Corpuri aflate sub influența gravitației. Mișcarea corpurilor sub influența gravitației. Mișcarea corpului sub influența gravitației: formule pentru rezolvarea problemelor

Pe baza interpretării celei de-a doua legi a lui Newton, putem concluziona că o schimbare a mișcării are loc prin forță. Mecanica ia în considerare forțe de diferite naturi fizice. Multe dintre ele sunt determinate folosind acțiunea forțelor gravitaționale.

În 1862, legea gravitației universale a fost descoperită de I. Newton. El a sugerat că forțele care susțin Luna sunt de aceeași natură cu forțele care fac ca un măr să cadă pe Pământ. Semnificația ipotezei este prezența forțelor atractive direcționate de-a lungul unei linii și care leagă centrele de masă, așa cum se arată în figura 1. 10 . 1 . Un corp sferic are un centru de masă care coincide cu centrul mingii.

Desen 1 . 10 . 1 . Forțele gravitaționale de atracție între corpuri. F 1 → = - F 2 → .

Definiția 1

Având în vedere direcțiile de mișcare cunoscute ale planetelor, Newton a încercat să afle ce forțe acționează asupra lor. Acest proces se numește problema inversă a mecanicii.

Sarcina principală a mecanicii este de a determina coordonatele unui corp de masă cunoscută cu viteza sa în orice moment, folosind forțele cunoscute care acționează asupra corpului și a unei anumite condiții (problema directă). Reversul se realizează prin determinarea forțelor care acționează asupra unui corp cu direcția sa cunoscută. Astfel de probleme l-au condus pe om de știință la descoperirea definiției legii gravitației universale.

Definiția 2

Toate corpurile sunt atrase unele de altele cu o forță direct proporțională cu masele lor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele.

F = G m 1 m 2 r 2 .

Valoarea lui G determină coeficientul de proporționalitate al tuturor corpurilor din natură, numit constantă gravitațională și notat cu formula G = 6,67 · 10 - 11 N · m 2 / k g 2 (CI).

Majoritatea fenomenelor din natură sunt explicate prin prezența forței gravitației universale. Mișcarea planetelor, sateliții artificiali ai Pământului, căile de zbor ale rachetelor balistice, mișcarea corpurilor în apropierea suprafeței Pământului - totul este explicat de legea gravitației și a dinamicii.

Definiția 3

Manifestarea gravitației se caracterizează prin prezență gravitatie. Acesta este numele dat forței de atracție a corpurilor către Pământ și lângă suprafața acestuia.

Când M este notat ca masa Pământului, RZ este raza, m este masa corpului, atunci formula gravitației ia forma:

F = G M R З 2 m = m g .

Unde g este accelerația gravitației, egală cu g = G M R 3 2.

Gravitația este îndreptată spre centrul Pământului, așa cum se arată în exemplul Lună-Pământ. În absența altor forțe, corpul se mișcă cu accelerația gravitației. Valoarea sa medie este de 9,81 m/s2. Cu un G cunoscut și o rază R 3 = 6,38 · 10 6 m, masa Pământului M se calculează folosind formula:

M = g R 3 2 G = 5,98 10 24 k g.

Dacă un corp se îndepărtează de suprafața Pământului, atunci efectul gravitației și al accelerației datorate gravitației se modifică invers proporțional cu pătratul distanței r până la centru. Poza 1. 10 . 2 arată cum forța gravitațională care acționează asupra astronautului navei se modifică odată cu distanța față de Pământ. Evident, F-ul atracției sale către Pământ este egal cu 700 N.

Desen 1 . 10 . 2 . Modificări ale forței gravitaționale care acționează asupra unui astronaut în timp ce acesta se îndepărtează de Pământ.

Exemplul 1

Pământul-Lună este un exemplu potrivit de interacțiune a unui sistem cu două corpuri.

Distanța până la Lună este r L = 3,84 · 10 6 m Este de 60 de ori mai mare decât raza Pământului R Z. Aceasta înseamnă că, în prezența gravitației, accelerația gravitațională α L a orbitei Lunii va fi α. L = g R Z r L 2 = 9,81 m/s 2 60 2 = 0,0027 m/s 2.

