Aproximația liniară, în special polinom liniar, adesea nu corespunde naturii funcției. De exemplu, un polinom de grad înalt crește rapid și, prin urmare, chiar și o funcție simplă este prost aproximată de polinomul pe un segment mare. Deoarece aproximarea este efectuată pe o gamă largă de modificări ale argumentului, utilizarea unei dependențe neliniare de coeficienți este chiar mai avantajoasă aici decât în ​​cazul interpolării.

În practică, sunt utilizate două tipuri de dependențe. Una este o dependență cvasi-liniară, redusă printr-o modificare de nivelare a variabilelor la una liniară, care a fost studiată în detaliu în paragrafele precedente. Această metodă este foarte eficientă și este adesea folosită la procesarea experimentelor, deoarece informațiile a priori despre fizica procesului ajută la găsirea unei bune înlocuiri a variabilelor. Trebuie doar să ținem cont de faptul că aproximarea care este cea mai bună în noile variabile nu va fi cea mai bună în sensul produsului scalar din vechile variabile. Prin urmare, o atenție deosebită trebuie acordată alegerii ponderilor în noile variabile.

Un exemplu clasic este problema dezintegrarii radioactive a unei probe iradiate, în care variabilele convenabile și t, unde este rata de dezintegrare. În aceste variabile, curba este de obicei aproximată printr-o linie întreruptă, ale cărei legături corespund dezintegrarii membrilor din seria radioactive cu viață din ce în ce mai lungă.

Un alt tip de dependență utilizat în mod obișnuit de coeficienți este fracțional-liniar, atunci când funcția de aproximare este rațională:

Raportul polinoamelor generalizate este, de asemenea, adesea folosit. Această aproximare ne permite să transmitem polii funcției - ei corespund zerourilor numitorului multiplicității necesare. Este adesea posibil să se reproducă comportamentul asimptotic la datorită alegerii adecvate a cantității, de exemplu, dacă , atunci trebuie să setăm . În acest caz, le puteți lua suficient de mari pentru a avea mulți coeficienți de aproximare.

Totuși, eroarea pătrată nu va mai fi o funcție pătratică a coeficienților, deci nu este ușor să găsiți coeficienții unei funcții raționale. Prin analogie cu aproximarea rădăcină-medie-pătrată prin polinoame, putem emite ipoteza că eroarea are un număr de zerouri nu mai mic decât numărul de coeficienți liberi (comparați cu observația 3 din paragraful 2). Apoi problema se reduce la interpolarea lagrangiană peste aceste zerouri și coeficienții se găsesc dintr-un sistem de ecuații liniare:

Desigur, poziția exactă a zerourilor este necunoscută; ele sunt alese aleatoriu, de obicei distribuite uniform pe segment. Această metodă se numește metoda punctelor selectate. Aproximația obținută prin această metodă nu va fi deloc cea mai bună.

În plus, metoda punctelor selectate este nerezonabilă, la fel ca orice interpolare dacă are o eroare vizibilă.

Cea mai bună aproximare poate fi găsită folosind metoda ponderii iterate. Rețineți că sarcina

se rezolvă ușor: expresia din stânga este o funcție pătratică a coeficienților și diferențierea față de aceștia duce la un sistem liniar de determinare a coeficienților, similar cu (38). Noua problemă diferă în esență de cea inițială prin aceea că se folosește o greutate diferită în locul unei greutăți, deci soluția ei nu este cea mai bună aproximare. Să scriem problema inițială într-o formă nouă:

și o vom rezolva printr-un proces iterativ simplu

poate fi luată ca aproximare zero. La fiecare iterație, ponderea este cunoscută din iterația anterioară, astfel încât coeficienții se găsesc ușor din condiția minimă a formei pătratice. Practica arată că coeficienții celei mai bune aproximări depind slab de alegerea greutății, astfel încât iterațiile converg de obicei rapid.

a) Luați în considerare câteva exemple de aproximare printr-o funcție rațională. Sa punem

înlocuind primii doi termeni ai seriei cu o fracție, obținem . Această formulă simplă oferă precizie și este foarte convenabilă pentru estimări.

b) În teoria probabilităților, un rol important îl joacă integrala de eroare pentru care se cunosc expansiuni în serie:

Prima serie converge absolut, dar la convergență este foarte lentă; a doua serie converge asimptotic pentru valori mari ale . Înlocuind primii termeni ai fiecărei serii cu fracții, obținem

În intervalele indicate de modificare a argumentelor, eroarea primei formule nu depășește 0,4%, iar eroarea celei de-a doua formule nu depășește 2,4%. Astfel, acuratețea acestor aproximări este destul de suficientă pentru multe aplicații practice.

c) Să stabilim la . Această funcție este monotonă, iar pentru Este ușor să construiți o fracție

Aproximarea unei funcții neliniare

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Deoarece intervalul de împărțire al funcției este egal, calculăm următorii coeficienți de pantă ai secțiunilor corespunzătoare ale funcției aproximative:

1. Construcția blocurilor pentru formarea segmentelor funcției de aproximare

Formarea funcției timp

Interval de schimbare:

Timp de repornire ciclic: T = 1s

Acum să modelăm funcția:

Apropiere

Figura 3.1 - Schema de rezolvare a ecuației

Figura 3.2 - Diagrama bloc a formării unei funcții neliniare

Astfel, partea stângă a ecuației se formează automat. În acest caz, se presupune în mod convențional că cea mai mare derivată x// este cunoscută, deoarece termenii din partea dreaptă a ecuației sunt cunoscuți și pot fi conectați la intrările lui U1 (Figura 3.1). Amplificatorul operațional U3 acționează ca un invertor de semnal +x. Pentru a simula x//, este necesar să se introducă în circuit un alt subamplificator, la ale cărui intrări este necesar să se furnizeze semnale care simulează partea dreaptă a ecuației (3.2).

