Një metodë e përgjithshme për studimin e qëndrueshmërisë së sistemeve jolineare është metoda e drejtpërdrejtë Lyapunov. Ai bazohet në teoremën e Lyapunovit mbi qëndrueshmërinë e sistemeve jolineare. Si aparat hulumtues përdoret i ashtuquajturi funksion Lyapunov, i cili është një funksion i caktuar me shenjë i koordinatave të sistemit, i cili gjithashtu ka një derivat të caktuar me shenjë në lidhje me kohën. Zbatimi i kësaj metode është i kufizuar nga kompleksiteti i saj.

Një metodë më e thjeshtë për llogaritjen e qëndrueshmërisë së sistemeve jolineare është metoda e zhvilluar nga shkencëtari rumun V. M. Popov. Megjithatë, është i përshtatshëm për disa raste të veçanta.

Proceset në një sistem jolinear mund të studiohen në bazë të përafrimit linear pjesë-pjesë. Në këtë rast, karakteristikat jolineare të lidhjeve individuale ndahen në një numër seksionesh lineare, brenda të cilave problemi rezulton të jetë linear dhe mund të zgjidhet mjaft thjesht. Në kufijtë e seksioneve është e nevojshme të "qepni" pjesë individuale të procesit në një proces të vetëm. Metoda mund të përdoret nëse numri i seksioneve në të cilat ndahet karakteristika jolineare është i vogël. Ky është rasti, për shembull, për karakteristikat e stafetës (shih Fig. 5.1). Me një numër të madh seksionesh, metoda rezulton të jetë shumë e rëndë. Sidoqoftë, përdorimi i një kompjuteri bën të mundur tejkalimin e kësaj vështirësie dhe llogaritjen me sukses të proceseve në sistemet jolineare për çdo karakteristikë jolineare dhe, në përgjithësi, në prani të varësive jolineare të një lloji arbitrar.

Metoda e hapësirës së fazës, në parim, lejon që të studiohen sistemet me jolinearitete të llojeve arbitrare, si dhe me disa jolinearitete. Në këtë rast, në hapësirën fazore ndërtohet i ashtuquajturi portret fazor i proceseve që ndodhin (në një sistem jolinear).Nga pamja e portretit fazor mund të gjykohet qëndrueshmëria, mundësia e shfaqjes së vetë- lëkundjet dhe saktësia në gjendje të qëndrueshme.Megjithatë dimensioni i hapësirës së fazës është i barabartë me rendin e ekuacionit diferencial të sistemit jolinear.Kjo e bën të vështirë përdorimin e metodës për studimin e sistemeve të përshkruara nga një ekuacion diferencial më i lartë se i dyti. Në rastin e një ekuacioni diferencial të rendit të dytë, hapësira e fazës është një plan fazor dhe kjo metodë mund të zbatohet me sukses.

Për të analizuar proceset e rastësishme në sistemet automatike jolineare, mund të përdorni aparatin matematikor të teorisë së proceseve të rastësishme Markov. Megjithatë, kompleksiteti i metodës dhe mundësia

zgjidhja e ekuacionit Fokker-Planck, i cili kërkohet në analizë, vetëm për ekuacionet e rendit të parë dhe në disa raste të rendit të dytë, kufizon përdorimin e tij.

Të gjitha metodat e listuara janë të sakta. Kompleksiteti dhe aplikimi i kufizuar i tyre çuan në zhvillimin e metodave të përafërta, por më të thjeshta për studimin e sistemeve jolineare. Metodat e përafërta bëjnë të mundur që në shumë raste të merren thjesht rezultate transparente dhe lehtësisht të dukshme të analizës së sistemeve jolineare. Trajektoret e fazës në zonë - a< x < a представляют собой прямые с коэффициентом наклона -1/Т 1 при различных значениях начальных условий.

Vendosim shigjeta në vija të drejta në mënyrë që lëvizja përfundimtare të priret në origjinën e koordinatave.

Le x > a, . Në këtë rast, sistemi origjinal i ekuacioneve jolineare ka formën

(27)

ku c i është një familje izoklinash, të cilat janë drejtëza paralele me boshtin x, d.m.th. , ku përcaktohet nga shprehja për

. (28)

Kështu

. (29)

Duke pasur parasysh vlerat e , ne ndërtojmë një familje izoklinash. Këndet e kryqëzimit të izoklinave i përcaktojmë sipas trajektoreve fazore.

Sepse . Për shembull, nëse , atëherë a = 90°.

Le X< – a, . Ne e kryejmë ndërtimin në mënyrë të ngjashme, pasi shenja ka ndryshuar, do të ketë kënde të ndryshme të kryqëzimit të izoklinave me trajektoren e fazës. Portreti fazor i sistemit është paraqitur në Fig. 15.

Oriz. 14 Fig. 15

Le të heqim thjeshtimin K = 0, d.m.th. Le të shqyrtojmë ndikimin e reagimeve negative në shpejtësinë e motorit në natyrën e trajektores së fazës.

