Chiziqli, ayniqsa chiziqli polinom, yaqinlashish ko'pincha funktsiyaning tabiatiga mos kelmaydi. Masalan, yuqori darajali ko'phad tez o'sadi va shuning uchun hatto oddiy funktsiya ham katta segmentdagi ko'phad tomonidan yomon yaqinlashadi. Taxminan argumentdagi o'zgarishlarning keng doirasi bo'yicha amalga oshirilganligi sababli, bu erda koeffitsientlarga chiziqli bo'lmagan bog'liqlikdan foydalanish interpolyatsiyadan ko'ra foydaliroqdir.

Amalda ikki turdagi bog'liqliklar qo'llaniladi. Ulardan biri o'zgaruvchilarning chiziqli o'zgarishi bilan qisqartirilgan kvaziziy chiziqli bog'liqlik bo'lib, oldingi paragraflarda batafsil o'rganilgan. Bu usul juda samarali va ko'pincha tajribalarni qayta ishlashda qo'llaniladi, chunki jarayonning fizikasi haqidagi apriori ma'lumotlar o'zgaruvchilarning yaxshi o'rnini topishga yordam beradi. Shuni yodda tutishimiz kerakki, yangi o'zgaruvchilarda eng yaxshi bo'lgan yaqinlashuv eski o'zgaruvchilardagi skalar mahsulot ma'nosida eng yaxshi bo'lmaydi. Shuning uchun yangi o'zgaruvchilarda og'irliklarni tanlashga alohida e'tibor berilishi kerak.

Klassik misol - nurlangan namunaning radioaktiv parchalanishi muammosi, unda qulay o'zgaruvchilar va t, bu erda parchalanish tezligi. Ushbu o'zgaruvchilarda egri chiziq odatda siniq chiziq bilan yaqinlashadi, uning bog'lanishlari radioaktiv qatorning tobora ko'proq umr ko'radigan a'zolarining parchalanishiga mos keladi.

Koeffitsientlarga bog'liqlikning yana bir ko'p qo'llaniladigan turi, agar yaqinlashuvchi funktsiya ratsional bo'lsa, kasr-chiziqli:

Umumlashgan polinomlar nisbati ham tez-tez ishlatiladi. Ushbu yaqinlashish bizga funktsiyaning qutblarini etkazishga imkon beradi - ular kerakli ko'paytmaning maxrajining nollariga mos keladi. To'g'ri miqdorni tanlash tufayli asimptotik xatti-harakatni ko'pincha takrorlash mumkin, masalan, agar , keyin ni belgilashimiz kerak. Bunday holda, siz ularni juda ko'p yaqinlashish koeffitsientlariga ega bo'lish uchun etarlicha katta qilishingiz mumkin.

Biroq, kvadratik xato endi koeffitsientlarning kvadratik funktsiyasi bo'lmaydi, shuning uchun ratsional funktsiyaning koeffitsientlarini topish oson emas. Polinomlar bo'yicha o'rtacha kvadratning ildizi yaqinlashishiga o'xshatib, biz xatoning erkin koeffitsientlar sonidan kam bo'lmagan nol soniga ega ekanligini taxmin qilishimiz mumkin (2-banddagi 3-izoh bilan solishtiring). Keyin masala ushbu nollarga nisbatan Lagranj interpolyatsiyasiga tushiriladi va koeffitsientlar chiziqli tenglamalar tizimidan topiladi:

Albatta, nollarning aniq pozitsiyasi noma'lum; ular tasodifiy tanlanadi, odatda segment bo'yicha teng taqsimlanadi. Bu usul tanlangan nuqtalar usuli deb ataladi. Ushbu usul bilan olingan taxminan eng yaxshisi bo'lmaydi.

Bundan tashqari, tanlangan nuqtalarning usuli, agar u sezilarli xatoga ega bo'lsa, har qanday interpolyatsiya kabi asossizdir.

Eng yaxshi taxminiylikni takrorlangan vazn usuli yordamida topish mumkin. E'tibor bering, vazifa

oson yechiladi: chapdagi ifoda koeffitsientlarning kvadratik funksiyasi va ularga nisbatan differentsiallash (38) ga o'xshash koeffitsientlarni aniqlashning chiziqli tizimiga olib keladi. Yangi muammo asl muammodan tubdan farq qiladi, chunki og'irlik o'rniga boshqa og'irlik ishlatiladi, shuning uchun uning yechimi eng yaxshi taxminiy emas. Keling, asl muammoni yangi shaklda yozamiz:

va biz uni oddiy iterativ jarayon yordamida hal qilamiz

nolga yaqinlik sifatida qabul qilinishi mumkin. Har bir iteratsiyada og'irlik oldingi iteratsiyadan ma'lum, shuning uchun koeffitsientlar kvadrat shaklning minimal shartidan osongina topiladi. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, eng yaxshi yaqinlashish koeffitsientlari og'irlikni tanlashga zaif bog'liqdir, shuning uchun iteratsiyalar odatda tez birlashadi.

a) Ratsional funktsiya bilan yaqinlashishning ba'zi misollarini ko'rib chiqing. Keling, qo'ying

qatorning dastlabki ikki hadini kasr bilan almashtirsak, ni olamiz. Ushbu oddiy formula aniqlikni ta'minlaydi va hisob-kitoblar uchun juda qulaydir.

b) Ehtimollar nazariyasida qator kengayishlari ma'lum bo'lgan xato integrali muhim rol o'ynaydi:

Birinchi qator mutlaq yaqinlashadi, lekin konvergentsiyada juda sekin; ning katta qiymatlari uchun ikkinchi qator asimptotik tarzda yaqinlashadi. Har bir qatorning birinchi shartlarini kasrlar bilan almashtirsak, biz olamiz

Argumentlar o'zgarishining ko'rsatilgan diapazonlarida birinchi formulaning xatosi 0,4% dan oshmaydi va ikkinchi formulaning xatosi 2,4% dan oshmaydi. Shunday qilib, ushbu taxminlarning aniqligi ko'plab amaliy dasturlar uchun etarli.

c) ga belgilaymiz. Bu funksiya monotonik bo'lib, kasrni yaratish oson

Nochiziqli funktsiyani yaqinlashtirish

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Funktsiyani bo'lish oralig'i teng bo'lganligi sababli, biz taxminiy funktsiyaning tegishli bo'limlarining quyidagi qiyalik koeffitsientlarini hisoblaymiz:

1. Taxminlovchi funksiyaning segmentlarini hosil qilish uchun bloklarni qurish

Vaqt funksiyasining shakllanishi

O'zgartirish oralig'i:

Tsiklik qayta ishga tushirish vaqti: T = 1s

Endi funksiyani modellashtiramiz:

Taxminlash

3.1-rasm - Tenglamani yechish sxemasi

3.2-rasm - Nochiziqli funksiya hosil bo'lishining blok-sxemasi

Shunday qilib, tenglamaning chap tomoni avtomatik ravishda hosil bo'ladi. Bunday holda, shartli ravishda eng yuqori hosila x// ma'lum deb hisoblanadi, chunki tenglamaning o'ng tomonidagi shartlar ma'lum va U1 ning kirishlariga ulanishi mumkin (3.1-rasm). Operatsion kuchaytirgich U3 +x signal inverteri vazifasini bajaradi. X// ni simulyatsiya qilish uchun kontaktlarning zanglashiga olib kirishlariga (3.2) tenglamaning o'ng tomonini taqlid qiluvchi signallarni etkazib berish kerak bo'lgan boshqa kichik kuchaytirgichni kiritish kerak.