Este îndreptată spre centrul Pământului și se numește centripet. Calculul se face după formula a L = υ 2 r L = 4 π 2 r L T 2 = 0,0027 m/s 2, unde T = 27,3 zile este perioada de revoluție a Lunii în jurul Pământului. Rezultatele și calculele efectuate în moduri diferite indică faptul că Newton a avut dreptate în ipoteza sa privind aceeași natură a forței care ține Luna pe orbită și a forței gravitației.

Luna are propriul său câmp gravitațional, care determină accelerația gravitației g L pe suprafață. Masa Lunii este de 81 de ori mai mică decât masa Pământului, iar raza sa este de 3,7 ori. Aceasta arată că accelerația g L ar trebui determinată din expresia:

g L = G M L R L 2 = G M Z 3, 7 2 T 3 2 = 0, 17 g = 1, 66 m / s 2.

O astfel de gravitate slabă este tipică pentru astronauții de pe Lună. Prin urmare, puteți face sărituri și pași uriași. Un salt de un metru pe Pământ corespunde cu șapte metri pe Lună.

Mișcarea sateliților artificiali este înregistrată în afara atmosferei Pământului, astfel încât aceștia sunt afectați de forțele gravitaționale ale Pământului. Traiectoria unui corp cosmic poate varia în funcție de viteza inițială. Mișcarea unui satelit artificial pe orbită apropiată de Pământ este luată aproximativ ca distanță până la centrul Pământului, egală cu raza R Z. Ei zboară la altitudini de 200 - 300 km.

Definiția 4

Rezultă că accelerația centripetă a satelitului, care este dată de forțele gravitaționale, este egală cu accelerația gravitației g. Viteza satelitului va lua denumirea υ 1. Ei o sună prima viteza de evacuare.

Aplicând formula cinematică pentru accelerația centripetă, obținem

a n = υ 1 2 R З = g, υ 1 = g R З = 7,91 · 10 3 m/s.

La această viteză, satelitul a fost capabil să zboare în jurul Pământului într-un timp egal cu T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 min 12 s.

Dar perioada de revoluție a unui satelit pe o orbită circulară în apropierea Pământului este mult mai lungă decât cea indicată mai sus, deoarece există o diferență între raza orbitei reale și raza Pământului.

Satelitul se mișcă după principiul căderii libere, vag asemănător cu traiectoria unui proiectil sau a unei rachete balistice. Diferența constă în viteza mare a satelitului, iar raza de curbură a traiectoriei acestuia atinge lungimea razei Pământului.

Sateliții care se deplasează pe traiectorii circulare pe distanțe mari au o gravitație slăbită, invers proporțională cu pătratul razei r a traiectoriei. Apoi găsirea vitezei satelitului urmează condiția:

υ 2 к = g R 3 2 r 2, υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r.

Prin urmare, prezența sateliților pe orbite înalte indică o viteză mai mică a mișcării lor decât de pe orbita apropiată a Pământului. Formula pentru perioada de circulație este:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR З υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.

T 1 ia valoarea perioadei orbitale a satelitului pe orbita joasă a Pământului. T crește odată cu mărimea razei orbitale. Dacă r are valoarea 6, 6 R 3 atunci T al satelitului este de 24 de ore. Când este lansat în plan ecuatorial, se va observa că atârnă deasupra unui anumit punct de pe suprafața pământului. Utilizarea unor astfel de sateliți este cunoscută în sistemul de comunicații radio spațiale. O orbită cu raza r = 6,6 RЗ se numește geostaționară.

Desen 1 . 10 . 3 . Modelul mișcării satelitului.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acțiunea forțelor gravitaționale universale în natură explică multe fenomene: mișcarea planetelor în sistemul solar, sateliții artificiali ai Pământului, căile de zbor ale rachetelor balistice, mișcarea corpurilor în apropierea suprafeței Pământului - toate acestea sunt explicate. pe baza legii gravitaţiei universale şi a legilor dinamicii.

Legea gravitației explică structura mecanică a sistemului solar, iar legile lui Kepler care descriu traiectoriile mișcării planetare pot fi derivate din aceasta. Pentru Kepler, legile sale erau pur descriptive - omul de știință și-a rezumat pur și simplu observațiile sub formă matematică, fără a oferi nicio bază teoretică pentru formule. În marele sistem al ordinii mondiale după Newton, legile lui Kepler devin o consecință directă a legilor universale ale mecanicii și a legii gravitației universale. Adică, observăm din nou cum concluziile empirice obținute la un nivel se transformă în concluzii logice strict fundamentate atunci când trecem la următoarea etapă de aprofundare a cunoștințelor noastre despre lume.