Në këtë rast, ekuacionet duken si:

(30)

Le , në këtë rast ndërrimi do të ndodhë sipas kushtit (dhe jo kushti x = a), ky është ekuacioni i drejtëzës (Fig. 16)

Në të njëjtën kohë, numri i tejkalimeve zvogëlohet; ju mund të zgjidhni një pjerrësi në të cilën nuk ka luhatje.

Le të shqyrtojmë një portret fazor pa kufizime. Në një sistem pa kufizime, portreti fazor mund të përfaqësohet në një sipërfaqe me tre fletë me skaje të pjerrëta (Fig. 17.) Në këtë rast, fleta 2 korrespondon me zonën e vdekur z = 0, fleta 1 korrespondon me vlerat negative z, dhe fleta 3 është pozitive. Për shkak të histerezës, ndodh mbivendosja e pjesshme e fletëve.

Oriz. 16 Fig. 17

Le të eksplorojmë sistemin. Le të studiojmë ndikimin e reagimeve negative në shpejtësinë e motorit (d.m.th. ndikimi i vlerës - K). Le të rritet vlera e K, ndërsa pjerrësia e vijave të ulet, dhe mund të rezultojë se prerja do të jetë më e sheshtë se pjerrësia e karakteristikës në pjesën e mesme. Kjo çon në ndërrim të shpeshtë. Kjo mënyrë quhet rrëshqitje. Nëse zona është shumë e ngushtë, atëherë lëvizja duket se rrëshqet në gjendjen e qëndrueshme (Fig. 18a).

Nëse ndryshoni shenjën e reagimit nga një lidhje negative në një lidhje pozitive, atëherë pjerrësia e linjave të kalimit do të ndryshojë dhe numri i lëkundjeve do të rritet, sistemi do të "lëkundet". Sistemi funksionon si një gjenerator dhe mund të shfaqet ose një cikël i mbyllur - vetë-lëkundje - ose një proces kalimtar divergjent (Fig. 18b).

Përparësitë e metodës: thjeshtësi dhe qartësi për sistemet e rendit të dytë; I përshtatshëm për çdo lloj elementi jolinearë.

Të metat: metoda është e rëndë për sistemet mbi rendin e dytë, prandaj nuk përdoret për n > 2.

Le të shqyrtojmë disa shembuj të ndërtimit të portreteve fazore të sistemeve të kontrollit jolinear

Shembulli 1. Le të jepet një sistem, i përbërë nga një pjesë lineare dhe një element jolinear (përforcues me kufizim moduli) (Fig. 19). Ky është një sistem linear pjesë-pjesë, pasi në seksione të caktuara ai sillet si një linear (në rajon) - a, +a[). Le të supozojmë se në rajonin (] – а, +а[) fitimi është i madh dhe sistemi është i paqëndrueshëm, dhe portreti i fazës karakterizohet nga një pikë e veçantë "fokus i paqëndrueshëm". Jashtë rajonit, fitimi është i vogël; le të supozojmë se sistemi është i qëndrueshëm dhe karakterizohet nga një pikë e veçantë - një "fokus i qëndrueshëm".

Për devijime të mëdha x > |a| fitimi i përgjithshëm i sistemit është i vogël, sistemi është i qëndrueshëm, procesi prishet.

Për devijime të vogla, fitimi i përgjithshëm i sistemit është i madh - procesi divergjent në një trajektore të mbyllur, e cila karakterizon praninë e vetë-lëkundjeve të qëndrueshme (Fig. 20).

Ekzistojnë tre lloje lëvizjesh në këtë sistem: vetëlëkundjet; lëkundjet konvergjente; dridhje divergjente

Shembulli 2. Le të jepet një sistem me një karakteristikë të një lidhjeje jolineare të tipit "zona e vdekur" (Fig. 21). Është e nevojshme të ndërtohet një fazë

portreti i një sistemi të caktuar, përcaktoni praninë e cikleve kufi dhe analizoni qëndrueshmërinë e tyre.

Le të ndërtojmë një portret fazor

1) Kur – a< x < +a f(x) = 0, а система уравнений имеет вид

Portreti fazor në këtë zonë përfaqëson një familje vijash të drejta me koeficient k = -1, dhe gjendja e ekuilibrit është e qëndrueshme Lyapunov dhe përfaqëson një segment të boshtit y = 0 në intervalin - a

2) Për x > +a f(x) = x – a, dhe sistemi i ekuacioneve ka formën

dhe këndi i prerjes së izoklinës me trajektoren fazore sipas formulës a = arctan c, rezultatet janë dhënë në tabelat 1 dhe 2.

Tabela 1

tabela 2

3) Në x< – a f(x) = x + a, а система уравнений имеет вид

Shembulli 4. Për një sistem të caktuar (Fig. 26), ndërtoni një portret të përafërt fazor.

Diagrami origjinal mund të paraqitet si (Fig. 27).

Le të ndërtojmë një portret fazor.

1) Në –1< x < +1 f(x) = x, а система уравнений имеет вид

Për çdo c i, ne përcaktojmë koeficientin e pjerrësisë këndore të izoklinës – k duke përdorur formulën

2) Për x > +1 f(x) = 1, dhe sistemi i ekuacioneve ka formën

Për çdo c i, ne përcaktojmë koeficientin e pjerrësisë këndore të izoklinës – k duke përdorur formulën dhe këndi i prerjes së izoklinës me trajektoren fazore sipas formulës a = arctan c.

