Линейная, особенно линейная полиномиальная, аппроксимация часто не соответствует характеру функции. Например, многочлен высокой степени быстро растет при поэтому даже несложную функцию многочлен плохо аппроксимирует на большом отрезке. Поскольку аппроксимация проводится в широком интервале изменения аргумента, использование нелинейной зависимости от коэффициентов здесь ещё выгодней, чем при интерполяции.

На практике используют два вида зависимости. Один - квазилинейная зависимость, сводящаяся выравнивающей заменой переменных к линейной, которая подробно изучена в предыдущих пунктах. Этот способ очень эффективен и часто используется при обработке эксперимента, ибо априорные сведения о физике процесса помогают найти хорошую замену переменных. Надо только иметь в виду, что приближение, наилучшее в новых переменных, не будет наилучшим в смысле скалярного произведения в старых переменных. Поэтому на выбор веса в новых переменных надо обращать особое внимание.

Классический пример - задача о радиоактивном распаде облученного образца, в которой удобны переменные и t, где - скорость распада. В этих переменных кривая обычно аппроксимируется ломаной, звенья которой соответствуют распаду все более долгоживущих членов радиоактивного ряда.

Другой употребительный вид зависимости от коэффициентов - дробно-линейная, когда аппроксимирующая функция рациональна:

Нередко используется и отношение обобщенных многочленов. Такая аппроксимация позволяет передать полюсы функции - им соответствуют нули знаменателя требуемой кратности. Зачастую можно воспроизвести асимптотическое поведение при за счет соответствующего выбора величины например, если , то надо положить . При этом сами можно брать достаточно большими, чтобы располагать многими коэффициентами аппроксимации.

Однако квадрат погрешности уже не будет квадратичной функцией коэффициентов, так что найти коэффициенты рациональной функции нелегко. Можно по аналогии со среднеквадратичной аппроксимацией многочленами выдвинуть гипотезу, что погрешность имеет на число нулей, не меньшее числа свободных коэффициентов (сравните с замечанием 3 в п. 2). Тогда задача сводится к лагранжевой интерполяции по этим нулям и коэффициенты находятся из системы линейных уравнений:

Разумеется, точное положение нулей неизвестно; их выбирают произвольно, обычно равномерно распределяя на отрезке . Этот способ называют методом выбранных точек. Полученное этим методом приближение вовсе не будет наилучшим.

Кроме того, метод выбранных точек неразумен, как и всякая интерполяция, если имеют заметную погрешность.

Наилучшее приближение можно найти методом итерированного веса. Заметим, что задача

легко решается: стоящее слева выражение есть квадратичная функция коэффициентов и дифференцирование по ним приводит к линейной системе для определения коэффициентов, сходной с (38). Новая задача отличается от исходной по существу тем, что вместо веса используется другой вес поэтому ее решение не является наилучшим приближением. Запишем исходную задачу в новой форме:

и будем решать ее простым итерационным процессом

за нулевое приближение можно взять . На каждой итерации вес известен по предыдущей итерации, поэтому коэффициенты легко находятся из условия минимума квадратичной формы. Практика показывает, что коэффициенты наилучшего приближения слабо зависят от выбора веса, поэтому обычно итерации сходятся быстро.

а) Рассмотрим некоторые примеры аппроксимации рациональной функцией. Положим

заменяя два первых члена ряда дробью, получим . Эта несложная формула обеспечивает точность при и очень удобна для оценок.

б) В теории вероятностей важную роль играет интеграл ошибок для которого известны разложения в ряды:

Первый ряд абсолютно сходится, но при сходимость очень медленная; второй ряд сходится асимптотически при больших значениях . Заменяя первые члены каждого ряда дробями, получим

В указанных диапазонах изменения аргумента погрешность первой формулы не превышает 0,4%, а погрешность второй формулы -2,4%. Таким образом, точность этих аппроксимаций вполне достаточна для многих 1 практических приложений.

