Belgilash- belgilangan maxsus belgilar (raqamlar) to'plamidan foydalangan holda raqamni yozish usuli.

Belgilash:

• raqamlar to'plamining tasvirini beradi (butun va/yoki real);

• har bir raqamning o'ziga xos ko'rinishini (yoki hech bo'lmaganda standart vakillikni) beradi;

• sonning algebraik va arifmetik tuzilishini aks ettiradi.

Raqamni qandaydir sanoq sistemasida yozish deyiladi raqam kodi.

Raqamli displeydagi alohida pozitsiya chaqiriladi tushirish, bu pozitsiya raqamini bildiradi daraja raqami.

Raqamdagi raqamlar soni deyiladi bit chuqurligi va uning uzunligiga to'g'ri keladi.

Sanoq tizimlari quyidagilarga bo'linadi pozitsion Va pozitsiyali bo'lmagan. Pozitsion sanoq sistemalari bo'linadi

yoqilgan bir hil Va aralashgan.

sakkizlik sanoq sistemasi, oʻn oltilik sanoq sistemasi va boshqa sanoq sistemalari.

Sanoq sistemalarining tarjimasi. Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga aylantirish mumkin.

Turli sanoq sistemalarida sonlarning moslik jadvali.

Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari mavjud.

Nopozitsion sanoq sistemalarida raqamning og'irligi (ya'ni, raqamning qiymatiga qo'shgan hissasi) uning pozitsiyasiga bog'liq emas raqamni yozishda. Shunday qilib, Rim sanoq tizimida XXXII (o'ttiz ikki) sonida X sonining har qanday pozitsiyadagi og'irligi shunchaki o'nga teng.

Pozitsion sanoq sistemalarida har bir raqamning og'irligi uning raqamni ifodalovchi raqamlar ketma-ketligidagi pozitsiyasiga (pozitsiyasiga) qarab o'zgaradi. Misol uchun, 757,7 raqamida birinchi ettita 7 yuzlik, ikkinchisi - 7 birlik, uchinchisi - birlikning 7 o'ndan bir qismini bildiradi.

757,7 raqamining o'zi ifodaning qisqartirilgan belgisini anglatadi

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Har qanday pozitsion sanoq sistemasi o'zining xususiyati bilan tavsiflanadi asos.

Tizimning asosi sifatida har qanday natural sonni olish mumkin - ikki, uch, to'rt va hokazo. Demak, son-sanoqsiz pozitsion tizimlar mumkin: ikkilik, uchlik, toʻrtlamchi va boshqalar. Har bir sanoq sistemasidagi raqamlarni asos bilan yozish q qisqartma ifodani bildiradi

a n-1 q n-1 +a n-2 q n-2 + ... +a 1 q 1 +a 0 q 0 +a -1 q -1 + ... +a -m q -m ,

Qayerda a i - sanoq tizimining raqamlari; n Va m - mos ravishda butun va kasr raqamlari soni. Masalan:

Mutaxassislar kompyuter bilan muloqot qilish uchun qanday sanoq sistemalaridan foydalanadilar?

O'nlikdan tashqari, asosi 2 ga teng bo'lgan tizimlar keng qo'llaniladi, xususan:

ikkilik(0, 1 raqamlari ishlatiladi);

sakkizlik(0, 1, ..., 7 raqamlari ishlatiladi);

o'n oltilik(noldan toʻqqizgacha boʻlgan birinchi butun sonlar uchun 0, 1, ..., 9 raqamlari, keyingi oʻndan oʻn beshgacha boʻlgan raqamlar uchun esa A, B, C, D, E, F belgilaridan foydalaniladi) raqamlar sifatida).

Birinchi ikki o'nta butun son uchun ushbu sanoq tizimlaridagi yozuvni eslab qolish foydalidir:

Barcha sanoq sistemalaridan ayniqsa oddiy va shuning uchun Ikkilik sanoq sistemasi kompyuterlarda texnik tatbiq etish uchun qiziqarli.

Sanoq sistemasi nima?

Sanoq sistemasi nima? Raqamlar tizimi - bu raqamlarni yozish va o'qish texnikasi va qoidalari to'plami.

Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari mavjud.