3) Në x< -1 f(x) = -1.

Pjesa e majtë e portretit fazor është ndërtuar në mënyrë të ngjashme me të djathtën.

Letërsia

1. Atabekov G.I., Timofeev A.B., Kupalyan S.D., Khukhrikov S.S. Bazat teorike të inxhinierisë elektrike (TOE). Qarqet elektrike jolineare. Fusha elektromagnetike. Ed. 5. Shtëpia botuese: LAN, 2005. – 432 f.

2. Gavrilov Qarqet jolineare në programet e modelimit të qarkut. Shtëpia botuese: SOLON-PRESS, 2002. – 368 f.

3. Dorf R., Peshkopi R. Automatizimi. Sistemet moderne të kontrollit. 2002 – 832 f.

4. Teoria e kontrollit automatik. Libër mësuesi për universitetet për qëllime të veçanta "Automatizimi dhe telemekanika". Në 2 orë / N.A. Babakov, A.A. Voronov et al.: Ed. A.A. Voronova. – Botimi i 2-të, i rishikuar. dhe shtesë - M.: Më e lartë. shkollë, 1986. – 367 f., ill.

5. Kharazov V.G. Sistemet e integruara të kontrollit të procesit: Manual. Botues: PROFESSIYA, PUBLISHING ESTATE, 2009. – 550 f.

Artikulli:

"Teoria e kontrollit automatik"

Tema:

"Metodat për studimin e sistemeve jolineare"

1. Metoda e ekuacioneve diferenciale

Ekuacioni diferencial i një sistemi të mbyllur jolinear të rendit të n-të (Fig. 1) mund të shndërrohet në një sistem n-ekuacionesh diferenciale të rendit të parë në formën:

ku: – variablat që karakterizojnë sjelljen e sistemit (njëri prej tyre mund të jetë një variabël i kontrolluar); – funksionet jolineare; u – ndikimi i vendosjes.

Në mënyrë tipike, këto ekuacione shkruhen në diferenca të fundme:

,

ku janë kushtet fillestare.

Nëse devijimet

jo i madh, atëherë ky sistem mund të zgjidhet si një sistem ekuacionesh algjebrike. Zgjidhja mund të paraqitet grafikisht.

2. Metoda e hapësirës së fazës

Le të shqyrtojmë rastin kur ndikimi i jashtëm është zero (U = 0).

Lëvizja e sistemit përcaktohet nga një ndryshim në koordinatat e tij -

në funksion të kohës. Vlerat në çdo kohë karakterizojnë gjendjen (fazën) e sistemit dhe përcaktojnë koordinatat e sistemit me boshte n dhe mund të përfaqësohen si koordinatat e disa pikave (përfaqësuese) M (Fig. 2).

Hapësira e fazës quhet hapësira koordinative e sistemit.

Ndërsa koha t ndryshon, pika M lëviz përgjatë një trajektoreje të quajtur trajektorja e fazës. Nëse ndryshojmë kushtet fillestare, marrim një familje të trajektoreve fazore të quajtura portret fazor. Portreti fazor përcakton natyrën e procesit të tranzicionit në një sistem jolinear. Portreti fazor ka pika të veçanta në të cilat trajektoret fazore të sistemit priren ose largohen (mund të ketë disa prej tyre).

Portreti fazor mund të përmbajë trajektore fazore të mbyllura, të cilat quhen ciklet kufizuese. Ciklet kufitare karakterizojnë vetë-lëkundjet në sistem. Trajektoret e fazës nuk kryqëzohen askund, përveç pikave të veçanta që karakterizojnë gjendjet e ekuilibrit të sistemit. Ciklet kufitare dhe gjendjet e ekuilibrit mund të jenë të qëndrueshme ose të paqëndrueshme.

Portreti fazor karakterizon plotësisht sistemin jolinear. Një tipar karakteristik i sistemeve jolineare është prania e llojeve të ndryshme të lëvizjeve, disa gjendje ekuilibri dhe prania e cikleve kufitare.

Metoda e hapësirës fazore është një metodë themelore për studimin e sistemeve jolineare. Është shumë më e lehtë dhe më e përshtatshme të studiohen sistemet jolineare në planin fazor sesa të vizatohen proceset kalimtare në domenin e kohës.

Ndërtimet gjeometrike në hapësirë ​​janë më pak vizuale sesa ndërtimet në një plan, kur sistemi është i rendit të dytë dhe përdoret metoda e planit fazor.

Zbatimi i metodës së planit fazor për sistemet lineare

Le të analizojmë marrëdhënien midis natyrës së procesit të tranzicionit dhe kthesave të trajektoreve fazore. Trajektoret e fazës mund të përftohen ose duke integruar ekuacionin e trajektores së fazës ose duke zgjidhur ekuacionin diferencial origjinal të rendit të dytë.

Le të jepet sistemi (Fig. 3).