Scalele tuturor variabilelor sunt calculate, ținând cont de faptul că valoarea maximă a variabilei mașinii dincolo de valoarea absolută este de 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/ max; Mx // = 10 / x //max;

My = 10 / ymax. (3,3)

Scala de timp Mt = T / tmax = 1, deoarece problema este simulată în timp real.

Se calculează coeficienții de transmisie pentru fiecare intrare a amplificatoarelor integratoare.

Pentru amplificatorul U1, coeficienții de transmisie se găsesc folosind formulele:

K11 = Mx/ b / (MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3,4)

Pentru amplificatorul U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

și pentru amplificatorul U3:

K31 = 1. (3,6)

Tensiunile condițiilor inițiale sunt calculate folosind formulele:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3,7)

Partea dreaptă a ecuației (3.2) este reprezentată de o funcție neliniară, care este specificată prin aproximare liniară. În acest caz, este necesar să se verifice dacă eroarea de aproximare nu depășește o valoare specificată. Diagrama bloc a formării unei funcții neliniare este prezentată în Figura 3.2.

Descrierea schemei de circuit

Blocul de generare a funcției de timp (Ф) se realizează sub forma unuia (pentru a forma t) sau a două amplificatoare integratoare conectate în serie (pentru forma t2) cu condiții inițiale zero.

În acest caz, când un semnal U este aplicat la intrarea primului integrator, la ieșirea acestuia obținem:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3,8)

Fixând K11E=1, avem u1(t)= t.

La ieșirea celui de-al doilea integrator obținem:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

Setând K11K21E/2 = 1, avem u2(t)= t2.

Blocurile pentru generarea de segmente ale funcției de aproximare sunt implementate sub formă de blocuri de diode de funcții neliniare (DBNF), a căror valoare de intrare este o funcție a timpului t sau t2. Procedura pentru calcularea și construirea DBNF este dată în.

Sumatorul (SAD) de segmente ale funcției de aproximare se realizează sub forma unui amplificator final diferenţial.

Condițiile inițiale pentru integratorii circuitului de modelare sunt introduse folosind un nod cu structură variabilă (Figura 3.3). Această schemă poate funcționa în două moduri:

a) integrare - cu cheia K în poziția 1. În acest caz, semnalul inițial al circuitului este descris cu suficientă precizie de ecuația unui integrator ideal:

u1(t)= - (1 / RC) . (3,10)

Acest mod este utilizat la modelarea unei sarcini. Pentru a verifica corectitudinea alegerii parametrilor R și C ai integratorului, verificați valoarea tensiunii inițiale a integratorului în funcție de timp și timpul de integrare util în cadrul erorii admisibile.

Mărimea tensiunii inițiale a integratorului

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

în timpul simulării, T la integrarea semnalului de intrare E folosind un amplificator operațional cu un câștig Ky fără un circuit de feedback nu trebuie să depășească valoarea variabilei mașinii (10 V).

Timp de integrare

Ti = 2RC(Kу + 1)?Uadd (3.12)

cu parametrii circuitului selectați nu trebuie să fie mai mic decât timpul de simulare T.

b) setarea condițiilor inițiale este implementată la comutarea tastei K în poziția 2. Acest mod este utilizat la pregătirea circuitului de modelare pentru procesul de soluție. În acest caz, semnalul original al circuitului este descris de ecuația:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

unde u0(t) este valoarea condițiilor inițiale.

Pentru a reduce timpul de formare a condițiilor inițiale și pentru a asigura funcționarea fiabilă, parametrii circuitului trebuie să satisfacă condiția: R1C1 = R2C.

Construiți o schemă completă de calcul. În acest caz, ar trebui să utilizați simbolurile date în subsecțiunea 3.1.

Folosind adâncimea de biți a datelor de intrare și sursă, construiți diagrame de circuit ale blocurilor B1 și B2 și conectați-le la blocul RS.

(Vă rugăm să rețineți secțiunea suplimentară din 06/04/2017 de la sfârșitul articolului.)

Contabilitate si control! Cei peste 40 de ani ar trebui să-și amintească bine acest slogan din epoca construirii socialismului și comunismului în țara noastră.

Dar fără o contabilitate bine stabilită, funcționarea efectivă a unei țări, a unei regiuni, a unei întreprinderi sau a unei gospodării este imposibilă în orice formare socio-economică a societății! Pentru a întocmi previziuni și planuri de activitate și dezvoltare sunt necesare date inițiale. De unde le pot lua? Unul singur de încredere sursa este a taînregistrări statistice ale perioadelor anterioare de timp.

