli (1) järgi hajadiagramm f(x), seejärel joonistatakse sujuv kõver, mis peegeldab võimalikult hästi punktide asukoha olemust. Sel viisil saadud kõvera põhjal määratakse lähendusfunktsiooni vorm kvalitatiivsel tasemel.

Vaadake joonist 6.

Joonisel 6 on näidatud kolm olukorda:

• Graafikul (a) seos X Ja juures lähedane lineaarsele; siinne sirge on vaatluspunktide lähedal ja viimased kalduvad sellest kõrvale vaid suhteliselt väikeste juhuslike mõjude tulemusena.
• Graafik (b) näitab tegelikku seost koguste vahel X Ja juures kirjeldatakse mittelineaarse funktsiooniga ja ükskõik millise sirge me ka ei tõmbaks, on vaatluspunktide kõrvalekalle sellest märkimisväärne ja mittejuhuslik. Samas peegeldab parabooli joonistatud haru üsna hästi suurustevahelise seose olemust.
• Graafikul (c) on muutujate vahel selge seos X Ja juures puudub; olenemata sellest, millise ühendusvalemi me valime, on selle parameetrite määramise tulemused ebaõnnestunud. Eelkõige on mõlemad valitud sirged muutuja eeldatavate väärtuste kohta järelduste tegemiseks võrdselt halvad juures muutuvate väärtuste järgi X.

Tuleb märkida, et algandmete tabeli ranget funktsionaalset sõltuvust täheldatakse harva, kuna iga selles sisalduv suurus võib sõltuda paljudest juhuslikest teguritest. Kuid valem (2) (seda nimetatakse empiiriliseks valemiks või regressioonivõrrandiks juures peal X) on huvitav, kuna see võimaldab teil leida funktsiooni väärtusi f mittetabeliliste väärtuste jaoks X, "siludes" koguse mõõtmise tulemusi juures, st. kogu muudatuste ulatuses X. Selle lähenemisviisi põhjendatuse määrab lõpuks saadud valemi praktiline kasulikkus.

Olemasoleva punktide “pilve” kaudu saab alati püüda tõmmata väljakujunenud tüüpi joont, mis on teatud mõttes parim antud tüüpi joonte seast ehk siis nende vaatluspunktidele “lähim”. totaalsus. Selleks defineerime esmalt sirge läheduse mõiste tasapinna teatud punktide hulgale. Sellise läheduse mõõdud võivad erineda. Kuid iga mõistlik mõõt peab ilmselgelt olema seotud kaugusega vaatluspunktidest kõnealuse jooneni (antud võrrandiga y=F(x)).

Oletame, et ligikaudne funktsioon F(x) punktides x 1, x 2, ..., x n asja y 1 , y 2 , ..., y n. Sageli kasutatakse läheduskriteeriumina sõltuva muutuja vaatluste vaheliste erinevuste minimaalset ruudusummat. y i ja regressioonivõrrandi abil arvutatud teoreetilised väärtused y i. Siin arvatakse, et y i Ja x i– teadaolevad vaatlusandmed ja F- tundmatute parameetritega regressioonijoone võrrand (valemid nende arvutamiseks on toodud allpool). Nimetatakse meetodit ligikaudse funktsiooni parameetrite hindamiseks, mis minimeerib sõltuva muutuja vaatluste ruutude hälvete summa soovitud funktsiooni väärtustest. meetod vähemalt ruudud (LS) või Vähimruutude meetod (LS).

Niisiis, funktsiooni lähendamise probleem f saab nüüd sõnastada järgmiselt: funktsiooni jaoks f, mis on antud tabeliga (1), leidke funktsioon F teatud tüüpi, nii et ruutude summa Ф on väikseim.

Vaatleme meetodit ligikaudse funktsiooni leidmiseks üldkujul, kasutades kolme parameetriga lähendusfunktsiooni näidet:

(3)

Lase F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Vastavate väärtuste erinevuste ruudu summa f Ja F näeb välja selline:

See summa on Ф funktsioon (a, b, c) kolm muutujat (parameetrid a, b Ja c). Ülesanne taandub selle miinimumi leidmisele. Kasutame ekstreemumi jaoks vajalikku tingimust:

Saame süsteemi tundmatute parameetrite a, b, c määramiseks.