Le të shqyrtojmë lëvizjen e lirë të sistemit. Për më tepër: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Në përgjithësi, ekuacioni diferencial ka formën

Ku (1)

Ky është një ekuacion diferencial homogjen i rendit të dytë; ekuacioni i tij karakteristik është i barabartë me

. (2)

Rrënjët e ekuacionit karakteristik përcaktohen nga relacionet

(3)

Le të paraqesim një ekuacion diferencial të rendit të dytë në formën e një sistemi

Ekuacionet e rendit të parë:

(4) shkalla e ndryshimit të ndryshores së kontrolluar.

Në sistemin linear në shqyrtim, variablat x dhe y përfaqësojnë koordinatat e fazës. Portretin fazor e ndërtojmë në hapësirën e koordinatave x dhe y, d.m.th. në planin fazor.

Nëse e përjashtojmë kohën nga ekuacioni (1), marrim ekuacionin e kthesave integrale ose trajektoreve fazore.

. (5)

Ky është një ekuacion i ndashëm

. (6)

Le të shqyrtojmë disa raste

1. Le të kenë formën rrënjët e ekuacionit karakteristik (3).

(ato. ). (7)

Në këtë rast, procesi i tranzicionit përshkruhet nga ekuacionet

x = Një mëkat (wt+j), (8)

y = Aw cos (wt+j),

ato. paraqet lëkundje të pamposhtura me amplitudë konstante A dhe fazë fillestare – j.

Në rrafshin fazor (Fig. 4), këto ekuacione janë ekuacione parametrike të një elipsi me gjysmëboshte A dhe wA (ku A është konstanta e integrimit).

Nëse caktojmë

Ekuacioni i elipsit mund të merret duke zgjidhur ekuacionin e trajektoreve fazore

(9)

Gjendja e ekuilibrit përcaktohet nga kushti

,

në këtë rast x 0 = y 0 = 0.

Pika e vetme quhet "qendër" dhe korrespondon me ekuilibrin e qëndrueshëm, pasi trajektoret e fazës nuk largohen prej saj.

2. Le të kenë formën rrënjët e ekuacionit karakteristik (3).

(10)

Në këtë rast, procesi i tranzicionit përshkruhet nga ekuacionet:

Nga ekuacioni i trajektoreve fazore

marrim ekuacionin

Ky është një ekuacion i një familjeje hiperbolash kur A ndryshon (Fig. 5).

Të gjitha metodat inxhinierike për studimin e sistemeve jolineare ndahen në dy grupe kryesore: të sakta dhe të përafërta. Metodat e sakta përfshijnë metodën A.M. Lyapunov, metodën e planit fazor, metodën e transformimit të pikës dhe metodën e frekuencës V.M. Popov. Metodat e përafërta bazohen në linearizimin e ekuacioneve të sistemit jolinear duke përdorur linearizimin harmonik ose statistikor. Në praktikë, përdoret një kombinim i metodave të ndryshme. Duhet të theksohet se në të ardhmen e parashikueshme ka nevojë për zhvillim të mëtejshëm të teorisë dhe praktikës së sistemeve jolineare.

Le të shqyrtojmë metodat e mëposhtme për analizimin e sistemeve jolineare:

1) Metoda e planit fazor. Përdoret për të studiuar sistemet jolineare të përshkruara nga ekuacionet diferenciale të rendit të parë dhe të dytë. Ai konsiston në ndërtimin dhe studimin e portretit fazor të sistemit në koordinatat e sasisë në studim dhe derivatit të saj.

Le të shqyrtojmë rastin kur ndikimi i jashtëm është zero (U = 0). Lëvizja e sistemit përcaktohet nga një ndryshim në koordinatat e tij - X i në funksion të kohës. vlerat X i në çdo moment në kohë karakterizon gjendjen (fazën) e sistemit dhe përcakton koordinatat e sistemit që ka n - boshte dhe mund të paraqitet si koordinata të disa pikave (paraqitëse) M (Fig. 10).

Figura 10

Hapësira e fazës është hapësira koordinative e sistemit.

Me ndryshimin e kohës t, pika M lëviz përgjatë një trajektore të quajtur trajektore fazore. Nëse ndryshojmë kushtet fillestare, marrim një familje trajektoresh fazore të quajtura një portret fazor. Portreti fazor përcakton natyrën e procesit të tranzicionit në një sistem jolinear. Portreti fazor ka pika të veçanta në të cilat trajektoret fazore të sistemit priren ose largohen (mund të ketë disa prej tyre).

Portreti fazor mund të përmbajë trajektore të mbyllura fazore, të cilat quhen cikle kufitare. Ciklet kufitare karakterizojnë vetë-lëkundjet në sistem. Trajektoret e fazës nuk kryqëzohen askund, përveç pikave të veçanta që karakterizojnë gjendjet e ekuilibrit të sistemit. Ciklet kufitare dhe gjendjet e ekuilibrit mund të jenë të qëndrueshme ose të paqëndrueshme.

Portreti fazor karakterizon plotësisht sistemin jolinear. Një tipar karakteristik i sistemeve jolineare është prania e llojeve të ndryshme të lëvizjeve, disa gjendje ekuilibri dhe prania e cikleve kufitare.