Din punctul meu de vedere, fiecare persoană sănătoasă ar trebui să ia în considerare rezultatele activităților sale, să colecteze și să înregistreze informații, să prelucreze și să analizeze datele și să aplice rezultatele analizei pentru a lua deciziile corecte în viitor. Aceasta nu este altceva decât acumularea și utilizarea rațională a experienței de viață. Dacă nu păstrați evidența datelor importante, atunci după o anumită perioadă de timp le veți uita și, când veți începe din nou să vă ocupați de aceste probleme, veți face din nou aceleași greșeli pe care le-ați făcut atunci când ați făcut asta pentru prima dată.

„Îmi amintesc că acum 5 ani produceam până la 1000 de astfel de produse pe lună, iar acum abia putem asambla 700!” Deschidem statisticile și vedem că acum 5 ani nu produceau nici măcar 500 de bucăți...

„Cât costă un kilometru din mașina ta, ținând cont toata lumea cheltuieli? Să deschidem statisticile – 6 ruble/km. Călătoria la serviciu – 107 ruble. Mai ieftin decât să luați un taxi (180 de ruble) de mai mult de o dată și jumătate. Și au fost momente când era mai ieftin să iei un taxi...

„Cât timp durează fabricarea structurilor de oțel ale unui turn de comunicații de colț înalt de 50 m?” Deschidem statisticile - și în 5 minute răspunsul este gata...

„Cât va costa renovarea unei camere într-un apartament?” Tragem înregistrări vechi, facem o ajustare pentru inflație din ultimii ani, ținem cont că ultima dată am cumpărat materiale cu 10% mai ieftin decât prețul pieței și știm deja costul estimat...

Păstrând evidența activităților tale profesionale, vei fi întotdeauna gata să răspunzi la întrebarea șefului tău: „Când!!!???” Păstrând evidența gospodăriei, este mai ușor să planificați cheltuielile pentru achiziții mari, vacanțe și alte cheltuieli în viitor, luând măsuri adecvate pentru a obține venituri suplimentare sau pentru a reduce cheltuielile inutile astăzi.

În acest articol, voi folosi un exemplu simplu pentru a arăta modul în care datele statistice colectate pot fi procesate în Excel pentru utilizare ulterioară în prognozarea perioadelor viitoare.

Aproximarea datelor statistice în Excel cu o funcție analitică.

Locul de producție produce structuri metalice de construcție din tablă și produse metalice profilate. Site-ul funcționează stabil, comenzile sunt de același tip, numărul de muncitori fluctuează ușor. Există date despre producția de produse pentru ultimele 12 luni și despre cantitatea de metal laminat prelucrat în aceste perioade de timp pe grupe: table, grinzi în I, canale, colțuri, țevi rotunde, profile dreptunghiulare, produse rotunde. După o analiză preliminară a datelor inițiale, a apărut ipoteza că producția totală lunară de structuri metalice depinde în mod semnificativ de numărul de unghiuri din comenzi. Să verificăm această presupunere.

În primul rând, câteva cuvinte despre aproximare. Vom căuta o lege - o funcție analitică, adică o funcție specificată printr-o ecuație care descrie mai bine decât altele dependența producției totale a structurilor metalice de cantitatea de oțel unghiular în ordinele finalizate. Aceasta este o aproximare, iar ecuația găsită se numește funcție de aproximare pentru funcția originală, dată sub forma unui tabel.

1. Porniți Excel și plasați un tabel cu date statistice pe o foaie.

2. Apoi, construim și formatăm un grafic de dispersie, în care de-a lungul axei X setăm valorile argumentului - numărul de colțuri procesate în tone. De-a lungul axei Y graficăm valorile funcției inițiale - producția totală de structuri metalice pe lună, specificată în tabel.

3. „Îndreptăm” mouse-ul către oricare dintre punctele de pe diagramă și facem clic dreapta pentru a afișa meniul contextual (cum spune unul dintre bunii mei prieteni - când lucrezi într-un program necunoscut, când nu știi ce să faci, faceți clic pe butonul dreapta al mouse-ului mai des...). În meniul drop-down, selectați „Adăugați o linie de tendință...”.

4. În fereastra „Trend Line” care apare, în fila „Type”, selectați „Liniar”.

6. O linie dreaptă a apărut pe grafic, aproximând dependența noastră de tabel.

Pe lângă linia în sine, vedem ecuația acestei linii și, cel mai important, vedem valoarea parametrului R 2 - valoarea fiabilității aproximării! Cu cât valoarea sa este mai aproape de 1, cu atât funcția selectată aproximează mai precis datele tabelare!

7. Construim linii de tendință folosind aproximări de putere, logaritmice, exponențiale și polinomiale în același mod în care am construit o linie de tendință liniară.

Dintre toate funcțiile selectate, un polinom de gradul doi aproximează cel mai bine datele noastre, acesta are coeficientul maxim de fiabilitate R 2 .

Cu toate acestea, vreau să vă avertizez! Dacă luați polinoame de grade mai mari, probabil că veți obține rezultate și mai bune, dar curbele vor avea un aspect contorsionat... Este important să înțelegem aici că căutăm o funcție care are sens fizic. Ce înseamnă acest lucru? Aceasta înseamnă că avem nevoie de o funcție de aproximare care să producă rezultate adecvate nu numai în intervalul considerat al valorilor X, ci și dincolo de acesta, adică va răspunde la întrebarea: „Care va fi rezultatul structurilor metalice dacă numărul de unghiurile procesate pe lună este mai mică de 45 și mai mult de 168 de tone! Prin urmare, nu recomand să te lași dus de polinoame de grade înalte și să alegi cu grijă o parabolă (polinomul de gradul doi)!

