Причины появления посторонних корней при решении уравнений. Семинар-практикум "решение тригонометрических уравнений". Равносильные преобразования уравнений

Тема тригонометрических уравнений начинается со школьной лекции, которая строится в виде эвристической беседы. На лекции рассматривается теоретический материал и образцы решения всех типовых задач по плану:

Простейшие тригонометрические уравнения.
Основные методы решения тригонометрических уравнений.
Однородные уравнения.

На следующих уроках начинается самостоятельная отработка навыков, основанная на применении принципа совместной деятельности учителя и ученика. Сначала устанавливаются цели для учащихся, т.е. определяется, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше.

Итоговая диагностика создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определять тот минимум знаний, который необходим для получения оценки “3”. Исходя из этого, отбираются разноуровневые материалы для диагностики знаний учащихся. Такая работа позволяет осуществить индивидуальный подход к учащимся, включить каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самоорганизованности и самообучения, обеспечивать переход к активному, самостоятельному мышлению.

Семинар проводится после отработки основных навыков решения тригонометрических уравнений. За несколько уроков до семинара ученикам даются вопросы, которые будут рассматриваться на нем.

Семинар состоит из трех частей.

1. Во вводной части рассматривается весь теоретический материал, включая знакомство с проблемами, которые возникнут при решении сложных уравнений.

2. Во второй части рассматриваются решение уравнений вида:

а cosx + bsinx = c.
a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
уравнения, решаемые через понижение степени.

В этих уравнениях применяются универсальная подстановка, формулы понижения степени, метод вспомогательного аргумента.

3. В третьей части рассматриваются проблемы потери корней и приобретение посторонних корней. Показывается, как надо отбирать корни.

Ученики работают в группах. Для решения примеров вызываются хорошо подготовленные ребята, которые могут показать и объяснить материал.

Семинар рассчитан на хорошо подготовленного ученика, т.к. на нем рассматриваются вопросы несколько выходящие за рамки программного материала. В него включены уравнения более сложного вида, и особо рассматриваются проблемы, возникающие при решении сложных тригонометрических уравнений.

Семинар проводился для учеников 10 – 11 классов. Каждый ученик получил возможность расширить и углубить свои знания по этой теме, сравнить уровень своих знаний не только с требованиями, предъявляемыми к выпускнику школы, но и с требованиями предъявляемыми поступающим в В.У.З.

СЕМИНАР

Тема: "Решение тригонометрических уравнений"

Цели:

Обобщить знания по решению тригонометрических уравнений всех типов.
Заострить внимание на проблемах: потеря корней; посторонние корни; отбор корней.

ХОД УРОКА.

I. Вводная часть

1. Основные методы решения тригонометрических уравнений

Разложение на множители.
Введение новой переменной.
Функционально-графический метод.

2. Некоторые типы тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям, относительно cos х = t, sin х = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.

Решаются методом введения новой переменной.

Однородные уравнения первой и второй степени

Уравнение первой степени: Asinx + Bcosx = 0 разделим на cos x, получим Atg x + B = 0

Уравнение второй степени: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 разделим на cos 2 x, получим Atg 2 x + Btgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

Применимы все методы.

Понижение степени:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Решаются методом разложения на множители.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

Уравнение вида: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Формулы.

х + 2 n; Проверка обязательна!

Понижение степени: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
Метод вспомогательного аргумента.

Acosx + Bsinx заменим на Csin (x + ), где sin = а/С; cos= в/С;

– вспомогательный аргумент.

4. Правила.

Увидел квадрат – понижай степень.
Увидел произведение – делай сумму.
Увидел сумму – делай произведение.

5. Потеря корней, лишние корни.

Потеря корней: делим на g(х); опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями сужаем область определения.

Лишние корни: возводим в четную степень; умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями расширяем область определения.

II. Примеры тригонометрических уравнений

1. Уравнения вида Asinx + Bcosx = C

1) Универсальная подстановка.О.Д.З. х – любое.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. х /2 + n;

u = – 1/3.

tg x = –1/3, x = arctg (–1/3) + k, k Z.

Проверка: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

х = /2 + n, n э Z. Является корнем уравнения.

Ответ: х = arctg(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Функционально-графический метод. О.Д.З. х – любое.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Построим графики функций: y = sinx, y = cosx + 1.

Ответ: х = /2 + 2 n, Z ; x = + 2k, k Z.

3) Введение вспомогательного аргумента. О.Д.З.: х – любое.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то существует такое , что sin = 8/17,

cos = 15/17, значит sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Ответ: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Понижение порядка: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – любое.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Ответ: х = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

При

k = 1 и m = 0
k = 4 и m = 1.