Shembull

Vizatoni trajektoret fazore për një sistem jolinear me tre jolinearitete të ndryshme - një stafetë me dy pozicione, një stafetë me tre pozicione me një brez të vdekur (±0,2) dhe një stafetë me dy pozicione me histerezë (±0,1), nëse pjesa lineare ka një funksioni i transferimit

Zgjidhje

Në përputhje me detyrën, modeli i një sistemi jolinear mund të paraqitet në formën e Fig. 11.

Për të gjitha jolinearitetet, ne e pranojmë vlerën e sinjalit në daljen e stafetës si ±2.

Figura 11 - Modeli i sistemit të kontrollit automatik jolinear

Pastaj ekuacionet e gjendjes do të shkruhen në formë

Duke pjesëtuar të dytën e ekuacioneve me të parën, marrim ekuacionin e trajektores së fazës

Në varësi të cilës anë të linjës së ndërrimit të stafetës ndodhet pika e përfaqësimit, zgjidhjet e ekuacionit diferencial do të jenë si më poshtë:

në të djathtë të linjës komutuese për x1 > 0 x 1 = 4 ln |x 2 + 10| - 0,4x 2 + c 1 ;

në të majtë të linjës ndërruese në x1< 0 x 1 = 4 ln |x 2 - 10| - 0,4x 2 + c 2 ;

për një stafetë me tre pozicione, lëvizja e pikës përfaqësuese brenda zonës së vdekur është -0.2

ku с 1, с 2 dhe с 3 janë konstante integrimi në varësi të kushteve fillestare.

Në Fig. Figura 9 tregon trajektoret fazore të një sistemi kontrolli automatik jolinear me elementë të ndryshëm jolinearë. Montimi ose qepja e seksioneve të trajektoreve fazore ndodh përgjatë linjave të kalimit.

Figura 12 - Trajektoret fazore të sistemeve rele

Duke analizuar trajektoret e fazës, mund të nxirren përfundimet e mëposhtme:

1. në kushtet e dhëna fillestare, të gjitha sistemet janë të qëndrueshme. Për më tepër, sistemet me reletë me dy pozicione janë të qëndrueshme "në masë";

2. Sistemet me rele me dy pozicione shfaqin lëkundje të qëndrueshme. Abshisa e ciklit kufitar përcakton amplituda e lëkundjeve A o dhe frekuenca mund të përcaktohet nga ordinata e ciklit kufitar A o ω o;

3. Një sistem me një stafetë me tre pozicione me një zonë të vdekur ka një "segment të veçantë". Pas kalimit përmes procesit kalimtar, sistemi mund të marrë çdo vlerë brenda zonës së vdekur, siç tregohet në Fig. 9.

Kështu, metoda e hapësirës fazore është një metodë themelore për studimin e sistemeve jolineare. Është shumë më e lehtë dhe më e përshtatshme të studiohen sistemet jolineare në planin fazor sesa të vizatohen proceset kalimtare në domenin e kohës.

Ndërtimet gjeometrike në hapësirë ​​janë më pak vizuale sesa ndërtimet në një plan, kur sistemi është i rendit të dytë dhe përdoret metoda e planit fazor.

2) Metoda e linearizimit harmonik.

Ideja e metodës së linearizimit harmonik i përket N.M. Krylov dhe N.N. Bogolyubov dhe bazohet në zëvendësimin e një elementi jolinear të sistemit me një lidhje lineare, parametrat e së cilës përcaktohen nën një veprim të hyrjes harmonike nga kushti i barazisë së amplitudave të harmonikave të para në daljen e elementit jolinear dhe lidhjen ekuivalente lineare. Metoda është e përafërt dhe mund të përdoret vetëm në rastin kur pjesa lineare e sistemit është një filtër me kalim të ulët, d.m.th. filtron të gjithë komponentët harmonikë që dalin në daljen e një elementi jolinear, me përjashtim të harmonikës së parë. Në këtë rast, pjesa lineare mund të përshkruhet me një ekuacion diferencial të çdo rendi, dhe elementi jolinear mund të jetë ose me një vlerë ose me shumë vlera. Metoda mund të jetë efektive për llogaritjen e parametrave të lëkundjeve natyrore në një sistem; përdoret gjithashtu për të analizuar saktësinë nën ndikimin e lëvizjes harmonike.

Metoda e linearizimit harmonik bazohet në supozimin se në hyrjen e elementit jolinear zbatohet një ndikim harmonik me frekuencë ω dhe amplitudë A, d.m.th. x = А sinωt. Duke supozuar se pjesa lineare është një filtër me kalim të ulët, spektri i sinjalit të daljes së pjesës lineare është i kufizuar vetëm nga harmonika e parë e përcaktuar nga seria Fourier (ky është përafrimi i metodës, pasi harmonikat më të larta përjashtohen nga shqyrtimi ). Pastaj lidhja midis harmonikës së parë të sinjalit të daljes dhe ndikimit harmonik në hyrje të elementit jolinear paraqitet në formën e një funksioni transferimi:

Ekuacioni (1.6) quhet ekuacioni i linearizimit harmonik, dhe koeficientët q dhe q" janë koeficientët e linearizimit harmonik, në varësi të amplitudës A dhe frekuencës ω të veprimit të hyrjes. Duhet të theksohet se për koeficientët statikë me një vlerë të vetme q" (A) = 0. Duke i nënshtruar ekuacionit (1.6) transformimit të Laplace në kushte fillestare zero, i ndjekur nga zëvendësimi i operatorit p me jω (p = jω), marrim koeficientin ekuivalent të transferimit kompleks të elementit jolinear.