Nopozitsion sanoq sistemalarida raqamning og‘irligi (ya’ni son qiymatiga qo‘shgan hissasi) uning son yozuvidagi o‘rniga bog‘liq emas. Shunday qilib, Rim sanoq tizimida XXXII (o'ttiz ikki) sonida X sonining har qanday pozitsiyadagi og'irligi shunchaki o'nga teng.

Pozitsion sanoq sistemalarida har bir raqamning og‘irligi uning sonni ifodalovchi raqamlar ketma-ketligidagi o‘rniga (joyiga) qarab o‘zgaradi. Misol uchun, 757,7 raqamida birinchi ettita 7 yuzlik, ikkinchisi - 7 birlik, uchinchisi - birlikning 7 o'ndan bir qismini bildiradi.

757.7 raqamining belgilanishi iboraning qisqartirilgan belgisini anglatadi:

Har qanday pozitsion sanoq sistemasi o'zining asosi bilan tavsiflanadi.

Pozitsion sanoq sistemasining asosi ma’lum sanoq sistemasidagi raqamlarni ifodalash uchun foydalaniladigan turli raqamlar sonidir.

Tizimning asosi sifatida har qanday natural sonni olish mumkin - ikki, uch, to'rt va hokazo. Shunday qilib, cheksiz ko'p pozitsiyali tizimlar mumkin: ikkilik, uchlik, to'rtlamchi va boshqalar.

Pozitsion sanoq sistemalarida butun sonlar qanday hosil qilinadi?

Har bir sanoq sistemasida raqamlar maʼnosiga koʻra tartiblangan: 1 0 dan katta, 2 1 dan katta va hokazo.

Raqamni targ'ib qilish uni keyingi eng yuqori raqam bilan almashtirishni anglatadi.

1 raqamini oldinga siljitish uni 2 bilan almashtirishni anglatadi, 2 raqamini oldinga siljitish 3 bilan almashtirishni anglatadi va hokazo. Yetakchi raqamni (masalan, oʻnlik sanoq sistemasidagi 9 raqamini) targʻib qilish uni 0 bilan almashtirishni bildiradi. Faqat ikkita raqamdan – 0 va 1 dan foydalaniladigan ikkilik tizimda 0 ni koʻtarish uni 1 bilan almashtirishni bildiradi. a 1 uni 0 bilan almashtirishni anglatadi.

Har qanday berilgan butun sondan keyin butun son hosil qilish uchun raqamning eng o'ngdagi raqami oldinga surilishi kerak; agar ko'tarilgandan keyin biron bir raqam nolga aylansa, raqamni uning chap tomoniga o'tkazish kerak.

Ushbu qoidani qo'llagan holda, biz birinchi o'nta butun sonni yozamiz

· binar sistemada: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· uchlik sistemada: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· beshtalik sistemada: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· sakkizlik sistemada: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

O'nlikdan tashqari, asosi 2 ga teng bo'lgan tizimlar keng qo'llaniladi, xususan:

Ikkilik tizim	To'rtlamchi tizim	Sakkizlik tizim	O'nlik sistema	O'n oltilik tizim
1	1	1	1	1
10	2	2	2	2
11	3	3	3	3
100	10	4	4	4
101	11	5	5	5
110	12	6	6	6
111	13	7	7	7
1000	20	10	8	8
1001	21	11	9	9
1010	22	12	10	A
1011	23	13	11	B
1100	30	14	12	C
1101	31	15	13	D
1110	32	16	14	E
1111	33	17	15	F
10000	40	20	16	10

Nima uchun odamlar o'nlik tizimdan foydalanadilar va kompyuterlar ikkilik tizimdan foydalanadilar?

Odamlar o'nli tizimni afzal ko'rishadi, ehtimol ular qadim zamonlardan beri barmoqlari bilan sanab kelishgan va odamlarning o'nta barmoqlari bor. Odamlar har doim ham, hamma joyda ham o'nlik sanoq tizimidan foydalanmaydi. Masalan, Xitoyda ular uzoq vaqt davomida besh xonali sanoq tizimidan foydalanganlar.