Barcha o'zgaruvchilarning shkalalari mutlaq qiymatdan yuqori bo'lgan mashina o'zgaruvchisining maksimal qiymati 10 V ekanligini hisobga olgan holda hisoblanadi:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/ maks; Mx // = 10 / x //max;

Mening = 10 / ymax. (3.3)

Vaqt o'lchovi Mt = T / tmax = 1, chunki muammo real vaqtda simulyatsiya qilingan.

Birlashtiruvchi kuchaytirgichlarning har bir kirishi uchun uzatish koeffitsientlari hisoblanadi.

Kuchaytirgich U1 uchun uzatish koeffitsientlari formulalar yordamida topiladi:

K11 = Mx/ b / (MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Kuchaytirgich U2 uchun:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

va kuchaytirgich U3 uchun:

K31 = 1. (3,6)

Dastlabki shartlarning kuchlanishlari formulalar yordamida hisoblanadi:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

(3.2) tenglamaning o'ng tomoni chiziqli yaqinlashish bilan aniqlangan chiziqli bo'lmagan funksiya bilan ifodalanadi. Bunday holda, taxminiy xatoning belgilangan qiymatdan oshmasligini tekshirish kerak. Chiziqli bo'lmagan funksiya hosil bo'lishining blok diagrammasi 3.2-rasmda keltirilgan.

Elektr sxemasining tavsifi

Vaqt funksiyasini (F) hosil qilish bloki bir (t hosil qilish uchun) yoki ikkita ketma-ket ulangan (t2 hosil qilish uchun) nol boshlang'ich sharoitga ega bo'lgan kuchaytirgichlarni integrallash ko'rinishida amalga oshiriladi.

Bunday holda, birinchi integratorning kirishiga U signali qo'llanilganda, uning chiqishida biz quyidagilarni olamiz:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

K11E=1 o'rnatsak, bizda u1(t)= t.

Ikkinchi integratorning chiqishida biz quyidagilarni olamiz:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

K11K21E/2 = 1 ni o'rnatish, bizda u2(t)= t2.

Taxminlovchi funktsiyaning segmentlarini shakllantirish uchun bloklar chiziqli bo'lmagan funktsiyalarning diod bloklari (DBNF) shaklida amalga oshiriladi, ularning kirish qiymati t yoki t2 vaqt funktsiyasidir. DBNFni hisoblash va qurish tartibi ushbu maqolada keltirilgan.

Taxminlovchi funktsiya segmentlarining qo'shimchasi (SAD) differentsial yakuniy kuchaytirgich shaklida amalga oshiriladi.

Modellashtirish sxemasining integratorlari uchun dastlabki shartlar o'zgaruvchan tuzilishga ega bo'lgan tugun yordamida kiritiladi (3.3-rasm). Ushbu sxema ikki rejimda ishlashi mumkin:

a) integratsiya - 1-holatda K kaliti bilan. Bu holda sxemaning dastlabki signali ideal integrator tenglamasi bilan etarli aniqlik bilan tavsiflanadi:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Ushbu rejim vazifani modellashtirishda ishlatiladi. Integratorning R va C parametrlarini tanlashning to'g'riligini tekshirish uchun integratorning boshlang'ich kuchlanish qiymatini vaqtga va foydali integratsiya vaqtiga ruxsat etilgan xatolik doirasida tekshiring.

Dastlabki integrator kuchlanishining kattaligi

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

simulyatsiya paytida, kirish signalini E ni integratsiyalashganda T qayta aloqa zanjiri bo'lmagan Ky daromadli operatsion kuchaytirgich yordamida mashina o'zgaruvchisining qiymatidan (10 V) oshmasligi kerak.

Integratsiya vaqti

Ti = 2RC(Ku + 1)?Uadd (3.12)

tanlangan sxema parametrlari bilan simulyatsiya vaqti T dan kam bo'lmasligi kerak.

b) boshlang'ich shartlarni o'rnatish K tugmachasini 2-holatga o'tkazishda amalga oshiriladi. Ushbu rejim modellashtirish sxemasini yechim jarayoniga tayyorlashda qo'llaniladi. Bunday holda, kontaktlarning zanglashiga olib keladigan asl signali tenglama bilan tavsiflanadi:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

Bu erda u0(t) - boshlang'ich shartlarning qiymati.

Dastlabki shartlarni shakllantirish vaqtini qisqartirish va ishonchli ishlashni ta'minlash uchun sxema parametrlari shartni qondirishi kerak: R1C1 = R2C.

To'liq hisoblash sxemasini tuzing. Bunday holda siz 3.1-kichik bo'limda keltirilgan belgilardan foydalanishingiz kerak.

Kirish va manba ma'lumotlarining bit chuqurligidan foydalanib, B1 va B2 bloklarining sxemalarini tuzing va ularni RS blokiga ulang.

(Maqolaning oxiridagi 06.04.2017 yildagi qo'shimcha bo'limga e'tibor bering.)

Hisob va nazorat! Mamlakatimizda sotsializm va kommunizm qurilishi davridagi bu shiorni 40 yoshdan oshganlar yaxshi eslashlari kerak.

Lekin buxgalteriya hisobi yaxshi yo‘lga qo‘yilmasa, jamiyatning har qanday ijtimoiy-iqtisodiy shakllanishida mamlakat, hudud, korxona yoki xo‘jalikning samarali faoliyat yuritishi mumkin emas! Faoliyat va rivojlanish prognozlari va rejalarini tuzish uchun dastlabki ma'lumotlar talab qilinadi. Ularni qayerdan olsam bo'ladi? Faqat bitta ishonchli manba hisoblanadi sizniki oldingi davrlarning statistik yozuvlari.

Mening tushunchamga ko‘ra, har bir aqli raso shaxs o‘z faoliyati natijalarini hisobga olishi, axborot to‘plash va qayd etish, ma’lumotlarni qayta ishlash va tahlil qilish, tahlil natijalarini kelajakda to‘g‘ri qaror qabul qilish uchun qo‘llashi kerak. Bu insonning hayotiy tajribasini to'plash va undan oqilona foydalanishdan boshqa narsa emas. Agar siz muhim ma'lumotlarni qayd qilmasangiz, ma'lum vaqt o'tgach, siz ularni unutasiz va bu muammolar bilan yana shug'ullanishni boshlaganingizda, siz buni birinchi marta qilganingizda yana bir xil xatolarga yo'l qo'yasiz.