W ne (jω,A) = q + jq" (1.7)

Pasi të jetë kryer linearizimi harmonik, për analizën dhe sintezën e sistemeve të kontrollit automatik jolinear është e mundur të përdoren të gjitha metodat e përdorura për studimin e sistemeve lineare, duke përfshirë përdorimin e kritereve të ndryshme të stabilitetit. Kur studiohen sistemet jolineare të bazuara në metodën e linearizimit harmonik, së pari zgjidhet çështja e ekzistencës dhe qëndrueshmërisë së mënyrave periodike (vetë-lëkundëse). Nëse modaliteti periodik është i qëndrueshëm, atëherë sistemi përmban vetëlëkundje me frekuencë ω 0 dhe amplitudë A 0 . Le të shqyrtojmë një sistem jolinear që përfshin një pjesë lineare me një funksion transferimi

dhe një element jolinear me një koeficient transferimi kompleks ekuivalent (1.7). Blloku i llogaritur i sistemit jolinear merr formën e Fig. 13.

Figura 13 - Diagrami bllok i një sistemi kontrolli automatik jolinear

Për të vlerësuar mundësinë e shfaqjes së vetëlëkundjeve në një sistem jolinear duke përdorur metodën e linearizimit harmonik, është e nevojshme të gjenden kushtet e kufirit të qëndrueshmërisë, siç është bërë gjatë analizimit të qëndrueshmërisë së sistemeve lineare. Nëse pjesa lineare përshkruhet nga funksioni i transferimit (1.8) dhe elementi jolinear (1.7), atëherë ekuacioni karakteristik i sistemit të mbyllur do të ketë formën:

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (1.10)

Bazuar në kriterin e stabilitetit Mikhailov, kufiri i stabilitetit do të jetë kalimi i hodografit Mikhailov përmes origjinës. Nga shprehjet (1.10) mund të gjendet varësia e amplitudës dhe frekuencës së vetëlëkundjeve nga parametrat e sistemit, për shembull, nga koeficienti i transmetimit k i pjesës lineare të sistemit. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të merret parasysh koeficienti i transmetimit k si një vlerë e ndryshueshme në ekuacionet (1.10), d.m.th. shkruani këtë ekuacion në formën:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 ( 1.11)

ku ω o dhe A o janë frekuenca dhe amplituda e mundshme e vetëlëkundjeve.

Pastaj, duke barazuar me zero pjesët reale dhe imagjinare të ekuacionit (1.11)

ne mund të ndërtojmë një kufi stabiliteti (D-ndarje) duke përdorur parametrin k që na intereson (Fig. 11).

Figura 14 - D-ndarja e planit të parametrit K të një sistemi kontrolli automatik jolinear

Duke analizuar Fig. kushtet fillestare. Duke përdorur grafikun në Fig. 11, mund të zgjidhni koeficientin e transmetimit k, në të cilin amplituda dhe frekuenca e vetë-lëkundjeve të mundshme kanë vlera të pranueshme ose mungojnë fare.

Më shpesh në praktikë, metoda grafiko-analitike përdoret për të përcaktuar amplitudat dhe frekuencat e mundshme të vetëlëkundjeve në sistemet jolineare. Në përputhje me kriterin e qëndrueshmërisë Nyquist, lëkundjet e pamposhtura në një sistem linear ndodhin në rastin kur karakteristika e amplitudës-fazore e një sistemi me unazë të hapur kalon nëpër një pikë me koordinata . Ky kusht është edhe kushti për ekzistimin e vetëlëkundjeve në një sistem jolinear të linearizuar në mënyrë harmonike (Fig. 11), d.m.th.

1 + W lch (jω)*W ne (jω,A)=0 (1.13)

ose W lch (jω)=-1/W ne (jω,A). (1.14)

Zgjidhja e ekuacionit (1.14) në lidhje me frekuencën dhe amplituda e vetëlëkundjeve mund të merret grafikisht si pikë e prerjes së hodografit të karakteristikës së frekuencës së pjesës lineare të sistemit Wlch(jω) dhe hodografit të karakteristikës së kundërt. e pjesës jolineare -1/Wne(jω,A) (Fig. 15). Nëse këto hodografë nuk kryqëzohen, atëherë regjimi i vetëlëkundjes nuk ekziston në sistemin në studim.