(5)

Olles lahendanud selle kolme võrrandi süsteemi parameetrite osas kolme tundmatuga a, b, c, saame soovitud funktsiooni konkreetse vormi F(x, a, b, c). Nagu vaadeldavast näitest näha, ei too parameetrite arvu muutmine kaasa lähenemisviisi enda olemuse moonutamist, vaid väljendub ainult võrrandite arvu muutumises süsteemis (5).

On loomulik eeldada, et leitud väärtused funktsioneerivad F(x, a, b, c) punktides x 1, x 2, ..., x n, erineb tabeli väärtustest y 1 , y 2 , ..., y n. Väärtuste erinevus y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) nimetatakse mõõdetud väärtuste kõrvalekalleteks y valemiga (3) arvutatutest. Leitud empiirilise valemi (2) puhul saame vastavalt algsele tabelile (1) seega leida

ruutude hälvete summa, mis vähimruutude meetodi kohaselt peaks antud tüüpi lähendava funktsiooni (ja leitud parameetrite väärtuste) korral olema väikseim. Sama tabelifunktsiooni kahest erinevast lähendusest tuleks vähimruutude meetodit järgides lugeda parimaks seda, mille puhul summal (4) on väikseim väärtus.

Eksperimentaalses praktikas ligikaudsete funktsioonidena sõltuvalt hajuvusdiagrammi iseloomust f Sageli kasutatakse kahe parameetriga lähendavaid funktsioone:

Ilmselgelt, kui lähendava funktsiooni tüüp on kindlaks tehtud, taandub ülesanne ainult parameetrite väärtuste leidmisele.

Vaatleme praktilises uurimistöös levinumaid empiirilisi sõltuvusi.

3.3.1. Lineaarne funktsioon (lineaarne regressioon). Sõltuvusanalüüsi lähtepunktiks on tavaliselt muutujate lineaarse sõltuvuse hindamine. Arvestada tuleb aga sellega, et vähimruutude meetodit kasutav “parim” sirge on alati olemas, kuid ka parim ei ole alati piisavalt hea. Kui tegelikkuses on sõltuvus y=f(x) on ruutfunktsioon, siis ei suuda ükski lineaarfunktsioon seda adekvaatselt kirjeldada, kuigi kõigi selliste funktsioonide hulgas on kindlasti üks “parim”. Kui väärtused X Ja juures ei ole üldse seotud, leiame alati ka "parima" lineaarfunktsiooni y=kirves+b antud vaatluste kogumi jaoks, kuid antud juhul konkreetsed väärtused A Ja b määravad ainult muutujate juhuslikud kõrvalekalded ja need ise on sama populatsiooni erinevate valimite puhul väga erinevad.

Vaatleme nüüd lineaarse regressioonikordaja hindamise probleemi formaalsemalt. Oletame, et seos x Ja y on lineaarne ja me otsime soovitud ligikaudset funktsiooni kujul:

Leiame parameetrite osas osatuletised:

Asendame saadud seosed vormiga (5) süsteemiga:

või jagades iga võrrandi n-ga:

Tutvustame järgmist tähistust:

(7)

Siis näeb viimane süsteem välja selline:

(8)

Selle süsteemi koefitsiendid K x , M y , M xy , M x 2- arvud, mida saab igas konkreetses lähendusülesandes hõlpsasti arvutada valemite (7) abil, kus x i, y i- väärtused tabelist (1). Olles lahendanud süsteemi (8), saame parameetrite väärtused a Ja b, ja seega ka lineaarfunktsiooni (6) spetsiifiline vorm.

Lineaarfunktsiooni soovitud empiiriliseks valemiks valimise vajalik tingimus on seos:

3.3.2. Ruutfunktsioon (ruudukujuline regressioon). Otsime ligikaudset funktsiooni ruuttrinoomi kujul:

Osatuletiste leidmine:

Loome vormi (5) süsteemi:

Pärast lihtsaid teisendusi saame kolme tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi a, b, c. Süsteemi koefitsiente, nagu ka lineaarfunktsiooni puhul, väljendatakse ainult tabelis (1) teadaolevate andmete kaudu:

(10)

Siin kasutame tähistust (7), samuti

Süsteemi (10) lahendus annab parameetrite väärtuse a, b Ja Koos ligikaudse funktsiooni (9) jaoks.