в) Положим при . Эта функция монотонна, причем при Легко построить дробь

Аппроксимация нелинейной функции

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Так как интервал разбиения функции равен, то вычисляем следующие коэффициенты наклона соответствующих участков аппроксимируемой функции:

1. Построение блоков формирования отрезков аппроксимирующей функции

Формирование функции времени

Интервал изменения:

Время циклического перезапуска: T = 1c

Теперь смоделируем функцию:

Аппроксимация

Рисунок 3.1 - Схема решения уравнения

Рисунок 3.2 - Блок-схема формирования нелинейной функции

Таким образом, автоматически формируется левая часть уравнения. При этом условно считается, что старшая производная x// известна, поскольку члены правой части уравнения известны и могут быть подключены к входам У1 (рисунок 3.1). Операционный усилитель У3 выполняет роль инвертора сигнала +х. Для моделирования x// необходимо в схему ввести еще один підсумовуючий усилитель, на входы которого необходимо подать сигналы, которые моделируют правую часть уравнения (3.2).

Рассчитываются масштабы всех переменных с учетом того, что максимальная величина машинной переменной за абсолютной величиной равняется 10 В:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/ max; Mx// = 10 / x //max;

My = 10 / ymax. (3.3)

Масштаб времени Mt = T / tmax = 1, поскольку моделирование задачи осуществляется в реальном масштабе времени.

Рассчитываются коэффициенты передачи по каждому входу интегрирующих усилителей.

Для усилителя У1 коэффициенты передачи находятся за формулами:

K11 = Mx/ b / (MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Для усилителя У2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3.5)

и для усилителя У3:

К31 = 1. (3.6)

Напряжения начальных условий вычисляются за формулами:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Правая часть уравнения (3.2) представлена нелинейной функцией, которая задается путем линейной аппроксимации. При этом необходимо проверять, чтобы погрешность аппроксимации не превышала заданную величину. Блок-схема формирования нелинейной функции представлена на рисунку 3.2.

Описание принципиальной схемы

Блок формирования функции времени (Ф) выполняется в виде одного (для формирования t) или двух последовательно соединенных (для формирования t2) интегрирующих усилителей с нулевыми начальными условиями.

В этом случае при подаче на вход первого интегратора сигнала U, на его выходе получим:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Положив K11E=1, имеем u1(t)= t.

На выходе второго интегратора получим:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3.9)

Положив K11K21E/2 = 1, имеем u2(t)= t2.

Блоки формирования отрезков аппроксимирующей функции реализуются в виде диодных блоков нелинейных функций (ДБНФ), входной величиной для которых является функция времени t или t2. Порядок расчета и построения ДБНФ приведенные в .

Сумматор (ГРУСТЬ) отрезков аппроксимирующей функции выполняется в виде дифференциального итогового усилителя.

Начальные условия для интеграторов моделирующей схемы вводятся с помощью узла с переменной структурой (рисунок 3.3). Эта схема может работать в двух режимах:

а) интегрирование - при положении ключа К в позиции 1. При этом исходный сигнал схемы с достаточной точностью описывается уравнением идеального интегратора:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Этот режим используется при моделирование задачи. Для проверки правильности выбора параметров R и C интегратора проверяют величину исходного напряжения интегратора в функции времени и полезное время интегрирования в пределах допустимой ошибки?Uдоп.

Величина исходного напряжения интегратора

U(t)= - KYE {1 - e - Т / [(Ky+1)RC} (3.11)

за время моделирования Т при интегрировании входного сигнала E с использованием операционного усилителя с коэффициентом передачи Ky без цепи обратной связи не должна превышать значения машинной переменной (10 В).

Время интегрирования

Tи = 2RC(Kу + 1)?Uдоп (3.12)

при выбранных параметрах схемы не должен быть меньше, чем время моделирования Т.

б) задание начальных условий реализуется при переводі ключа К в положение 2. Этот режим используется при подготовке моделирующей схемы к процессу решения. При этом исходный сигнал схемы описывается уравнением:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

где u0(t) - величина начальных условий.

С целью сокращения времени формирования начальных условий и обеспечение надежной работы, параметры схемы должны удовлетворять условие: R1C1 = R2C.

Построить полную расчетную схему. При этом следует пользоваться условными обозначениями, приведенными в подразделе 3.1.

Пользуясь разрядностью входных и исходных данных, построить принципиальные схемы блоков Б1 и Б2 и соединить их с блоком РС.

(Обратите внимание на дополнительный раздел от 04.06.2017 в конце статьи.)

Учет и контроль! Те, кому за 40 должны хорошо помнить этот лозунг из эпохи построения социализма и коммунизма в нашей стране.