Figura 15 - Hodografët e pjesëve lineare dhe jolineare të sistemit

Për qëndrueshmërinë e një modaliteti vetëlëkundës me frekuencë ω 0 dhe amplitudë A 0, kërkohet që pika në hodografin e pjesës jolineare M, që i korrespondon amplitudës së rritur A 0 +ΔA në krahasim me vlerën në pikën e kryqëzimi i hodografëve, nuk mbulohet nga hodografi i përgjigjes së frekuencës së pjesës lineare të sistemit, përndryshe vetëlëkundjet janë të paqëndrueshme. Në Fig. Figura 15 jep një shembull të vendndodhjes së hodografëve për rastin kur ekzistojnë vetëlëkundje të qëndrueshme në një sistem jolinear. Parametrat e vetëlëkundjeve në hyrje të elementit jolinear përcaktohen në pikën e kryqëzimit të hodografëve: frekuenca nga W lch (jω), dhe amplituda nga W ne -1 (A). Studimi i sistemeve jolineare është i mundur duke përdorur karakteristikat logaritmike të frekuencës (metoda shabllon). Metoda e bilancit harmonik lejon sintezën e sistemeve jolineare të kontrollit automatik për të siguruar treguesit e kërkuar të cilësisë duke ndryshuar parametrat e pjesës lineare ose të elementit jolinear.

Shembull

Përcaktoni frekuencën e mundshme të vetë-lëkundjeve kur futni një jolinearitet të paqartë në formën e një stafetë me dy pozicione në një sistem kontrolli automatik që ka një LFC të formës (Figura 16).

Figura 16 - LFC e pjesës lineare

Zgjidhje Dihet se karakteristika - 1/W ne (jω,A) e një elementi jolinear me një vlerë të vetme (rele me dy pozicione) është plotësisht e vendosur në gjysmëboshtin real negativ, prandaj a.f.h. pjesa lineare W lch (jω) mund ta presë atë vetëm në një kënd prej -180°. Frekuenca e vetëlëkundjeve të mundshme përcaktohet nga W lch (jω), dhe l.f.h. (Fig. 7.8) tregon se zhvendosja e këndit fazor -180° ndodh në një frekuencë prej ω = 300 rad/s. Kjo është frekuenca e mundshme e vetë-lëkundjeve kur futet jolineariteti i qartë në ACS.

Metoda e linearizimit harmonik përdoret për të analizuar kushtet e përkohshme të funksionimit, për të vlerësuar stabilitetin e sistemit dhe mundësinë e shfaqjes së lëkundjeve periodike.

3) Metoda e linearizimit statistikor.

Metoda bazohet në zëvendësimin e transformimit jolinear të proceseve me transformime lineare statistikisht ekuivalente. Elementi jolinear zëvendësohet nga një ekuivalent linear (Figura 17). Si rezultat i zëvendësimit, sistemi është linearizuar, gjë që lejon përdorimin e metodave për studimin e sistemeve lineare.

Zëvendësimi i një transformimi jolinear me një linear është i përafërt dhe i drejtë vetëm në disa aspekte. Prandaj, nuk ka ekuivalencë të qartë kur përdoren kritere të ndryshme.

Në veçanti, nëse jolineariteti përcaktohet nga një varësi e formës pa inerci

përdoren dy kritere ekuivalente.

Figura 17

Kriteri i parë supozon barazinë në daljen e elementit jolinear dhe ekuivalentin e tij linear të pritjeve dhe variancave matematikore të proceseve.

Kriteri i dytë është minimumi i diferencës mesatare katrore ndërmjet proceseve në dalje të elementit jolinear dhe ekuivalentit të tij linear.

Le të paraqesim procesin në hyrje dhe dalje të një elementi jolinear në formën:

ku është pritshmëria matematikore e procesit në daljen e NE;

─ komponent i rastësishëm i përqendruar.

Procesi në daljen e ekuivalentit linear paraqitet si më poshtë:

ku ─ koeficienti i transmetimit ekuivalent linear sipas pritshmërisë matematikore; ─ koeficienti i transmetimit për komponentin e rastësishëm të përqendruar.

Le të përdorim kriterin e parë të ekuivalencës:

Nga këto ekuacione gjejmë

ku është dendësia e probabilitetit të procesit në hyrje të elementit jolinear.

Koeficienti i transmetimit të ekuivalentit linear për komponentin e rastësishëm të përqendruar (sipas kriterit të parë).

Sipas kriterit të dytë të ekuivalencës:

Për të përcaktuar dhe për cilën kushti i ekuivalencës plotësohet, gjejmë derivatet e pjesshme dhe i barazojmë me zero:

Gjatë llogaritjes së këtyre koeficientëve, supozohet se shpërndarja e hyrjes është normale:

Duke përcaktuar sasitë

për jolinearitetet tipike, zëvendësoni këtë të fundit me koeficientët ekuivalent të transmetimit linear dhe analizoni sistemin duke përdorur metoda lineare.

Për llojet kryesore të jolineariteteve dhe shpërndarjen normale të procesit të hyrjes, koeficientët llogariten dhe paraqiten në formën e vlerave tabelare. Në veçanti, për karakteristikat e tipit rele (Fig. 19)

Figura 19 - Karakteristikat e tipit rele:

koeficientët janë të barabartë.

"Teoria e kontrollit automatik"

"Metodat për studimin e sistemeve jolineare"

1. Metoda e ekuacioneve diferenciale

Ekuacioni diferencial i një sistemi të mbyllur jolinear të rendit të n-të (Fig. 1) mund të shndërrohet në një sistem n-ekuacionesh diferenciale të rendit të parë në formën:

ku: – variablat që karakterizojnë sjelljen e sistemit (njëri prej tyre mund të jetë një variabël i kontrolluar); – funksionet jolineare; u – ndikimi i vendosjes.