Newton a fost primul care a exprimat ideea că forțele gravitaționale determină nu numai mișcarea planetelor sistemului solar; acţionează între orice corp din Univers. Una dintre manifestările forței gravitației universale este forța gravitației - acesta este denumirea comună pentru forța de atracție a corpurilor către Pământ, lângă suprafața sa.

Dacă M este masa Pământului, RЗ este raza acestuia, m este masa unui corp dat, atunci forța gravitațională este egală cu

unde g este accelerația căderii libere;

aproape de suprafața Pământului

Forța gravitației este îndreptată spre centrul Pământului. În absența altor forțe, corpul cade liber pe Pământ cu accelerația gravitației.

Valoarea medie a accelerației datorate gravitației pentru diferite puncte de pe suprafața Pământului este de 9,81 m/s2. Cunoscând accelerația gravitației și raza Pământului (RЗ = 6,38·106 m), putem calcula masa Pământului

Imaginea structurii sistemului solar care decurge din aceste ecuații și combină gravitația terestră și cea cerească poate fi înțeleasă folosind un exemplu simplu. Să presupunem că stăm la marginea unei stânci abrupte, lângă un tun și o grămadă de ghiule. Dacă pur și simplu aruncați o ghiulea vertical de pe marginea unei stânci, aceasta va începe să cadă pe verticală și uniform accelerată. Mișcarea sa va fi descrisă de legile lui Newton pentru mișcarea uniform accelerată a unui corp cu accelerația g. Dacă trageți acum o ghiulea spre orizont, aceasta va zbura și va cădea într-un arc. Și în acest caz, mișcarea sa va fi descrisă de legile lui Newton, doar că acum sunt aplicate unui corp care se mișcă sub influența gravitației și care are o anumită viteză inițială în plan orizontal. Acum, pe măsură ce încărcați tunul cu ghiule din ce în ce mai grele și trageți iar și iar, veți descoperi că, pe măsură ce fiecare ghiulea succesivă părăsește țeava cu o viteză inițială mai mare, ghiulele cad din ce în ce mai departe de la baza stâncii.

Acum imaginați-vă că am împachetat atât de mult praf de pușcă într-un tun încât viteza ghiulei este suficientă pentru a zbura în jurul globului. Dacă neglijăm rezistența aerului, ghiulele, după ce a zburat în jurul Pământului, se va întoarce la punctul său de pornire exact cu aceeași viteză cu care a zburat inițial din tun. Ceea ce se va întâmpla în continuare este clar: nucleul nu se va opri acolo și va continua să înfășoare cerc după cerc în jurul planetei.

Cu alte cuvinte, vom obține un satelit artificial care orbitează în jurul Pământului, ca un satelit natural - Luna.

Deci, pas cu pas, am trecut de la descrierea mișcării unui corp care cade exclusiv sub influența gravitației „pământești” (mărul lui Newton) la descrierea mișcării unui satelit (Lunii) pe orbită, fără a schimba natura gravitațională. influență de la „pământesc” la „ceresc”. Tocmai această perspectivă i-a permis lui Newton să conecteze cele două forțe de atracție gravitațională care erau considerate diferite ca natură înaintea lui.

Pe măsură ce ne îndepărtăm de suprafața Pământului, forța gravitației și accelerația gravitației se modifică invers proporțional cu pătratul distanței r până la centrul Pământului. Un exemplu de sistem de două corpuri care interacționează este sistemul Pământ-Lună. Luna este situată la o distanță de Pământ rL = 3,84·106 m Această distanță este de aproximativ 60 de ori raza Pământului RЗ. În consecință, accelerația căderii libere aL, datorată gravitației, pe orbita Lunii este

Cu o astfel de accelerație îndreptată spre centrul Pământului, Luna se mișcă pe orbită. Prin urmare, această accelerație este accelerație centripetă. Poate fi calculat folosind formula cinematică pentru accelerația centripetă

unde T = 27,3 zile este perioada de revoluție a Lunii în jurul Pământului.

Coincidența rezultatelor calculelor efectuate în moduri diferite confirmă ipoteza lui Newton despre natura unică a forței care ține Luna pe orbită și forța gravitației.