Но без хорошо налаженного учета невозможно эффективное функционирование ни страны, ни области, ни предприятия, ни домашнего хозяйства при любой общественно-экономической формации общества! Для составления прогнозов и планов деятельности и развития необходимы исходные данные. Где их брать? Только один достоверный источник – это ваши статистические учетные данные предыдущих периодов времени.

Учитывать результаты своей деятельности, собирать и записывать информацию, обрабатывать и анализировать данные, применять результаты анализа для принятия правильных решений в будущем должен, в моем понимании, каждый здравомыслящий человек. Это есть ничто иное, как накопление и рациональное использование своего жизненного опыта. Если не вести учет важных данных, то вы через определенный период времени их забудете и, начав заниматься этими вопросами вновь, вы опять наделаете те же ошибки, что делали, когда впервые этим занимались.

«Мы, помню, 5 лет назад изготавливали до 1000 штук таких изделий в месяц, а сейчас и 700 еле-еле собираем!». Открываем статистику и видим, что 5 лет назад и 500 штук не изготавливали…

«Во сколько обходится километр пробега твоего автомобиля с учетом всех затрат?» Открываем статистику – 6 руб./км. Поездка на работу – 107 рублей. Дешевле, чем на такси (180 рублей) более чем в полтора раза. А бывали времена, когда на такси было дешевле…

«Сколько времени требуется для изготовления металлоконструкций уголковой башни связи высотой 50 м?» Открываем статистику – и через 5 минут готов ответ…

«Сколько будет стоить ремонт комнаты в квартире?» Поднимаем старые записи, делаем поправку на инфляцию за прошедшие годы, учитываем, что в прошлый раз купили материалы на 10% дешевле рыночной цены и – ориентировочную стоимость мы уже знаем…

Ведя учет своей профессиональной деятельности, вы всегда будете готовы ответить на вопрос начальника: «Когда!!!???». Ведя учет домашнего хозяйства, легче спланировать расходы на крупные покупки, отдых и прочие расходы в будущем, приняв соответствующие меры по дополнительному заработку или по сокращению необязательных расходов сегодня.

В этой статье я на простом примере покажу, как можно обрабатывать собранные статистические данные в Excel для возможности дальнейшего использования при прогнозировании будущих периодов.

Аппроксимация в Excel статистических данных аналитической функцией.

Производственный участок изготавливает строительные металлоконструкции из листового и профильного металлопроката. Участок работает стабильно, заказы однотипные, численность рабочих колеблется незначительно. Есть данные о выпуске продукции за предыдущие 12 месяцев и о количестве переработанного в эти периоды времени металлопроката по группам: листы, двутавры, швеллеры, уголки, трубы круглые, профили прямоугольного сечения, круглый прокат. После предварительного анализа исходных данных возникло предположение, что суммарный месячный выпуск металлоконструкций существенно зависит от количества уголков в заказах. Проверим это предположение.

Прежде всего, несколько слов об аппроксимации. Мы будем искать закон – аналитическую функцию, то есть функцию, заданную уравнением, которое лучше других описывает зависимость общего выпуска металлоконструкций от количества уголкового проката в выполненных заказах. Это и есть аппроксимация, а найденное уравнение называется аппроксимирующей функцией для исходной функции, заданной в виде таблицы.

1. Включаем Excel и помещаем на лист таблицу с данными статистики.

2. Далее строим и форматируем точечную диаграмму, в которой по оси X задаем значения аргумента – количество переработанных уголков в тоннах. По оси Y откладываем значения исходной функции – общий выпуск металлоконструкций в месяц, заданные таблицей.

3. «Наводим» мышь на любую из точек на графике и щелчком правой кнопки вызываем контекстное меню (как говорит один мой хороший товарищ — работая в незнакомой программе, когда не знаешь, что делать, чаще щелкай правой кнопкой мыши…). В выпавшем меню выбираем «Добавить линию тренда…».

4. В появившемся окне «Линия тренда» на вкладке «Тип» выбираем «Линейная».

6. На графике появилась прямая линия, аппроксимирующая нашу табличную зависимость.

Мы видим кроме самой линии уравнение этой линии и, главное, мы видим значение параметра R 2 – величины достоверности аппроксимации! Чем ближе его значение к 1, тем наиболее точно выбранная функция аппроксимирует табличные данные!

7. Строим линии тренда, используя степенную, логарифмическую, экспоненциальную и полиномиальную аппроксимации по аналогии с тем, как мы строили линейную линию тренда.