Deci, trebuie să alegem o funcție care nu numai că interpolează bine datele tabelare în intervalul de valori X = 45...168, dar permite și extrapolarea adecvată în afara acestui interval. În acest caz, aleg o funcție logaritmică, deși puteți alege și una liniară, deoarece este cea mai simplă. În exemplul luat în considerare, atunci când alegeți o aproximare liniară în Excel, erorile vor fi mai mari decât atunci când alegeți una logaritmică, dar nu cu mult.

8. Eliminam toate liniile de tendință din câmpul grafic, cu excepția funcției logaritmice. Pentru a face acest lucru, faceți clic dreapta pe liniile inutile și selectați „Ștergeți” din meniul contextual care apare.

9. În cele din urmă, vom adăuga bare de eroare la punctele de date tabelare. Pentru a face acest lucru, faceți clic dreapta pe oricare dintre punctele din grafic și selectați „Format serie de date...” în meniul contextual și configurați datele în fila „Y-erori” ca în figura de mai jos.

10. Apoi faceți clic dreapta pe oricare dintre liniile din intervalul de erori, selectați „Format bare de eroare...” în meniul contextual și în fereastra „Format bare de eroare” din fila „Vizualizare”, ajustați culoarea și grosimea liniilor.

Orice alte obiecte diagramă sunt formatate în același mod.excela!

Rezultatul final al diagramei este afișat în următoarea captură de ecran.

Rezultate.

Rezultatul tuturor acțiunilor anterioare a fost formula rezultată pentru funcția de aproximare y=-172,01*ln (x)+1188,2. Cunoscând acest lucru și numărul de colțuri din setul lunar de lucrări, este posibil cu un grad ridicat de probabilitate (±4% - vezi barele de eroare) să preziceți producția totală de structuri metalice pentru luna! De exemplu, dacă planul pentru lună este de 140 de tone de unghiuri, atunci producția totală, toate celelalte lucruri fiind egale, va fi cel mai probabil 338 ± 14 tone.

Pentru a crește fiabilitatea aproximării, ar trebui să existe o mulțime de date statistice. Douăsprezece perechi de valori nu sunt suficiente.

Din practică, voi spune că găsirea unei funcții de aproximare cu un coeficient de fiabilitate R 2 >0,87 ar trebui considerată un rezultat bun. Un rezultat excelent este cu R2 >0,94.

În practică, poate fi dificil să identifici un factor determinant cel mai important (în exemplul nostru, masa de colțuri procesate într-o lună), dar dacă încerci, îl poți găsi întotdeauna în fiecare sarcină specifică! Desigur, producția totală pentru o lună depinde într-adevăr de sute de factori, ținând cont de ceea ce necesită costuri semnificative ale forței de muncă de la standardori și alți specialiști. Dar rezultatul va fi totuși aproximativ! Deci, merită să suportați costurile atunci când există modelare matematică mult mai ieftină!

În acest articol, am atins doar vârful aisbergului numit colectarea, prelucrarea și utilizarea practică a datelor statistice. Sper să aflu dacă am reușit sau nu să vă trezesc interesul pentru acest subiect din comentariile și ratingurile articolului din motoarele de căutare.

Problema ridicată a aproximării unei funcții a unei variabile are o largă aplicație practică în diferite domenii ale vieții. Dar soluția problemei de aproximare a funcției are o aplicație mult mai mare mai multe independente variabile... Citiți despre asta și multe altele în următoarele articole de blog.

Abonati-va la anunţuri de articole în fereastra situată la sfârşitul fiecărui articol sau în fereastra din partea de sus a paginii.

Nu uita a confirma abonați-vă făcând clic pe link într-o scrisoare care vă va veni la e-mailul specificat (poate ajunge în dosar « Spam » )!!!

Voi citi cu interes comentariile voastre, dragi cititori! Scrie!

P.S. (06.04.2017)

Înlocuire foarte precisă și frumoasă a datelor tabelare cu o ecuație simplă.

Nu sunteți mulțumit de precizia de aproximare obținută (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Dimensiunile expresiei și forma liniei polinomului de aproximare de grad înalt nu sunt plăcute ochiului?

Vă rugăm să consultați pagina „” pentru a obține un rezultat mai precis și mai compact al aproximării datelor dumneavoastră tabulare și pentru a învăța o tehnică simplă de rezolvare a problemelor de aproximare de înaltă precizie printr-o funcție a unei variabile.

La utilizarea algoritmului de acțiuni propus, s-a găsit o funcție foarte compactă care oferă cea mai mare precizie de aproximare: R 2 =0,9963!!!

Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare și transcendentale.

Sisteme de ecuații neliniare și transcendentale. Rezolvarea ecuațiilor în formă numerică.

Metode numerice de rezolvare a problemelor

Radiofizică și electronică

(Tutorial)

Voronej 2009

Manualul a fost pregătit la Departamentul de Electronică Fizică

Facultatea de la Universitatea de Stat Voronezh.

Sunt luate în considerare metode de rezolvare a problemelor asociate cu analiza automată a circuitelor electronice. Sunt prezentate conceptele de bază ale teoriei grafurilor. Este dată o formulare matrice-topologică a legilor lui Kirchhoff. Sunt descrise cele mai cunoscute metode matrice-topologice: metoda potenţialelor nodale, metoda curenţilor de buclă, metoda modelelor discrete, metoda hibridă, metoda stărilor variabile.