Câmpul gravitațional propriu al Lunii determină accelerația gravitației gL pe suprafața sa. Masa Lunii este de 81 de ori mai mică decât masa Pământului, iar raza sa este de aproximativ 3,7 ori mai mică decât raza Pământului.

Prin urmare, accelerația gЛ va fi determinată de expresie

Astronauții care au aterizat pe Lună s-au trezit în condiții de gravitație atât de slabă. O persoană în astfel de condiții poate face salturi uriașe. De exemplu, dacă o persoană de pe Pământ sare la o înălțime de 1 m, atunci pe Lună ar putea sări la o înălțime mai mare de 6 m.

Să luăm în considerare problema sateliților artificiali de pe Pământ. Sateliții artificiali ai Pământului se deplasează în afara atmosferei Pământului și sunt afectați doar de forțele gravitaționale de pe Pământ.

În funcție de viteza inițială, traiectoria unui corp cosmic poate fi diferită. Să luăm în considerare cazul unui satelit artificial care se deplasează pe o orbită circulară a Pământului. Astfel de sateliți zboară la altitudini de ordinul 200–300 km, iar distanța până la centrul Pământului poate fi considerată aproximativ egală cu raza sa RЗ. Atunci accelerația centripetă a satelitului transmisă acestuia de forțele gravitaționale este aproximativ egală cu accelerația gravitației g. Să notăm viteza satelitului pe orbita joasă a Pământului cu υ1 - această viteză se numește prima viteză cosmică. Folosind formula cinematică pentru accelerația centripetă, obținem

Mișcându-se cu o astfel de viteză, satelitul ar înconjura Pământul în timp

De fapt, perioada de revoluție a unui satelit pe o orbită circulară lângă suprafața Pământului este puțin mai lungă decât valoarea specificată din cauza diferenței dintre raza orbitei reale și raza Pământului. Mișcarea unui satelit poate fi gândită ca o cădere liberă, similară mișcării proiectilelor sau a rachetelor balistice. Singura diferență este că viteza satelitului este atât de mare încât raza de curbură a traiectoriei sale este egală cu raza Pământului.

Pentru sateliții care se deplasează pe traiectorii circulare la o distanță considerabilă de Pământ, gravitația Pământului slăbește invers proporțional cu pătratul razei r a traiectoriei. Astfel, pe orbite înalte, viteza sateliților este mai mică decât pe orbită joasă a Pământului.

Perioada orbitală a satelitului crește odată cu creșterea razei orbitale. Este ușor de calculat că, cu o rază orbitală r egală cu aproximativ 6,6 RЗ, perioada orbitală a satelitului va fi egală cu 24 de ore. Un satelit cu o astfel de perioadă orbitală, lansat în planul ecuatorial, va atârna nemișcat peste un anumit punct de pe suprafața pământului. Astfel de sateliți sunt utilizați în sistemele de comunicații radio spațiale. O orbită cu raza r = 6,6 RЗ se numește geostaționară.

A doua viteză cosmică este viteza minimă care trebuie acordată unei nave spațiale la suprafața Pământului, astfel încât aceasta, după ce a depășit gravitația, să se transforme într-un satelit artificial al Soarelui (planeta artificială). În acest caz, nava se va îndepărta de Pământ de-a lungul unei traiectorii parabolice.

Figura 5 ilustrează vitezele de evacuare. Dacă viteza navei spațiale este egală cu υ1 = 7,9·103 m/s și este îndreptată paralel cu suprafața Pământului, atunci nava se va deplasa pe o orbită circulară la o altitudine mică deasupra Pământului. La viteze inițiale care depășesc υ1, dar mai mici de υ2 = 11,2·103 m/s, orbita navei va fi eliptică. La o viteză inițială de υ2, nava se va deplasa de-a lungul unei parabole, iar cu o viteză inițială și mai mare, de-a lungul unei hiperbole.

Viteze cosmice

Vitezele din apropierea suprafeţei Pământului sunt indicate: 1) υ = υ1 – traiectorie circulară;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – traiectorie parabolică; 5) υ > υ2 – traiectorie hiperbolică;

6) Traiectoria Lunii

Astfel, am aflat că toate mișcările din sistemul solar respectă legea gravitației universale a lui Newton.

Pe baza masei mici a planetelor și în special a altor corpuri ale Sistemului Solar, putem presupune aproximativ că mișcările în spațiul circumsolar respectă legile lui Kepler.

Toate corpurile se deplasează în jurul Soarelui pe orbite eliptice, cu Soarele la unul dintre focare. Cu cât un corp ceresc este mai aproape de Soare, cu atât viteza sa orbitală este mai mare (planeta Pluto, cea mai îndepărtată cunoscută, se mișcă de 6 ori mai încet decât Pământul).

Corpurile se pot mișca și pe orbite deschise: parabolă sau hiperbolă. Acest lucru se întâmplă dacă viteza corpului este egală sau depășește valoarea celei de-a doua viteze cosmice pentru Soare la o anumită distanță de corpul central. Dacă vorbim despre un satelit al unei planete, atunci viteza de evacuare trebuie calculată în raport cu masa planetei și distanța până la centrul acesteia.

Mișcarea unui corp sub influența gravitației este unul dintre subiectele centrale în fizica dinamică. Chiar și un elev de școală obișnuit știe că secțiunea de dinamică se bazează pe trei. Să încercăm să analizăm acest subiect în detaliu, iar un articol care descrie fiecare exemplu în detaliu ne va ajuta să facem cât mai util posibil studiul mișcării unui corp sub influența gravitației.

Puțină istorie

Oamenii au urmărit cu curiozitate diversele fenomene care au avut loc în viața noastră. Multă vreme, omenirea nu a putut înțelege principiile și structura multor sisteme, dar o lungă călătorie de studiu a lumii din jurul nostru i-a condus pe strămoșii noștri la o revoluție științifică. În zilele noastre, când tehnologia se dezvoltă cu o viteză incredibilă, oamenii cu greu se gândesc la modul în care funcționează anumite mecanisme.

Între timp, strămoșii noștri au fost mereu interesați de misterele proceselor naturale și de structura lumii, au căutat răspunsuri la cele mai complexe întrebări și nu au încetat să studieze până nu au găsit răspunsuri la ele. De exemplu, celebrul om de știință Galileo Galilei a pus întrebările încă din secolul al XVI-lea: „De ce corpurile cad întotdeauna, ce forță le atrage pe pământ?” În 1589, a efectuat o serie de experimente, ale căror rezultate s-au dovedit a fi foarte valoroase. El a studiat în detaliu modelele de cădere liberă a diferitelor corpuri, aruncând obiecte din celebrul turn din orașul Pisa. Legile pe care le-a derivat au fost îmbunătățite și descrise mai detaliat prin formule de un alt om de știință englez faimos, Sir Isaac Newton. El este cel care deține cele trei legi pe care se bazează aproape toată fizica modernă.

Faptul că modelele de mișcare a corpului descrise cu mai bine de 500 de ani în urmă sunt și astăzi relevante înseamnă că planeta noastră este supusă unor legi neschimbate. Omul modern trebuie să studieze cel puțin superficial principiile de bază ale lumii.

Concepte de bază și auxiliare ale dinamicii

Pentru a înțelege pe deplin principiile unei astfel de mișcări, ar trebui mai întâi să vă familiarizați cu unele concepte. Deci, cei mai necesari termeni teoretici:

• Interacțiunea este influența corpurilor unul asupra celuilalt, în timpul căreia are loc o schimbare sau începutul mișcării lor unul față de celălalt. Există patru tipuri de interacțiune: electromagnetică, slabă, puternică și gravitațională.
• Viteza este o mărime fizică care indică viteza cu care se mișcă un corp. Viteza este un vector, adică nu are doar o valoare, ci și o direcție.
• Accelerația este cantitatea care ne arată rata de schimbare a vitezei unui corp într-o perioadă de timp. Ea este de asemenea
• Traiectoria căii este o curbă și uneori o linie dreaptă, pe care corpul o conturează atunci când se mișcă. Cu mișcare rectilinie uniformă, traiectoria poate coincide cu valoarea deplasării.
• Calea este lungimea traiectoriei, adică exact cât a parcurs corpul într-o anumită perioadă de timp.
• Un cadru de referință inerțial este un mediu în care prima lege a lui Newton este îndeplinită, adică corpul își păstrează inerția, cu condiția ca toate forțele externe să fie complet absente.

Conceptele de mai sus sunt destul de suficiente pentru a desena sau imagina corect în capul tău o simulare a mișcării unui corp sub influența gravitației.

Ce înseamnă putere?

Să trecem la conceptul principal al subiectului nostru. Deci, forța este o cantitate, al cărei sens este impactul sau influența unui corp asupra altuia cantitativ. Iar gravitația este forța care acționează asupra absolut fiecărui corp situat la suprafață sau în apropierea planetei noastre. Se pune întrebarea: de unde tocmai această putere? Răspunsul se află în legea gravitației universale.

Ce este gravitația?

Orice corp de pe Pământ este influențat de forța gravitațională, care îi conferă o anumită accelerație. Forța gravitației are întotdeauna o direcție verticală în jos, spre centrul planetei. Cu alte cuvinte, gravitația trage obiectele spre Pământ, motiv pentru care obiectele cad întotdeauna. Se dovedește că gravitația este un caz special de gravitație universală. Newton a derivat una dintre principalele formule pentru găsirea forței de atracție între două corpuri. Arată astfel: F = G * (m 1 x m 2) / R 2.

Care este accelerația datorată gravitației?

Un corp care este eliberat de la o anumită înălțime zboară întotdeauna în jos sub influența gravitației. Mișcarea unui corp sub influența gravitației vertical în sus și în jos poate fi descrisă prin ecuații, unde principala constantă va fi valoarea accelerației „g”. Această valoare se datorează exclusiv forței gravitaționale, iar valoarea ei este de aproximativ 9,8 m/s 2 . Se pare că un corp aruncat de la înălțime fără o viteză inițială se va deplasa în jos cu o accelerație egală cu valoarea „g”.

Mișcarea corpului sub influența gravitației: formule pentru rezolvarea problemelor

Formula de bază pentru găsirea forței gravitației este următoarea: F gravitație = m x g, unde m este masa corpului asupra căreia acționează forța, iar „g” este accelerația gravitației (pentru simplificarea problemelor, de obicei este considerată egal cu 10 m/s 2) .

Există mai multe formule folosite pentru a găsi una sau alta necunoscută atunci când un corp se mișcă liber. Deci, de exemplu, pentru a calcula calea parcursă de un corp, este necesar să înlocuiți valorile cunoscute în această formulă: S = V 0 x t + a x t 2 / 2 (calea este egală cu suma produselor a vitezei inițiale înmulțită cu timp și a accelerației cu pătratul timpului împărțit pe 2).

Ecuații pentru descrierea mișcării verticale a unui corp

Mișcarea verticală a unui corp sub influența gravitației poate fi descrisă printr-o ecuație care arată astfel: x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 / 2. Folosind această expresie, puteți găsi coordonatele corpului la un moment cunoscut în timp. Trebuie doar să înlocuiți cantitățile cunoscute în problemă: locația inițială, viteza inițială (dacă corpul nu a fost doar eliberat, ci împins cu o oarecare forță) și accelerația, în cazul nostru va fi egală cu accelerația g.

În același mod, puteți găsi viteza unui corp care se mișcă sub influența gravitației. Expresia pentru găsirea unei mărimi necunoscute în orice moment de timp: v = v 0 + g x t (valoarea vitezei inițiale poate fi egală cu zero, atunci viteza va fi egală cu produsul accelerației gravitației și valoarea timpului timp în care corpul se mişcă).

Mișcarea corpurilor sub influența gravitației: probleme și metode de rezolvare a acestora

Când rezolvați multe probleme legate de gravitație, vă recomandăm să utilizați următorul plan:

1. Pentru a determina un sistem de referință inerțial convenabil pentru dvs., este de obicei obișnuit să alegeți Pământul, deoarece îndeplinește multe dintre cerințele ISO.
2. Desenați un mic desen sau o imagine care arată principalele forțe care acționează asupra corpului. Mișcarea unui corp sub influența gravitației implică o schiță sau o diagramă care arată în ce direcție se mișcă corpul atunci când este supus unei accelerații egale cu g.
3. Apoi trebuie selectată direcția de proiectare a forțelor și accelerațiile rezultate.
4. Notați cantitățile necunoscute și determinați direcția lor.
5. În cele din urmă, folosind formulele de rezolvare a problemelor de mai sus, calculați toate cantitățile necunoscute prin înlocuirea datelor în ecuații pentru a găsi accelerația sau distanța parcursă.