Лучше всех из выбранных функций аппроксимирует наши данные полином второй степени, у него максимальный коэффициент достоверности R 2 .

Однако хочу вас предостеречь! Если вы возьмете полиномы более высоких степеней, то, возможно, получите еще лучшие результаты, но кривые будут иметь замысловатый вид…. Здесь важно понимать, что мы ищем функцию, которая имеет физический смысл. Что это означает? Это означает, что нам нужна аппроксимирующая функция, которая будет выдавать адекватные результаты не только внутри рассматриваемого диапазона значений X, но и за его пределами, то есть ответит на вопрос: «Какой будет выпуск металлоконструкций при количестве переработанных за месяц уголков меньше 45 и больше 168 тонн!» Поэтому я не рекомендую увлекаться полиномами высоких степеней, да и параболу (полином второй степени) выбирать осторожно!

Итак, нам необходимо выбрать функцию, которая не только хорошо интерполирует табличные данные в пределах диапазона значений X=45…168, но и допускает адекватную экстраполяцию за пределами этого диапазона. Я выбираю в данном случае логарифмическую функцию, хотя можно выбрать и линейную, как наиболее простую. В рассматриваемом примере при выборе линейной аппроксимации в excel ошибки будут больше, чем при выборе логарифмической, но не на много.

8. Удаляем все линии тренда с поля диаграммы, кроме логарифмической функции. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по ненужным линиям и в выпавшем контекстном меню выбираем «Очистить».

9. В завершении добавим к точкам табличных данных планки погрешностей. Для этого правой кнопкой мыши щелкаем на любой из точек на графике и в контекстном меню выбираем «Формат рядов данных…» и настраиваем данные на вкладке «Y-погрешности» так, как на рисунке ниже.

10. Затем щелкаем по любой из линий диапазонов погрешностей правой кнопкой мыши, выбираем в контекстном меню «Формат полос погрешностей…» и в окне «Формат планок погрешностей» на вкладке «Вид» настраиваем цвет и толщину линий.

Аналогичным образом форматируются любые другие объекты диаграммы в Excel !

Окончательный результат диаграммы представлен на следующем снимке экрана.

Итоги.

Результатом всех предыдущих действий стала полученная формула аппроксимирующей функции y=-172,01*ln (x)+1188,2. Зная ее, и количество уголков в месячном наборе работ, можно с высокой степенью вероятности (±4% — смотри планки погрешностей) спрогнозировать общий выпуск металлоконструкций за месяц! Например, если в плане на месяц 140 тонн уголков, то общий выпуск, скорее всего, при прочих равных составит 338±14 тонн.

Для повышения достоверности аппроксимации статистических данных должно быть много. Двенадцать пар значений – это маловато.

Из практики скажу, что хорошим результатом следует считать нахождение аппроксимирующей функции с коэффициентом достоверности R 2 >0,87. Отличный результат – при R 2 >0,94.

На практике бывает трудно выделить один самый главный определяющий фактор (в нашем примере – масса переработанных за месяц уголков), но если постараться, то в каждой конкретной задаче его всегда можно найти! Конечно, общий выпуск продукции за месяц реально зависит от сотни факторов, для учета которых необходимы существенные трудозатраты нормировщиков и других специалистов. Только результат все равно будет приблизительным! Так стоит ли нести затраты, если есть гораздо более дешевое математическое моделирование!

В этой статье я лишь прикоснулся к верхушке айсберга под названием сбор, обработка и практическое использование статистических данных. О том удалось, или нет, мне расшевелить ваш интерес к этой теме, надеюсь узнать из комментариев и рейтинга статьи в поисковиках.

Затронутый вопрос аппроксимации функции одной переменной имеет широкое практическое применение в разных сферах жизни. Но гораздо большее применение имеет решение задачи аппроксимации функции нескольких независимых переменных…. Об этом и не только читайте в следующих статьях на блоге.

Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту (может прийти в папку « Спам» )!!!

С интересом прочту Ваши комментарии, уважаемые читатели! Пишите!

P.S. (04.06.2017)

Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.

Вас не устраивают полученные точность аппроксимации (R 2 <0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Размеры выражения и форма линии аппроксимирующего полинома высокой степени не радует глаз?

Обращайтесь через страницу « » для получения более точного и компактного результата аппроксимации ваших табличных данных и для того, чтобы узнать простую методику решения задач высокоточной аппроксимации функцией одной переменной.