Kompyuterlar esa ikkilik tizimdan foydalanadilar, chunki u boshqa tizimlarga nisbatan bir qator afzalliklarga ega:

· uni amalga oshirish uchun bizga ikkita barqaror holatga ega bo'lgan texnik qurilmalar kerak (oqim bor - oqim yo'q, magnitlangan - magnitlangan emas va hokazo) va, masalan, o'nli kasr kabi emas;

· axborotni faqat ikkita holat orqali taqdim etish ishonchli va shovqinga chidamli;

· axborotni mantiqiy o'zgartirishlarni amalga oshirish uchun mantiqiy algebra apparatidan foydalanish mumkin;

· Ikkilik arifmetika o'nlik arifmetikadan ancha sodda.

Ikkilik tizimning kamchiliklari raqamlarni yozish uchun zarur bo'lgan raqamlar sonining tez o'sishidir.

Nima uchun kompyuterlar sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalaridan ham foydalanadi?

Kompyuterlar uchun qulay bo'lgan ikkilik tizim o'zining kattaligi va noodatiy yozuvlari tufayli odamlar uchun noqulay.

Raqamlarni o‘nlik sanoq sistemasidan ikkilik sistemaga va aksincha o‘tkazish mashina yordamida amalga oshiriladi. Biroq, kompyuterdan professional foydalanish uchun siz mashina so'zini tushunishni o'rganishingiz kerak. Shuning uchun sakkizlik va o'n oltilik tizimlar ishlab chiqilgan.

Ushbu tizimlardagi raqamlarni o'nlik kasrlar kabi o'qish deyarli oson, ular ikkilik tizimga qaraganda mos ravishda uch (sakkizlik) va to'rt (o'n oltilik) marta kamroq raqamlarni talab qiladi (oxir-oqibat, mos ravishda 8 va 16 raqamlari 2 raqamining uchinchi va to'rtinchi darajalari).

Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o‘tkazish

Pozitsion tizimda ishlatiladigan turli raqamlarning p soni sanoq tizimining nomini aniqlaydi va sanoq tizimining asosi - “p” deb ataladi. Pozitsion sanoq sistemasidagi har qanday N soni p asosli ko‘phad sifatida ko‘rsatilishi mumkin:

N = a n p n +a n-1 p n-1 + ... +a 1 p+a 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ... (1.1)

bu yerda N son, a j koeffitsientlar (son raqamlari), p sanoq tizimining asosi (p>1). Raqamlarni raqamlar ketma-ketligi sifatida ko'rsatish odatiy holdir:

N = a n a n -1 ... a 1 a 0. a -1 a -2 ...

Raqamlarni o'nlik kasr tizimiga o'tkazish raqam tarjima qilingan tizimning asosi (1.1 formulaga qarang) bilan quvvat seriyasini tuzish orqali amalga oshiriladi. Keyin summaning qiymati hisoblab chiqiladi.

Butun o‘nli sonlarni o‘nlik bo‘lmagan sanoq sistemasiga o‘tkazish o‘nlik sonni u o‘tkazilayotgan tizim bazasiga ketma-ket bo‘lish yo‘li bilan shu asosning ko‘rsatkichi olinmaguncha amalga oshiriladi. Yangi tizimdagi raqam oxirgisidan boshlab bo'linish qoldiqlari sifatida yoziladi.

Misol: 75 sonini o'nlikdan ikkilik, sakkizlik va o'n oltilik sanoqlarga aylantiramiz:

Javob: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

To‘g‘ri kasrlarni o‘nlik sanoq sistemasidan o‘nlik bo‘lmagan sanoq sistemasiga o‘tkazish. Oddiy o'nli kasrni boshqa tizimga aylantirish uchun bu kasrni u aylantirilgan tizimning asosiga ketma-ket ko'paytirish kerak. Bunday holda, faqat kasr qismlar ko'paytiriladi. Yangi tizimdagi kasrlar birinchisidan boshlab mahsulotlarning butun qismlari shaklida yoziladi.

Misol. 0,36 sonini o‘nlik sanoq sistemasidan ikkilik, sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemasiga aylantiramiz:

Noto'g'ri o'nli kasrni o'nlik bo'lmagan asosli sanoq tizimiga aylantirish uchun butun qismni va kasr qismini alohida o'zgartirishingiz kerak. Tarjima qiling 23.125 10 2 s.s.

Agar quyidagi munosabat bajarilsa sanoq sistemalari ko'plik deyiladi: S = R N , bu erda S, R sanoq sistemalarining asoslari, N ko'plik darajasi (butun son: 2, 3 ...).