серии совпадают.

3. Сведение к однородному. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – любое.
5 sin 2 х + 3 sinx cosx + 6cos 2 х – 5 sin 2 х – 5 cos 2 х = 0
3 sinxcosx + cos 2 х = 0 (1) делить на cos 2 х нельзя, так как теряем корни.
cos 2 х = 0 удовлетворяет уравнению.
cosx ( 3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
х = /2 + k, k Z. tgx = –1/3 , x = –/6 + n, n Z.

Ответ: х = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Уравнение вида: А(sinx + cosx) + В sin2x + С = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х – любое.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = Ѕ.
sinx + cosx = Ѕ. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Ответ: х = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Разложение на множители.

1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) сosx = 2, корней нет.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Ответ: x = arctg(1/2) + n, n Z.

III. Проблемы возникающие при решении тригонометрических уравнений

1. Потеря корней: делим на g(х); применяем опасные формулы.

1) Найдите ошибку.

1 – сosx = sinx *sinx/2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 разделим на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х/2 = 2 n, x = 4n, n " Z.
Потеряли корни sinx/2 = 0, х = 2k, k Z.

Правильное решение: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.

sin 2 х/2 = 0
x = 2k, k Z.

1 – сosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. Посторонние корни: освобождаемся от знаменателя; возводим в четную степень.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(сos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
х = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. х = /3 + 2n/3
1. n = 0
sin 2 /3 = 3 / 2
не удовлетворяют. О.Д.З.

2. n = 1
sin 2= 0
удовлетворяют О.Д.З.

3. n = 2
sin 2/ 3 = –3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z
1. k = 0
sin 2/6 = 3 / 2
не удовлетворяют О.Д.З.
2. k = 1
sin 2*5/6 = –3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

Ответ: х = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ)

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. В двух теоремах § 3 главы VII говорилось о том, какие действия над уравнениями не нарушают их равносильности.

2. Рассмотрим теперь такие операции над уравнениями, которые могут привести к новому уравнению, неравносильному исходному уравнению. Вместо общих рассуждений ограничимся рассмотрением лишь конкретных примеров.

3. Пример 1. Дано уравнение Раскроем скобки в данном уравнении, перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение. Его корнями являются

Если сократить обе части уравнения на общий множитель то получится уравнение которое неравносильно первоначальному, так как имеет всего один корень

Таким образом, сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения.

4. Пример 2. Дано уравнение Данное уравнение имеет единственный корень Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим Решая это уравнение, найдем два корня:

Усматриваем, что новое уравнение неравносильно исходному уравнению Корень является корнем уравнения которое после возведения в квадрат обеих частей приводит к уравнению

5. Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.

Пример 3. Если обе части уравнения умножим на то получим новое уравнение которое после переноса члена из правой части в левую и разложения на множители дает уравнение откуда либо

Корень не удовлетворяет уравнению которое имеет единственный корень

Отсюда делаем вывод: при возведении обеих частей уравнения в квадрат (вообще в четную степень), а также при умножении на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в нуль при действительных значениях неизвестного, могут появляться посторонние корни.

Все соображения, высказанные здесь по вопросу о потере и появлении посторонних корней уравнения, в одинаковой мере относятся к любым уравнениям (алгебраическим, тригонометрическим и др.).

6. Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции - сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем (причем число таких операций конечное).

Так, например, уравнения

являются алгебраическими, а уравнения

ЗУБЫ. Зубы позвоночных по своему строению и развитию совершенно сходны с плакоид ными чешуями, покрывающими всю кожу акуловых рыб. Поскольку вся ротовая полость, а частью и полость глотки, выстлана эктодермальным эпителием, типичная пла коидная… …

ТУБЕРКУЛЕЗ ЛЕГКИХ - ТУБЕРКУЛЕЗ ЛЕГКИХ. Содержание: I. Патологическая анатомия...........110 II. Классификация легочного туберкулеза.... 124 III. Клиника.....................128 IV. Диагностика..................160 V. Прогноз..................... 190 VІ. Лечение … Большая медицинская энциклопедия

ОТРАВЛЕНИЕ - ОТРАВЛЕНИЕ. Под отравлением разумеют «расстройства функций животн. организма, вызываемые экзогенными или эндогенными, химически или физико химически действующими веществами, к рые в отношении качества, количества или концентрации чужды… … Большая медицинская энциклопедия

Клубеньковые бактерии бобовых - Данные палеонтологии свидетельствуют о том, что самыми древними бобовыми культурами, имевшими клубеньки, были некоторые растения, принадлежащие к группе Eucaesalpinioideae. У современных видов бобовых растений клубеньки обнаружены … Биологическая энциклопедия