При использовании предлагаемого алгоритма действий найдена весьма компактная функция, обеспечивающая высочайшую точность аппроксимации: R 2 =0,9963!!!

Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений.

Системы нелинейных и трансцендентных уравнений. Решение уравнений в численном виде.

Численные методы решения задач

Радиофизики и электроники

(Учебное пособие)

Воронеж 2009

Учебное пособие подготовлено на кафедре электроники физического

факультета Воронежского Госуниверситета.

Рассматриваются методы решения задач, связанных с автоматизированным анализом электронных схем. Излагаются основные понятия теории графов. Приводится матрично-топологическая формулировка законов Кирхгофа. Описываются наиболее известные матрично-топологические методы: метод узловых потенциалов, метод контурных токов, метод дискретных моделей, гибридный метод, метод переменных состояний.

1. Аппроксимация нелинейных характеристик. Интерполяция . 6

1.1. Полиномы Ньютона и Лагранжа 6

1.2. Сплайн-интерполяция 8

1.3. Метод наименьших квадратов 9

2. Системы алгебраических уравнений 28

2.1. Cистемы линейных уравнений. Метод Гаусса. 28

2.2. Разреженные системы уравнений. LU-факторизация. 36

2.3. Решение нелинейных уравнений 37

2.4. Решение систем нелинейных уравнений 40

2.5. Дифференциальные уравнения. 44

2. Методы поиска экстремума. Оптимизация. 28

2.1. Методы поиска экстремума . 36

2.2. Пассивный поиск 28

2.3. Последовательный поиск 36

2.4. Многомерная оптимизация 37

Список литературы 47

Аппроксимация нелинейных характеристик. Интерполяция.

1.1. Полиномы Ньютона и Лагранжа.

При решении многих задач возникает необходимость в замене функции f, о которой имеется неполная информация или форма которой слишком сложна, более простой и удобной функцией F, близкой в том или ином смысле к f, дающей её приближённое представление. Для аппроксимации (приближения) используются функции F, принадлежащие определённому классу, например, алгебраические полиномы заданной степени. Существует много разных вариантов задачи о приближении функции, зависящих от того, какие функции f аппроксимируются, какие функции F используются для аппроксимации, как понимается близость функций f и F и т.д.

Одним из методов построения приближённых функций является интерполирование, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполяции) совпадали значения исходной функции f и аппроксимирующей функции F. В более общем случае должны совпадать значения производных в заданных точках.

Интерполирование функций используется для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще; для приближённого восстановления функции по её значениям в отдельных точках; для численного дифференцирования и интегрирования функций; для численного решения нелинейных и дифференциальных уравнений и т.д.

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. Для некоторой функции на отрезке заданы n+1 значений в точках , которые называются узлами интерполяции. При этом . Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x):

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), … , F(x n) = f(x n)

Геометрически это означает нахождение кривой определённого типа, проходящей через заданную систему точек (x i , y i), i = 0,1,…,n.

Если значения аргумента выходят за область , то говорят об экстраполировании – продолжении функции за область её определения.

Наиболее часто функция F(x) строится в виде алгебраического полинома . Существует несколько представлений алгебраических интерполяционных полиномов.

Один из методов интерполирования функций, которая принимает в точках значения - это построение полинома Лагранжа, который имеет следующий вид:

Степень интерполяционного полинома, проходящего через n+1 узлов интерполяции, равна n.

Из вида полинома Лагранжа следует, что добавление новой узловой точки приводит к изменению всех членов полинома. В этом состоит неудобство формулы Лагранжа. Зато метод Лагранжа содержит минимальное количество арифметических действий.

Для построения полиномов Лагранжа возрастающих степеней может быть применена следующая итерационная схема (схема Эйткена).

Полиномы, проходящие через две точки (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n), могут быть представлены таким образом:

Полиномы, проходящие через три точки (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), могут быть выражены через полиномы L ij и L jk:

Полиномы для четырёх точек (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k) , (x l , y l) строятся из полиномов L ijk и L jkl:

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен полином, проходящий через n заданных точек.

Алгоритм вычисления значения полинома Лагранжа в точке XX, реализующий схему Эйткена, может быть записан с помощью оператора:

for (int i=0;i

for (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

его воспримет как ошибку – повторное объявление переменной,

переменная i уже была объявлена

for (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

где массив F – это промежуточные значения полинома Лагранжа. Первоначально следует положить F[I] равными y i . После выполнения циклов F[N] – это значение полинома Лагранжа степени N в точке XX.