"Esimda, 5 yil oldin biz har oyda 1000 tagacha shunday mahsulotlar ishlab chiqargan bo'lsak, hozir esa 700 tasini zo'rg'a yig'amiz!" Biz statistikani ochamiz va 5 yil oldin ular hatto 500 dona ishlab chiqarmaganligini ko'ramiz ...

“Mashinangizning bir kilometri qancha turadi, hisobga olgan holda hamma xarajatlar? Statistikani ochamiz - 6 rubl / km. Ishga borish - 107 rubl. Taksida (180 rubl) bir yarim barobardan ko'proq arzonroq. Va taksida yurish arzonroq bo'lgan paytlar ham bo'lgan...

"50 m balandlikdagi burchak aloqa minorasining po'lat konstruksiyalarini yasash uchun qancha vaqt ketadi?" Biz statistikani ochamiz - va 5 daqiqada javob tayyor ...

"Kvartiradagi xonani ta'mirlash qancha turadi?" Biz eski yozuvlarni yig'amiz, o'tgan yillardagi inflyatsiyaga tuzatish kiritamiz, oxirgi marta bozor narxidan 10% arzonroq materiallarni sotib olganimizni hisobga olamiz va biz taxminiy narxni allaqachon bilamiz ...

Kasbiy faoliyatingizni qayd qilib, siz har doim xo'jayiningizning savoliga javob berishga tayyor bo'lasiz: "Qachon!!!???" Xo'jalik hisobini yuritish orqali kelajakda katta xaridlar, ta'tillar va boshqa xarajatlar uchun xarajatlarni rejalashtirish, qo'shimcha daromad olish yoki bugungi kunda keraksiz xarajatlarni kamaytirish uchun tegishli choralarni ko'rish osonroq.

Ushbu maqolada men to'plangan statistik ma'lumotlarni kelajakdagi davrlarni bashorat qilishda foydalanish uchun Excelda qanday qayta ishlash mumkinligini ko'rsatish uchun oddiy misoldan foydalanaman.

Excelda statistik ma'lumotlarni tahliliy funksiya bilan yaqinlashtirish.

Ishlab chiqarish maydonchasi lavha va profilli metall buyumlardan qurilish metall konstruksiyalarini ishlab chiqaradi. Sayt barqaror ishlaydi, buyurtmalar bir xil turdagi, ishchilar soni biroz o'zgarib turadi. O'tgan 12 oy davomida mahsulot ishlab chiqarish va guruhlar bo'yicha ushbu davrlarda qayta ishlangan prokat miqdori bo'yicha ma'lumotlar mavjud: choyshablar, I-nurlar, kanallar, burchaklar, dumaloq quvurlar, to'rtburchaklar profillar, dumaloq mahsulotlar. Dastlabki ma'lumotlarning dastlabki tahlilidan so'ng, metall konstruktsiyalarning oylik umumiy ishlab chiqarishi buyurtmalardagi burchaklar soniga sezilarli darajada bog'liq degan taxmin paydo bo'ldi. Keling, ushbu taxminni tekshirib ko'ramiz.

Avvalo, yaqinlashish haqida bir necha so'z. Biz qonunni qidiramiz - analitik funktsiya, ya'ni metall konstruksiyalarning umumiy chiqishining tugallangan buyurtmalardagi burchakli po'lat miqdoriga bog'liqligini boshqalarga qaraganda yaxshiroq tavsiflovchi tenglama bilan aniqlangan funktsiya. Bu taxminiy ko'rsatkich bo'lib, topilgan tenglama jadval ko'rinishida berilgan dastlabki funksiya uchun yaqinlashuvchi funktsiya deb ataladi.

1. Excelni yoqing va varaqqa statistik ma'lumotlar bilan jadval qo'ying.

2. Keyinchalik, biz tarqalish sxemasini quramiz va formatlaymiz, unda X o'qi bo'ylab biz argumentning qiymatlarini - tonnada qayta ishlangan burchaklar sonini o'rnatamiz. Y o'qida biz asl funktsiyaning qiymatlarini chizamiz - jadvalda ko'rsatilgan oyiga metall konstruktsiyalarning umumiy ishlab chiqarishi.

3. Biz sichqonchani diagrammaning istalgan nuqtasiga "ishora qilamiz" va kontekst menyusini ochish uchun sichqonchaning o'ng tugmachasini bosing (mening yaxshi do'stlarimdan biri aytganidek - notanish dasturda ishlayotganingizda, nima qilishni bilmasangiz, sichqonchaning o'ng tugmachasini tez-tez bosing...). Ochiladigan menyuda "Trend chizig'ini qo'shish ..." -ni tanlang.

4. Ko'rsatilgan "Trend chizig'i" oynasida "Tur" yorlig'ida "Chiziqli" ni tanlang.

6. Grafikda to'g'ri chiziq paydo bo'ldi, bu bizning jadvalga bog'liqligimizni taxmin qiladi.

Chiziqning o'ziga qo'shimcha ravishda, biz ushbu chiziqning tenglamasini ko'ramiz va eng muhimi, biz R 2 parametrining qiymatini - yaqinlashishning ishonchliligi qiymatini ko'ramiz! Uning qiymati 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, tanlangan funksiya jadval ma'lumotlariga shunchalik aniqroq yaqinlashadi!

7. Chiziqli tendentsiya chizig'ini qurganimiz kabi kuch, logarifmik, eksponensial va ko'p nomli yondashuvlardan foydalangan holda trend chiziqlarini quramiz.

Barcha tanlangan funktsiyalardan ikkinchi darajali polinom bizning ma'lumotlarimizga eng yaxshi yaqinlashadi, u maksimal ishonchlilik koeffitsienti R 2 ga ega;

Biroq, men sizni ogohlantirmoqchiman! Agar siz yuqori darajali polinomlarni olsangiz, ehtimol siz yanada yaxshi natijalarga erishasiz, ammo egri chiziqlar burmalangan ko'rinishga ega bo'ladi... Bu erda biz jismoniy ma'noga ega bo'lgan funktsiyani qidirayotganimizni tushunish muhimdir. Bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, bizga nafaqat X qiymatlarining ko'rib chiqilgan diapazonida, balki undan tashqarida ham adekvat natijalarni beradigan yaqinlashuvchi funktsiya kerak, ya'ni u quyidagi savolga javob beradi: "Agar metall konstruktsiyalar soni bo'lsa, metall konstruktsiyalarning chiqishi qanday bo'ladi. oyiga qayta ishlangan burchaklar 45 dan kam va 168 tonnadan ortiq! Shuning uchun men yuqori darajadagi ko'phadlarga berilib ketishni va parabolani (ikkinchi darajali polinom) tanlashni tavsiya etmayman!