Soluție gata pentru o sarcină ușoară

Când vorbim despre un astfel de fenomen precum mișcarea unui corp sub influența a ceea ce este cel mai practic mod de a rezolva o anumită problemă, poate fi dificil. Cu toate acestea, există mai multe trucuri, cu ajutorul cărora puteți rezolva cu ușurință chiar și cea mai dificilă sarcină. Așadar, să ne uităm la exemple live despre cum să rezolvăm aceasta sau acea problemă. Să începem cu o problemă ușor de înțeles.

Un anumit corp a fost eliberat de la o înălțime de 20 m fără o viteză inițială. Stabiliți cât timp va dura să ajungă la suprafața pământului.

Soluție: cunoaștem calea parcursă de corp, știm că viteza inițială a fost egală cu 0. De asemenea, putem determina că asupra corpului acționează doar forța gravitațională, rezultând că aceasta este mișcarea corpului sub influența gravitației și, prin urmare, ar trebui să folosim această formulă: S = V 0 x t + a x t 2 /2. Deoarece în cazul nostru a = g, atunci după unele transformări obținem următoarea ecuație: S = g x t 2 / 2. Acum nu mai rămâne decât să exprimăm timpul prin această formulă, constatăm că t 2 = 2S / g. Să înlocuim valorile cunoscute (presupunem că g = 10 m/s 2) t 2 = 2 x 20 / 10 = 4. Prin urmare, t = 2 s.

Deci, răspunsul nostru este: corpul va cădea la pământ în 2 secunde.

Trucul pentru a rezolva rapid problema este următorul: puteți observa că mișcarea descrisă a corpului în problema de mai sus are loc într-o singură direcție (vertical în jos). Este foarte asemănător cu mișcarea uniform accelerată, deoarece nicio forță nu acționează asupra corpului cu excepția gravitației (neglijăm forța de rezistență a aerului). Datorită acestui fapt, puteți utiliza o formulă ușoară pentru a găsi calea în timpul mișcării accelerate uniform, ocolind imaginile desenelor cu aranjarea forțelor care acționează asupra corpului.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme mai complexe

Acum să vedem cum să rezolvăm cel mai bine problemele privind mișcarea unui corp sub influența gravitației, dacă corpul nu se mișcă pe verticală, dar are o natură mai complexă a mișcării.

De exemplu, următoarea sarcină. Un obiect cu masa m se deplasează cu o accelerație necunoscută pe un plan înclinat al cărui coeficient de frecare este egal cu k. Determinați valoarea accelerației care apare în timpul mișcării unui corp dat dacă este cunoscut unghiul de înclinare α.

Soluție: ar trebui să utilizați planul descris mai sus. Mai întâi de toate, desenați un plan înclinat care ilustrează corpul și toate forțele care acționează asupra acestuia. Se dovedește că asupra ei acționează trei componente: gravitația, frecarea și forța de reacție a suportului. Ecuația generală a forțelor rezultante arată astfel: Frecare F + N + mg = ma.

Principalul punct culminant al problemei este condiția înclinării la un unghi α. Când ox și axa oy este necesar să se țină seama de această condiție, atunci obținem următoarea expresie: mg x sin α - F frecare = ma (pentru axa ox) și N - mg x cos α = F frecare (pentru axa oy).

Frecarea F este ușor de calculat folosind formula pentru găsirea forței de frecare, este egală cu k x mg (coeficientul de frecare înmulțit cu produsul dintre masa corporală și accelerația gravitațională). După toate calculele, tot ce rămâne este să înlocuiți valorile găsite în formulă și veți obține o ecuație simplificată pentru calcularea accelerației cu care un corp se mișcă de-a lungul unui plan înclinat.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, condiția prealabilă pentru configurația mișcării, cu alte cuvinte, condiția prealabilă pentru accelerarea corpurilor, este forța. Mecanica se ocupă de forțe de diferite naturi fizice. Multe fenomene și procese mecanice sunt determinate de acțiunea forțelor gravitatie. Legea gravitației globale a fost descoperit de I. Newton în 1682. Încă din 1665, Newton, în vârstă de 23 de ani, a sugerat că forțele care mențin Luna pe orbita sa sunt de aceeași natură cu forțele care fac ca un măr să cadă pe Pământ. Conform presupunerii lui, între toate corpurile Universului există forțe de atracție (forțe gravitaționale) direcționate de-a lungul benzii care leagă centrele de masă(Fig. 1.10.1). Pentru un corp sub forma unei mingi omogene, centrul de greutate coincide cu centrul mingii.