Другой формой представления интерполяционного полинома являются формулы Ньютона. Пусть - равноотстоящие узлы интерполяции; i=0,1,…,n ; - шаг интерполяции.

1-я интерполяционная формула Ньютона, которая используется для интерполирования «вперёд», имеет вид:

Называется (конечными) разностями i-го порядка. Они определяются так:

Нормированный аргумент.

При интерполяционная формула Ньютона превращается в ряд Тейлора.

2-я интерполяционная формула Ньютона используется для интерполирования «назад»:

В последней записи вместо разностей (называемых разностями «вперёд») употребляются разности «назад» :

В случае неравноотстоящих узлов рассматриваются т.н. разделённые разности

При этом интерполяционный многочлен в форме Ньютона имеет вид

В отличие от формулы Лагранжа прибавление новой пары значений. (x n +1 , y n +1) сводится здесь к прибавлению одного нового члена. Поэтому число узлов интерполяции может быть легко увеличено без повторения всего вычисления. Это позволяет оценить точность интерполирования. Однако формулы Ньютона требуют большее количество арифметических действий, чем формулы Лагранжа.

При n=1 получаем формулу линейного интерполирования:

При n=2 будем иметь формулу параболического интерполирования:

При интерполировании функций алгебраические полиномы высокой степени применяются редко из-за значительных вычислительных затрат и больших погрешностей при вычислении значений.

На практике чаще всего используют кусочно-линейное или кусочно-параболическое интерполирование.

При кусочно-линейном интерполировании функция f(x) на интервале (i=0,1,…,n-1) аппроксимируется отрезком прямой

Алгоритм вычисления, реализующий кусочно-линейное интерполирование, может быть записан с помощью оператора:

for (int i=0;i

if ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

С помощью первого цикла ищем, где находится искомая точка.

При кусочно-параболическом интерполировании полином строится по 3-м узловым точкам, ближайшим к заданному значению аргумента.

Алгоритм вычисления, реализующий кусочно-параболическое интерполирование, может быть записан с помощью оператора:

for (int i=0;i

y0=Fy;При i=0 элемент не существует!

x0=Fx; То же самое

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1)/(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Применение интерполирования не всегда целесообразно. При обработке экспериментальных данных желательно производить сглаживание функции. Аппроксимация экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов исходит из требования минимизации среднеквадратичной ошибки

Коэффициенты аппроксимирующего полинома находятся из решения системы m+1 линейных уравнений, т.н. «нормальных» уравнений , k=0,1,…,m

Кроме алгебраических полиномов для аппроксимации функций широко используются тригонометрические полиномы

(см. «численный гармонический анализ»).

Эффективным аппаратом приближения функции являются сплайны. Для сплайна требуется совпадение его значений и производных в узловых точках с интерполируемой функцией f(x) и её производными до некоторого порядка. Однако построение сплайнов в ряде случаев требует значительных вычислительных затрат.

1 | | | | | | | | | | | |

Пусть в результате измерений в процессе опыта получено табличное задание некоторой функции f(х), выражающей связь между двумя географическими параметрами:

х	x 1	х 2	…	x n
f(x)	y 1	у 2	…	y n

Конечно, можно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически, применив метод интерполяции. Однако, совпадение значений полученного аналитического задания функции в узлах интерполяции с имеющимися эмпирическими данными часто может вовсе не означать совпадение характеров поведения исходной и интерполирующей функции на всем интервале наблюдения. Кроме того, табличная зависимость географических показателей всегда получается в результате измерений различными приборами, имеющими определенную и не всегда достаточно малую погрешность измерения. Требование точного совпадения значений приближающей и приближаемой функций в узлах является тем более неоправданным, если значения функции f(х), полученные в результате измерений уже сами являются приближенными.

Задача аппроксимации функции одной переменной с самого начала обязательно учитывает характер поведения исходной функции на всем интервале наблюдений. Формулировка задачи выглядит следующим образом. Функция у= f(х) задана таблицей (1). Необходимо найти функцию заданного вида:

которая в точках x 1 , x 2 , …, x n принимает значения, как можно более близкие к табличным y 1 , y 2 , …, y n .