Raqamni R sanoq sistemasidan uning ko‘p sonli S tizimiga o‘tkazish uchun quyidagi amallarni bajaring: nuqtadan chapga va o‘ngga o‘tib, ular sonni N ta raqam guruhlariga bo‘lib, eng chap va o‘ngdagi guruhlarni nol bilan to‘ldiradilar, agar zarur. Keyin guruh S sanoq sistemasidan mos keladigan raqam bilan almashtiriladi.

Tarjima 1101111001.1101 2 "8" s.s.	Tarjima 11111111011.100111 2 "16" s.k.

Raqamni S sanoq sistemasidan uning ko‘p sonli R sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun bu sonning har bir raqamini R sanoq sistemasidagi mos raqam bilan, yuqori (00512) va past (15.124000) raqamlarida esa ahamiyatsiz nollarni almashtirish kifoya. raqamlar bekor qilinadi.

305,4 8 "2" s.s.ni tarjima qiling.	7B2.E 16 "2" s.s.ni tarjima qiling.

Agar siz S sanoq tizimidan R ga o'tkazishingiz kerak bo'lsa, ular ko'paytmali bo'lmasligi sharti bilan, K sanoq tizimini shunday tanlashga harakat qilishingiz kerak: S = K N va R = K N .

Tarjima qiling 175,24 8 "16" s.s.

Natija: 175,24 8 = 7D,5 16.

Agar K sanoq sistemasini topib bo'lmasa, u holda tarjimani o'nlik sanoq sistemasi yordamida oraliq holda bajarish kerak.

Bularning barchasiga misollar

Sakkizlik va oʻn oltilik sonlarni ikkilik tizimga oʻtkazish juda oddiy: har bir raqamni oʻzining ekvivalent ikkilik triadasi (uchta raqam) yoki tetrada (toʻrtta raqam) bilan almashtirish kifoya.

Masalan:

Raqamni ikkilikdan sakkizlik yoki o‘n oltilik kasrga o‘tkazish uchun uni o‘nli kasrning chap va o‘ng tomoniga triadalarga (sakkizlik uchun) yoki tetradalarga (o‘n oltilik uchun) ajratish va har bir bunday guruhni tegishli sakkizlik (oltilik) raqam bilan almashtirish kerak. . Masalan:

Turli sanoq sistemalarida qo‘shish

Qo'shish jadvallarini hisoblash qoidasi yordamida yaratish oson.

Turli sanoq sistemalarida ayirish

Turli sanoq sistemalarida ko‘paytirish

Turli pozitsion sanoq tizimlarida ko'p xonali raqamlarni ko'paytirishda siz ustundagi raqamlarni ko'paytirish uchun odatiy algoritmdan foydalanishingiz mumkin, ammo bir xonali sonlarni ko'paytirish va qo'shish natijalarini ko'paytirish va qo'shish jadvallaridan olingan bo'lishi kerak. savol.

Turli sanoq sistemalarida bo'linish

Har qanday pozitsion sanoq sistemasida bo‘lish o‘nlik sanoq sistemasidagi burchak bo‘yicha bo‘lish qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi. Ikkilik tizimda bo'lish ayniqsa oddiy, chunki qismning keyingi raqami faqat nol yoki bitta bo'lishi mumkin.

Yangi kasr kerakli sonni o'z ichiga olguncha yangi sanoq tizimining asosiga ko'paytiring, bu kasrni ko'rsatishning kerakli aniqligi bilan aniqlanadi. Yangi sanoq sistemasida to'g'ri kasr ketma-ket ko'paytirish natijasida hosil bo'lgan mahsulotlarning butun qismlaridan yoziladi va birinchi butun qism yangi kasrning eng yuqori raqami bo'ladi. Bir misol keltiraylik...

Ulardagi tasvirlar juda katta raqamlardir, chunki bu raqamlarning juda og'ir yozuviga olib keladi yoki ishlatiladigan raqamlarning juda katta alifbosini talab qiladi. Kompyuterlarda faqat pozitsion sanoq sistemalaridan foydalaniladi, bunda alifboning har bir raqamining miqdoriy ekvivalenti nafaqat bu raqamning turiga, balki uning raqam yozuvidagi joylashuviga ham bog'liq. Pozitsion sanoq sistemalari...