1. Aproximarea caracteristicilor neliniare. Interpolare. 6

1.1. Polinoamele Newton și Lagrange 6

1.2. Interpolare spline 8

1.3. Metoda celor mai mici pătrate 9

2. Sisteme de ecuații algebrice 28

2.1. Sisteme de ecuații liniare. metoda Gauss. 28

2.2. Sisteme rare de ecuații. Factorizarea LU. 36

2.3. Rezolvarea ecuațiilor neliniare 37

2.4. Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare 40

2.5. Ecuatii diferentiale. 44

2. Metode de căutare a extremumului. Optimizare. 28

2.1. Metode de căutare extreme. 36

2.2. Căutare pasivă 28

2.3. Căutare secvenţială 36

2.4. Optimizare multidimensională 37

Referințe 47

Aproximarea caracteristicilor neliniare. Interpolare.

1.1. Polinoamele Newton și Lagrange.

La rezolvarea multor probleme, devine necesară înlocuirea unei funcții f, despre care există informații incomplete sau a cărei formă este prea complexă, cu o funcție F mai simplă și mai convenabilă, apropiată într-un sens sau altul de f, dând aproximativ ei. reprezentare. Pentru aproximare (aproximare) se folosesc funcțiile F aparținând unei anumite clase, de exemplu, polinoame algebrice de un grad dat. Există multe versiuni diferite ale problemei de aproximare a funcției, în funcție de care funcții f sunt aproximate, care funcții F sunt utilizate pentru aproximare, cum este înțeleasă apropierea funcțiilor f și F etc.

Una dintre metodele de construire a funcțiilor aproximative este interpolarea, atunci când se cere ca în anumite puncte (noduri de interpolare) valorile funcției inițiale f și ale funcției de aproximare F să coincidă În cazul mai general, valorile lui derivatele în puncte date trebuie să coincidă.

Interpolarea funcției este folosită pentru a înlocui o funcție dificil de calculat cu o altă funcție mai ușor de calculat; pentru restaurarea aproximativă a unei funcții din valorile sale în puncte individuale; pentru diferențierea numerică și integrarea funcțiilor; pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor neliniare și diferențiale etc.

Cea mai simplă problemă de interpolare este următoarea. Pentru o anumită funcție pe un segment, n+1 valori sunt specificate în puncte, care sunt numite noduri de interpolare. în care . Este necesar să se construiască o funcție de interpolare F(x) care ia aceleași valori la nodurile de interpolare ca f(x):

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

Geometric, aceasta înseamnă găsirea unei curbe de un anumit tip care trece printr-un sistem dat de puncte (x i, y i), i = 0,1,…,n.

Dacă valorile argumentului depășesc regiunea, atunci vorbim despre extrapolare - continuarea funcției dincolo de regiunea definiției sale.

Cel mai adesea, funcția F(x) este construită sub forma unui polinom algebric. Există mai multe reprezentări ale polinoamelor de interpolare algebrică.

Una dintre metodele de interpolare a funcțiilor care iau valori în puncte este construirea unui polinom Lagrange, care are următoarea formă:

Gradul polinomului de interpolare care trece prin n+1 noduri de interpolare este egal cu n.

Din forma polinomului Lagrange rezultă că adăugarea unui nou punct nodal duce la o modificare a tuturor termenilor polinomului. Acesta este inconvenientul formulei lui Lagrange. Dar metoda Lagrange conține un număr minim de operații aritmetice.

Pentru a construi polinoame Lagrange de grade crescătoare, se poate folosi următoarea schemă de iterație (schema Aitken).

Polinoamele care trec prin două puncte (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n) pot fi reprezentate astfel:

Polinoame care trec prin trei puncte (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), poate fi exprimat prin polinoamele L ij și L jk:

Polinoamele pentru patru puncte (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) sunt construite din polinoamele L ijk și L jkl:

Procesul continuă până când se obține un polinom care trece prin n puncte date.

Algoritmul pentru calcularea valorii polinomului Lagrange la punctul XX, implementând schema Aitken, poate fi scris folosind operatorul:

pentru (int i=0;i

pentru (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

va fi perceput ca o eroare - declararea repetată a variabilei,

variabila i a fost deja declarată

pentru (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

unde tabloul F este valorile intermediare ale polinomului Lagrange. Inițial, F[I] ar trebui setat egal cu y i . După executarea buclelor, F[N] este valoarea polinomului Lagrange de gradul N în punctul XX.

O altă formă de reprezentare a polinomului de interpolare sunt formulele lui Newton. Fie noduri de interpolare echidistante; i=0,1,…,n ; - pas de interpolare.

Prima formulă de interpolare a lui Newton, care este utilizată pentru interpolarea directă, este:

Denumite (finite) diferențe de ordinul I. Ele sunt definite astfel:

Argument normalizat.

Când formula de interpolare a lui Newton se transformă într-o serie Taylor.