На практике вид приближающей функции чаще всего определяют путем сравнения вида приближенно построенного графика функции у= f(х) с графиками известных исследователю функций, заданных аналитически (чаще всего простых по виду элементарных функций). А именно, по таблице (1) строится точечный график f(x), затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По полученной таким образом кривой на качественном уровне устанавливается вид приближающей функции.

Рассмотрим рисунок 6.

На рисунке 6 изображены три ситуации:

• На графике (а) взаимосвязь х и у близка к линейной; прямая линия здесь близка к точкам наблюдений, и последние отклоняются от нее лишь в результате сравнительно небольших случайных воздействий.
• На графике (b) реальная взаимосвязь величин х и у описывается нелинейной функцией, и какую бы мы ни провели прямую линию, отклонение точек наблюдения от нее будет существенным и неслучайным. В то же время, проведенная ветка параболы достаточно хорошо отражает характер зависимости между величинами.
• На графике (с) явная взаимосвязь между переменными х и у отсутствует; какую бы мы ни выбрали формулу связи, результаты ее параметризации будут здесь неудачными. В частности, обе выбранные прямые одинаково плохи для того, чтобы делать выводы об ожидаемых значениях переменной у по значениям переменной х .

Следует заметить, что строгая функциональная зависимость для таблицы исходных данных наблюдается редко, ибо каждая из участвующих в ней величин может зависеть от многих случайных факторов. Однако формула (2) (ее называют эмпирической формулой или уравнением регрессии у на х ) интересна тем, что позволяет находить значения функции f для нетабличных значений х , "сглаживая" результаты измерений величины у , т.е. на всем интервале изменения х . Оправданность такого подхода определяется в конечном счете практической полезностью полученной формулы.

Через имеющееся "облако" точек всегда можно попытаться провести линию установленного вида, которая является наилучшей в определенном смысле среди всех линий данного вида, то есть "ближайшей" к точкам наблюдений по их совокупности. Для этого определим вначале понятие близости линии к некоторому множеству точек на плоскости. Меры такой близости могут быть различными . Однако, любая разумная мера должна быть, очевидно, связана с расстоянием от точек наблюдения до рассматриваемой линии (задаваемой уравнением y=F(x) ).

Предположим, что приближающая функция F(x) в точках х 1 , x 2 , ..., x n имеет значения y 1 , y 2 , ..., y n . Часто в качестве критерия близости используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной y i и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии значений y i . Здесь считается, что y i и x i - известные данные наблюдений, а F - уравнение линии регрессии с неизвестными параметрами (формулы для их вычисления будут приведены ниже). Метод оценивания параметров приближающей функции, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от значений искомой функции, называется методом наименьших квадратов (МНК) или Least Squares Method (LS).

Итак, задачу приближения функции f теперь можно сформулировать следующим образом: для функции f , заданной таблицей (1), найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов Ф была наименьшей.

Рассмотрим метод нахождения приближающей функции в общем виде на примере аппроксимирующей функции с тремя параметрами:

(3)

Пусть F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Сумма квадратов разностей соответствующих значений f и F будет иметь вид:

Эта сумма является функцией Ф(а, b, c) трех переменных (параметров a, b и c ). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:

Получаем систему для определения неизвестных параметров a, b, c.

(5)

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b, c, мы и получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, а выразится лишь в изменении количества уравнений в системе (5).

Естественно ожидать, что значения найденной функции F(x, a, b, c) в точках х 1 , x 2 , ..., x n , будут отличаться от табличных значений y 1 , y 2 , ..., y n . Значения разностей y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) называются отклонениями измеренных значений y от вычисленных по формуле (3). Для найденной эмпирической формулы (2) в соответствии с исходной таблицей (1) можно, следовательно найти

сумму квадратов отклонений , которая в соответствии с методом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции (и найденных значений параметров) должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, следуя методу наименьших квадратов, лучшим нужно считать то, для которого сумма (4) имеет наименьшее значение.

В экспериментальной практике в качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика f часто используются приближающие функции с двумя параметрами:

Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в практических исследованиях эмпирические зависимости.

