Μια γενική μέθοδος για τη μελέτη της ευστάθειας μη γραμμικών συστημάτων είναι η άμεση μέθοδος Lyapunov. Βασίζεται στο θεώρημα του Lyapunov για τη σταθερότητα των μη γραμμικών συστημάτων. Ως ερευνητική συσκευή χρησιμοποιείται η λεγόμενη συνάρτηση Lyapunov, η οποία είναι μια καθορισμένη-σημαδιακή συνάρτηση των συντεταγμένων του συστήματος, η οποία έχει επίσης μια παράγωγο καθορισμένης σημείου ως προς το χρόνο. Η εφαρμογή αυτής της μεθόδου περιορίζεται λόγω της πολυπλοκότητάς της.

Μια απλούστερη μέθοδος για τον υπολογισμό της σταθερότητας των μη γραμμικών συστημάτων είναι η μέθοδος που αναπτύχθηκε από τον Ρουμάνο επιστήμονα V. M. Popov. Ωστόσο, είναι κατάλληλο για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις.

Οι διεργασίες σε ένα μη γραμμικό σύστημα μπορούν να μελετηθούν βάσει τμηματικής γραμμικής προσέγγισης. Σε αυτή την περίπτωση, τα μη γραμμικά χαρακτηριστικά μεμονωμένων συνδέσμων χωρίζονται σε έναν αριθμό γραμμικών τμημάτων, εντός των οποίων το πρόβλημα αποδεικνύεται γραμμικό και μπορεί να λυθεί πολύ απλά. Στα όρια των τμημάτων είναι απαραίτητο να "συρράψετε" μεμονωμένα κομμάτια της διαδικασίας σε μια ενιαία διαδικασία. Η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν ο αριθμός των τμημάτων στα οποία χωρίζεται το μη γραμμικό χαρακτηριστικό είναι μικρός. Αυτό ισχύει, για παράδειγμα, για τα χαρακτηριστικά ρελέ (βλ. Εικ. 5.1). Με μεγάλο αριθμό τμημάτων, η μέθοδος αποδεικνύεται υπερβολικά δυσκίνητη. Ωστόσο, η χρήση υπολογιστή καθιστά δυνατό να ξεπεραστεί αυτή η δυσκολία και να υπολογιστούν με επιτυχία οι διαδικασίες σε μη γραμμικά συστήματα για τυχόν μη γραμμικά χαρακτηριστικά και, γενικά, παρουσία μη γραμμικών εξαρτήσεων αυθαίρετου τύπου.

Η μέθοδος του χώρου φάσης, καταρχήν, επιτρέπει σε κάποιον να μελετήσει συστήματα με μη γραμμικότητες αυθαίρετων τύπων, καθώς και με αρκετές μη γραμμικότητες. Στην περίπτωση αυτή, στο χώρο των φάσεων, κατασκευάζεται ένα λεγόμενο πορτρέτο φάσης των διεργασιών που συμβαίνουν (σε ένα μη γραμμικό σύστημα).Με την εμφάνιση του πορτραίτου φάσης μπορεί κανείς να κρίνει τη σταθερότητα, την πιθανότητα εμφάνισης αυτο- ταλαντώσεις και η ακρίβεια σε σταθερή κατάσταση Ωστόσο, η διάσταση του χώρου φάσης είναι ίση με την τάξη της διαφορικής εξίσωσης του μη γραμμικού συστήματος, γεγονός που καθιστά δύσκολη τη χρήση μεθόδου για τη μελέτη συστημάτων που περιγράφονται από μια διαφορική εξίσωση υψηλότερη από τη δεύτερη Στην περίπτωση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης, ο χώρος φάσης είναι ένα επίπεδο φάσης και αυτή η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί με επιτυχία.

Για να αναλύσετε τυχαίες διεργασίες σε μη γραμμικά αυτόματα συστήματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μαθηματική συσκευή της θεωρίας των τυχαίων διεργασιών Markov. Ωστόσο, η πολυπλοκότητα της μεθόδου και η δυνατότητα

Η επίλυση της εξίσωσης Fokker-Planck, η οποία απαιτείται στην ανάλυση, μόνο για εξισώσεις πρώτης και σε ορισμένες περιπτώσεις δεύτερης τάξης, περιορίζει τη χρήση της.

Όλες οι μέθοδοι που αναφέρονται είναι ακριβείς. Η πολυπλοκότητα και η περιορισμένη εφαρμογή τους οδήγησαν στην ανάπτυξη κατά προσέγγιση, αλλά απλούστερων μεθόδων για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων. Οι κατά προσέγγιση μέθοδοι καθιστούν δυνατή σε πολλές περιπτώσεις την απλή λήψη διαφανών και εύκολα ορατών αποτελεσμάτων της ανάλυσης μη γραμμικών συστημάτων. Τροχιές φάσης στην περιοχή - α< x < a представляют собой прямые с коэффициентом наклона -1/Т 1 при различных значениях начальных условий.

Τοποθετούμε βέλη σε ευθείες γραμμές έτσι ώστε η τελική κίνηση να τείνει στην αρχή των συντεταγμένων.

Αφήνω x > a, . Στην περίπτωση αυτή, το αρχικό σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων έχει τη μορφή

(27)

όπου c i είναι μια οικογένεια ισοκλινών, που είναι ευθείες παράλληλες στον άξονα x, δηλ. , όπου προσδιορίζεται από την έκφραση για

. (28)

Ετσι

. (29)

Δεδομένων των τιμών του , κατασκευάζουμε μια οικογένεια ισοκλινών. Προσδιορίζουμε τις γωνίες τομής των ισοκλινών με τροχιές φάσεων.

Επειδή . Για παράδειγμα, εάν , τότε a = 90°.

ΑφήνωΧ< – a, . Πραγματοποιούμε την κατασκευή με παρόμοιο τρόπο, αφού το πρόσημο έχει αλλάξει, θα υπάρχουν διαφορετικές γωνίες τομής των ισοκλινών με την τροχιά φάσης. Το πορτρέτο φάσης του συστήματος φαίνεται στο Σχ. 15.

Ρύζι. 14 Εικ. 15

Ας αφαιρέσουμε την απλοποίηση K = 0, δηλ. Ας εξετάσουμε την επίδραση της αρνητικής ανάδρασης στην ταχύτητα του κινητήρα στη φύση της τροχιάς φάσης.

Σε αυτή την περίπτωση, οι εξισώσεις μοιάζουν με:

(30)

Αφήνω , σε αυτήν την περίπτωση η εναλλαγή θα γίνει υπό την προϋπόθεση (και όχι η συνθήκη x = a), αυτή είναι η εξίσωση της ευθείας (Εικ. 16)

Ταυτόχρονα, ο αριθμός των υπερβάσεων μειώνεται. μπορείτε να επιλέξετε μια κλίση στην οποία δεν υπάρχουν διακυμάνσεις.

Ας εξετάσουμε ένα πορτρέτο φάσης χωρίς περιορισμούς.Σε ένα σύστημα χωρίς περιορισμούς, το πορτρέτο φάσης μπορεί να αναπαρασταθεί σε μια επιφάνεια τριών φύλλων με κεκλιμένα άκρα (Εικ. 17.) Σε αυτήν την περίπτωση, το φύλλο 2 αντιστοιχεί στη νεκρή ζώνη z = 0, το φύλλο 1 αντιστοιχεί σε αρνητικές τιμές z, και το φύλλο 3 είναι θετικό. Λόγω υστέρησης, εμφανίζεται μερική επικάλυψη φύλλων.

Ρύζι. 16 Εικ. 17

Ας εξερευνήσουμε το σύστημα. Ας μελετήσουμε την επίδραση της αρνητικής ανάδρασης στις στροφές του κινητήρα (δηλαδή την επίδραση της τιμής - K). Αφήστε την τιμή του K να αυξηθεί, ενώ η κλίση των ευθειών μειώνεται και μπορεί να αποδειχθεί ότι η τομή θα είναι πιο επίπεδη από την κλίση του χαρακτηριστικού στο μεσαίο τμήμα. Αυτό οδηγεί σε συχνή εναλλαγή. Αυτή η λειτουργία ονομάζεται συρόμενη. Εάν η ζώνη είναι πολύ στενή, τότε η κίνηση φαίνεται να ολισθαίνει στη σταθερή κατάσταση (Εικ. 18α).

Εάν αλλάξετε το πρόσημο της ανάδρασης από μια αρνητική σύνδεση σε μια θετική σύνδεση, τότε η κλίση των γραμμών μεταγωγής θα αλλάξει και ο αριθμός των ταλαντώσεων θα αυξηθεί, το σύστημα θα "ταλαντευτεί". Το σύστημα λειτουργεί σαν γεννήτρια και μπορεί να εμφανιστεί είτε ένας κλειστός κύκλος -αυτοταλαντώσεις- είτε μια αποκλίνουσα μεταβατική διαδικασία (Εικ. 18β).

Πλεονεκτήματα της μεθόδου:απλότητα και σαφήνεια για συστήματα 2ης τάξης. Κατάλληλο για κάθε τύπο μη γραμμικών στοιχείων.

Ελαττώματα:η μέθοδος είναι επαχθής για συστήματα πάνω από τη 2η τάξη, επομένως δεν χρησιμοποιείται για n > 2.

Ας εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα κατασκευής πορτρέτων φάσης μη γραμμικών συστημάτων ελέγχου

Παράδειγμα 1.Έστω ένα σύστημα που αποτελείται από ένα γραμμικό μέρος και ένα μη γραμμικό στοιχείο (ενισχυτής με περιορισμό συντελεστή) (Εικ. 19). Πρόκειται για ένα τμηματικά γραμμικό σύστημα, αφού σε ορισμένες ενότητες συμπεριφέρεται σαν γραμμικό (στην περιοχή) – a, +a[). Ας υποθέσουμε ότι στην περιοχή (] – α, +а[) το κέρδος είναι μεγάλο και το σύστημα είναι ασταθές και το πορτρέτο φάσης χαρακτηρίζεται από ένα ειδικό σημείο «ασταθής εστίαση». Εκτός της περιοχής, το κέρδος είναι μικρό· ας υποθέσουμε ότι το σύστημα είναι σταθερό και χαρακτηρίζεται από ένα ειδικό σημείο - μια «σταθερή εστίαση».

Για μεγάλες αποκλίσεις x > |a| το συνολικό κέρδος του συστήματος είναι μικρό, το σύστημα είναι σταθερό, η διαδικασία φθείρεται.

Για μικρές αποκλίσεις, το συνολικό κέρδος του συστήματος είναι μεγάλο - η διαδικασία αποκλίνει σε μια κλειστή τροχιά, η οποία χαρακτηρίζει την παρουσία σταθερών αυτοταλαντώσεων (Εικ. 20).

Υπάρχουν τρεις τύποι κινήσεων σε αυτό το σύστημα: αυτοταλαντώσεις. συγκλίνουσες ταλαντώσεις? αποκλίνουσες δονήσεις

Παράδειγμα 2.Ας δοθεί ένα σύστημα με ένα χαρακτηριστικό μη γραμμικής ζεύξης τύπου «νεκρής ζώνης» (Εικ. 21). Είναι απαραίτητο να χτιστεί μια φάση

πορτρέτο ενός δεδομένου συστήματος, προσδιορισμός της παρουσίας οριακών κύκλων και ανάλυση της σταθερότητάς τους.

Ας φτιάξουμε ένα πορτρέτο φάσης

1) Πότε – α< x < +a f(x) = 0, а система уравнений имеет вид

Το πορτρέτο φάσης σε αυτήν την περιοχή αντιπροσωπεύει μια οικογένεια ευθειών γραμμών με συντελεστή k = -1 και η κατάσταση ισορροπίας είναι σταθερή Lyapunov και αντιπροσωπεύει ένα τμήμα του άξονα y = 0 στο διάστημα – a

2) Για x > +a f(x) = x – a, και το σύστημα των εξισώσεων έχει τη μορφή

και τη γωνία τομής της ισοκλινής με την τροχιά φάσης σύμφωνα με τον τύπο a = αρκτάνη c, τα αποτελέσματα δίνονται στους πίνακες 1 και 2.

Τραπέζι 1

πίνακας 2

3) Στο x< – a f(x) = x + a, а система уравнений имеет вид

Παράδειγμα 4. Για ένα δεδομένο σύστημα (Εικ. 26), κατασκευάστε ένα κατά προσέγγιση πορτρέτο φάσης.

Το αρχικό διάγραμμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως (Εικ. 27).

Ας φτιάξουμε ένα πορτρέτο φάσης.

1) Στο –1< x < +1 f(x) = x, а система уравнений имеет вид

Για κάθε c i, προσδιορίζουμε τον συντελεστή γωνιακής κλίσης της ισοκλινής – k χρησιμοποιώντας τον τύπο

2) Για x > +1 f(x) = 1, και το σύστημα των εξισώσεων έχει τη μορφή

Για κάθε c i, προσδιορίζουμε τον συντελεστή γωνιακής κλίσης της ισοκλινής – k χρησιμοποιώντας τον τύπο και τη γωνία τομής της ισοκλινής με την τροχιά φάσης σύμφωνα με τον τύπο a = αρκτάν γ.

3) Στο x< -1 f(x) = -1.

Το αριστερό μέρος του πορτραίτου φάσης είναι κατασκευασμένο παρόμοια με το δεξί.

Βιβλιογραφία

1. Atabekov G.I., Timofeev A.B., Kupalyan S.D., Khukhrikov S.S. Θεωρητικά θεμέλια ηλεκτρολόγων μηχανικών (ΤΟΕ). Μη γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα. Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. 5η έκδ. Εκδοτικός οίκος: LAN, 2005. – 432 p.

2. Gavrilov Μη γραμμικά κυκλώματα σε προγράμματα μοντελοποίησης κυκλωμάτων. Εκδοτικός οίκος: SOLON-PRESS, 2002. – 368 p.

3. Dorf R., Bishop R. Automation. Σύγχρονα συστήματα ελέγχου. 2002 – 832 σελ.

4. Θεωρία αυτόματου ελέγχου. Σχολικό βιβλίο για πανεπιστήμια για ειδικούς σκοπούς «Αυτοματισμός και τηλεμηχανική». Σε 2 ώρες / Ν.Α. Babakov, A.A. Voronov et al.: Εκδ. Α.Α. Voronova. – 2η έκδ., αναθεωρημένη. και επιπλέον – Μ.: Ανώτερα. σχολείο, 1986. – 367 σ., ill.

5. Kharazov V.G. Ολοκληρωμένα συστήματα ελέγχου διεργασιών: Εγχειρίδιο. Εκδότης: PROFESSIYA, PUBLISHING ESTATE, 2009. – 550 p.

Είδος:

"Θεωρία αυτόματου ελέγχου"

Θέμα:

"Μέθοδοι για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων"

1. Μέθοδος διαφορικών εξισώσεων

Η διαφορική εξίσωση ενός κλειστού μη γραμμικού συστήματος νης τάξης (Εικ. 1) μπορεί να μετατραπεί σε ένα σύστημα n-διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με τη μορφή:

όπου: – μεταβλητές που χαρακτηρίζουν τη συμπεριφορά του συστήματος (μία από αυτές μπορεί να είναι ελεγχόμενη μεταβλητή). – μη γραμμικές συναρτήσεις. u – επιρροή ρύθμισης.

Συνήθως, αυτές οι εξισώσεις γράφονται σε πεπερασμένες διαφορές:

,

πού είναι οι αρχικές συνθήκες.

Αν αποκλίσεις

όχι μεγάλο, τότε αυτό το σύστημα μπορεί να λυθεί ως σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Η λύση μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά.

2. Μέθοδος χώρου φάσης

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που η εξωτερική επιρροή είναι μηδέν (U = 0).

Η κίνηση του συστήματος καθορίζεται από μια αλλαγή στις συντεταγμένες του -

ως συνάρτηση του χρόνου. Οι τιμές ανά πάσα στιγμή χαρακτηρίζουν την κατάσταση (φάση) του συστήματος και καθορίζουν τις συντεταγμένες του συστήματος που έχει n-άξονες και μπορούν να αναπαρασταθούν ως συντεταγμένες κάποιου (που αντιπροσωπεύουν) σημείο M (Εικ. 2).

Χώρος φάσηςονομάζεται χώρος συντεταγμένων του συστήματος.

Καθώς ο χρόνος t αλλάζει, το σημείο Μ κινείται κατά μήκος μιας τροχιάς που ονομάζεται τροχιά φάσης. Εάν αλλάξουμε τις αρχικές συνθήκες, θα έχουμε μια οικογένεια τροχιών φάσης που ονομάζεται πορτρέτο φάσης. Το πορτρέτο φάσης καθορίζει τη φύση της διαδικασίας μετάβασης σε ένα μη γραμμικό σύστημα. Το πορτραίτο φάσης έχει ειδικά σημεία στα οποία τείνουν ή απομακρύνονται οι τροχιές φάσης του συστήματος (μπορεί να υπάρχουν αρκετά από αυτά).

Το πορτρέτο φάσης μπορεί να περιέχει τροχιές κλειστής φάσης, οι οποίες καλούνται οριακούς κύκλους.Οι οριακές κύκλοι χαρακτηρίζουν τις αυτοταλαντώσεις στο σύστημα. Οι τροχιές φάσεων δεν τέμνονται πουθενά, εκτός από ειδικά σημεία που χαρακτηρίζουν τις καταστάσεις ισορροπίας του συστήματος. Οι ορικοί κύκλοι και οι καταστάσεις ισορροπίας μπορεί να είναι σταθερές ή ασταθείς.

Το πορτρέτο φάσης χαρακτηρίζει πλήρως το μη γραμμικό σύστημα. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα των μη γραμμικών συστημάτων είναι η παρουσία διαφόρων τύπων κινήσεων, αρκετών καταστάσεων ισορροπίας και η παρουσία οριακών κύκλων.

Η μέθοδος του χώρου φάσης είναι μια θεμελιώδης μέθοδος για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων. Είναι πολύ πιο εύκολο και πιο βολικό να μελετήσουμε μη γραμμικά συστήματα στο επίπεδο φάσης παρά να σχεδιάζουμε παροδικές διεργασίες στο πεδίο του χρόνου.

Οι γεωμετρικές κατασκευές στο χώρο είναι λιγότερο οπτικές από τις κατασκευές σε επίπεδο, όταν το σύστημα είναι δεύτερης τάξης και χρησιμοποιείται η μέθοδος του επιπέδου φάσης.

Εφαρμογή της μεθόδου του επιπέδου φάσης για γραμμικά συστήματα

Ας αναλύσουμε τη σχέση μεταξύ της φύσης της διαδικασίας μετάβασης και των καμπυλών των τροχιών φάσης. Οι τροχιές φάσεων μπορούν να ληφθούν είτε με την ολοκλήρωση της εξίσωσης της τροχιάς φάσης είτε με την επίλυση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης 2ης τάξης.

Αφήστε το σύστημα να δοθεί (Εικ. 3).

Ας εξετάσουμε την ελεύθερη κυκλοφορία του συστήματος. Επιπλέον: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Γενικά, η διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή

Οπου (1)

Αυτή είναι μια ομοιογενής διαφορική εξίσωση 2ης τάξης, η χαρακτηριστική της εξίσωση είναι ίση με

. (2)

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης καθορίζονται από τις σχέσεις

(3)

Ας αναπαραστήσουμε μια διαφορική εξίσωση 2ης τάξης με τη μορφή συστήματος

Εξισώσεις 1ης τάξης:

(4) ρυθμός μεταβολής της ελεγχόμενης μεταβλητής.

Στο υπό εξέταση γραμμικό σύστημα, οι μεταβλητές x και y αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες φάσης. Κατασκευάζουμε το πορτρέτο φάσης στο χώρο των συντεταγμένων x και y, δηλ. στο επίπεδο φάσης.

Αν εξαιρέσουμε τον χρόνο από την εξίσωση (1), λαμβάνουμε την εξίσωση των ολοκληρωτικών καμπυλών ή των τροχιών φάσης.

. (5)

Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη εξίσωση

. (6)

Ας εξετάσουμε αρκετές περιπτώσεις

1. Έστω οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3) να έχουν τη μορφή

(εκείνοι. ). (7)

Σε αυτή την περίπτωση, η διαδικασία μετάβασης περιγράφεται από τις εξισώσεις

x = Αμαρτία (wt+j), (8)

y = Aw cos (wt+j),

εκείνοι. αντιπροσωπεύει μη απόσβεση ταλαντώσεις με σταθερό πλάτος Α και αρχική φάση – j.

Στο επίπεδο φάσης (Εικ. 4), αυτές οι εξισώσεις είναι παραμετρικές εξισώσεις μιας έλλειψης με ημιάξονες A και wA (όπου Α είναι η σταθερά ολοκλήρωσης).

Αν ορίσουμε

Η εξίσωση έλλειψης μπορεί να ληφθεί λύνοντας την εξίσωση των τροχιών φάσης

(9)

Η κατάσταση ισορροπίας καθορίζεται από τη συνθήκη

,

σε αυτήν την περίπτωση x 0 = y 0 = 0.

Το μοναδικό σημείο ονομάζεται «κέντρο» και αντιστοιχεί σε σταθερή ισορροπία, αφού οι τροχιές της φάσης δεν απομακρύνονται από αυτό.

2. Έστω οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3) να έχουν τη μορφή

(10)

Σε αυτή την περίπτωση, η διαδικασία μετάβασης περιγράφεται από τις εξισώσεις:

Από την εξίσωση τροχιών φάσης

παίρνουμε την εξίσωση

Αυτή είναι μια εξίσωση μιας οικογένειας υπερβολών όταν το Α αλλάζει (Εικ. 5).

Όλες οι μέθοδοι μηχανικής για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων χωρίζονται σε δύο κύριες ομάδες: ακριβείς και κατά προσέγγιση. Οι ακριβείς μέθοδοι περιλαμβάνουν τη μέθοδο A.M. Lyapunov, τη μέθοδο επιπέδου φάσης, τη μέθοδο μετασχηματισμού σημείου και τη μέθοδο συχνότητας V.M. Popov. Οι κατά προσέγγιση μέθοδοι βασίζονται στη γραμμικοποίηση εξισώσεων μη γραμμικών συστημάτων χρησιμοποιώντας αρμονική ή στατιστική γραμμικοποίηση. Στην πράξη, χρησιμοποιείται ένας συνδυασμός διαφορετικών μεθόδων. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στο άμεσο μέλλον υπάρχει ανάγκη για περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας και της πρακτικής των μη γραμμικών συστημάτων.

Ας εξετάσουμε τις ακόλουθες μεθόδους για την ανάλυση μη γραμμικών συστημάτων:

1) Μέθοδος επιπέδου φάσης.Χρησιμοποιείται για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων που περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης. Συνίσταται στην κατασκευή και μελέτη του πορτραίτου φάσης του συστήματος στις συντεταγμένες της υπό μελέτη ποσότητας και της παραγώγου της.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που η εξωτερική επιρροή είναι μηδέν (U = 0). Η κίνηση του συστήματος καθορίζεται από μια αλλαγή στις συντεταγμένες του - X iως συνάρτηση του χρόνου. Αξίες X iσε οποιαδήποτε χρονική στιγμή χαρακτηρίζει την κατάσταση (φάση) του συστήματος και καθορίζει τις συντεταγμένες του συστήματος που έχει n - άξονες και μπορεί να αναπαρασταθεί ως συντεταγμένες κάποιου (που αντιπροσωπεύει) σημείο Μ (Εικ. 10).

Εικόνα 10

Ο χώρος φάσης είναι ο χώρος συντεταγμένων του συστήματος.

Καθώς ο χρόνος t αλλάζει, το σημείο Μ κινείται κατά μήκος μιας τροχιάς που ονομάζεται τροχιά φάσης. Εάν αλλάξουμε τις αρχικές συνθήκες, θα έχουμε μια οικογένεια τροχιών φάσης που ονομάζεται πορτρέτο φάσης. Το πορτρέτο φάσης καθορίζει τη φύση της διαδικασίας μετάβασης σε ένα μη γραμμικό σύστημα. Το πορτραίτο φάσης έχει ειδικά σημεία στα οποία τείνουν ή απομακρύνονται οι τροχιές φάσης του συστήματος (μπορεί να υπάρχουν αρκετά από αυτά).

Το πορτρέτο φάσης μπορεί να περιέχει τροχιές κλειστής φάσης, οι οποίες ονομάζονται οριακούς κύκλους. Οι οριακές κύκλοι χαρακτηρίζουν τις αυτοταλαντώσεις στο σύστημα. Οι τροχιές φάσεων δεν τέμνονται πουθενά, εκτός από ειδικά σημεία που χαρακτηρίζουν τις καταστάσεις ισορροπίας του συστήματος. Οι ορικοί κύκλοι και οι καταστάσεις ισορροπίας μπορεί να είναι σταθερές ή ασταθείς.

Το πορτρέτο φάσης χαρακτηρίζει πλήρως το μη γραμμικό σύστημα. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα των μη γραμμικών συστημάτων είναι η παρουσία διαφόρων τύπων κινήσεων, αρκετών καταστάσεων ισορροπίας και η παρουσία οριακών κύκλων.

Παράδειγμα

Σχεδιάστε τροχιές φάσης για ένα μη γραμμικό σύστημα με τρεις διαφορετικές μη γραμμικότητες - έναν ηλεκτρονόμο δύο θέσεων, έναν ηλεκτρονόμο τριών θέσεων με νεκρή ζώνη (±0,2) και έναν ηλεκτρονόμο δύο θέσεων με υστέρηση (±0,1), εάν το γραμμικό τμήμα έχει λειτουργία μεταφοράς

Λύση

Σύμφωνα με την ανάθεση, το μοντέλο ενός μη γραμμικού συστήματος μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή του Σχ. 11.

Για όλες τις μη γραμμικότητες, δεχόμαστε την τιμή του σήματος στην έξοδο του ρελέ ως ±2.

Εικόνα 11 - Μοντέλο μη γραμμικού συστήματος αυτόματου ελέγχου

Στη συνέχεια οι εξισώσεις κατάστασης θα γραφτούν στη μορφή

Διαιρώντας τη δεύτερη από τις εξισώσεις με την πρώτη, παίρνουμε την εξίσωση τροχιάς φάσης

Ανάλογα με το ποια πλευρά της γραμμής μεταγωγής ρελέ βρίσκεται το αντιπροσωπευτικό σημείο, οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης θα είναι οι εξής:

στα δεξιά της γραμμής μεταγωγής για x1 > 0 x 1 = 4 ln |x 2 + 10| - 0,4x 2 + c 1 ;

στα αριστερά της γραμμής μεταγωγής στο x1< 0 x 1 = 4 ln |x 2 - 10| - 0,4x 2 + c 2 ;

για ένα ρελέ τριών θέσεων, η κίνηση του αντιπροσωπευτικού σημείου εντός της νεκρής ζώνης είναι -0,2

όπου σ 1, σ 2 και σ 3 είναι σταθερές ολοκλήρωσης ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες.

Στο Σχ. Το σχήμα 9 δείχνει τις τροχιές φάσης ενός μη γραμμικού συστήματος αυτόματου ελέγχου με διάφορα μη γραμμικά στοιχεία. Η τοποθέτηση ή η ραφή των τμημάτων των τροχιών φάσης γίνεται κατά μήκος των γραμμών μεταγωγής.

Εικόνα 12 - Τροχιές φάσης συστημάτων ηλεκτρονόμων

Αναλύοντας τις τροχιές των φάσεων, μπορούν να εξαχθούν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

1. κάτω από τις δεδομένες αρχικές συνθήκες, όλα τα συστήματα είναι σταθερά. Επιπλέον, τα συστήματα με ρελέ δύο θέσεων είναι σταθερά «σε μεγάλα».

2. Συστήματα με ρελέ δύο θέσεων παρουσιάζουν σταθερές ταλαντώσεις. Η τετμημένη του οριακού κύκλου καθορίζει το πλάτος των ταλαντώσεων A o και η συχνότητα μπορεί να προσδιοριστεί από την τεταγμένη του οριακού κύκλου A o ω o.

3. Ένα σύστημα με ρελέ τριών θέσεων με νεκρή ζώνη έχει ένα «ειδικό τμήμα». Αφού περάσει από τη μεταβατική διαδικασία, το σύστημα μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή εντός της νεκρής ζώνης, όπως φαίνεται στην Εικ. 9.

Έτσι, η μέθοδος του χώρου φάσης είναι μια θεμελιώδης μέθοδος για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων. Είναι πολύ πιο εύκολο και πιο βολικό να μελετήσουμε μη γραμμικά συστήματα στο επίπεδο φάσης παρά να σχεδιάζουμε παροδικές διεργασίες στο πεδίο του χρόνου.

Οι γεωμετρικές κατασκευές στο χώρο είναι λιγότερο οπτικές από τις κατασκευές σε επίπεδο, όταν το σύστημα είναι δεύτερης τάξης και χρησιμοποιείται η μέθοδος του επιπέδου φάσης.

2) Μέθοδος αρμονικής γραμμικοποίησης.

Η ιδέα της μεθόδου αρμονικής γραμμικοποίησης ανήκει στον Ν.Μ. Krylov και N.N. Bogolyubov και βασίζεται στην αντικατάσταση ενός μη γραμμικού στοιχείου του συστήματος με έναν γραμμικό σύνδεσμο, οι παράμετροι του οποίου καθορίζονται υπό μια αρμονική ενέργεια εισόδου από την συνθήκη ισότητας των πλατών των πρώτων αρμονικών στην έξοδο του μη γραμμικού στοιχείου και τον ισοδύναμο γραμμικό σύνδεσμο. Η μέθοδος είναι κατά προσέγγιση και μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στην περίπτωση που το γραμμικό τμήμα του συστήματος είναι ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, δηλ. φιλτράρει όλα τα αρμονικά στοιχεία που προκύπτουν στην έξοδο ενός μη γραμμικού στοιχείου, εκτός από την πρώτη αρμονική. Σε αυτήν την περίπτωση, το γραμμικό τμήμα μπορεί να περιγραφεί με μια διαφορική εξίσωση οποιασδήποτε τάξης και το μη γραμμικό στοιχείο μπορεί να είναι είτε μονής τιμής είτε πολλαπλών τιμών. Η μέθοδος μπορεί να είναι αποτελεσματική για τον υπολογισμό των παραμέτρων των φυσικών ταλαντώσεων σε ένα σύστημα· χρησιμοποιείται επίσης για την ανάλυση της ακρίβειας υπό μια αρμονική κινητήρια επίδραση.

Η μέθοδος αρμονικής γραμμικοποίησης βασίζεται στην υπόθεση ότι εφαρμόζεται αρμονική επιρροή με συχνότητα ω και πλάτος Α στην είσοδο του μη γραμμικού στοιχείου, δηλ. x = А sinωt. Υποθέτοντας ότι το γραμμικό τμήμα είναι ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, το φάσμα του σήματος εξόδου του γραμμικού τμήματος περιορίζεται μόνο από την πρώτη αρμονική που καθορίζεται από τη σειρά Fourier (αυτή είναι η προσέγγιση της μεθόδου, καθώς οι υψηλότερες αρμονικές εξαιρούνται από την εξέταση ). Στη συνέχεια, η σύνδεση μεταξύ της πρώτης αρμονικής του σήματος εξόδου και της αρμονικής εισόδου του μη γραμμικού στοιχείου αναπαρίσταται με τη μορφή μιας συνάρτησης μεταφοράς:

Η εξίσωση (1.6) ονομάζεται εξίσωση αρμονικής γραμμικοποίησης και οι συντελεστές q και q" είναι οι συντελεστές αρμονικής γραμμικοποίησης, ανάλογα με το πλάτος Α και τη συχνότητα ω της δράσης εισόδου. Πρέπει να σημειωθεί ότι για στατικούς συντελεστές μονής τιμής q" (Α) = 0. Υποβάλλοντας την εξίσωση (1.6) στον μετασχηματισμό Laplace υπό μηδενικές αρχικές συνθήκες, ακολουθούμενη από αντικατάσταση του τελεστή p με jω (p = jω), λαμβάνουμε τον ισοδύναμο μιγαδικό συντελεστή μεταφοράς του μη γραμμικού στοιχείου

W ne (jω,A) = q + jq" (1.7)

Αφού πραγματοποιηθεί η αρμονική γραμμικοποίηση, για την ανάλυση και τη σύνθεση μη γραμμικών συστημάτων αυτόματου ελέγχου είναι δυνατή η χρήση όλων των μεθόδων που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη γραμμικών συστημάτων, συμπεριλαμβανομένης της χρήσης διαφόρων κριτηρίων ευστάθειας. Κατά τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων που βασίζονται στη μέθοδο της αρμονικής γραμμικοποίησης, λύνεται πρώτα το ζήτημα της ύπαρξης και της σταθερότητας των περιοδικών (αυτοταλαντούμενων) τρόπων. Εάν η περιοδική λειτουργία είναι σταθερή, τότε το σύστημα περιέχει αυτοταλαντώσεις με συχνότητα ω 0 και πλάτος A 0 . Ας εξετάσουμε ένα μη γραμμικό σύστημα που περιλαμβάνει ένα γραμμικό τμήμα με συνάρτηση μεταφοράς

και ένα μη γραμμικό στοιχείο με ισοδύναμο μιγαδικό συντελεστή μεταφοράς (1.7). Το υπολογισμένο μπλοκ διάγραμμα του μη γραμμικού συστήματος έχει τη μορφή του Σχ. 13.

Σχήμα 13 - Μπλοκ διάγραμμα ενός μη γραμμικού συστήματος αυτόματου ελέγχου

Για να εκτιμηθεί η πιθανότητα εμφάνισης αυτοταλαντώσεων σε ένα μη γραμμικό σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αρμονικής γραμμικοποίησης, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συνθήκες του ορίου ευστάθειας, όπως έγινε κατά την ανάλυση της ευστάθειας γραμμικών συστημάτων. Εάν το γραμμικό μέρος περιγράφεται από τη συνάρτηση μεταφοράς (1.8) και το μη γραμμικό στοιχείο (1.7), τότε η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού συστήματος θα έχει τη μορφή:

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (1,10)

Με βάση το κριτήριο ευστάθειας Mikhailov, το όριο σταθερότητας θα είναι το πέρασμα του οδογράφου Mikhailov από την αρχή. Από τις εκφράσεις (1.10) μπορεί κανείς να βρει την εξάρτηση του πλάτους και της συχνότητας των αυτοταλαντώσεων από τις παραμέτρους του συστήματος, για παράδειγμα, από τον συντελεστή μετάδοσης k του γραμμικού τμήματος του συστήματος. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να θεωρηθεί ο συντελεστής μετάδοσης k ως μεταβλητή τιμή στις εξισώσεις (1.10), δηλ. γράψτε αυτήν την εξίσωση με τη μορφή:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 ( 1.11)

όπου ω o και A o είναι η πιθανή συχνότητα και το πλάτος των αυτοταλαντώσεων.

Στη συνέχεια, εξισώνοντας με μηδέν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη της εξίσωσης (1.11)

μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα όριο σταθερότητας (D-partition) χρησιμοποιώντας την παράμετρο k που μας ενδιαφέρει (Εικ. 11).

Σχήμα 14 - D-διαμερισμός του επιπέδου της παραμέτρου Κ ενός μη γραμμικού συστήματος αυτόματου ελέγχου

Αναλύοντας το Σχ. 14, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στην περιοχή 1 οι αυτοταλαντώσεις είναι αδύνατες και ο κρίσιμος συντελεστής είναι ίσος με kr, και στην περιοχή 2 οι ταλαντώσεις συγκλίνουν στο πλάτος A o και τη συχνότητα ω o (τρόπος αυτοταλάντωσης) ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες. Χρησιμοποιώντας το γράφημα στο Σχ. 11, μπορείτε να επιλέξετε τον συντελεστή μετάδοσης k, στον οποίο το πλάτος και η συχνότητα των πιθανών αυτοταλαντώσεων έχουν αποδεκτές τιμές ή απουσιάζουν εντελώς.

Πιο συχνά στην πράξη, η γραφική-αναλυτική μέθοδος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των πιθανών πλάτη και συχνοτήτων αυτοταλαντώσεων σε μη γραμμικά συστήματα. Σύμφωνα με το κριτήριο ευστάθειας Nyquist, οι ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση σε ένα γραμμικό σύστημα συμβαίνουν στην περίπτωση που το χαρακτηριστικό πλάτους-φάσης ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου διέρχεται από ένα σημείο με συντεταγμένες . Αυτή η συνθήκη είναι και η προϋπόθεση για την ύπαρξη αυτοταλαντώσεων σε ένα αρμονικά γραμμικοποιημένο μη γραμμικό σύστημα (Εικ. 11), δηλ.

1 + W lch (jω)*W ne (jω,A)=0 (1,13)

ή W lch (jω)=-1/W ne (jω,A). (1.14)

Η λύση της εξίσωσης (1.14) σχετικά με τη συχνότητα και το πλάτος των αυτοταλαντώσεων μπορεί να ληφθεί γραφικά ως το σημείο τομής του οδογράφου του χαρακτηριστικού συχνότητας του γραμμικού τμήματος του συστήματος Wlch(jω) και του οδογράφου του αντιστρόφου χαρακτηριστικού του μη γραμμικού μέρους -1/Wne(jω,A) (Εικ. 15). Εάν αυτά τα οδόγραφα δεν τέμνονται, τότε το καθεστώς αυτοταλάντωσης δεν υπάρχει στο υπό μελέτη σύστημα.

Εικόνα 15 - Οδογραφήματα των γραμμικών και μη γραμμικών τμημάτων του συστήματος

Για τη σταθερότητα ενός αυτοταλαντούμενου τρόπου λειτουργίας με συχνότητα ω 0 και πλάτος A 0, απαιτείται το σημείο στο οδόγραφο του μη γραμμικού μέρους M, που αντιστοιχεί στο αυξημένο πλάτος A 0 +ΔA σε σύγκριση με την τιμή στο σημείο η τομή των οδογράφων, δεν καλύπτεται από το οδόγραφο της απόκρισης συχνότητας του γραμμικού τμήματος του συστήματος, διαφορετικά οι αυτοταλαντώσεις είναι ασταθείς. Στο Σχ. Το Σχήμα 15 δίνει ένα παράδειγμα της θέσης των οδογράφων για την περίπτωση που υπάρχουν σταθερές αυτοταλαντώσεις σε ένα μη γραμμικό σύστημα. Οι παράμετροι των αυτοταλαντώσεων στην είσοδο του μη γραμμικού στοιχείου καθορίζονται στο σημείο τομής των οδογραφημάτων: συχνότητα από W lch (jω), και πλάτος από W ne -1 (A). Η μελέτη μη γραμμικών συστημάτων είναι δυνατή με χρήση λογαριθμικών χαρακτηριστικών συχνότητας (μέθοδος προτύπου). Η μέθοδος αρμονικής ισορροπίας επιτρέπει τη σύνθεση μη γραμμικών συστημάτων αυτόματου ελέγχου για τη διασφάλιση των απαιτούμενων δεικτών ποιότητας αλλάζοντας τις παραμέτρους είτε του γραμμικού τμήματος είτε του μη γραμμικού στοιχείου.

Παράδειγμα

Προσδιορίστε την πιθανή συχνότητα αυτοταλαντώσεων όταν εισάγετε μια σαφή μη γραμμικότητα με τη μορφή ρελέ δύο θέσεων σε ένα αυτόματο σύστημα ελέγχου που έχει LFC της μορφής (Εικόνα 16).

Εικόνα 16 - LFC του γραμμικού τμήματος

ΛύσηΕίναι γνωστό ότι το χαρακτηριστικό - 1/W ne (jω,A) ενός μη γραμμικού στοιχείου μονής τιμής (ρελέ δύο θέσεων) βρίσκεται πλήρως στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα, επομένως η α.φ.χ. το γραμμικό τμήμα W lch (jω) μπορεί να το τέμνει μόνο υπό γωνία -180°. Η συχνότητα των πιθανών αυτοταλαντώσεων καθορίζεται από το W lch (jω), και το l.f.h. (Εικ. 7.8) δείχνει ότι η μετατόπιση γωνίας φάσης -180° συμβαίνει σε συχνότητα ω = 300 rad/s. Αυτή είναι η πιθανή συχνότητα των αυτοταλαντώσεων κατά την εισαγωγή σαφούς μη γραμμικότητας στο ACS.

Η μέθοδος αρμονικής γραμμικοποίησης χρησιμοποιείται για την ανάλυση μεταβατικών συνθηκών λειτουργίας, την αξιολόγηση της σταθερότητας του συστήματος και την πιθανότητα εμφάνισης περιοδικών ταλαντώσεων.

3) Μέθοδος στατιστικής γραμμικοποίησης.

Η μέθοδος βασίζεται στην αντικατάσταση του μη γραμμικού μετασχηματισμού διεργασιών με στατιστικά ισοδύναμους γραμμικούς μετασχηματισμούς. Το μη γραμμικό στοιχείο αντικαθίσταται από ένα γραμμικό ισοδύναμο (Εικόνα 17). Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, το σύστημα γραμμικοποιείται, γεγονός που επιτρέπει τη χρήση μεθόδων για τη μελέτη γραμμικών συστημάτων.

Η αντικατάσταση ενός μη γραμμικού μετασχηματισμού με έναν γραμμικό είναι κατά προσέγγιση και δίκαιη μόνο από ορισμένες απόψεις. Επομένως, δεν υπάρχει σαφής ισοδυναμία όταν χρησιμοποιούνται διαφορετικά κριτήρια.

Ειδικότερα, εάν η μη γραμμικότητα καθορίζεται από μια εξάρτηση της μορφής χωρίς αδράνεια

χρησιμοποιούνται δύο κριτήρια ισοδυναμίας.

Εικόνα 17

Το πρώτο κριτήριο προϋποθέτει την ισότητα στην έξοδο του μη γραμμικού στοιχείου και το γραμμικό του ισοδύναμο των μαθηματικών προσδοκιών και διακυμάνσεων των διεργασιών.

Το δεύτερο κριτήριο είναι το ελάχιστο της μέσης τετραγωνικής διαφοράς μεταξύ των διεργασιών στην έξοδο του μη γραμμικού στοιχείου και του γραμμικού ισοδυνάμου του.

Ας αναπαραστήσουμε τη διαδικασία στην είσοδο και στην έξοδο ενός μη γραμμικού στοιχείου με τη μορφή:

πού είναι η μαθηματική προσδοκία της διεργασίας στην έξοδο του ΒΑ;

─ κεντραρισμένο τυχαίο στοιχείο.

Η διαδικασία στην έξοδο του γραμμικού ισοδυνάμου αναπαρίσταται ως εξής:

όπου ─ γραμμικό ισοδύναμο συντελεστή μετάδοσης σύμφωνα με τις μαθηματικές προσδοκίες. ─ συντελεστής μετάδοσης για την κεντραρισμένη τυχαία συνιστώσα.

Ας χρησιμοποιήσουμε το πρώτο κριτήριο ισοδυναμίας:

Από αυτές τις εξισώσεις βρίσκουμε

όπου είναι η πυκνότητα πιθανότητας της διεργασίας στην είσοδο του μη γραμμικού στοιχείου.

Συντελεστής μετάδοσης του γραμμικού ισοδυνάμου για την κεντραρισμένη τυχαία συνιστώσα (σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο).

Σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο ισοδυναμίας:

Για να προσδιορίσουμε και για το ποια είναι η συνθήκη ισοδυναμίας, βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους και τις εξισώνουμε με μηδέν:

Κατά τον υπολογισμό αυτών των συντελεστών, θεωρείται ότι η κατανομή εισόδου είναι κανονική:

Έχοντας καθορίσει τις ποσότητες

για τυπικές μη γραμμικότητες, αντικαταστήστε τους τελευταίους με γραμμικούς ισοδύναμους συντελεστές μετάδοσης και αναλύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας γραμμικές μεθόδους.

Για τους κύριους τύπους μη γραμμικοτήτων και την κανονική κατανομή της διαδικασίας εισόδου, οι συντελεστές υπολογίζονται και παρουσιάζονται με τη μορφή πινακικών τιμών. Ειδικότερα, για τα χαρακτηριστικά του τύπου ρελέ (Εικ. 19)

Εικόνα 19 - Χαρακτηριστικά τύπου ρελέ:

οι συντελεστές είναι ίσοι.

"Θεωρία αυτόματου ελέγχου"

"Μέθοδοι για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων"

1. Μέθοδος διαφορικών εξισώσεων

Η διαφορική εξίσωση ενός κλειστού μη γραμμικού συστήματος νης τάξης (Εικ. 1) μπορεί να μετατραπεί σε ένα σύστημα n-διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με τη μορφή:

όπου: – μεταβλητές που χαρακτηρίζουν τη συμπεριφορά του συστήματος (μία από αυτές μπορεί να είναι ελεγχόμενη μεταβλητή). – μη γραμμικές συναρτήσεις. u – επιρροή ρύθμισης.

Συνήθως, αυτές οι εξισώσεις γράφονται σε πεπερασμένες διαφορές:

πού είναι οι αρχικές συνθήκες.

Εάν οι αποκλίσεις δεν είναι μεγάλες, τότε αυτό το σύστημα μπορεί να λυθεί ως σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Η λύση μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά.

2. Μέθοδος χώρου φάσης

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που η εξωτερική επιρροή είναι μηδέν (U = 0).

Η κίνηση του συστήματος καθορίζεται από μια αλλαγή στις συντεταγμένες του - σε συνάρτηση με το χρόνο. Οι τιμές ανά πάσα στιγμή χαρακτηρίζουν την κατάσταση (φάση) του συστήματος και καθορίζουν τις συντεταγμένες του συστήματος που έχει n-άξονες και μπορούν να αναπαρασταθούν ως συντεταγμένες κάποιου (που αντιπροσωπεύουν) σημείο M (Εικ. 2).

Ο χώρος φάσης είναι ο χώρος συντεταγμένων του συστήματος.

Καθώς ο χρόνος t αλλάζει, το σημείο Μ κινείται κατά μήκος μιας τροχιάς που ονομάζεται τροχιά φάσης. Εάν αλλάξουμε τις αρχικές συνθήκες, θα έχουμε μια οικογένεια τροχιών φάσης που ονομάζεται πορτρέτο φάσης. Το πορτρέτο φάσης καθορίζει τη φύση της διαδικασίας μετάβασης σε ένα μη γραμμικό σύστημα. Το πορτραίτο φάσης έχει ειδικά σημεία στα οποία τείνουν ή απομακρύνονται οι τροχιές φάσης του συστήματος (μπορεί να υπάρχουν αρκετά από αυτά).

Το πορτρέτο φάσης μπορεί να περιέχει τροχιές κλειστής φάσης, οι οποίες ονομάζονται οριακούς κύκλους. Οι οριακές κύκλοι χαρακτηρίζουν τις αυτοταλαντώσεις στο σύστημα. Οι τροχιές φάσεων δεν τέμνονται πουθενά, εκτός από ειδικά σημεία που χαρακτηρίζουν τις καταστάσεις ισορροπίας του συστήματος. Οι ορικοί κύκλοι και οι καταστάσεις ισορροπίας μπορεί να είναι σταθερές ή ασταθείς.

Το πορτρέτο φάσης χαρακτηρίζει πλήρως το μη γραμμικό σύστημα. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα των μη γραμμικών συστημάτων είναι η παρουσία διαφόρων τύπων κινήσεων, αρκετών καταστάσεων ισορροπίας και η παρουσία οριακών κύκλων.

Η μέθοδος του χώρου φάσης είναι μια θεμελιώδης μέθοδος για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων. Είναι πολύ πιο εύκολο και πιο βολικό να μελετήσουμε μη γραμμικά συστήματα στο επίπεδο φάσης παρά να σχεδιάζουμε παροδικές διεργασίες στο πεδίο του χρόνου.

Οι γεωμετρικές κατασκευές στο χώρο είναι λιγότερο οπτικές από τις κατασκευές σε επίπεδο, όταν το σύστημα είναι δεύτερης τάξης και χρησιμοποιείται η μέθοδος του επιπέδου φάσης.

Εφαρμογή της μεθόδου του επιπέδου φάσης για γραμμικά συστήματα

Ας αναλύσουμε τη σχέση μεταξύ της φύσης της διαδικασίας μετάβασης και των καμπυλών των τροχιών φάσης. Οι τροχιές φάσεων μπορούν να ληφθούν είτε με την ολοκλήρωση της εξίσωσης της τροχιάς φάσης είτε με την επίλυση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης 2ης τάξης.

Αφήστε το σύστημα να δοθεί (Εικ. 3).

Ας εξετάσουμε την ελεύθερη κυκλοφορία του συστήματος. Σε αυτήν την περίπτωση: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Γενικά, η διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή

Οπου (1)

Αυτή είναι μια ομοιογενής διαφορική εξίσωση 2ης τάξης, η χαρακτηριστική της εξίσωση είναι ίση με

. (2)

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης καθορίζονται από τις σχέσεις

(3)

Ας αναπαραστήσουμε μια διαφορική εξίσωση 2ης τάξης με τη μορφή συστήματος

Εξισώσεις 1ης τάξης:

(4)

όπου είναι ο ρυθμός μεταβολής της ελεγχόμενης μεταβλητής.

Στο υπό εξέταση γραμμικό σύστημα, οι μεταβλητές x και y αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες φάσης. Κατασκευάζουμε το πορτρέτο φάσης στο χώρο των συντεταγμένων x και y, δηλ. στο επίπεδο φάσης.

Αν εξαιρέσουμε τον χρόνο από την εξίσωση (1), λαμβάνουμε την εξίσωση των ολοκληρωτικών καμπυλών ή των τροχιών φάσης.

. (5)

Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη εξίσωση

Ας εξετάσουμε αρκετές περιπτώσεις

Τα αρχεία GB_prog.m και GB_mod.mdl και η ανάλυση της φασματικής σύνθεσης της περιοδικής λειτουργίας στην έξοδο του γραμμικού τμήματος - χρησιμοποιώντας τα αρχεία GB_prog.m και R_Fourie.mdl. Περιεχόμενα του αρχείου GB_prog.m: % Μελέτη μη γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο αρμονικής ισορροπίας % Αρχεία που χρησιμοποιούνται: GB_prog.m, GB_mod.mdl και R_Fourie.mdl. % Χρησιμοποιούμενες ονομασίες: NE - μη γραμμικό στοιχείο, LP - γραμμικό τμήμα. Εκκαθάριση όλων...

Χωρίς αδράνεια στο επιτρεπτό (περιορισμένο από πάνω) εύρος συχνοτήτων, πέρα ​​από το οποίο γίνεται αδρανειακό. Ανάλογα με το είδος των χαρακτηριστικών, διακρίνονται μη γραμμικά στοιχεία με συμμετρικά και ασύμμετρα χαρακτηριστικά. Ένα χαρακτηριστικό που δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση των μεγεθών που το καθορίζουν ονομάζεται συμμετρικό, δηλ. έχοντας συμμετρία σε σχέση με την προέλευση του συστήματος...