0 va 1 ketma-ketliklar. Masalan, A2=T 111100002 manfiy bo'lmagan butun son katakchada quyidagicha saqlanadi: 1 1 1 1 0 0 0 0 Bu biz 0 dan 255 gacha bo'lgan barcha raqamlarni ikkilik tizimda yozishimiz mumkinligini anglatadi. 1 xotira katakchasidagi sanoq sistemasi. 2.2 EHMda raqamlarning tasviri Kompyuterdagi butun sonlar xotira kataklarida saqlanadi, bu holda xotira kataklarining har bir raqami... ga mos keladi.

Yozma belgilar yordamida raqamlarni ifodalash.

Belgilash:

• raqamlar to'plamining (butun va/yoki real) tasvirlarini beradi;
• har bir raqamning o'ziga xos ko'rinishini (yoki hech bo'lmaganda standart vakillikni) beradi;
• sonlarning algebraik va arifmetik tuzilishini aks ettiradi.

Sanoq tizimlari quyidagilarga bo'linadi pozitsion, pozitsiyali bo'lmagan Va aralashgan.

Pozitsion sanoq sistemalari

Pozitsion sanoq sistemalarida sonning yozilishidagi bir xil son belgisi (raqam) uning joylashgan joyiga (raqamiga) qarab har xil ma’noga ega. Raqamlarning o'rin ma'nosiga asoslangan pozitsion raqamlash ixtirosi shumerlar va bobilliklarga tegishli; Bunday raqamlash hindular tomonidan ishlab chiqilgan va insoniyat sivilizatsiyasi tarixida bebaho oqibatlarga olib kelgan. Bunday tizimlarga zamonaviy o'nlik sanoq sistemasi kiradi, uning paydo bo'lishi barmoqlarda sanash bilan bog'liq. O'rta asrlarda Evropada italyan savdogarlari orqali paydo bo'lgan, ular o'z navbatida musulmonlardan qarz olgan.

Pozitsion sanoq sistemasi odatda -rich sanoq sistemasiga ishora qiladi, bu butun son bilan aniqlanadi asos sanoq tizimlari. -ary sanoq sistemasidagi ishorasiz butun son son darajalarining cheklangan chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi:

, butun sonlar qayerda deyiladi raqamlarda, tengsizlikni qondirish.

Bunday yozuvdagi har bir daraja daraja vazni deb ataladi. Raqamlar va ularga mos keladigan raqamlarning kattaligi indikatorning (raqamli raqam) qiymati bilan belgilanadi. Odatda, nolga teng bo'lmagan raqamlarda chap nollar qo'yilmaydi.

Agar nomuvofiqliklar bo'lmasa (masalan, barcha raqamlar noyob yozma belgilar ko'rinishida taqdim etilganda), raqam chapdan o'ngga raqamlar ustunligining kamayish tartibida sanab o'tilgan alfavit-raqamli raqamlar ketma-ketligi sifatida yoziladi:

Masalan, raqam bir yuz uch O'nlik sanoq sistemasida quyidagicha ifodalanadi:

Hozirgi vaqtda eng ko'p ishlatiladigan pozitsion tizimlar:

Pozitsion tizimlarda tizimning bazasi qanchalik katta bo'lsa, raqamni yozishda shunchalik kam sonli raqamlar (ya'ni yozma raqamlar) talab qilinadi.

Aralash sanoq sistemalari

Aralash sanoq sistemasi-rich sanoq sistemasining umumlashmasi bo‘lib, ko‘pincha pozitsion sanoq sistemalariga ham tegishli. Aralash sanoq tizimining asosini sonlarning ortib borayotgan ketma-ketligi tashkil etadi va undagi har bir raqam chiziqli birikma sifatida ifodalanadi:

, bu erda koeffitsientlar avvalgidek chaqiriladi raqamlarda, ba'zi cheklovlar qo'llaniladi.

Raqamni aralash sanoq sistemasida yozish deganda uning raqamlarini indeksning kamayish tartibida, nolga teng bo‘lmagan birinchi raqamdan boshlab sanab yozish tushuniladi.