A doua formulă de interpolare a lui Newton este utilizată pentru a interpola „înapoi”:

În ultima intrare, în loc de diferențe (numite diferențe „înainte”) sunt folosite diferențele „înapoi”:

În cazul nodurilor distanțate inegal, așa-numitele diferențe separate

În acest caz, polinomul de interpolare în formă Newton are forma

Spre deosebire de formula Lagrange, adăugarea unei noi perechi de valori. (x n +1, y n +1) se reduce aici la adăugarea unui nou termen. Prin urmare, numărul de noduri de interpolare poate fi crescut cu ușurință fără a repeta întregul calcul. Acest lucru vă permite să evaluați acuratețea interpolării. Cu toate acestea, formulele lui Newton necesită mai multe operații aritmetice decât formulele lui Lagrange.

Pentru n=1 obținem formula pentru interpolare liniară:

Pentru n=2 vom avea formula pentru interpolare parabolica:

La interpolarea funcțiilor, polinoamele algebrice de grad înalt sunt rareori utilizate din cauza costurilor de calcul semnificative și a erorilor mari în calcularea valorilor.

În practică, interpolarea liniară pe bucăți sau parabolică pe bucăți este cel mai des utilizată.

Cu interpolare liniară pe bucăți, funcția f(x) pe intervalul (i=0,1,…,n-1) este aproximată printr-un segment de linie dreaptă

Un algoritm de calcul care implementează interpolarea liniară pe bucăți poate fi scris folosind operatorul:

pentru (int i=0;i

dacă ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Folosind prima buclă, căutăm unde se află punctul dorit.

Cu interpolarea parabolica pe bucati, polinomul este construit folosind cele 3 puncte nodale cele mai apropiate de valoarea data a argumentului.

Algoritmul de calcul care implementează interpolarea parabolică pe bucăți poate fi scris folosind operatorul:

pentru (int i=0;i

y0=Fy; Când i=0 elementul nu există!

x0=Fx; Aceeași

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Utilizarea interpolării nu este întotdeauna recomandabilă. La procesarea datelor experimentale, este de dorit să netezi funcția. Aproximarea dependențelor experimentale folosind metoda celor mai mici pătrate se bazează pe cerința de a minimiza eroarea pătratică medie.

Coeficienții polinomului de aproximare se găsesc din rezolvarea unui sistem de m+1 ecuații liniare, așa-numitele. ecuații „normale”, k=0,1,…,m

Pe lângă polinoamele algebrice, polinoamele trigonometrice sunt utilizate pe scară largă pentru aproximarea funcțiilor

(vezi „analiza armonică numerică”).

Splinele sunt un mijloc eficient de aproximare a unei funcții. O spline necesită ca valorile și derivatele sale în punctele nodale să coincidă cu funcția interpolată f(x) și cu derivatele sale până la o anumită ordine. Cu toate acestea, construcția de spline în unele cazuri necesită costuri de calcul semnificative.

1 | | | | | | | | | | | |

Fie ca urmare a măsurătorilor din timpul experimentului să se obțină o atribuire tabelară a unei anumite funcții f(x), exprimând relația dintre doi parametri geografici:

X	x 1	x 2	…	x n
f(x)	y 1	la 2	…	y n

Desigur, puteți găsi o formulă care exprimă această dependență analitic folosind metoda interpolării. Cu toate acestea, coincidența valorilor specificației analitice obținute a funcției la nodurile de interpolare cu datele empirice disponibile poate să nu însemne adesea o coincidență a comportamentului funcțiilor originale și de interpolare pe întregul interval de observare. În plus, dependența tabelară a indicatorilor geografici se obține întotdeauna ca urmare a măsurătorilor cu diverse instrumente care au o eroare de măsurare certă și nu întotdeauna suficient de mică. Cerința unei coincidențe exacte a valorilor funcțiilor de aproximare și aproximare la noduri este cu atât mai nejustificată dacă valorile funcției f(x), cele obţinute în urma măsurătorilor sunt ele însele aproximative.

Problema aproximării unei funcții a unei variabile de la bun început ține cont în mod necesar de comportamentul funcției originale pe întreg intervalul de observație. Formularea problemei este următoarea. Funcţie y= f(x) dat de tabelul (1). Este necesar să găsiți o funcție de un anumit tip:

care este la puncte x 1 , x 2 , …, x n ia valori cât mai apropiate de cele de tabel y 1, y 2, …, y n.

În practică, tipul funcției de aproximare este cel mai adesea determinat prin compararea formei graficului aproximativ construit al funcției y= f(x) cu grafice ale funcțiilor cunoscute de cercetător, specificate analitic (cel mai adesea funcții elementare care sunt simple ca formă). Și anume, conform tabelului (1) se construiește un grafic de dispersie f(x), apoi este trasată o curbă netedă, reflectând cât mai bine natura locației punctelor. Pe baza curbei astfel obţinute se stabileşte la nivel calitativ forma funcţiei de aproximare.

Luați în considerare figura 6.

Figura 6 prezintă trei situații:

• În graficul (a) relația XȘi la aproape de liniar; linia dreaptă aici este aproape de punctele de observație, iar acestea din urmă se abat de la ea doar ca urmare a unor influențe aleatoare relativ mici.
• Graficul (b) arată relația reală dintre cantități XȘi la este descrisă de o funcție neliniară și indiferent de ce linie dreaptă tragem, abaterea punctelor de observație de la aceasta va fi semnificativă și non-aleatorie. În același timp, ramura desenată a parabolei reflectă destul de bine natura relației dintre cantități.
• În graficul (c) există o relație clară între variabile XȘi la absent; indiferent de formula de conexiune pe care o alegem, rezultatele parametrizării acesteia vor fi nereușite. În special, ambele linii drepte alese sunt la fel de proaste pentru a trage concluzii despre valorile așteptate ale variabilei la prin valori variabile X.