Список серий мультсериала «Лунтик» - В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

РАСТЕНИЕ И СРЕДА - Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия

Список серий сериала «Лунтик» - Основная статья: Приключения Лунтика и его друзей Содержание 1 Количество серий 2 Список серий мультсериала Лунтик и его друзья … Википедия

Болезни плодовых деревьев - Плодовые деревья благодаря постоянным заботам о них человека должны достигать гораздо старшего возраста, чем некультурные родичи их, если бы не противодействующие влияния многих условий самой культуры, а именно требования, предъявляемые нами… …

Валка леса - В. леса, или извлечение лесного дохода в виде древесины и коры, может быть выполнена двояким образом: выкапыванием или выкорчевыванием целых деревьев, т. е. стволов вместе с корнями, или же отдельно, по частям сперва валятся, или снимаются с… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Грош - (польск. grosz, от нем. Groschen, от лат. grossus (dēnārius) «толстый денарий») монета различных стран и времён. Содержание 1 Появление гроша … Википедия

Монеты США - 20 долларов Сент Годенса самая красивая и дорогая монета США Монеты США монеты, чеканящиеся на Монетном дворе США. Выпускаются с 1792 года … Википедия

Книги

Основные причины выпадения волос у женщин , Алексей Мичман , Проблемой выпадения волос в какой-то момент жизни страдает шесть из десяти женщин. Потеря волос может происходить по ряду причин, таких как наследственность, гормональные изменения в… Категория:

На прошлом уроке при решении уравнений мы использовали три этапа.

Первый этап - технический. С помощью цепочки преобразований от исходного уравнения мы приходим к достаточно простому, которое решаем и находим корни.

Второй этап — анализ решения. Анализируем преобразования, которые выполнили, и выясняем, равносильны ли они.

Третий этап - проверка. Проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение обязательна при выполнении преобразований, которые могут привести к уравнению-следствию

Всегда ли нужно выделять три этапа при решении уравнения?

Конечно, нет. Как, например, в решении этого уравнения. В повседневной жизни их обычно не выделяют. Но все эти этапы нужно «держать в голове» и выполнять в той или иной форме. Обязательно проводить анализ на равносильность преобразований. И если анализ показал, что нужно выполнить проверку, то она обязательна. В противном случае уравнение не может считаться решенным верно.

Всегда ли только подстановкой можно выполнить проверку корней уравнения?

Если при решении уравнения использовались равносильные преобразования, то проверка не требуется. При проверке корней уравнения очень часто используют ОДЗ (область допустимых значений).Если по ОДЗ проверку сделать трудно, то выполняют ее подстановкой в исходное уравнение.

Задание 1

Решить уравнение квадратный корень из двух икс плюс три равен одному плюс икс.

Решение

ОДЗ уравнения определяется системой двух неравенств: два икс плюс три больше либо равно нулю и один плюс икс больше либо равно нулю. Решением является икс больше либо равно минус единице.

Возведем обе части уравнения в квадрат, перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую, приведем подобные слагаемые, получим квадратное уравнение икс в квадрате равно двум. Корни его —

икс первое, второе равно плюс-минус квадратный корень из двух.

Проверка

Значение икс первое равно квадратный корень из двух является корнем уравнения, так как оно входит в ОДЗ.
Значение икс второе равно минус квадратный корень из двух не является корнем уравнения, т.к. оно не входит в ОДЗ.
Проверим корень икс равно квадратный корень из двух, подставив его в исходное равенство, получим

верное равенство, значит, икс равное квадратному корню из двух является корнем уравнения.

Ответ: квадратный корень из двух.

Задание 2

Решить уравнение квадратный корень из икс минус восемь равно пять минус икс.

Решение

ОДЗ иррационального уравнения определяется системой двух неравенств: икс минус восемь больше либо равно нулю и пять минус икс больше либо равно нулю. Решая ее, получаем, что эта система не имеет решений. Корнем уравнения не может быть ни одно из значений переменной икс.

Ответ: корней нет.

Задание 3

Решить уравнение квадратный корень из икс в кубе плюс четыре икс минус один минус восемь квадратных корней из икс в четвертой степени минус икс равно квадратный корень из икс в кубе минус один плюс два квадратных корня из икс.

Решение

Найти ОДЗ в этом уравнении довольно трудно.