Funktsiya sifatidagi turiga qarab, aralash sanoq sistemalari darajali, ko'rsatkichli va hokazo bo'lishi mumkin. Ba'zilar uchun aralash sanoq sistemasi ko'rsatkichli - boy sanoq sistemasiga to'g'ri keladi.

Aralash sanoq tizimining eng mashhur namunasi vaqtni kunlar, soatlar, daqiqalar va soniyalar soni sifatida tasvirlashdir. Bunday holda, "kunlar, soatlar, daqiqalar, soniyalar" qiymati soniyalar qiymatiga mos keladi.

Faktoriy sanoq sistemasi

IN faktoriy sanoq sistemasi asoslar faktoriallar ketma-ketligidir va har bir natural son quyidagicha ifodalanadi:

, Qayerda.

Faktoriy sanoq sistemasi qachon ishlatiladi inversiyalar ro'yxati bo'yicha almashtirishlarni dekodlash: almashtirish raqamiga ega bo'lgan holda, uni quyidagicha ko'paytirishingiz mumkin: raqamdan bitta kichik bo'lgan son (raqamlash noldan boshlanadi) faktoriy sanoq sistemasida yoziladi va i sonining koeffitsienti! almashtirishlar amalga oshirilgan to'plamdagi i+1 elementi uchun inversiyalar sonini bildiradi (i+1 dan kichik, lekin kerakli almashtirishda uning o'ng tomonida joylashgan elementlar soni)

Misol: 5 ta elementning almashtirishlar to'plamini ko'rib chiqing, jami 5 tasi bor! = 120 (0 - (1,2,3,4,5) almashtirish raqamidan 119 - (5,4,3,2,1) almashtirish), keling, 101-o'rinni topamiz: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; i! sonining koeffitsienti ti bo'lsin, keyin t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, keyin: 5 dan kichik, lekin o'ng tomonda joylashgan elementlar soni 4 ga teng; 4 dan kam, lekin o'ng tomonda joylashgan elementlar soni 0 ga teng; elementlar soni 3 dan kam, lekin o'ng tomonda joylashgan 2; 2 dan kichik, lekin o'ng tomonda joylashgan elementlar soni 0 ga teng (o'zgartirishdagi oxirgi element qolgan yagona joyga "qo'yiladi") - shuning uchun 101-o'rin almashtirish quyidagicha ko'rinadi: (5,3,1,2). ,4) Bu usulni tekshirish almashtirishning har bir elementi uchun inversiyalarni bevosita sanash orqali amalga oshirilishi mumkin.

Fibonachchi sanoq tizimi Fibonachchi raqamlariga asoslangan. Har bir natural son quyidagi shaklda ifodalanadi:

, Fibonachchi raqamlari qayerda va koeffitsientlar cheklangan sonli birlikka ega va ketma-ket ikkitasi yo'q.

Nopozitsion sanoq sistemalari

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemalarida raqamni bildiradigan qiymat uning sondagi o'rniga bog'liq emas. Bunday holda, tizim raqamlarning joylashuviga cheklovlar qo'yishi mumkin, masalan, ular kamayish tartibida joylashtiriladi.

Binam sanoq sistemasi

Binom koeffitsientlari yordamida tasvirlash

, Qayerda.

Qoldiq sinf tizimi (RSS)

Qoldiq klassi tizimida sonning ifodalanishi qoldiq tushunchasiga va Xitoy qoldiq teoremasiga asoslanadi. RNS nisbatan asosiy to'plam bilan aniqlanadi modullar mahsulot bilan shunday qilib segmentdagi har bir butun son qoldiqlar to'plami bilan bog'lanadi, bu erda

…

Shu bilan birga, xitoycha qoldiq teoremasi oraliqdan raqamlarni ko'rsatishning o'ziga xosligini kafolatlaydi.

RNS da arifmetik amallar (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish) komponentlar bo'yicha bajariladi, agar natija butun son ekanligi ma'lum bo'lsa va unda ham yotsa.

RNS ning kamchiliklari faqat cheklangan sonli raqamlarni ifodalash qobiliyati, shuningdek, RNSda ifodalangan raqamlarni solishtirish uchun samarali algoritmlarning yo'qligi. Taqqoslash odatda argumentlarni RNS dan aralash radixli sanoq tizimiga tarjima qilish orqali amalga oshiriladi.