Shunday qilib, biz X = 45...168 qiymatlari oralig'ida jadval ma'lumotlarini nafaqat yaxshi interpolyatsiya qiladigan, balki ushbu diapazondan tashqarida adekvat ekstrapolyatsiya qilishga imkon beradigan funktsiyani tanlashimiz kerak. Bunday holda, men logarifmik funktsiyani tanlayman, garchi siz chiziqli funksiyani ham tanlashingiz mumkin, chunki u eng oddiy. Ko'rib chiqilayotgan misolda, Excelda chiziqli yaqinlashishni tanlashda xatolar logarifmikni tanlashga qaraganda kattaroq bo'ladi, lekin unchalik emas.

8. Biz logarifmik funktsiyadan tashqari barcha trend chiziqlarini diagramma maydonidan olib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun keraksiz satrlarni o'ng tugmasini bosing va paydo bo'lgan kontekst menyusidan "O'chirish" -ni tanlang.

9. Nihoyat, jadval ma'lumotlar nuqtalariga xato qatorlarini qo'shamiz. Buni amalga oshirish uchun grafikdagi istalgan nuqtani sichqonchaning o'ng tugmasi bilan bosing va kontekst menyusida "Ma'lumotlar seriyasini formatlash ..." -ni tanlang va "Y-xatolar" yorlig'ida ma'lumotlarni quyidagi rasmdagi kabi sozlang.

10. Keyin xato diapazonining istalgan satrini sichqonchaning o'ng tugmasi bilan bosing, kontekst menyusida va "Ko'rish" yorlig'idagi "Xatolar qatorlarini formatlash ..." ni tanlang, chiziqlar rangi va qalinligini sozlang.

Boshqa har qanday diagramma ob'ektlari xuddi shu tarzda formatlanadi.Excel!

Diagrammaning yakuniy natijasi quyidagi skrinshotda ko'rsatilgan.

Natijalar.

Oldingi barcha harakatlarning natijasi y=-172.01*ln (x)+1188.2 ga yaqinlashtiruvchi funktsiyaning hosil boʻlgan formulasi boʻldi. Uni bilish va oylik ishlar to'plamidagi burchaklar soni, yuqori ehtimollik darajasi bilan (± 4% - xato chiziqlariga qarang) oy uchun metall konstruktsiyalarning umumiy ishlab chiqarishini taxmin qilish mumkin! Misol uchun, agar oyning rejasi 140 tonna burchak bo'lsa, unda boshqa barcha narsalar teng bo'lganda, umumiy ishlab chiqarish 338 ± 14 tonnani tashkil qiladi.

Taxminan ishonchliligini oshirish uchun juda ko'p statistik ma'lumotlar bo'lishi kerak. O'n ikki juft qiymat etarli emas.

Amaliyotdan shuni aytamanki, ishonchlilik koeffitsienti R 2 >0,87 bo'lgan yaqinlashuvchi funktsiyani topishni yaxshi natija deb hisoblash kerak. Ajoyib natija R 2 > 0,94.

Amalda, eng muhim hal qiluvchi omilni aniqlash qiyin bo'lishi mumkin (bizning misolimizda, bir oy ichida qayta ishlangan burchaklarning massasi), lekin agar siz harakat qilsangiz, uni har doim har bir aniq vazifada topishingiz mumkin! Albatta, bir oy davomida jami ishlab chiqarish haqiqatan ham yuzlab omillarga bog'liq bo'lib, ular standart ishlab chiqaruvchilar va boshqa mutaxassislardan katta mehnat xarajatlarini talab qiladi. Ammo natija hali ham taxminiy bo'ladi! Matematik modellashtirish ancha arzon bo'lganda, xarajatlarni ko'tarishga arziydimi?

Ushbu maqolada men statistik ma'lumotlarni yig'ish, qayta ishlash va amaliy foydalanish deb ataladigan aysbergning faqat uchiga tegdim. Men sizning ushbu mavzuga qiziqishingizni uyg'otishga muvaffaq bo'ldimmi yoki yo'qmi, qidiruv tizimlaridagi maqolaning sharhlari va reytinglaridan bilib olaman deb umid qilaman.

Bitta o'zgaruvchining funktsiyasini yaqinlashtirish masalasi hayotning turli sohalarida keng amaliy qo'llaniladi. Ammo funktsiyani yaqinlashtirish masalasini hal qilish ancha kengroq qo'llaniladi bir nechta mustaqil o'zgaruvchilar ... Bu va boshqalar haqida keyingi blog maqolalarida o'qing.

Obuna boʻling Har bir maqolaning oxirida joylashgan oynada yoki sahifaning yuqori qismidagi oynada maqolalar e'lonlariga.

Esdan chiqarma tasdiqlang havolani bosish orqali obuna bo'ling ko'rsatilgan pochta orqali sizga keladigan xatda (papkaga kelishi mumkin « Spam » )!!!

Men sizning sharhlaringizni qiziqish bilan o'qiyman, aziz o'quvchilar! Yozing!

P.S. (06/04/2017)

Jadval ma'lumotlarini oddiy tenglama bilan juda aniq, chiroyli almashtirish.

Olingan taxminiy aniqlik sizni qoniqtirmayapti (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Yuqori darajali yaqinlashtiruvchi ko'phadning ifoda o'lchamlari va chiziq shakli ko'zni quvontirmaydimi?

Iltimos, jadval ma'lumotlaringizni yaqinlashtirishning aniqroq va ixcham natijasini olish va bitta o'zgaruvchining funksiyasi bo'yicha yuqori aniqlikdagi yaqinlashish masalalarini hal qilishning oddiy texnikasini o'rganish uchun "" sahifasiga murojaat qiling.

Taklif etilgan harakatlar algoritmidan foydalanganda, eng yuqori yaqinlashish aniqligini ta'minlaydigan juda ixcham funksiya topildi: R 2 =0,9963!!!

Nochiziqli va transsendental tenglamalar tizimini yechish.

Nochiziqli va transsendental tenglamalar sistemalari. Tenglamalarni sonli shaklda yechish.

Muammolarni hal qilishning raqamli usullari

Radiofizika va elektronika

(Qo'llanma)

Voronej 2009 yil

Darslik fizik elektronika kafedrasida tayyorlangan

Voronej davlat universiteti fakulteti.

Elektron sxemalarni avtomatlashtirilgan tahlil qilish bilan bog'liq muammolarni hal qilish usullari ko'rib chiqiladi. Grafiklar nazariyasining asosiy tushunchalari keltirilgan. Kirxgof qonunlarining matritsa-topologik formulasi berilgan. Eng mashhur matritsa-topologik usullar tavsiflangan: tugun potentsiallari usuli, aylanma oqimlar usuli, diskret modellar usuli, gibrid usul, o'zgaruvchan holatlar usuli.

1. Nochiziqli xarakteristikalar yaqinlashishi. Interpolyatsiya. 6

1.1. Nyuton va Lagranj polinomlari 6

1.2. Spline interpolyatsiyasi 8

1.3. Eng kichik kvadratlar usuli 9

2. Algebraik tenglamalar sistemalari 28

2.1. Chiziqli tenglamalar sistemalari. Gauss usuli. 28

2.2. Siyrak tenglamalar tizimlari. LU faktorizatsiyasi. 36

2.3. Nochiziqli tenglamalarni yechish 37

2.4. Nochiziqli tenglamalar sistemalarini yechish 40

2.5. Differensial tenglamalar. 44

2. Ekstremumni qidirish usullari. Optimallashtirish. 28

2.1. Ekstremal qidiruv usullari. 36

2.2. Passiv qidiruv 28

2.3. Ketma-ket qidiruv 36

2.4. Ko'p o'lchovli optimallashtirish 37

Adabiyotlar 47

Nochiziqli xarakteristikalar yaqinlashishi. Interpolyatsiya.

1.1. Nyuton va Lagranj polinomlari.

Ko'pgina masalalarni hal qilishda to'liq bo'lmagan ma'lumotlar mavjud bo'lgan yoki shakli juda murakkab bo'lgan f funktsiyani u yoki bu ma'noda f ga yaqinroq bo'lgan soddaroq va qulayroq F funktsiyasi bilan almashtirish kerak bo'ladi. vakillik. Taxminlash (yaqinlash) uchun ma'lum bir sinfga mansub F funktsiyalardan foydalaniladi, masalan, ma'lum darajadagi algebraik ko'phadlar. Funksiyani yaqinlashtirish masalasining turli xil versiyalari mavjud bo‘lib, ular qaysi f funksiyalar yaqinlashishi, qaysi F funksiyalari yaqinlashtirish uchun ishlatilishi, f va F funksiyalarning yaqinligi qanday tushunilishi va hokazolarga bog‘liq.

Taxminan funktsiyalarni qurish usullaridan biri interpolyatsiya bo'lib, ma'lum nuqtalarda (interpolyatsiya tugunlarida) asl f funktsiyasi va F ning taxminiy qiymatlari mos kelishi kerak bo'ladi berilgan nuqtalardagi hosilalar mos kelishi kerak.

Funksiya interpolyatsiyasi hisoblash qiyin bo‘lgan funksiyani hisoblash uchun qulay bo‘lgan boshqasiga almashtirish uchun ishlatiladi; funktsiyani alohida nuqtalarda uning qiymatlaridan taxminan tiklash uchun; funksiyalarni sonli differentsiallash va integrallash uchun; nochiziqli va differensial tenglamalarni sonli yechish uchun va hokazo.

Eng oddiy interpolyatsiya muammosi quyidagicha. Segmentdagi ma'lum bir funktsiya uchun interpolyatsiya tugunlari deb ataladigan nuqtalarda n+1 qiymatlari belgilanadi. Qayerda. Interpolyatsiya tugunlarida f(x) bilan bir xil qiymatlarni oladigan F(x) interpolyatsiya qiluvchi funksiyani qurish talab qilinadi:

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

Geometrik jihatdan bu berilgan nuqtalar sistemasidan (x i, y i), i = 0,1,…,n oʻtuvchi maʼlum turdagi egri chiziqni topishni bildiradi.

Agar argumentning qiymatlari mintaqadan tashqariga chiqsa, biz ekstrapolyatsiya haqida gapiramiz - funktsiyani uning ta'rifi hududidan tashqarida davom ettirish.

Ko'pincha F(x) funksiyasi algebraik ko'phad ko'rinishida tuziladi. Algebraik interpolyatsiya polinomlarining bir nechta ko'rinishlari mavjud.

Nuqtalarda qiymatlarni qabul qiluvchi funktsiyalarni interpolyatsiya qilish usullaridan biri quyidagi ko'rinishga ega bo'lgan Lagrange polinomini qurishdir:

n+1 interpolyatsiya tugunlari orqali o'tadigan interpolyatsiya polinomining darajasi n ga teng.

Lagranj ko‘phadining shaklidan shunday xulosa kelib chiqadiki, yangi tugun nuqtasi qo‘shilishi ko‘phadning barcha hadlari o‘zgarishiga olib keladi. Bu Lagrange formulasining noqulayligi. Ammo Lagranj usuli minimal arifmetik amallarni o'z ichiga oladi.

Darajalari ortib borayotgan Lagranj koʻphadlarini qurish uchun quyidagi takrorlash sxemasidan (Aitken sxemasi) foydalanish mumkin.

Ikki nuqta (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n) nuqtadan o‘tuvchi ko‘pnomlarni quyidagicha ifodalash mumkin:

Uch nuqtadan oʻtuvchi koʻpnomlar (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), L ij va L jk ko‘phadlari orqali ifodalanishi mumkin:

L ijk va L jkl ko‘phadlardan to‘rtta nuqta (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) uchun ko‘phadlar yasaladi:

Jarayon berilgan n ta nuqtadan o'tuvchi ko'phad olinmaguncha davom etadi.

Aitken sxemasini amalga oshiruvchi XX nuqtadagi Lagranj ko‘phadining qiymatini hisoblash algoritmini operator yordamida yozish mumkin:

uchun (int i=0;i

uchun (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

u xato sifatida qabul qilinadi - o'zgaruvchining takroriy e'lon qilinishi,

i o'zgaruvchisi allaqachon e'lon qilingan

uchun (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

Bu erda F massiv Lagrange ko'phadining oraliq qiymatlari. Dastlab, F[I] y i ga teng bo'lishi kerak. Looplar bajarilgandan so'ng, F[N] - XX nuqtadagi N darajali Lagranj ko'phadining qiymati.

Interpolyatsiya polinomini ifodalashning yana bir shakli Nyuton formulalaridir. Bir xil masofadagi interpolyatsiya tugunlari bo'lsin; i=0,1,…,n ; - interpolyatsiya bosqichi.

To'g'ridan-to'g'ri interpolyatsiya qilish uchun ishlatiladigan Nyutonning 1-interpolyatsiya formulasi:

(cheklangan) i-tartibli farqlar deb ataladi. Ular quyidagicha tasniflanadi:

Normallashtirilgan argument.

Nyutonning interpolyatsiya formulasi Teylor qatoriga aylanganda.

Nyutonning 2-interpolyatsiya formulasi "orqaga" interpolyatsiya qilish uchun ishlatiladi:

Oxirgi yozuvda farqlar o'rniga ("oldinga" farqlar deb ataladi) "orqaga" farqlar qo'llaniladi:

Teng bo'lmagan masofada joylashgan tugunlar bo'lsa, deb ataladi ajratilgan farqlar

Bunday holda, Nyuton ko'rinishidagi interpolyatsiya polinomi shaklga ega

Lagrange formulasidan farqli o'laroq, yangi qiymatlar juftligini qo'shish. (x n +1, y n +1) bu yerda bitta yangi hadni qo‘shishga qisqartiriladi. Shuning uchun, butun hisob-kitobni takrorlamasdan, interpolatsiya tugunlari soni osongina ko'paytirilishi mumkin. Bu interpolyatsiyaning aniqligini baholash imkonini beradi. Biroq, Nyuton formulalari Lagrange formulalariga qaraganda ko'proq arifmetik amallarni talab qiladi.

n=1 uchun chiziqli interpolyatsiya formulasini olamiz:

n=2 uchun biz parabolik interpolyatsiya uchun formulaga ega bo'lamiz:

Funktsiyalarni interpolyatsiya qilishda yuqori darajadagi algebraik polinomlar katta hisoblash xarajatlari va qiymatlarni hisoblashda katta xatolar tufayli kamdan-kam qo'llaniladi.

Amalda ko'pincha qismli chiziqli yoki qismli parabolik interpolyatsiya qo'llaniladi.

Bo‘lakli chiziqli interpolyatsiya bilan (i=0,1,…,n-1) oraliqdagi f(x) funksiya to‘g‘ri chiziq segmenti bilan yaqinlashtiriladi.

Bo'lak-bo'lak chiziqli interpolyatsiyani amalga oshiradigan hisoblash algoritmi operator yordamida yozilishi mumkin:

uchun (int i=0;i

agar ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Birinchi pastadir yordamida biz kerakli nuqta qaerda joylashganligini qidiramiz.

Bo'lak parabolik interpolyatsiya bilan polinom argumentning berilgan qiymatiga eng yaqin bo'lgan 3 ta tugun nuqtasi yordamida tuziladi.

Bo'lak parabolik interpolyatsiyani amalga oshiradigan hisoblash algoritmi operator yordamida yozilishi mumkin:

uchun (int i=0;i

y0=Fy; i=0 bo'lganda element mavjud emas!

x0=Fx; Xuddi shu

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Interpolatsiyadan foydalanish har doim ham tavsiya etilmaydi. Eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlashda funktsiyani tekislash maqsadga muvofiqdir. Eng kichik kvadratlar usuli yordamida eksperimental bog'liqliklarni yaqinlashtirish o'rtacha kvadrat xatosini minimallashtirish talabiga asoslanadi.

Taxminlovchi ko'phadning koeffitsientlari m+1 chiziqli tenglamalar tizimini yechish natijasida topiladi. “normal” tenglamalar, k=0,1,…,m

Algebraik ko'phadlardan tashqari, trigonometrik ko'phadlar ham funksiyalarni taqribiylashtirish uchun keng qo'llaniladi.

(Qarang: "raqamli harmonik tahlil").

Splaynlar funksiyani yaqinlashtirishning samarali vositasidir. Spline uning qiymatlari va tugun nuqtalaridagi hosilalari interpolyatsiya qilingan f(x) funksiyasi va uning hosilalari ma'lum bir tartibgacha mos kelishini talab qiladi. Biroq, ba'zi hollarda splaynlarni qurish katta hisoblash xarajatlarini talab qiladi.

1 | | | | | | | | | | | |

Tajriba davomida o'lchovlar natijasida ma'lum bir funktsiyaning jadvalli topshirig'i olinsin f(x), ikkita geografik parametr o'rtasidagi munosabatni ifodalash:

X	x 1	x 2	…	x n
f(x)	y 1	2 da	…	y n

Albatta, interpolyatsiya usulidan foydalanib, analitik tarzda bu bog'liqlikni ifodalovchi formulani topishingiz mumkin. Shu bilan birga, interpolyatsiya tugunlarida funksiyaning olingan analitik spetsifikatsiyasi qiymatlarining mavjud empirik ma'lumotlarga mos kelishi ko'pincha kuzatishning butun oralig'ida dastlabki va interpolyatsiya qiluvchi funktsiyalarning xatti-harakatlarining mos kelishini anglatmasligi mumkin. Bundan tashqari, geografik ko'rsatkichlarning jadvalga bog'liqligi har doim ma'lum va har doim ham etarlicha kichik o'lchov xatosiga ega bo'lmagan turli xil asboblar bilan o'lchash natijasida olinadi. Tugunlarda yaqinlashuvchi va yaqinlashuvchi funktsiyalar qiymatlarining aniq mos kelishiga bo'lgan talab, agar funktsiya qiymatlari bo'lsa, yanada asossizdir. f(x), o'lchovlar natijasida olinganlarning o'zlari taxminiydir.

Bitta o'zgaruvchining funksiyasini boshidanoq yaqinlashtirish muammosi, albatta, dastlabki funktsiyaning butun kuzatish oralig'idagi xatti-harakatlarini hisobga oladi. Muammoning formulasi quyidagicha. Funktsiya y= f(x)(1) jadvalda keltirilgan. Berilgan turdagi funktsiyani topish kerak:

nuqtalarda joylashgan x 1 , x 2 , …, x n jadvaldagi qiymatlarga iloji boricha yaqinroq qiymatlarni oladi y 1, y 2, …, y n.

Amalda, yaqinlashtiruvchi funktsiyaning turi ko'pincha funktsiyaning taxminan tuzilgan grafigi turini solishtirish orqali aniqlanadi. y= f(x) tadqiqotchiga ma'lum bo'lgan, analitik tarzda ko'rsatilgan funktsiyalar grafiklari bilan (ko'pincha oddiy ko'rinishga ega elementar funktsiyalar). Ya'ni, jadval (1) ga muvofiq tarqalish uchastkasi quriladi f(x), keyin nuqtalarning joylashuvi tabiatini iloji boricha eng yaxshi aks ettiruvchi silliq egri chiziladi. Shu tarzda olingan egri chiziq asosida sifat darajasida yaqinlashuvchi funktsiya shakli o'rnatiladi.

6-rasmni ko'rib chiqing.

6-rasmda uchta holat ko'rsatilgan:

• Grafikda (a) munosabatlar X Va da chiziqqa yaqin; bu yerdagi to'g'ri chiziq kuzatish nuqtalariga yaqin bo'lib, ikkinchisi faqat nisbatan kichik tasodifiy ta'sirlar natijasida undan chetga chiqadi.
• Grafik (b) miqdorlar orasidagi haqiqiy munosabatni ko'rsatadi X Va da chiziqli bo'lmagan funksiya bilan tavsiflanadi va biz qanday to'g'ri chiziq chizmasak, kuzatish nuqtalarining undan og'ishi sezilarli va tasodifiy bo'lmaydi. Shu bilan birga, parabolaning chizilgan novdasi miqdorlar o'rtasidagi munosabatlarning tabiatini juda yaxshi aks ettiradi.
• Grafikda (c) o'zgaruvchilar o'rtasida aniq bog'liqlik mavjud X Va da yo'q; qanday ulanish formulasini tanlamasligimizdan qat'iy nazar, uni parametrlashtirish natijalari muvaffaqiyatsiz bo'ladi. Xususan, ikkala tanlangan to'g'ri chiziq o'zgaruvchining kutilgan qiymatlari haqida xulosa chiqarish uchun bir xil darajada yomon. da o'zgaruvchan qiymatlar bo'yicha X.

Shuni ta'kidlash kerakki, dastlabki ma'lumotlar jadvali uchun qat'iy funktsional bog'liqlik kamdan-kam hollarda kuzatiladi, chunki undagi har bir miqdor ko'plab tasodifiy omillarga bog'liq bo'lishi mumkin. Biroq, formula (2) (u empirik formula yoki regressiya tenglamasi deb ataladi da yoqilgan X) qiziqarli, chunki u funktsiya qiymatlarini topishga imkon beradi f jadvalsiz qiymatlar uchun X, miqdorni o'lchash natijalarini "tekislash" da, ya'ni. o'zgarishlarning butun doirasi bo'ylab X. Ushbu yondashuvning asoslanishi, oxir-oqibat, olingan formulaning amaliy foydaliligi bilan belgilanadi.

Mavjud nuqtalarning "buluti" orqali siz har doim belgilangan turdagi chiziqni chizishga harakat qilishingiz mumkin, bu ma'lum bir turdagi barcha chiziqlar orasida ma'lum ma'noda eng yaxshisi, ya'ni ularning kuzatuv nuqtalariga "eng yaqin". umumiylik. Buning uchun avvalo chiziqning tekislikdagi ma'lum nuqtalar to'plamiga yaqinligi tushunchasini aniqlaymiz. Bunday yaqinlik o'lchovlari farq qilishi mumkin. Biroq, har qanday oqilona o'lchov, shubhasiz, kuzatuv nuqtalaridan ko'rib chiqilayotgan chiziqgacha bo'lgan masofaga bog'liq bo'lishi kerak (tenglama bilan berilgan) y=F(x)).

Taxminlovchi funksiya deb faraz qilaylik F(x) nuqtalarda x 1, x 2, ..., x n masala y 1 , y 2 , ..., y n. Ko'pincha, yaqinlik mezoni sifatida qaram o'zgaruvchining kuzatuvlari orasidagi kvadratik farqlarning minimal yig'indisi ishlatiladi. y i va nazariy qiymatlar regressiya tenglamasi yordamida hisoblangan y i. Bu erda bunga ishonishadi y i Va x i- ma'lum kuzatuv ma'lumotlari va F- noma'lum parametrlarga ega regressiya chizig'ining tenglamasi (ularni hisoblash formulalari quyida keltirilgan). Bog'liq o'zgaruvchining kuzatuvlarining kvadrat og'ishlari yig'indisini kerakli funktsiya qiymatlaridan minimallashtiradigan yaqinlashuvchi funktsiyaning parametrlarini baholash usuli deyiladi. eng kam usuli kvadratlar (LS) yoki Eng kichik kvadratlar usuli (LS).

Demak, funksiyani yaqinlashtirish masalasi f endi quyidagicha formula qilish mumkin: funktsiya uchun f, (1)-jadvalda berilgan, funksiyani toping F F kvadratlar yig'indisi eng kichik bo'lishi uchun ma'lum bir tur.

Uchta parametrli yaqinlashuvchi funktsiya misolida umumiy shaklda yaqinlashuvchi funktsiyani topish usulini ko'rib chiqamiz:

(3)

Mayli F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Tegishli qiymatlarning kvadratik farqlari yig'indisi f Va F quyidagicha ko'rinadi:

Bu summa F ning funksiyasi (a, b, c) uchta o'zgaruvchi (parametrlar a, b Va c). Vazifa uning minimalini topishdan iborat. Biz ekstremum uchun zarur shartdan foydalanamiz:

Biz a, b, c noma'lum parametrlarni aniqlash tizimini olamiz.

(5)

Parametrlari bo'yicha uchta noma'lum uchta tenglamadan iborat ushbu tizimni yechish a, b, c, biz kerakli funksiyaning o'ziga xos shaklini olamiz F(x, a, b, c). Ko'rib chiqilgan misoldan ko'rinib turibdiki, parametrlar sonini o'zgartirish yondashuvning o'zi mohiyatining buzilishiga olib kelmaydi, faqat (5) tizimdagi tenglamalar sonining o'zgarishida ifodalanadi.

Topilgan qiymatlarning ishlashini kutish tabiiydir F(x, a, b, c) nuqtalarda x 1, x 2, ..., x n, jadval qiymatlaridan farq qiladi y 1 , y 2 , ..., y n. Farq qiymatlari y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) o'lchangan qiymatlarning og'ishlari deyiladi y(3) formula bo'yicha hisoblanganlardan. Topilgan empirik formula uchun (2) dastlabki jadvalga (1) muvofiq, shuning uchun topish mumkin

eng kichik kvadratlar usuliga muvofiq, ma'lum bir turdagi yaqinlashuvchi funktsiya (va topilgan parametr qiymatlari) uchun eng kichik bo'lishi kerak bo'lgan kvadrat og'ishlar yig'indisi. Bir xil jadval funksiyasining ikki xil yaqinlashuvidan eng kichik kvadratlar usuliga rioya qilgan holda, yig'indisi (4) eng kichik qiymatga ega bo'lgan eng yaxshisi hisoblanadi.

Eksperimental amaliyotda, tarqalish grafigining tabiatiga qarab, taxminan funktsiyalar sifatida f Ko'pincha ikkita parametrli taxminiy funktsiyalar qo'llaniladi:

Shubhasiz, yaqinlashuvchi funktsiyaning turi aniqlanganda, vazifa faqat parametrlarning qiymatlarini topishga tushadi.

Keling, amaliy tadqiqotlarda eng keng tarqalgan empirik bog'liqliklarni ko'rib chiqaylik.

3.3.1. Chiziqli funktsiya (chiziqli regressiya). Bog'liqlik tahlilining boshlang'ich nuqtasi odatda o'zgaruvchilarning chiziqli bog'liqligini baholashdir. Ammo shuni hisobga olish kerakki, eng kichik kvadratlar usuli yordamida "eng yaxshi" to'g'ri chiziq har doim mavjud, lekin hatto eng yaxshisi ham har doim ham etarli darajada yaxshi emas. Agar haqiqatda giyohvandlik bo'lsa y=f(x) kvadratik bo'lsa, hech qanday chiziqli funktsiya uni to'g'ri ta'riflay olmaydi, garchi bunday funktsiyalar orasida "eng yaxshisi" bo'lsa ham. Agar qiymatlar X Va da umuman bog'liq emas, biz har doim "eng yaxshi" chiziqli funktsiyani topishimiz mumkin y=ax+b berilgan kuzatishlar to'plami uchun, lekin bu holda o'ziga xos qiymatlar A Va b faqat o'zgaruvchilarning tasodifiy og'ishlari bilan aniqlanadi va bir xil populyatsiyadan turli xil namunalar uchun o'zlari katta farq qiladi.

Keling, chiziqli regressiya koeffitsientlarini baholash masalasini yanada rasmiy ravishda ko'rib chiqaylik. o'rtasidagi bog'liqlik deb faraz qilaylik x Va y chiziqli bo'lib, biz kerakli yaqinlashuvchi funktsiyani quyidagi shaklda qidiramiz:

Parametrlarga nisbatan qisman hosilalarni topamiz:

Olingan munosabatlarni (5) shakldagi sistemaga almashtiramiz:

yoki har bir tenglamani n ga bo'lish:

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

(7)

Keyin oxirgi tizim quyidagicha ko'rinadi:

(8)

Ushbu tizimning koeffitsientlari M x , M y , M xy , M x 2- har bir aniq yaqinlashish masalasida formulalar (7) yordamida osonlik bilan hisoblanishi mumkin bo'lgan raqamlar, bu erda x i, y i- jadvaldagi qiymatlar (1). Tizimni (8) hal qilib, biz parametr qiymatlarini olamiz a Va b, va shuning uchun chiziqli funktsiyaning o'ziga xos shakli (6).

Chiziqli funktsiyani kerakli empirik formula sifatida tanlashning zaruriy sharti bu munosabatdir:

3.3.2. Kvadrat funksiya (kvadrat regressiya). Kvadrat uch a’zo ko‘rinishida yaqinlashuvchi funktsiyani qidiramiz:

Qisman hosilalarni topish:

Shakl (5) tizimini yaratamiz:

Oddiy o'zgarishlardan so'ng biz uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini olamiz a, b, c. Tizimning koeffitsientlari, xuddi chiziqli funktsiyada bo'lgani kabi, faqat (1) jadvaldagi ma'lum ma'lumotlar orqali ifodalanadi:

(10)

Bu erda (7) yozuv ishlatiladi, shuningdek

(10) sistemaning yechimi parametrlarning qiymatini beradi a, b Va Bilan yaqinlashuvchi funktsiya uchun (9).

Agar shaklning barcha ifodalari bo'lsa, kvadrat regressiya qo'llaniladi y 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 va hokazo. bir-biridan ozgina farq qiladi.

3.3.3. Quvvat funksiyasi (geometrik regressiya) endi taxminiy funktsiyani quyidagi shaklda topamiz:

(11)

Dastlabki jadvalda (1) argumentning qiymatlari va funktsiya qiymatlari ijobiy deb faraz qilsak, biz tenglik logarifmini (11) sharti bilan olamiz. a>0:

Funktsiyadan beri F funksiya uchun taxminan hisoblanadi f, funktsiyasi lnF funksiya uchun taxminiy ko‘rsatkich bo‘ladi lnf. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz u=lnx; keyin (12) ga binoan, lnF ning funksiyasi bo‘ladi u: F(u).

belgilaylik

Endi tenglik (12) quyidagi shaklni oladi:

bular. masala chiziqli ko'rinishdagi yaqinlashuvchi funktsiyani topishga qisqartirildi. Amalda, quvvat funksiyasi ko'rinishida kerakli yaqinlashuvchi funktsiyani topish uchun (yuqorida qilingan taxminlar ostida) quyidagilarni bajarish kerak:

1. ushbu jadvaldan foydalanib (1) qiymatlarning logarifmlarini olib, yangi jadval yarating x Va y manba jadvalida;

2. parametrlarni topish uchun yangi jadvaldan foydalaning A Va IN shaklning yaqinlashtiruvchi funksiyasi (14);

3. (13) yozuvidan foydalanib, parametrlarning qiymatlarini toping a Va m va ularni ifodaga almashtiring (11).

Kuch funksiyasini kerakli empirik formula sifatida tanlashning zaruriy sharti bu munosabatdir:

3.3.4. Eksponensial funktsiya . Asl jadval (1) shunday bo'lsinki, yaqinlashuvchi funktsiyani eksponensial funktsiya shaklida izlash tavsiya etiladi:

Tenglik logarifmini olaylik (15):

(16)

Belgini (13) olib, (16) quyidagi shaklda qayta yozamiz:

(17)

Shunday qilib, (15) ko'rinishdagi yaqinlashuvchi funktsiyani topish uchun (1) asl jadvaldagi funktsiya qiymatlarini logarifmlash va ularni argumentning asl qiymatlari bilan birgalikda hisobga olib, yaqinlashuvchi funktsiyani qurish kerak. yangi jadval uchun shakl (17). Shundan so'ng, (13) yozuvga muvofiq, qidirilayotgan parametrlarning qiymatlarini olish qoladi. a Va b va ularni (15) formulaga almashtiring.

Eksponensial funktsiyani kerakli empirik formula sifatida tanlashning zaruriy sharti bu munosabatlardir:

.

3.3.5. Fraktsion chiziqli funksiya. Biz taxminiy funktsiyani quyidagi shaklda qidiramiz:

(18)

Tenglikni (18) quyidagicha qayta yozamiz:

Oxirgi tenglikdan parametr qiymatlari topiladi a Va b berilgan jadval (1) uchun siz yangi jadval yaratishingiz kerak, unda argument qiymatlari bir xil bo'lib qoladi va funktsiya qiymatlari teskari raqamlar bilan almashtiriladi, so'ngra olingan jadval uchun taxminiylikni toping. shakl funktsiyasi ax+b. Topilgan parametr qiymatlari a Va b(18) formulaga almashtiring.

Kesrli chiziqli funktsiyani kerakli empirik formula sifatida tanlashning zaruriy sharti bu munosabatdir:

.

3.3.6. Logarifmik funktsiya. Taxminlovchi funktsiya quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:

Ko'rinib turibdiki, chiziqli funktsiyaga o'tish uchun almashtirishni amalga oshirish kifoya lnx=u. Bu qiymatlarni topish uchun shunday bo'ladi a Va b siz (1) asl jadvaldagi argumentning qiymatlarini logarifmlashingiz kerak va olingan qiymatlarni funktsiyaning asl qiymatlari bilan birgalikda hisobga olgan holda, chiziqli ko'rinishdagi yaqinlashuvchi funktsiyani toping. Shunday qilib olingan yangi jadval. Imkoniyatlar a Va b topilgan funksiyani (19) formulaga almashtiring.

Logarifmik funktsiyani kerakli empirik formula sifatida tanlashning zaruriy sharti bu munosabatlardir:

.

3.3.7. Giperbola. Agar (1)-jadvaldan tuzilgan tarqalish chizmasi giperbolaning novdasini bersa, yaqinlashuvchi funktsiyani shaklda izlash mumkin.