Trebuie remarcat faptul că o dependență funcțională strictă pentru un tabel de date inițiale este rar observată, deoarece fiecare dintre cantitățile implicate în acesta poate depinde de mulți factori aleatori. Cu toate acestea, formula (2) (se numește formulă empirică sau ecuație de regresie la pe X) este interesant deoarece vă permite să găsiți valorile funcției f pentru valori non-tabulare X, „netezind” rezultatele măsurătorilor cantității la, adică de-a lungul întregii game de modificări X. Justificarea acestei abordări este determinată în cele din urmă de utilitatea practică a formulei rezultate.

Prin „norul” de puncte existent, puteți încerca oricând să trasați o linie de tip stabilit, care este cea mai bună într-un anumit sens dintre toate liniile unui anumit tip, adică „cea mai apropiată” de punctele de observare din acestea. totalitate. Pentru a face acest lucru, definim mai întâi conceptul de proximitate a unei linii de un anumit set de puncte din plan. Măsurile de astfel de proximitate pot varia. Cu toate acestea, orice măsură rezonabilă trebuie să fie legată în mod evident de distanța de la punctele de observare la linia în cauză (data de ecuație y=F(x)).

Să presupunem că funcția de aproximare F(x) la puncte x 1, x 2, ..., x n materie y 1 , y 2 , ..., y n. Adesea, suma minimă a diferențelor pătrate dintre observațiile variabilei dependente este utilizată ca criteriu de proximitate y euși valori teoretice calculate folosind ecuația de regresie y i. Aici se crede că y euȘi x i- date observaționale cunoscute și F- ecuația unei linii de regresie cu parametri necunoscuți (formulele de calcul a acestora vor fi date mai jos). O metodă de estimare a parametrilor unei funcții de aproximare care minimizează suma abaterilor pătrate a observațiilor variabilei dependente de la valorile funcției dorite se numește metoda de minim pătrate (LS) sau Metoda celor mai mici pătrate (LS).

Deci, problema de aproximare a funcției f poate fi formulat acum astfel: pentru funcţia f, dat de tabelul (1), găsiți funcția F un anumit tip astfel încât suma pătratelor Ф să fie cea mai mică.

Să luăm în considerare metoda de găsire a unei funcții de aproximare în formă generală folosind exemplul unei funcții de aproximare cu trei parametri:

(3)

Lăsa F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Suma diferențelor pătrate ale valorilor corespunzătoare fȘi F va arata ca:

Această sumă este o funcție a lui Ф (a, b, c) trei variabile (parametri a, bȘi c). Sarcina se rezumă la găsirea minimului său. Folosim condiția necesară pentru un extremum:

Obținem un sistem de determinare a parametrilor necunoscuți a, b, c.

(5)

După ce am rezolvat acest sistem de trei ecuații cu trei necunoscute privind parametrii a, b, c, vom obține forma specifică a funcției dorite F(x, a, b, c). După cum se poate observa din exemplul luat în considerare, modificarea numărului de parametri nu va duce la o denaturare a esenței abordării în sine, ci va fi exprimată doar printr-o modificare a numărului de ecuații din sistemul (5).

Este firesc să ne așteptăm ca valorile găsite să funcționeze F(x, a, b, c) la puncte x 1, x 2, ..., x n, va diferi de valorile din tabel y 1 , y 2 , ..., y n. Valori de diferență y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) se numesc abateri ale valorilor masurate y din cele calculate prin formula (3). Pentru formula empirică găsită (2), în conformitate cu tabelul original (1), putem deci găsi

suma abaterilor pătrate, care, în conformitate cu metoda celor mai mici pătrate, pentru un anumit tip de funcție de aproximare (și valorile parametrilor găsite) ar trebui să fie cea mai mică. Dintre două aproximări diferite ale aceleiași funcții tabelare, urmând metoda celor mai mici pătrate, cea mai bună trebuie considerată cea pentru care suma (4) are cea mai mică valoare.

În practica experimentală, ca funcții de aproximare în funcție de natura graficului de dispersie f Deseori se folosesc funcții de aproximare cu doi parametri:

Evident, atunci când se stabilește tipul funcției de aproximare, sarcina se reduce doar la găsirea valorilor parametrilor.

Să luăm în considerare cele mai comune dependențe empirice în cercetarea practică.

3.3.1. Funcție liniară (regresie liniară). Punctul de pornire al analizei dependenței este de obicei estimarea dependenței liniare a variabilelor. Trebuie avut în vedere, totuși, că „cea mai bună” linie dreaptă care folosește metoda celor mai mici pătrate există întotdeauna, dar chiar și cea mai bună nu este întotdeauna suficient de bună. Daca in realitate dependenta y=f(x) este pătratică, atunci nicio funcție liniară nu o poate descrie în mod adecvat, deși dintre toate astfel de funcții va exista cu siguranță una „cea mai bună”. Dacă valorile XȘi la nu sunt deloc legate, putem găsi întotdeauna cea mai bună funcție liniară y=ax+b pentru un set dat de observații, dar în acest caz valori specifice AȘi b sunt determinate numai de abateri aleatorii ale variabilelor și vor varia foarte mult pentru diferite eșantioane din aceeași populație.