Stern-Brokot sanoq tizimi- Stern-Brocot daraxtiga asoslangan musbat ratsional sonlarni yozish usuli.

Turli xalqlarning sanoq tizimlari

Birlik sanoq tizimi

Ko'rinishidan, xronologik jihatdan hisoblashni o'zlashtirgan har bir xalqning birinchi sanoq tizimi. Natural son bir xil belgini (tire yoki nuqta) takrorlash bilan ifodalanadi. Masalan, 26 raqamini tasvirlash uchun siz 26 ta chiziq chizishingiz kerak (yoki suyak, tosh va boshqalarga 26 ta tirqish). Keyinchalik, katta raqamlarni idrok etishda qulaylik uchun bu belgilar uch yoki beshta guruhlarga birlashtirilgan. Keyin teng hajmli belgilar guruhlari qandaydir yangi belgi bilan almashtirila boshlaydi - kelajakdagi raqamlarning prototiplari shunday paydo bo'ladi.

Qadimgi Misr sanoq tizimi

Bobil sanoq tizimi

Alfavit sanoq tizimlari

Alfavit sanoq sistemalaridan qadimgi armanlar, gruzinlar, yunonlar (ionik sanoq sistemasi), arablar (abjadiya), yahudiylar (qarang gematriya) va boshqa Yaqin Sharq xalqlari foydalangan. Slavyan liturgik kitoblarida yunon alifbosi tizimi kirill harflariga tarjima qilingan.

Yahudiy sanoq tizimi

Yunon sanoq tizimi

Rim sanoq tizimi

Deyarli pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimining kanonik misoli lotin harflarini raqamlar sifatida ishlatadigan Rim tizimidir:
Men 1 ga turaman,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Masalan, II = 1 + 1 = 2
bu yerda I belgisi raqamdagi o'rnidan qat'iy nazar 1 ni bildiradi.

Aslida, Rim tizimi to'liq pozitsiyali emas, chunki undan kattasidan oldin keladigan kichikroq raqam ayiriladi, masalan:

IV = 4, esa:
VI = 6

Mayya sanoq tizimi

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Havolalar

• Gashkov S.B. Sanoq tizimlari va ularning qo‘llanilishi. - M.: MTsNMO, 2004. - ("Matematik ta'lim" kutubxonasi).
• Fomin S.V. Sanoq tizimlari. - M.: Nauka, 1987. - 48 b. - (Matematika bo'yicha mashhur ma'ruzalar).
• Yaglom I. Raqam tizimlari // Kvant. - 1970. - No 6. - B. 2-10.
• Raqamlar va sanoq tizimlari. Dunyo bo'ylab onlayn ensiklopediya.
• Staxov A. Sanoq sistemalarining EHM tarixidagi roli.
• Mikushin A.V. Sanoq tizimlari. "Raqamli qurilmalar va mikroprotsessorlar" ma'ruza kursi
• Butler J. T., Sasao T. Ortiqcha ko'p qiymatli sanoq tizimlari Maqolada birdan katta raqamlardan foydalanadigan va raqamlarni ifodalashda ortiqcha bo'lishga imkon beruvchi sanoq tizimlari muhokama qilinadi.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

ho'kizlar (toifalar). Ushbu yondashuv axborotni uzatish, saqlash va qayta ishlashda qo'llaniladi va odatda ma'lumotlarning semantik mazmuni bilan bog'liq emas.

1.5.2. Ehtimoliy yondashuv

IN axborot nazariyasi, axborot noaniqlik olib tashlangan deb ta'riflanadi. Bu qabul qiluvchi uchun ma'lumotlarning qiymatini hisobga oladi. Axborot miqdori xabarni olgandan keyin yoki voqea sodir bo'lganidan keyin noaniqlik o'lchovi (entropiya) qanchalik kamayishi bilan belgilanadi.

Axborot miqdorining birligi (bit) axborot noaniqligini 2 marta kamaytiradigan xabarni o'z ichiga olgan axborot miqdori sifatida qabul qilinadi. Umuman olganda, N ta teng ehtimolli hodisalardan biri sodir bo'lganligi haqidagi xabardagi ma'lumotlarning miqdori (H) quyidagicha aniqlanadi:

8 bitdan iborat guruh bayt deb ataladi. Agar bit axborotning minimal birligi bo'lsa, u holda bayt asosiy hisoblanadi. Olingan ma'lumotlar birliklari mavjud:

1 bayt = 8 bit;

1 kilobayt = 210 bayt = 1024 bayt;

1 Megabayt = 220 bayt = 1024 kilobayt;

1 Gigabayt = 230 bayt = 1024 Megabayt;

1 terabayt = 240 bayt = 1024 gigabayt.

1.6. Informatika fanida qo'llaniladigan sanoq tizimlari

Sanoq tizimi - bu raqamlar yordamida raqamlarni yozish texnikasi va qoidalari to'plami. Nopozitsion va pozitsion sanoq sistemalari mavjud.

IN Nopozitsion sanoq sistemasida har bir belgi o‘ziga xos ma’noga ega bo‘lib, bu belgining raqamlar yozuvidagi o‘rniga bog‘liq emas. Masalan, Rim sanoq sistemasida

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. 77 raqami LXXVII deb yoziladi.

IN Pozitsion sanoq sistemasida raqam tasviridagi har qanday raqamning qiymati uning berilgan sonni ifodalovchi raqamlar qatoridagi o‘rni (pozitsiyasi)ga bog‘liq. Masalan: 77 - 7 birlik va 7 o'nlik.

Har bir pozitsion sanoq tizimida har qanday raqamni ifodalash uchun qat'iy belgilangan belgilar soni (raqamlar) mavjud:

– ikkilik - 2: 0 va 1;

– kasr - 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pozitsion sanoq sistemasida sonlarni yozish uchun ishlatiladigan raqamlar soni sanoq tizimining asosi deyiladi. Sanoq tizimining asosi har qanday natural son bo'lishi mumkin.

q sistemaning asosi bo'lsin, u holda sanoq sistemasidagi q asosli istalgan sonni quyidagicha ifodalash mumkin:

A q = a n q n + a n –1 q n –1 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a –1 q –1 + a –2 q –2 + ... + a –k q–k , (3) bu yerda A q asosi q bo‘lgan sanoq sistemasida yozilgan son,

n + 1 - sonning butun qismining raqamlari soni,

va i sonning raqamlari, 0 ≤ a i bilan< q ,

k - sonning kasr qismidagi raqamlar soni.

Informatikada faqat pozitsion sanoq sistemalari qo`llaniladi: o`nlik, ikkilik, sakkizlik, o`n oltilik.

1.6.1. Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o'tkazish qoidalari

1-qoida. Butun o‘nli A sonni asosi q bo‘lgan sanoq sistemasiga aylantirish uchun q dan kichik butun qoldiq olinmaguncha A sonni q asosga bo‘lish kerak. Olingan qismni q dan kichik butun qoldiq olinmaguncha yana q ga bo'lish kerak va hokazo. oxirgi qism q dan kichik bo'lgunga qadar. Keyin asosi q bo'lgan sanoq sistemasidagi A o'nlik soni bo'linish qoldiqlari ketma-ketligi sifatida ularni olishning teskari tartibida yozilishi kerak, eng yuqori raqam oxirgi qismni beradi.

2-qoida. O'nli kasrni asosi q bo'lgan sanoq tizimiga o'tkazish uchun bu sonni q asosga ko'paytirish kerak. Ko'paytmaning butun qismi q asosli sanoq sistemasidagi sonning birinchi raqami bo'ladi. Keyin butun qismni tashlab, yana q asosiga ko'paytiring va hokazo. yangi sanoq sistemasidagi kerakli raqamlar soni olinmaguncha yoki tarjima tugallanmaguncha.

3-qoida. O'nlik sanoq sistemasining aralash raqamlari ikki bosqichda tarjima qilinadi: o'z qoidasiga ko'ra butun son qismi va o'z qoidasiga ko'ra alohida kasr qismi. Keyin umumiy natija yoziladi, uning kasr qismi vergul bilan ajratiladi.

4-qoida. Raqamni asosi q bo‘lgan sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun sonni (3) ko‘rinishda yozish shaklidan foydalanish kerak.

5-qoida. Butun sonni ikkilik sanoq sistemasidan sakkizlik sistemaga o‘tkazish uchun turli o‘lchamdagi ikkilik raqamlar ketma-ketligi kerak bo‘ladi.