3.3.1. Линейная функция (линейная регрессия). Начальным пунктом анализа зависимостей обычно является оценка линейной зависимости переменных. Следует при этом учитывать, однако, что "наилучшая" по методу наименьших квадратов прямая линия всегда существует, но даже наилучшая не всегда является достаточно хорошей. Если в действительности зависимость y=f(x) является квадратичной, то ее не сможет адекватно описать никакая линейная функция, хотя среди всех таких функций обязательно найдется "наилучшая". Если величины х и у вообще не связаны, мы также всегда сможем найти "наилучшую" линейную функцию y=ax+b для данной совокупности наблюдений, но в этом случае конкретные значения а и b определяются только случайными отклонениями переменных и сами будут очень сильно меняться для различных выборок из одной и той же генеральной совокупности.

Рассмотрим теперь задачу оценки коэффициентов линейной регрессии более формально. Предположим, что связь между x и y линейна и искомую приближающую функцию будем искать в виде:

Найдем частные производные по параметрам:

Подставим полученные соотношения в систему вида (5):

или, деля каждое уравнение на n:

Введем обозначения:

(7)

Тогда последняя система будет иметь вид:

(8)

Коэффициенты этой системы M x , M y , M xy , M x 2 - числа, которые в каждой конкретной задаче приближения могут быть легко вычислены по формулам (7), где x i , y i - значения из таблицы (1). Решив систему (8), получим значения параметров a и b , а следовательно, и конкретный вид линейной функции (6).

Необходимым условием для выбора линейной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение :

3.3.2. Квадратичная функция (квадратичная регрессия). Будем искать приближающую функцию в виде квадратного трехчлена:

Находим частные производные:

Составим систему вида (5):

После несложных преобразований получается система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b, c . Коэффициенты системы, так же как и в случае линейной функции, выражаются только через известные данные из таблицы (1):

(10)

Здесь использованы обозначения (7), а также

Решение системы (10) дает значение параметров a, b и с для приближающей функции (9).

Квадратичная регрессия применяется, если все выражения вида у 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 и т.д. мало отличаются друг от друга.

3.3.3. Степенная функция (геометрическая регрессия).Найдем теперь приближающую функция в виде:

(11)

Предполагая, что в исходной таблице (1) значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (11) при условии а>0 :

Так как функция F является приближающей для функции f , функция lnF будет приближающей для функции lnf . Введем новую переменную u=lnx ; тогда, как следует из (12), lnF будет функцией от u : Ф(u) .

Обозначим

Теперь равенство (12) принимает вид:

т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной. Практически для нахождения искомой приближающей функции в виде степенной (при сделанных выше предположениях) необходимо проделать следующее:

1. по данной таблице (1) составить новую таблицу, прологарифмировав значения x и y в исходной таблице;

2. по новой таблице найти параметры А и В приближающей функции вида (14);

3. использовав обозначения (13), найти значения параметров a и m и подставить их в выражение (11).

Необходимым условием для выбора степенной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение :

3.3.4. Показательная функция. Пусть исходная таблица (1) такова, что приближающую функцию целесообразно искать в виде показательной функции:

Прологарифмируем равенство (15):

(16)

Приняв обозначения (13), перепишем (16) в виде:

(17)

Таким образом, для нахождения приближающей функции в виде (15) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице (1) и, рассматривая их совместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы приближающую функцию вида (17). Вслед за этим в соответствии с обозначениями (13) остается получить значения искомых параметров a и b и подставить их в формулу (15).

Необходимым условием для выбора показательной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение :

.

3.3.5. Дробно-линейная функция. Будем искать приближающую функцию в виде:

(18)

Равенство (18) перепишем следующим образом:

Из последнего равенства следует, что для нахождения значений параметров a и b по заданной таблице (1) нужно составить новую таблицу, у которой значения аргумента оставить прежними, а значения функции заменить обратными числами, после чего для полученной таблицы найти приближающую функцию вида ax+b . Найденные значения параметров a и b подставить в формулу (18).

Необходимым условием для выбора дробно-линейной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение :

.

3.3.6. Логарифмическая функция. Пусть приближающая функция имеет вид:

Легко видеть, что для перехода к линейной функции достаточно сделать подстановку lnx=u . Отсюда следует, что для нахождения значений a и b нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице (1) и, рассматривая полученные значения в совокупности с исходными значениями функции, найти для полученной таким образом новой таблицы приближающую функцию в виде линейной. Коэффициенты a и b найденной функции подставить в формулу (19).

Необходимым условием для выбора логарифмической функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение :

.

3.3.7. Гипербола. Если точечный график, построенный по таблице (1), дает ветвь гиперболы, приближающую функцию можно искать в виде.