Să luăm acum în considerare problema estimării coeficienților de regresie liniară mai formal. Să presupunem că legătura dintre XȘi y este liniară și vom căuta funcția de aproximare dorită sub forma:

Să găsim derivate parțiale în raport cu parametrii:

Să substituim relațiile obținute într-un sistem de forma (5):

sau, împărțind fiecare ecuație la n:

Să introducem următoarea notație:

(7)

Apoi ultimul sistem va arăta astfel:

(8)

Coeficienții acestui sistem Mx, My, Mxy, Mx2- numere care în fiecare problemă specifică de aproximare pot fi ușor calculate folosind formulele (7), unde x i, y i- valorile din tabelul (1). După rezolvarea sistemului (8), obținem valorile parametrilor AȘi b, și deci forma specifică a funcției liniare (6).

O condiție necesară pentru a alege o funcție liniară ca formulă empirică dorită este relația:

3.3.2. Funcția pătratică (regresie pătratică). Vom căuta o funcție de aproximare sub forma unui trinom pătratic:

Găsirea derivatelor parțiale:

Să creăm un sistem de forma (5):

După transformări simple, obținem un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute a, b, c. Coeficienții sistemului, ca și în cazul unei funcții liniare, sunt exprimați numai prin datele cunoscute din tabelul (1):

(10)

Notația (7) este folosită aici, precum și

Soluția sistemului (10) dă valoarea parametrilor a, bȘi Cu pentru funcţia de aproximare (9).

Regresia pătratică se aplică dacă toate expresiile formei y 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 etc. diferă puțin unele de altele.

3.3.3. Funcția de putere (regresie geometrică) Să găsim acum funcția de aproximare sub forma:

(11)

Presupunând că în tabelul original (1) valorile argumentului și ale funcției sunt pozitive, luăm logaritmul de egalitate (11) cu condiția a>0:

Din moment ce funcţia F este o aproximare a funcției f, funcție lnF va fi o aproximare a funcției lnf. Să introducem o nouă variabilă u=lnx; apoi, după cum urmează din (12), lnF va fi o funcție a u: Ф(u).

Să notăm

Acum egalitatea (12) ia forma:

acestea. problema s-a redus la găsirea unei funcții de aproximare sub forma uneia liniare. În practică, pentru a găsi funcția de aproximare dorită sub forma unei funcții de putere (în ipotezele făcute mai sus), este necesar să faceți următoarele:

1. folosind acest tabel (1) creați un nou tabel, luând logaritmi ai valorilor XȘi yîn tabelul sursă;

2. utilizați noul tabel pentru a găsi parametrii AȘi ÎN funcția de aproximare a formei (14);

3. Folosind notația (13), găsiți valorile parametrilor AȘi mși înlocuiți-le în expresia (11).

O condiție necesară pentru a alege o funcție de putere ca formulă empirică dorită este relația:

3.3.4. Functie exponentiala . Fie ca tabelul inițial (1) să fie astfel încât este recomandabil să se caute funcția de aproximare sub forma unei funcții exponențiale:

Să luăm logaritmul egalității (15):

(16)

Luând nota (13), rescriem (16) sub forma:

(17)

Astfel, pentru a găsi funcția de aproximare în forma (15), este necesar să logaritmăm valorile funcției din tabelul original (1) și, considerându-le împreună cu valorile originale ale argumentului, să construim o funcție de aproximare din formularul (17) pentru noul tabel. După aceasta, în conformitate cu notația (13), rămâne de obținut valorile parametrilor căutați AȘi bși înlocuiți-le în formula (15).

O condiție necesară pentru alegerea unei funcții exponențiale ca formulă empirică dorită este relația:

.

3.3.5. Funcție liniară fracțională. Vom căuta o funcție de aproximare sub forma:

(18)

Rescriem egalitatea (18) după cum urmează:

Din ultima egalitate rezultă că pentru a găsi valorile parametrilor AȘi b pentru un tabel dat (1), trebuie să creați un nou tabel, în care valorile argumentului rămân aceleași, iar valorile funcției sunt înlocuite cu numere inverse, iar apoi pentru tabelul rezultat, găsiți o aproximare functia formei topor+b. S-au găsit valori ale parametrilor AȘi bînlocuiți în formula (18).

O condiție necesară pentru alegerea unei funcții liniare fracționale ca formulă empirică dorită este relația:

.

3.3.6. Funcția logaritmică. Fie ca funcția de aproximare să aibă forma:

Este ușor de observat că pentru a merge la o funcție liniară este suficient să faci înlocuirea lnx=u. Rezultă că pentru a găsi valorile AȘi b trebuie să logaritmați valorile argumentului din tabelul inițial (1) și, luând în considerare valorile obținute împreună cu valorile inițiale ale funcției, să găsiți o funcție de aproximare sub forma uneia liniare pentru noul tabel astfel obţinut. Cote AȘi bînlocuiți funcția găsită în formula (19).

O condiție necesară pentru alegerea unei funcții logaritmice ca formulă empirică dorită este relația:

.

3.3.7. Hiperbolă. Dacă o diagramă de dispersie construită din tabelul (1) dă o ramură a unei hiperbole, funcția de aproximare poate fi căutată sub formă.