Ruutregressiooni rakendatakse kõigi vormi avaldiste korral a 2 -2 a 1 + y 0, a 3 -2 a 2 + a 1, a 4 -2 a 3 + a 2 jne. erinevad üksteisest vähe.

3.3.3. Võimsusfunktsioon (geomeetriline regressioon). Leiame nüüd ligikaudse funktsiooni kujul:

(11)

Eeldades, et algses tabelis (1) argumendi ja funktsiooni väärtused on positiivsed, võtame võrdsuse (11) logaritmi tingimuse alla a>0:

Alates funktsioonist F on funktsiooni ligikaudne väärtus f, funktsioon lnF on funktsiooni ligikaudne väärtus lnf. Tutvustame uut muutujat u=lnx; seejärel punktist (12) tulenevalt lnF saab funktsiooniks u: Ф(u).

Tähistame

Nüüd on võrdsus (12) järgmisel kujul:

need. probleem taandus ligikaudse funktsiooni leidmisele lineaarse funktsiooni kujul. Praktikas on soovitud ligikaudse funktsiooni leidmiseks võimsusfunktsiooni kujul (eespool tehtud eelduste kohaselt) vaja teha järgmist:

1. looge selle tabeli (1) abil uus tabel, võttes väärtuste logaritmid x Ja y lähtetabelis;

2. kasutage parameetrite leidmiseks uut tabelit A Ja IN vormi (14) ligikaudne funktsioon;

3. Leidke tähiste (13) abil parameetrite väärtused a Ja m ja asendage need avaldisega (11).

Vajalik tingimus võimsusfunktsiooni soovitud empiiriliseks valemiks valimiseks on seos:

3.3.4. Eksponentfunktsioon . Olgu algne tabel (1) selline, et lähendavat funktsiooni on soovitatav otsida eksponentsiaalfunktsiooni kujul:

Võtame võrdsuse (15) logaritmi:

(16)

Märkides (13) kirjutame (16) ümber kujul:

(17)

Seega, et leida kujul (15) ligikaudne funktsioon, on vaja logaritmida funktsiooni väärtused algses tabelis (1) ja, arvestades neid koos argumendi algväärtustega, konstrueerida ligikaudne funktsioon. uue tabeli vormist (17). Pärast seda, vastavalt tähistusele (13), jääb alles otsida otsitavate parameetrite väärtused a Ja b ja asendage need valemiga (15).

Eksponentfunktsiooni soovitud empiiriliseks valemiks valimise vajalik tingimus on seos:

.

3.3.5. Murdline lineaarfunktsioon. Otsime ligikaudset funktsiooni kujul:

(18)

Kirjutame võrdsuse (18) ümber järgmiselt:

Viimasest võrdsusest järeldub, et parameetrite väärtuste leidmiseks a Ja b antud tabeli (1) jaoks peate looma uue tabeli, milles argumendi väärtused jäetakse samaks ja funktsiooni väärtused asendatakse pöördarvudega ning seejärel leidke saadud tabeli jaoks ligikaudne vormi funktsioon kirves+b. Leiti parameetrite väärtused a Ja b asendada valemiga (18).

Vajalik tingimus murdosalise lineaarfunktsiooni valimiseks soovitud empiiriliseks valemiks on seos:

.

3.3.6. Logaritmiline funktsioon. Olgu ligikaudne funktsioon järgmine:

On lihtne näha, et lineaarse funktsiooni juurde minemiseks piisab asendusest lnx=u. Sellest järeldub, et väärtuste leidmiseks a Ja b peate logaritma algses tabelis (1) oleva argumendi väärtused ja, võttes arvesse saadud väärtusi koos funktsiooni algväärtustega, leidma ligikaudse funktsiooni lineaarse kujul. nii saadud uus tabel. Koefitsiendid a Ja b asendage leitud funktsioon valemiga (19).

Vajalik tingimus logaritmilise funktsiooni valimiseks soovitud empiiriliseks valemiks on seos:

.

3.3.7. Hüperbool. Kui tabelist (1) koostatud hajuvusdiagramm annab hüperbooli haru, saab lähendusfunktsiooni otsida kujult.