Выполним преобразования: возведем обе части этого уравнения в квадрат,

перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые, два корня запишем под один, получим подобные радикалы, приводим подобные, делим на коэффициент минус 12, и раскладываем подкоренное выражение на множители, получим уравнение в виде произведения двух множителей, равное нулю. Решив его, найдем корни:

икс первое равно единице, икс второе равно нулю.

Так как мы обе части уравнения возводили в четную степень, то проверка корней обязательна.

Проверка

Если икс равен единице, то

получим верное равенство, значит, икс равный единице - корень уравнения.

Если икс равен нулю, то квадратный корень из минус единицы не определен.

Значит, икс равный нулю - посторонний корень.

Ответ: один.

Задание 4

Решить уравнение логарифм выражения икс квадрат плюс пять икс плюс два по основанию два равно трем.

Решение

Найдем ОДЗ уравнения. Для этого решим неравенство икс квадрат плюс пять икс плюс два больше нуля.

Решаем неравенство методом интервалов. Для этого разложим его левую часть на множители, предварительно решив квадратное уравнение, и учитывая знак неравенства, определяем ОДЗ. ОДЗ равно объединению открытых лучей от минус бесконечности до минус дроби пять плюс квадратный корень из семнадцати, деленное на два, и от минус дроби пять минус квадратный корень из семнадцати, деленное на два, до плюс бесконечности.

Теперь приступим к поиску корней уравнения. Учитывая, что три равно логарифму восьми по основанию два, запишем уравнение в следующем виде: логарифм выражения икс квадрат плюс пять икс плюс два по основанию два равно логарифму восьми по основанию два. Потенцируем уравнение, получим и решим квадратное уравнение.

Дискриминант равен сорока девяти.

Вычисляем корни:

икс первое равно минус шести; икс второе равно единице.

Проверка

Минус шесть принадлежит ОДЗ, единица принадлежит ОДЗ, значит, оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: минус шесть; один.

На прошлом уроке мы рассматривали вопрос о появлении посторонних корней. Мы их можем обнаружить с помощью проверки. А можно ли при решении уравнения потерять корни и как этого не допустить?

При выполнении таких действий над уравнением, как, во-первых, деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение аш от икс (кроме тех случаев, когда точно известно, что аш от икс не равно нулю при любом икс из области определения уравнения);

во - вторых, сужение ОДЗ уравнения в процессе решения может привести к потере корней уравнения.

Запомните!

Уравнение, записанное в виде

эф от икс умноженное на аш от икс равно жэ от икс умноженное на аш от икс решается таким образом:

нужно разложить на множители вынесением за скобки общего множителя;

затем, каждый множитель приравнять к нулю, тем самым получим два уравнения.

Вычисляем их корни.

Задание 1

Решить уравнение икс куб равно икс.

Первый способ

Разделим обе части данного уравнения на икс, получим икс квадрат равно единице, имеющее корни икс первое равно единице,

икс второе равно минус единице.

Второй способ

Икс куб равно икс. Перенесем икс в левую часть уравнения, вынесем икс за скобки, получим: икс, умноженное на икс квадрат, минус один равно нулю.

Вычислим его корни:

Икс первое равно нулю, икс второе равно единице, икс третье равно минус единице.

Уравнение имеет три корня.

При решении первым способом мы потеряли один корень — икс равно нулю.

Ответ: минус один; ноль; один.

Запомните! Сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.

Задание 2

Решить уравнение десятичный логарифм икс в квадрате равен двум.

Решение

Первый способ

По определению логарифма, получим квадратное уравнение икс квадрат равно сто.

Его корни: икс первое равно десяти; икс второе равно минус десяти.

Второй способ

По свойству логарифма имеем два десятичных логарифма икс равно двум.

Его корень — икс равен десяти

При втором способе произошла потеря корня икс равен минус десяти. А причина в том, что применили неправильную формулу, сужающую область определения уравнения. Выражение десятичный логарифм икс в квадрате определено для всех икс, кроме икс равное нулю. Выражение десятичный логарифм икс — для икс больше нуля. Правильная формула десятичный логарифм икс квадрат равен двум десятичным логарифмам модуль икс.

Запомните! При решении уравнения грамотно применяйте имеющиеся формулы.

Основные методы решения уравнений

Что такое решение уравнения?

Тождественное преобразование. Основные

виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием . Основные тождественные преобразования следующие:

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x – 10 = 0, после чего получим: 9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.

Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение

( x – 1)( x – 3) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3.

Последнее значение не является корнем заданного уравнения

x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень .

И наоборот, деление может привести к потере корня . Так

в нашем случае, если (x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным

уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении

обеих частей уравнения на x – 3 .

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Это уравнение равносильно исходному: