Tela pod uticajem gravitacije. Kretanje tijela pod utjecajem gravitacije. Kretanje tijela pod utjecajem gravitacije: formule za rješavanje problema

Na osnovu tumačenja drugog Newtonovog zakona, možemo zaključiti da se promjena kretanja događa pomoću sile. Mehanika razmatra sile različite fizičke prirode. Mnogi od njih su određeni djelovanjem gravitacijskih sila.

Godine 1862. I. Newton je otkrio zakon univerzalne gravitacije. On je sugerirao da su sile koje drže Mjesec iste prirode kao sile koje uzrokuju da jabuka padne na Zemlju. Smisao hipoteze je prisustvo privlačnih sila usmjerenih duž linije i koje povezuju centre mase, kao što je prikazano na slici 1. 10 . 1 . Sferno tijelo ima centar mase koji se poklapa sa centrom lopte.

Crtanje 1 . 10 . 1 . Gravitacijske sile privlačenja između tijela. F 1 → = - F 2 → .

Definicija 1

S obzirom na poznate smjerove kretanja planeta, Newton je pokušao otkriti koje sile djeluju na njih. Ovaj proces se zove inverzni problem mehanike.

Glavni zadatak mehanike je da odredi koordinate tijela poznate mase sa njegovom brzinom u bilo kojem trenutku koristeći poznate sile koje djeluju na tijelo i dato stanje (direktan problem). Obrnuto se vrši određivanjem sila koje djeluju na tijelo s njegovim poznatim smjerom. Takvi problemi doveli su naučnika do otkrića definicije zakona univerzalne gravitacije.

Definicija 2

Sva tijela se privlače jedno prema drugom silom koja je direktno proporcionalna njihovoj masi i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između njih.

F = G m 1 m 2 r 2 .

Vrijednost G određuje koeficijent proporcionalnosti svih tijela u prirodi, koji se naziva gravitaciona konstanta i označava se formulom G = 6,67 · 10 - 11 N · m 2 / k g 2 (CI).

Većina pojava u prirodi objašnjava se prisustvom sile univerzalne gravitacije. Kretanje planeta, umjetnih satelita Zemlje, putanje leta balističkih projektila, kretanje tijela blizu površine Zemlje - sve se objašnjava zakonom gravitacije i dinamike.

Definicija 3

Manifestaciju gravitacije karakteriše prisustvo gravitacije. Ovo je naziv dat sili privlačenja tijela prema Zemlji i blizu njene površine.

Kada je M označen kao masa Zemlje, RZ je poluprečnik, m je masa tijela, tada formula za gravitaciju ima oblik:

F = G M R Z 2 m = m g .

Gdje je g ubrzanje gravitacije, jednako g = G M R 3 2.

Gravitacija je usmjerena prema centru Zemlje, kao što je prikazano na primjeru Mjesec-Zemlja. U nedostatku drugih sila, tijelo se kreće ubrzanjem gravitacije. Prosječna vrijednost mu je 9,81 m/s2. Uz poznati G i poluprečnik R 3 = 6,38 · 10 6 m, masa Zemlje M izračunava se pomoću formule:

M = g R 3 2 G = 5,98 10 24 kg g.

Ako se tijelo udalji od Zemljine površine, tada se efekat gravitacije i ubrzanja zbog gravitacije mijenja u obrnutoj proporciji s kvadratom udaljenosti r do centra. Slika 1. 10 . 2 pokazuje kako se gravitaciona sila koja djeluje na astronauta broda mijenja s udaljenosti od Zemlje. Očigledno, F njegovog privlačenja na Zemlju je jednak 700 N.

Crtanje 1 . 10 . 2 . Promjene u gravitacijskoj sili koja djeluje na astronauta dok se udaljava od Zemlje.

Primjer 1

Zemlja-Mjesec je prikladan primjer interakcije sistema dva tijela.

Udaljenost do Mjeseca je r L = 3,84 · 10 6 m. To je 60 puta veće od poluprečnika Zemlje R Z. To znači da će u prisustvu gravitacije, gravitacijsko ubrzanje α L Mjesečeve orbite biti α L = g R Z r L 2 = 9,81 m/s 2 60 2 = 0,0027 m/s 2.

Usmjerena je prema centru Zemlje i naziva se centripetalna. Proračun se vrši prema formuli a L = υ 2 r L = 4 π 2 r L T 2 = 0,0027 m/s 2, gdje je T = 27,3 dana period okretanja Mjeseca oko Zemlje. Rezultati i proračuni izvedeni na različite načine pokazuju da je Newton bio u pravu u svojoj pretpostavci o istoj prirodi sile koja drži Mjesec u orbiti i sile gravitacije.

Mjesec ima vlastito gravitacijsko polje, koje određuje ubrzanje gravitacije g L na površini. Masa Mjeseca je 81 puta manja od mase Zemlje, a poluprečnik mu je 3,7 puta. Ovo pokazuje da ubrzanje g L treba odrediti iz izraza:

g L = G M L R L 2 = G M Z 3, 7 2 T 3 2 = 0, 17 g = 1, 66 m/s 2.

Ovako slaba gravitacija tipična je za astronaute na Mjesecu. Stoga možete napraviti ogromne skokove i korake. Skok od jednog metra na Zemlji odgovara sedam metara na Mjesecu.

Kretanje vještačkih satelita se bilježi izvan Zemljine atmosfere, pa na njih djeluju Zemljine gravitacijske sile. Putanja kosmičkog tijela može varirati ovisno o početnoj brzini. Kretanje umjetnog satelita u orbiti oko Zemlje približno se uzima kao udaljenost do centra Zemlje, jednaka poluprečniku R Z. Oni lete na visinama od 200 - 300 km.

Definicija 4

Iz toga slijedi da je centripetalno ubrzanje satelita, koje je dano gravitacijskim silama, jednako ubrzanju gravitacije g. Brzina satelita će dobiti oznaku υ 1. Zovu je prva brzina bijega.

Primjenom kinematičke formule za centripetalno ubrzanje dobivamo

a n = υ 1 2 R Z = g, υ 1 = g R Z = 7,91 · 10 3 m/s.

Sa ovom brzinom, satelit je mogao da obleti Zemlju za vrijeme jednako T 1 = 2 πR Z υ 1 = 84 min 12 s.

Ali period okretanja satelita u kružnoj orbiti u blizini Zemlje je mnogo duži nego što je gore navedeno, jer postoji razlika između radijusa stvarne orbite i radijusa Zemlje.

Satelit se kreće po principu slobodnog pada, pomalo slično putanji projektila ili balističke rakete. Razlika je u velikoj brzini satelita, a radijus zakrivljenosti njegove putanje dostiže dužinu poluprečnika Zemlje.

Sateliti koji se kreću duž kružnih putanja na velikim udaljenostima imaju oslabljenu gravitaciju, obrnuto proporcionalnu kvadratu polumjera r putanje. Tada pronalaženje brzine satelita slijedi uvjet:

υ 2 k = g R 3 2 r 2, υ = g R 3 R Z r = υ 1 R 3 r.

Stoga prisustvo satelita u visokim orbitama ukazuje na manju brzinu njihovog kretanja nego iz orbite blizu Zemlje. Formula za period cirkulacije je:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R Z = 2 πR Z υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R Z.

T 1 uzima vrijednost orbitalnog perioda satelita u niskoj orbiti Zemlje. T raste sa veličinom radijusa orbite. Ako r ima vrijednost 6,6 R3 onda je T satelita 24 sata. Kada se lansira u ekvatorijalnoj ravni, primijetit će se da visi iznad određene tačke na zemljinoj površini. Upotreba ovakvih satelita poznata je u svemirskom radio komunikacijskom sistemu. Orbita poluprečnika r = 6,6 RZ naziva se geostacionarna.

Crtanje 1 . 10 . 3 . Model kretanja satelita.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Djelovanje univerzalnih gravitacijskih sila u prirodi objašnjava mnoge fenomene: kretanje planeta u Sunčevom sistemu, umjetni sateliti Zemlje, putanje leta balističkih projektila, kretanje tijela blizu površine Zemlje - sve su objašnjene na osnovu zakona univerzalne gravitacije i zakona dinamike.

Zakon gravitacije objašnjava mehaničku strukturu Sunčevog sistema, a iz njega se mogu izvesti Keplerovi zakoni koji opisuju putanje kretanja planeta. Za Keplera su njegovi zakoni bili čisto deskriptivni - naučnik je jednostavno sažeo svoja zapažanja u matematičkom obliku, bez davanja teoretskih osnova za formule. U velikom sistemu svjetskog poretka prema Newtonu, Keplerovi zakoni postaju direktna posljedica univerzalnih zakona mehanike i zakona univerzalne gravitacije. Odnosno, ponovo uočavamo kako se empirijski zaključci dobijeni na jednoj razini pretvaraju u strogo potkrijepljene logičke zaključke kada pređemo na sljedeću fazu produbljivanja našeg znanja o svijetu.

Njutn je bio prvi koji je izrazio ideju da gravitacione sile određuju ne samo kretanje planeta Sunčevog sistema; djeluju između bilo kojeg tijela u Univerzumu. Jedna od manifestacija sile univerzalne gravitacije je sila gravitacije - ovo je uobičajeni naziv za silu privlačenja tijela prema Zemlji blizu njene površine.

Ako je M masa Zemlje, RZ njen poluprečnik, m masa datog tijela, tada je sila gravitacije jednaka

gdje je g ubrzanje slobodnog pada;

blizu površine Zemlje

Sila gravitacije je usmjerena prema centru Zemlje. U nedostatku drugih sila, tijelo slobodno pada na Zemlju ubrzanjem gravitacije.

Prosječna vrijednost ubrzanja zbog gravitacije za različite tačke na površini Zemlje je 9,81 m/s2. Poznavajući ubrzanje gravitacije i poluprečnik Zemlje (RZ = 6,38·106 m), možemo izračunati masu Zemlje

Slika strukture Sunčevog sistema koja sledi iz ovih jednačina i kombinuje zemaljsku i nebesku gravitaciju može se razumeti na jednostavnom primeru. Pretpostavimo da stojimo na rubu strme litice, pored topa i gomile topovskih kugli. Ako jednostavno bacite topovsku kuglu okomito s ruba litice, ona će početi padati okomito i ravnomjerno ubrzano. Njegovo kretanje će biti opisano Newtonovim zakonima za jednoliko ubrzano kretanje tijela s ubrzanjem g. Ako sada ispalite topovsku kuglu prema horizontu, ona će poletjeti i pasti u luku. I u ovom slučaju, njegovo kretanje će biti opisano Newtonovim zakonima, samo što se sada primjenjuju na tijelo koje se kreće pod utjecajem gravitacije i ima određenu početnu brzinu u horizontalnoj ravnini. Sada, dok punite top sa sve težim topovskim kuglama i pucate iznova i iznova, otkrit ćete da kako svaka uzastopna topovska kugla napušta cijev s većom početnom brzinom, topovske kugle padaju sve dalje i dalje od podnožja litice.

Zamislite sada da smo spakovali toliko baruta u top da je brzina topovske kugle dovoljna da obleti zemaljsku kuglu. Ako zanemarimo otpor zraka, topovsko đule će se, nakon što je obletjelo Zemlju, vratiti na svoju početnu tačku potpuno istom brzinom kojom je u početku izletjelo iz topa. Jasno je šta će se dalje desiti: jezgro se tu neće zaustaviti i nastaviće da vijuga krug za krugom oko planete.

Drugim riječima, dobićemo vještački satelit koji kruži oko Zemlje, poput prirodnog satelita - Mjeseca.

Dakle, korak po korak, prešli smo od opisivanja kretanja tijela koje pada isključivo pod utjecajem “zemaljske” gravitacije (Njutnova jabuka) na opisivanje kretanja satelita (Mjeseca) u orbiti, bez promjene prirode gravitacije. uticaj od "zemaljskog" do "nebeskog". Upravo je taj uvid omogućio Newtonu da poveže dvije sile gravitacijske privlačnosti koje su se prije njega smatrale različitim u prirodi.

Kako se udaljavamo od Zemljine površine, sila gravitacije i ubrzanje gravitacije mijenjaju se obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti r do centra Zemlje. Primjer sistema dvaju međusobno povezanih tijela je sistem Zemlja–Mjesec. Mjesec se nalazi na udaljenosti od Zemlje rL = 3,84·106 m. Ova udaljenost je približno 60 puta veća od Zemljinog radijusa RZ. Prema tome, ubrzanje slobodnog pada aL, zbog gravitacije, u orbiti Mjeseca je

Sa takvim ubrzanjem usmjerenim prema centru Zemlje, Mjesec se kreće u orbiti. Dakle, ovo ubrzanje je centripetalno ubrzanje. Može se izračunati pomoću kinematičke formule za centripetalno ubrzanje

gdje je T = 27,3 dana period okretanja Mjeseca oko Zemlje.

Podudarnost rezultata proračuna izvedenih na različite načine potvrđuje Newtonovu pretpostavku o jedinstvenoj prirodi sile koja drži Mjesec u orbiti i sile gravitacije.

Mesečevo sopstveno gravitaciono polje određuje ubrzanje gravitacije gL na njegovoj površini. Masa Meseca je 81 puta manja od mase Zemlje, a njegov poluprečnik je približno 3,7 puta manji od poluprečnika Zemlje.

Stoga će ubrzanje gL biti određeno izrazom

Astronauti koji su sletjeli na Mjesec našli su se u uslovima tako slabe gravitacije. Osoba u takvim uslovima može napraviti ogromne skokove. Na primjer, ako osoba na Zemlji skoči na visinu od 1 m, onda bi na Mjesecu mogla skočiti na visinu veću od 6 m.

Hajde da razmotrimo pitanje veštačkih Zemljinih satelita. Umjetni sateliti Zemlje kreću se izvan Zemljine atmosfere, a na njih djeluju samo gravitacijske sile sa Zemlje.

U zavisnosti od početne brzine, putanja kosmičkog tela može biti različita. Razmotrimo slučaj vještačkog satelita koji se kreće po kružnoj Zemljinoj orbiti. Takvi sateliti lete na visinama od 200-300 km, a udaljenost do centra Zemlje može se približno uzeti jednakom njenom poluprečniku RZ. Tada je centripetalno ubrzanje satelita koje mu prenose gravitacijske sile približno jednako ubrzanju gravitacije g. Označimo brzinu satelita u niskoj orbiti Zemlje sa υ1 - ova brzina se naziva prva kosmička brzina. Koristeći kinematičku formulu za centripetalno ubrzanje, dobivamo

Krećući se takvom brzinom, satelit bi kružio oko Zemlje u vremenu

Zapravo, period okretanja satelita u kružnoj orbiti u blizini Zemljine površine je nešto duži od navedene vrijednosti zbog razlike između radijusa stvarne orbite i radijusa Zemlje. Kretanje satelita može se smatrati slobodnim padom, slično kretanju projektila ili balističkih projektila. Jedina razlika je u tome što je brzina satelita toliko velika da je radijus zakrivljenosti njegove putanje jednak poluprečniku Zemlje.

Za satelite koji se kreću duž kružnih putanja na znatnoj udaljenosti od Zemlje, Zemljina gravitacija slabi obrnuto proporcionalno kvadratu radijusa r putanje. Dakle, u visokim orbitama brzina satelita je manja nego u niskoj orbiti.

Orbitalni period satelita se povećava sa povećanjem orbitalnog radijusa. Lako je izračunati da će s orbitalnim radijusom r približno 6,6 RZ, orbitalni period satelita biti jednak 24 sata. Satelit s takvim orbitalnim periodom, lansiran u ekvatorijalnoj ravni, nepomično će visjeti nad određenom tačkom na površini zemlje. Takvi sateliti se koriste u svemirskim radio komunikacijskim sistemima. Orbita poluprečnika r = 6,6 RZ naziva se geostacionarna.

Druga kosmička brzina je minimalna brzina koja se mora prenijeti svemirskoj letjelici na površini Zemlje kako bi se ona, savladavši gravitaciju, pretvorila u umjetni satelit Sunca (umjetna planeta). U tom slučaju, brod će se udaljiti od Zemlje po paraboličnoj putanji.

Slika 5 ilustruje brzine bijega. Ako je brzina letjelice υ1 = 7,9·103 m/s i usmjerena je paralelno sa Zemljinom površinom, tada će se brod kretati po kružnoj orbiti na maloj visini iznad Zemlje. Pri početnim brzinama većim od υ1, ali manjim od υ2 = 11,2·103 m/s, orbita broda će biti eliptična. Pri početnoj brzini od υ2, brod će se kretati po paraboli, a pri još većoj početnoj brzini po hiperboli.

Kosmičke brzine

Brzine u blizini Zemljine površine su naznačene: 1) υ = υ1 – kružna putanja;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – parabolična putanja; 5) υ > υ2 – hiperbolična putanja;

6) Putanja Mjeseca

Tako smo otkrili da se sva kretanja u Sunčevom sistemu povinuju Newtonovom zakonu univerzalne gravitacije.

Na osnovu male mase planeta, a posebno drugih tijela Sunčevog sistema, približno možemo pretpostaviti da se kretanja u cirkumsolarnom prostoru povinuju Keplerovim zakonima.

Sva tijela se kreću oko Sunca po eliptičnim orbitama, sa Suncem u jednom od fokusa. Što je nebesko tijelo bliže Suncu, to je njegova orbitalna brzina veća (planeta Pluton, najudaljenija poznata, kreće se 6 puta sporije od Zemlje).

Tijela se također mogu kretati otvorenim orbitama: parabola ili hiperbola. Ovo se dešava ako je brzina tela jednaka ili veća od vrednosti druge kosmičke brzine za Sunce na datoj udaljenosti od centralnog tela. Ako govorimo o satelitu planete, tada se brzina bijega mora izračunati u odnosu na masu planete i udaljenost do njenog centra.

Kretanje tijela pod utjecajem gravitacije jedna je od centralnih tema u dinamičkoj fizici. Čak i običan učenik zna da se dio dinamike zasniva na tri. Pokušajmo detaljno analizirati ovu temu, a članak koji detaljno opisuje svaki primjer pomoći će nam da proučavanje kretanja tijela pod utjecajem gravitacije učinimo što korisnijim.

Malo istorije

Ljudi su sa radoznalošću posmatrali razne pojave koje se dešavaju u našim životima. Čovječanstvo dugo nije moglo razumjeti principe i strukturu mnogih sistema, ali dugo putovanje proučavanja svijeta oko nas dovelo je naše pretke do naučne revolucije. Danas, kada se tehnologija razvija nevjerovatnom brzinom, ljudi jedva razmišljaju o tome kako određeni mehanizmi funkcioniraju.

U međuvremenu, naši preci su uvijek bili zainteresirani za misterije prirodnih procesa i strukture svijeta, tražili su odgovore na najsloženija pitanja i nisu prestajali proučavati sve dok nisu pronašli odgovore na njih. Na primer, čuveni naučnik Galileo Galilej je još u 16. veku postavio pitanja: „Zašto tela uvek padaju, koja sila ih privlači na zemlju?“ Godine 1589. izveo je niz eksperimenata, čiji su se rezultati pokazali vrlo vrijednim. Detaljno je proučavao obrasce slobodnog pada raznih tijela, bacajući predmete sa čuvene kule u gradu Pizi. Zakoni koje je on izveo poboljšani su i detaljnije opisani formulama drugog poznatog engleskog naučnika, Sir Isaaca Newtona. On je taj koji posjeduje tri zakona na kojima se zasniva gotovo sva moderna fizika.

Činjenica da su obrasci kretanja tijela opisani prije više od 500 godina i danas relevantni znači da je naša planeta podložna nepromjenjivim zakonima. Savremeni čovjek treba da barem površno proučava osnovne principe svijeta.

Osnovni i pomoćni pojmovi dinamike

Da biste u potpunosti razumjeli principe takvog pokreta, prvo se trebate upoznati s nekim konceptima. Dakle, najpotrebniji teorijski pojmovi:

• Interakcija je utjecaj tijela jedno na drugo, tokom kojeg dolazi do promjene ili početka njihovog kretanja jedno u odnosu na drugo. Postoje četiri vrste interakcije: elektromagnetna, slaba, jaka i gravitaciona.
• Brzina je fizička veličina koja označava brzinu kojom se tijelo kreće. Brzina je vektor, što znači da ima ne samo vrijednost, već i smjer.
• Ubrzanje je veličina koja nam pokazuje brzinu promjene brzine tijela u određenom vremenskom periodu. Ona je takođe
• Putanja puta je kriva, a ponekad i prava linija, koju tijelo ocrtava prilikom kretanja. Kod ravnomjernog pravolinijskog kretanja, putanja se može podudarati s vrijednošću pomaka.
• Put je dužina putanje, odnosno tačno onoliko koliko je tijelo prešlo u određenom vremenu.
• Inercijalni referentni okvir je medij u kojem je zadovoljen prvi Newtonov zakon, odnosno tijelo zadržava svoju inerciju, pod uvjetom da su sve vanjske sile potpuno odsutne.

Gore navedeni koncepti sasvim su dovoljni da ispravno nacrtate ili zamislite u svojoj glavi simulaciju kretanja tijela pod utjecajem gravitacije.

Šta znači snaga?

Pređimo na glavni koncept naše teme. Dakle, sila je veličina, čije značenje je kvantitativni uticaj ili uticaj jednog tela na drugo. A gravitacija je sila koja djeluje na apsolutno svako tijelo koje se nalazi na površini ili blizu naše planete. Postavlja se pitanje: odakle ta moć? Odgovor leži u zakonu univerzalne gravitacije.

Šta je gravitacija?

Bilo koje tijelo sa Zemlje je pod utjecajem gravitacijske sile, koja mu daje određeno ubrzanje. Sila gravitacije uvijek ima vertikalni smjer prema dolje, prema centru planete. Drugim riječima, gravitacija vuče objekte prema Zemlji, zbog čega objekti uvijek padaju. Ispostavilo se da je gravitacija poseban slučaj sile univerzalne gravitacije. Newton je izveo jednu od glavnih formula za pronalaženje sile privlačenja između dva tijela. To izgleda ovako: F = G * (m 1 x m 2) / R 2.

Koliko je ubrzanje zbog gravitacije?

Tijelo koje je oslobođeno sa određene visine uvijek poleti dolje pod utjecajem gravitacije. Kretanje tijela pod utjecajem gravitacije vertikalno gore-dolje može se opisati jednadžbama, gdje će glavna konstanta biti vrijednost ubrzanja "g". Ova vrijednost je posljedica isključivo sile gravitacije, a njena vrijednost je približno 9,8 m/s 2 . Ispostavilo se da će se tijelo bačeno s visine bez početne brzine kretati dolje ubrzanjem jednakom vrijednosti "g".

Kretanje tijela pod utjecajem gravitacije: formule za rješavanje problema

Osnovna formula za pronalaženje sile gravitacije je sljedeća: F gravitacija = m x g, gdje je m masa tijela na koje djeluje sila, a "g" je ubrzanje gravitacije (da bismo pojednostavili probleme, obično se smatra jednako 10 m/s 2) .

Postoji još nekoliko formula koje se koriste za pronalaženje jedne ili druge nepoznate kada se tijelo slobodno kreće. Tako, na primjer, da bi se izračunala putanja koju prolazi tijelo, potrebno je zamijeniti poznate vrijednosti u ovu formulu: S = V 0 x t + a x t 2 / 2 (put je jednak zbroju proizvoda početne brzine pomnožene vremenom i ubrzanja s kvadratom vremena podijeljenom sa 2).

Jednačine za opisivanje vertikalnog kretanja tijela

Vertikalno kretanje tijela pod utjecajem gravitacije može se opisati jednačinom koja izgleda ovako: x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 / 2. Koristeći ovaj izraz, možete pronaći koordinate tijela na a poznati trenutak u vremenu. Potrebno je samo zamijeniti količine poznate u zadatku: početnu lokaciju, početnu brzinu (ako tijelo nije samo pušteno, već gurnuto nekom silom) i ubrzanje, u našem slučaju to će biti jednako ubrzanju g.

Na isti način možete pronaći brzinu tijela koje se kreće pod utjecajem gravitacije. Izraz za pronalaženje nepoznate količine u bilo kojem trenutku: v = v 0 + g x t (vrijednost početne brzine može biti jednaka nuli, tada će brzina biti jednaka umnošku ubrzanja gravitacije i vrijednosti vremena tokom kojih se telo kreće).

Kretanje tijela pod utjecajem gravitacije: problemi i metode za njihovo rješavanje

Prilikom rješavanja mnogih problema vezanih za gravitaciju, preporučujemo korištenje sljedećeg plana:

1. Da biste odredili pogodan inercijski referentni sistem za sebe, obično je uobičajeno odabrati Zemlju, jer ona ispunjava mnoge zahtjeve za ISO.
2. Nacrtajte mali crtež ili sliku koja prikazuje glavne sile koje djeluju na tijelo. Kretanje tijela pod utjecajem gravitacije uključuje skicu ili dijagram koji pokazuje u kojem smjeru se tijelo kreće kada je podvrgnuto ubrzanju jednakom g.
3. Zatim se mora odabrati smjer za projektovanje sila i rezultirajuća ubrzanja.
4. Zapišite nepoznate količine i odredite njihov smjer.
5. Konačno, koristeći gornje formule za rješavanje problema, izračunajte sve nepoznate količine zamjenom podataka u jednadžbe da biste pronašli ubrzanje ili prijeđeni put.

Spremno rješenje za lak zadatak

Kada govorimo o takvom fenomenu kao što je kretanje tijela pod utjecajem onoga što je najpraktičniji način rješavanja datog problema, to može biti teško. Međutim, postoji nekoliko trikova pomoću kojih možete lako riješiti i najteži zadatak. Dakle, pogledajmo žive primjere kako riješiti ovaj ili onaj problem. Počnimo s lako razumljivim problemom.

Određeno tijelo pušteno je sa visine od 20 m bez početne brzine. Odredite koliko će mu vremena trebati da stigne do površine zemlje.

Rješenje: znamo put koji je prešlo tijelo, znamo da je početna brzina bila jednaka 0. Možemo utvrditi i da na tijelo djeluje samo sila gravitacije, ispada da je to kretanje tijela ispod utjecaja gravitacije, te stoga treba koristiti ovu formulu: S = V 0 x t + a x t 2 /2. Pošto je u našem slučaju a = g, onda nakon nekih transformacija dobijamo sljedeću jednačinu: S = g x t 2 / 2. Sada ostaje samo da izrazimo vrijeme kroz ovu formulu, nalazimo da je t 2 = 2S / g. Zamijenimo poznate vrijednosti (pretpostavljamo da je g = 10 m/s 2) t 2 = 2 x 20 / 10 = 4. Dakle, t = 2 s.

Dakle, naš odgovor: tijelo će pasti na tlo za 2 sekunde.

Trik za brzo rješavanje problema je sljedeći: možete primijetiti da se opisano kretanje tijela u navedenom problemu događa u jednom smjeru (vertikalno prema dolje). Vrlo je slično ravnomjerno ubrzanom kretanju, jer na tijelo ne djeluje nikakva sila osim gravitacije (zanemarujemo silu otpora zraka). Zahvaljujući tome, možete koristiti jednostavnu formulu za pronalaženje putanje tokom ravnomjerno ubrzanog kretanja, zaobilazeći slike crteža s rasporedom sila koje djeluju na tijelo.

Primjer rješavanja složenijeg problema

Sada da vidimo kako najbolje riješiti probleme o kretanju tijela pod utjecajem gravitacije, ako se tijelo ne kreće okomito, već ima složeniju prirodu kretanja.

Na primjer, sljedeći zadatak. Predmet mase m kreće se nepoznatim ubrzanjem niz nagnutu ravan čiji je koeficijent trenja jednak k. Odrediti vrijednost ubrzanja koja nastaje prilikom kretanja datog tijela ako je poznat ugao nagiba α.

Rješenje: Trebali biste koristiti gore opisani plan. Prije svega, nacrtajte crtež nagnute ravnine koja prikazuje tijelo i sve sile koje djeluju na njega. Ispostavilo se da na njega djeluju tri komponente: gravitacija, trenje i sila reakcije oslonca. Opća jednadžba rezultantnih sila izgleda ovako: Trenje F + N + mg = ma.

Glavni vrhunac problema je stanje nagiba pod uglom α. Kada je ox i osovina oy potrebno uzeti u obzir ovaj uslov, onda dobijamo sljedeći izraz: mg x sin α - F trenje = ma (za osovinu vola) i N - mg x cos α = F trenje (za oy osa).

Trenje F je lako izračunati pomoću formule za pronalaženje sile trenja, jednako je k x mg (koeficijent trenja pomnožen umnoškom tjelesne mase i gravitacijskog ubrzanja). Nakon svih proračuna, ostaje samo da pronađene vrijednosti zamijenite u formulu i dobit ćete pojednostavljenu jednadžbu za izračunavanje ubrzanja kojim se tijelo kreće duž nagnute ravni.

Prema drugom Newtonovom zakonu, preduslov za konfiguraciju kretanja, drugim rečima, preduslov za ubrzanje tela je sila. Mehanika se bavi silama različite fizičke prirode. Mnoge mehaničke pojave i procesi određeni su djelovanjem sila gravitacije. Zakon globalne gravitacije je otkrio I. Newton 1682. godine. Još 1665. godine, 23-godišnji Newton je sugerirao da su sile koje drže Mjesec u njegovoj orbiti iste prirode kao i sile koje uzrokuju da jabuka padne na Zemlju. Prema njegovoj pretpostavci, između svih tijela Univerzuma postoje sile privlačenja (gravitacijske sile) usmjerene duž trake koja spaja centrima mase(Slika 1.10.1). Za tijelo u obliku homogene lopte, težište se poklapa sa centrom lopte.

U narednim godinama, Newton je pokušavao pronaći fizičko objašnjenje za to zakonima kretanja planeta, koje je otkrio astrolog I. Kepler početkom 17. stoljeća, i daju kvantitativni izraz za gravitacijske sile. Znajući kako se planete kreću, Njutn je želeo da otkrije koje sile deluju na njih. Ova staza se zove problem obrnute mehanike. Ako je glavni zadatak mehanike odrediti koordinate tijela poznate mase i njegovu brzinu u bilo kojem trenutku na osnovu poznatih sila koje djeluju na tijelo i datih početnih uslova ( jednostavan mehanički problem), onda pri rješavanju obrnutog problema treba pronaći sile koje djeluju na tijelo, ako je jasno kako se kreće. Rješenje ovog problema dovelo je Newtona do otkrića zakona globalne gravitacije. Sva tijela se privlače jedno prema drugom silom koja je direktno proporcionalna njihovoj masi i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između njih:

Koeficijent proporcionalnosti G je sličan za sva tijela u prirodi. On je zvao gravitaciona konstanta

Mnoge pojave u prirodi objašnjavaju se djelovanjem globalnih gravitacijskih sila. Kretanje planeta u Sunčevom sistemu, kretanje veštačkih satelita Zemlje, linije leta balističkih projektila, kretanje tela blizu površine Zemlje - sve ove pojave objašnjavaju se na osnovu zakona globalne gravitacije. i zakone dinamike. Jedna od manifestacija sile globalne gravitacije je gravitacije. Ovo je uobičajeni naziv za silu privlačenja tijela prema Zemlji blizu njene površine. Ako je M masa Zemlje, RZ njen poluprečnik, m masa datog tijela, tada je sila gravitacije jednaka

gdje je g - ubrzanje gravitacije na površini Zemlje:

Gravitacija je orijentisana prema centru Zemlje. U nedostatku drugih sila, tijelo slobodno pada na Zemlju ubrzanjem gravitacije. Prosječna vrijednost ubrzanja zbog gravitacije za različite tačke na površini Zemlje je 9,81 m/s2. Poznavajući ubrzanje gravitacije i poluprečnik Zemlje (RZ = 6,38·106 m), možemo izračunati masu Zemlje M:

Kako se udaljavamo od Zemljine površine, sila gravitacije i ubrzanje gravitacije mijenjaju se unatrag proporcionalno kvadratu udaljenosti r do centra Zemlje. Rice. 1.10.2 ilustruje promjenu gravitacijske sile koja djeluje na astronauta u svemirskom brodu dok se udaljava od Zemlje. Smatra se da sila kojom astronaut privlači Zemlju blizu njene površine iznosi 700 N.

Primjer sistema dvaju međusobno povezanih tijela je sistem Zemlja-Mjesec. Mjesec se nalazi na udaljenosti od Zemlje rL = 3,84·106 m. Ova udaljenost je otprilike 60 puta veća od Zemljinog radijusa RZ. Kako slijedi, ubrzanje gravitacije aL, zbog gravitacije, u orbiti Mjeseca je

Sa takvim ubrzanjem usmjerenim prema centru Zemlje, Mjesec se kreće u orbiti. Kako slijedi, ovo ubrzanje je centripetalno ubrzanje. Može se izračunati korištenjem kinematičke formule za centripetalno ubrzanje (vidi §1.6):

gdje je T = 27,3 dana period kruženja Mjeseca oko Zemlje. Podudarnost rezultata proračuna izvedenih različitim metodama potvrđuje Newtonovu pretpostavku o jedinstvenoj prirodi sile koja drži Mjesec u orbiti i sile gravitacije. Mesečevo sopstveno gravitaciono polje određuje ubrzanje gravitacije gL na njegovoj površini. Masa Meseca je 81 puta manja od mase Zemlje, a njegov poluprečnik je približno 3,7 puta manji od poluprečnika Zemlje. Stoga će ubrzanje gA biti određeno izrazom:

Astronauti koji su sletjeli na Mjesec našli su se u uslovima tako slabe gravitacije. Osoba u takvim uslovima može napraviti ogromne skokove. Na primjer, ako osoba na Zemlji skoči na visinu od 1 m, onda bi na Mjesecu mogla skočiti na visinu veću od 6 m. Razmotrimo sada pitanje umjetnih Zemljinih satelita. Umjetni sateliti se kreću izvan Zemljine atmosfere i na njih djeluju samo gravitacijske sile sa Zemlje. U zavisnosti od početne brzine, linija kretanja galaktičkog tela može biti različita (videti §1.24). Ovdje ćemo razmotriti samo slučaj vještačkog satelita koji se kreće radijalno blizu Zemlje orbita. Takvi sateliti lete na visinama reda 200-300 km, a udaljenost do centra Zemlje može se približno uzeti jednakom njenom poluprečniku RZ. Tada je centripetalno ubrzanje satelita koje mu prenose gravitacijske sile približno jednako ubrzanju gravitacije g. Označimo brzinu satelita u niskoj orbiti Zemlje sa υ1. Ova brzina se zove prva kosmička brzina. Koristeći kinematičku formulu za centripetalno ubrzanje (vidi §1.6), dobijamo:

Krećući se takvom brzinom, satelit bi za vrijeme kružio oko Zemlje. Zapravo, period orbite satelita u radijalnoj orbiti blizu Zemljine površine neznatno premašuje naznačenu vrijednost zbog razlike između radijusa stvarne orbite i poluprečnik Zemlje. Kretanje satelita se može posmatrati kao slobodan pad, slično kretanju projektila ili balističkih projektila. Razlika je samo u tome što je brzina satelita toliko velika da je polumjer zakrivljenosti njegove linije kretanja jednak polumjeru Zemlje. Za satelite koji se kreću duž radijalnih putanja na značajnoj udaljenosti od Zemlje, Zemljina gravitacija slabi unatrag proporcionalno kvadratu polumjera r linije kretanja. Satelitska brzina υ se nalazi iz uslova

Dakle, u velikim orbitama brzina satelita je manja nego u niskoj orbiti Zemlje. Period poziva T takvog satelita je jednak

Ovdje je T1 period pozivanja satelita u nisku orbitu Zemlje. Period pozivanja satelita se povećava sa povećanjem orbitalnog radijusa. Lako je izračunati da će sa orbitalnim radijusom r približno 6,6RZ, period pozivanja satelita biti jednak 24 sata. Satelit s takvim periodom poziva, lansiran u ekvatorijalnoj ravni, će nepomično lebdjeti nad određenom tačkom na površini zemlje. Takvi sateliti se koriste u kosmičkim radio komunikacijskim sistemima. Zove se orbita poluprečnika r = 6,6R3 geostacionarni.

Naziv sekcija i tema		Obim sati	Nivo majstorstva
Tema 3.3. Kretanje nebeskih tijela pod utjecajem gravitacijskih sila.	Zakon univerzalne gravitacije. Poremećaji u kretanju tela Sunčevog sistema. Masa i gustina Zemlje. Određivanje mase nebeskih tijela. Kretanje umjetnih Zemljinih satelita i svemirskih letjelica do planeta. Opis osobina kretanja tela Sunčevog sistema pod uticajem gravitacionih sila u orbitama sa različitim ekscentricitetima. Objašnjenje uzroka plime i oseke na Zemlji i poremećaja u kretanju tijela u Sunčevom sistemu. Razumijevanje posebnosti kretanja i manevara svemirskih letjelica za proučavanje tijela Sunčevog sistema.

3.3.1. Zakon univerzalne gravitacije.

Prema zakonu univerzalne gravitacije, koji se izučava na kursu fizike,

sva tijela u svemiru privlače se jedno prema drugom silom koja je direktno proporcionalna proizvodu njihovih masa i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između njih:

Gdje t 1 I t 2- tjelesne mase;r - udaljenost između njih;G - gravitaciona konstanta.

Otkriće zakona univerzalne gravitacije uvelike su olakšali zakoni kretanja planeta koje je formulisao Kepler i druga dostignuća astronomije u 17. veku. Dakle, znanje o udaljenosti do Mjeseca omogućilo je Isaaku Njutnu (1643-1727) da dokaže identitet sile koja drži Mjesec dok se kreće oko Zemlje i sile koja uzrokuje da tijela padaju na Zemlju.

Uostalom, ako sila gravitacije varira obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti, kao što slijedi iz zakona univerzalne gravitacije, tada bi Mjesec, koji se nalazi od Zemlje na udaljenosti od približno 60 njegovih radijusa, trebao doživjeti ubrzanje 3600 puta manje od ubrzanja gravitacije na površini Zemlje, jednako 9,8 m/s. Stoga bi ubrzanje Mjeseca trebalo biti 0,0027 m/s 2 .

U isto vrijeme, Mjesec, kao i svako tijelo koje se ravnomjerno kreće u krugu, ima ubrzanje

Gdje ω - njegovu ugaonu brzinu,r - radijus njegove orbite. Ako pretpostavimo da je radijus Zemlje 6400 km, tada će polumjer mjesečeve orbite bitir= 60 6 400 000 m = 3,84 10 6 m Siderični period Mjesečeve revolucije T= 27,32 dana, u sekundama je 2,36 10 6 With. Zatim ubrzanje orbitalnog kretanja Mjeseca

Jednakost ove dvije vrijednosti ubrzanja dokazuje da je sila koja drži Mjesec u orbiti sila gravitacije, oslabljena za 3600 puta u odnosu na onu koja djeluje na površini Zemlje.

Možete se uvjeriti i da su kada se planete kreću, u skladu s Keplerovim trećim zakonom, njihovo ubrzanje i gravitacijska sila Sunca koja djeluje na njih obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti, kao što slijedi iz zakona univerzalne gravitacije. Zaista, prema Keplerovom trećem zakonu, omjer kocki velikih poluosi orbitad i kvadrati perioda cirkulacije T postoji konstantna vrijednost:

Ubrzanje planete je

Iz Keplerovog trećeg zakona to slijedi

stoga je ubrzanje planete jednako

Dakle, sila interakcije između planeta i Sunca zadovoljava zakon univerzalne gravitacije.

3.3.2. Poremećaji u kretanju tela Sunčevog sistema.

Keplerovi zakoni su striktno zadovoljeni ako se uzme u obzir kretanje dva izolovana tijela (Sunca i planete) pod utjecajem njihovog međusobnog privlačenja. Međutim, u Sunčevom sistemu postoji mnogo planeta; sve one djeluju ne samo sa Suncem, već i jedna s drugom. Prema tome, kretanje planeta i drugih tijela ne pokorava se baš Keplerovim zakonima. Odstupanja tijela od kretanja po elipsama nazivaju se smetnje.

Ovi poremećaji su mali, jer je masa Sunca mnogo veća od mase ne samo pojedine planete, već i svih planeta u cjelini. Najveće smetnje u kretanju tijela u Sunčevom sistemu izaziva Jupiter čija je masa 300 puta veća od mase Zemlje. Devijacije asteroida i kometa posebno su uočljive kada prođu blizu Jupitera.

Trenutno se smetnje uzimaju u obzir prilikom izračunavanja položaja planeta, njihovih satelita i drugih tijela Sunčevog sistema, kao i putanja svemirskih letjelica lansiranih radi njihovog proučavanja. Ali još u 19. veku. proračun poremećaja omogućio je jedno od najpoznatijih otkrića u nauci "na vrhu pera" - otkriće planete Neptun.

Provodeći još jedan pregled neba u potrazi za nepoznatim objektima, William Herschel 1781. otkrio je planetu, kasnije nazvanu Uran. Posle otprilike pola veka postalo je očigledno da se posmatrano kretanje Urana ne slaže sa izračunatim, čak ni kada se uzmu u obzir poremećaji sa svih poznatih planeta. Na osnovu pretpostavke o prisutnosti još jedne "subauranske" planete, napravljeni su proračuni njene orbite i položaja na nebu. Ovaj problem smo riješili samostalnoJohn Adams u Engleskoj i Urbain Le Verrier u Francuskoj. Na osnovu Le Verrierovih proračuna, njemački astronom Johann Halle 23. septembra 1846. otkrio je do sada nepoznatu planetu u sazviježđu Vodolije - Neptun. Ovo otkriće postalo je trijumf heliocentričnog sistema, najvažnija potvrda valjanosti zakona univerzalne gravitacije. Nakon toga, uočeni su poremećaji u kretanju Urana i Neptuna, što je postalo osnova za pretpostavku o postojanju još jedne planete u Sunčevom sistemu. Njena potraga je krunisana uspehom tek 1930. godine, kada je, nakon pregleda velikog broja fotografija zvezdanog neba, otkrivena planeta koja je najudaljenija od Sunca, Pluton.

3.3.3. Masa i gustina Zemlje.

Zakon univerzalne gravitacije omogućio je određivanje mase naše planete. Na osnovu zakona univerzalne gravitacije, ubrzanje gravitacije se može izraziti na sljedeći način:

Zamijenimo poznate vrijednosti ovih veličina u formulu:

g = 9,8 m/s, G = 6,67 10 -11 N m 2 /kg 2, R = 6370 km - i nalazimo da je masa Zemlje M = 6 10 24 kg

Poznavajući masu i zapreminu globusa, možemo izračunati njegovu prosječnu gustinu: 5,5 10 3 kg/m 3 . Sa dubinom, zbog povećanja pritiska i sadržaja teških elemenata, gustina raste.

3.3.4. Određivanje mase nebeskih tijela.

Tačnija formula za Keplerov treći zakon, koju je dobio Newton, omogućava određivanje jedne od najvažnijih karakteristika svakog nebeskog tijela - mase. Izvedemo ovu formulu, uz pretpostavku (u prvoj aproksimaciji) da su orbite planeta kružne.

Neka dva tijela, koja se međusobno privlače i okreću oko zajedničkog centra masa, imaju masem 1 I m 2 , nalaze se na udaljenosti od centra maser 1 I r 2i okreću se oko njega sa tačkom T. Udaljenost između njihovih centaraR= r 1 + r 2 . Na osnovu zakona univerzalne gravitacije, ubrzanje svakog od ovih tijela je jednako:

Ugaona brzina okretanja oko centra mase je . Tada će se centripetalno ubrzanje za svako tijelo izraziti na sljedeći način:

Izjednačivši dobijene izraze za ubrzanja, izražavajući iz njihr 1 I r 2 i zbrajajući ih pojam po pojam, dobijamo:

gdje

Pošto desna strana ovog izraza sadrži samo konstantne količine, on vrijedi za svaki sistem dvaju tijela koja međusobno djeluju po zakonu gravitacije i kruže oko zajedničkog centra mase - Sunca i planete, planete i satelita. Odredimo masu Sunca, za to pišemo izraz:

Gdje M- masa Sunca;m 1 - masa Zemlje; t 2- Mesečeva masa;T 1 Ia 1 - period okretanja Zemlje oko Sunca (godina) i velike poluose njene orbite; T 2 I a 2- period okretanja Mjeseca oko Zemlje i velike poluose mjesečeve orbite.

Zanemarujući masu Zemlje, koja je zanemarljiva u odnosu na masu Sunca, i masu Mjeseca, koja je 81 puta manja od mase Zemlje, dobijamo:

Zamjenom odgovarajućih vrijednosti u formulu i uzimanjem mase Zemlje kao 1, dobijamo da je Sunce otprilike 333.000 puta veće po masi od naše planete.

Mase planeta koje nemaju satelite određene su smetnjama koje imaju na kretanje asteroida, kometa ili svemirskih letjelica koje lete u njihovoj blizini.

3.3.5. Uzroci plime i oseke na Zemlji

Pod uticajem međusobnog privlačenja čestica, telo teži da dobije oblik lopte. Ako se ova tijela rotiraju, deformiraju se i sabijaju duž ose rotacije.

Osim toga, do promjene njihovog oblika dolazi i pod utjecajem međusobne privlačnosti, što je uzrokovano pojavama tzv. plima Odavno poznati na Zemlji, objašnjeni su samo na osnovu zakona univerzalne gravitacije.

Razmotrimo ubrzanja nastala privlačenjem Mjeseca u različitim tačkama na Zemljinoj kugli (slika 3.13). Od bodova A, B su na različitim udaljenostima od Mjeseca, ubrzanja stvorena njegovom gravitacijom će biti različita.

Razlika u ubrzanju uzrokovana privlačenjem drugog tijela u datoj tački iu centru planete naziva se ubrzanje plime.

Plimna ubrzanja u tačkama A I IN usmjerena iz centra Zemlje. Kao rezultat toga, Zemlja, a prvenstveno njena vodena školjka, rastegnuta je u oba smjera duž linije koja povezuje centre Zemlje i Mjeseca. U tačkama A I IN postoji plima, a duž kruga čija je ravan okomita na ovu liniju, na Zemlji se javlja oseka. Sunčeva gravitacija također uzrokuje plimu, ali zbog veće udaljenosti one su manje od onih koje uzrokuje Mjesec. Plima se ne opaža samo u hidrosferi, već iu atmosferi i litosferi Zemlje i drugih planeta.

Zbog svakodnevne rotacije Zemlje, ona ima tendenciju da za sobom vuče plimne grbe, dok bi u isto vrijeme, zbog gravitacije Mjeseca, koji se oko Zemlje okrene za mjesec dana, pojas plime i oseke treba da se kreće duž Zemljine na površinu mnogo sporije. Kao rezultat, dolazi do trenja plime i oseke između ogromnih masa plimne vode i dna oceana. Usporava rotaciju Zemlje i uzrokuje povećanje dužine dana, koji je u prošlosti bio znatno kraći (5-6 sati). Istovremeno, plime i oseke koje je izazvala Zemlja na Mjesecu su usporile njegovu rotaciju, te je sada okrenut jednom stranom prema Zemlji. Ista spora rotacija karakteristična je za mnoge satelite Jupitera i drugih planeta. Čini se da su jake plime uzrokovane Suncem na Merkuru i Veneri razlog za njihovu izuzetno sporu rotaciju oko svoje ose.

3.3.6. Kretanje umjetnih Zemljinih satelita i svemirskih letjelica do planeta.

Njutn je teoretski potkrijepio mogućnost stvaranja umjetnog Zemljinog satelita. Pokazao je da postoji takva horizontalno usmjerena brzina kojom tijelo, padajući na Zemlju, ipak neće pasti na nju, već će se kretati oko Zemlje, ostajući na istoj udaljenosti od nje. Ovom brzinom tijelo će se približiti Zemlji zbog njenog privlačenja isto toliko koliko će se udaljiti od nje zbog zakrivljenosti površine naše planete (slika 3.14). Ova brzina, koja se naziva prva kosmička (ili kružna), poznata vam je iz kursa fizike:

Pokazalo se da je vještački satelit Zemlje bilo praktično moguće lansirati samo dva i po stoljeća nakon Newtonovog otkrića - 4. oktobra 1957. Za više od četrdeset godina od tog dana, koji se često naziva početkom svemirskog doba čovječanstva, lansirano je oko 4.000 satelita u mnogim zemljama svijeta raznih uređaja i namjena. Stvorene su orbitalne stanice na kojima posade koje se sastoje od kosmonauta iz različitih zemalja rade dugo vremena, zamjenjujući jedni druge. Američki astronauti su više puta posjećivali Mjesec; automatske međuplanetarne stanice istraživale su sve planete Sunčevog sistema, osim najudaljenije planete Plutona.

Svemirske letjelice (SV), koje se šalju na Mjesec i planete, doživljavaju privlačnost od Sunca i, prema Keplerovim zakonima, baš kao i same planete, kreću se u elipsama. Zemljina orbitalna brzina je oko 30 km/s. Ako je geometrijski zbir brzine letjelice, koja joj je bila prijavljena pri lansiranju, i brzine Zemlje veća od ove vrijednosti, tada će se letjelica kretati po orbiti koja se nalazi izvan Zemljine orbite. Ako manje, unutra. U prvom slučaju, kada leti do Marsa ili druge vanjske planete, troškovi energije će biti minimalni ako letjelica dostigne orbitu ove planete na maksimalnoj udaljenosti od Sunca - u afelu (slika 3.15). Osim toga, potrebno je izračunati vrijeme lansiranja letjelice tako da do ovog trenutka planeta stigne u istu tačku svoje orbite. Drugim riječima, početna brzina i dan lansiranja letjelice moraju biti odabrani na takav način da se letjelica i planeta, svaki u svojoj orbiti, istovremeno približavaju tački susreta. U drugom slučaju - za unutrašnju planetu - susret sa letelicom treba da se desi na perihelu njene orbite (slika 3.16). Takve putanje leta se nazivaju polueliptični. Glavne ose ovih elipsa prolaze kroz Sunce, koje se nalazi u jednom od fokusa, kao što se očekivalo po Keplerovom prvom zakonu.