Në mënyrë tipike, këto ekuacione shkruhen në diferenca të fundme:

ku janë kushtet fillestare.

Nëse devijimet nuk janë të mëdha, atëherë ky sistem mund të zgjidhet si një sistem ekuacionesh algjebrike. Zgjidhja mund të paraqitet grafikisht.

2. Metoda e hapësirës së fazës

Le të shqyrtojmë rastin kur ndikimi i jashtëm është zero (U = 0).

Lëvizja e sistemit përcaktohet nga një ndryshim në koordinatat e tij - në funksion të kohës. Vlerat në çdo kohë karakterizojnë gjendjen (fazën) e sistemit dhe përcaktojnë koordinatat e sistemit me boshte n dhe mund të përfaqësohen si koordinatat e disa pikave (përfaqësuese) M (Fig. 2).

Hapësira e fazës është hapësira koordinative e sistemit.

Me ndryshimin e kohës t, pika M lëviz përgjatë një trajektore të quajtur trajektore fazore. Nëse ndryshojmë kushtet fillestare, marrim një familje trajektoresh fazore të quajtura një portret fazor. Portreti fazor përcakton natyrën e procesit të tranzicionit në një sistem jolinear. Portreti fazor ka pika të veçanta në të cilat trajektoret fazore të sistemit priren ose largohen (mund të ketë disa prej tyre).

Portreti fazor mund të përmbajë trajektore të mbyllura fazore, të cilat quhen cikle kufitare. Ciklet kufitare karakterizojnë vetë-lëkundjet në sistem. Trajektoret e fazës nuk kryqëzohen askund, përveç pikave të veçanta që karakterizojnë gjendjet e ekuilibrit të sistemit. Ciklet kufitare dhe gjendjet e ekuilibrit mund të jenë të qëndrueshme ose të paqëndrueshme.

Portreti fazor karakterizon plotësisht sistemin jolinear. Një tipar karakteristik i sistemeve jolineare është prania e llojeve të ndryshme të lëvizjeve, disa gjendje ekuilibri dhe prania e cikleve kufitare.

Metoda e hapësirës fazore është një metodë themelore për studimin e sistemeve jolineare. Është shumë më e lehtë dhe më e përshtatshme të studiohen sistemet jolineare në planin fazor sesa të vizatohen proceset kalimtare në domenin e kohës.

Ndërtimet gjeometrike në hapësirë ​​janë më pak vizuale sesa ndërtimet në një plan, kur sistemi është i rendit të dytë dhe përdoret metoda e planit fazor.

Zbatimi i metodës së planit fazor për sistemet lineare

Le të analizojmë marrëdhënien midis natyrës së procesit të tranzicionit dhe kthesave të trajektoreve fazore. Trajektoret e fazës mund të përftohen ose duke integruar ekuacionin e trajektores së fazës ose duke zgjidhur ekuacionin diferencial origjinal të rendit të dytë.

Le të jepet sistemi (Fig. 3).

Le të shqyrtojmë lëvizjen e lirë të sistemit. Në këtë rast: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Në përgjithësi, ekuacioni diferencial ka formën

Ku (1)

Ky është një ekuacion diferencial homogjen i rendit të dytë; ekuacioni i tij karakteristik është i barabartë me

. (2)

Rrënjët e ekuacionit karakteristik përcaktohen nga relacionet

(3)

Le të paraqesim një ekuacion diferencial të rendit të dytë në formën e një sistemi

Ekuacionet e rendit të parë:

(4)

ku është shkalla e ndryshimit të ndryshores së kontrolluar.

Në sistemin linear në shqyrtim, variablat x dhe y përfaqësojnë koordinatat e fazës. Portretin fazor e ndërtojmë në hapësirën e koordinatave x dhe y, d.m.th. në planin fazor.

Nëse e përjashtojmë kohën nga ekuacioni (1), marrim ekuacionin e kthesave integrale ose trajektoreve fazore.

. (5)

Ky është një ekuacion i ndashëm

Le të shqyrtojmë disa raste

Skedarët GB_prog.m dhe GB_mod.mdl, dhe analiza e përbërjes spektrale të mënyrës periodike në daljen e pjesës lineare - duke përdorur skedarët GB_prog.m dhe R_Fourie.mdl. Përmbajtja e skedarit GB_prog.m: % Studimi i sistemeve jolineare me metodën e balancës harmonike % Skedarët e përdorur: GB_prog.m, GB_mod.mdl dhe R_Fourie.mdl. % Emërtimet e përdorura: NE - element jolinear, LP - pjesë lineare. Po pastron të gjitha...

Pa inerci në diapazonin e frekuencës së lejuar (të kufizuar nga lart), përtej të cilit bëhet inercial. Varësisht nga lloji i karakteristikave dallohen elementet jolineare me karakteristika simetrike dhe asimetrike. Një karakteristikë që nuk varet nga drejtimi i madhësive që e përcaktojnë quhet simetrike, d.m.th. duke pasur simetri në lidhje me origjinën e sistemit ...