În anii următori, Newton a încercat să găsească o explicație fizică pentru legile mișcării planetare, descoperit de astrologul I. Kepler la începutul secolului al XVII-lea și oferă o expresie cantitativă pentru forțele gravitaționale. Știind cum se mișcă planetele, Newton a vrut să găsească ce forțe acționează asupra lor. Această cale se numește problema de mecanica inversa. Dacă sarcina principală a mecanicii este de a determina coordonatele unui corp de masă cunoscută și viteza acestuia în orice moment în timp pe baza forțelor cunoscute care acționează asupra corpului și a condițiilor inițiale date ( problema simpla de mecanica), atunci când rezolvați o problemă inversă, trebuie să găsiți forțele care acționează asupra corpului, dacă este clar cum se mișcă. Soluția la această problemă l-a condus pe Newton la descoperirea legii gravitației globale. Toate corpurile sunt atrase unele de altele cu o forță direct proporțională cu masele lor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele:

Coeficientul de proporționalitate G este similar pentru toate corpurile din natură. El este numit constantă gravitațională

Multe fenomene din natură sunt explicate prin acțiunea forțelor gravitaționale globale. Mișcarea planetelor în sistemul solar, mișcarea sateliților artificiali ai Pământului, liniile de zbor ale rachetelor balistice, mișcarea corpurilor în apropierea suprafeței Pământului - toate aceste fenomene sunt explicate pe baza legii gravitației globale. și legile dinamicii. Una dintre manifestările forței gravitației globale este gravitatie. Acesta este numele comun pentru forța de atracție a corpurilor către Pământ, lângă suprafața acestuia. Dacă M este masa Pământului, RЗ este raza acestuia, m este masa unui corp dat, atunci forța gravitațională este egală cu

unde g - accelerația gravitației la suprafata Pamantului:

Gravitația este orientată spre centrul Pământului. În absența altor forțe, corpul cade liber pe Pământ cu accelerația gravitației. Valoarea medie a accelerației datorate gravitației pentru diferite puncte de pe suprafața Pământului este de 9,81 m/s2. Cunoscând accelerația gravitației și raza Pământului (RЗ = 6,38·106 m), putem calcula masa Pământului M:

Pe măsură ce ne îndepărtăm de suprafața Pământului, forța gravitației și accelerația gravitației se schimbă înapoi proporțional cu pătratul distanței r până la centrul Pământului. Orez. 1.10.2 ilustrează schimbarea forței gravitaționale care acționează asupra unui astronaut dintr-o navă spațială în timp ce acesta se îndepărtează de Pământ. Forța cu care astronautul este atras de Pământ lângă suprafața sa este considerată a fi de 700 N.

Un exemplu de sistem de două corpuri care interacționează este sistemul Pământ-Lună. Luna este situată la o distanță de Pământ r = 3,84·106 m Această distanță este de aproximativ 60 de ori mai mare decât raza Pământului R. În felul următor, accelerația gravitației aL, datorată gravitației, pe orbita Lunii este

Cu o astfel de accelerație îndreptată spre centrul Pământului, Luna se mișcă pe orbită. După cum urmează, această accelerație este accelerație centripetă. Poate fi calculat folosind formula cinematică pentru accelerația centripetă (vezi §1.6):

unde T = 27,3 zile este perioada orbitei Lunii în jurul Pământului. Coincidența rezultatelor calculelor efectuate prin diferite metode confirmă ipoteza lui Newton despre natura unică a forței care ține Luna pe orbită și forța gravitației. Câmpul gravitațional propriu al Lunii determină accelerația gravitației gL pe suprafața sa. Masa Lunii este de 81 de ori mai mică decât masa Pământului, iar raza sa este de aproximativ 3,7 ori mai mică decât raza Pământului. Prin urmare, accelerația gА va fi determinată de expresia:

Astronauții care au aterizat pe Lună s-au trezit în condiții de gravitație atât de slabă. O persoană în astfel de condiții poate face sărituri uriașe. De exemplu, dacă o persoană de pe Pământ sare la o înălțime de 1 m, atunci pe Lună ar putea sări la o înălțime mai mare de 6 m Să luăm acum în considerare problema sateliților artificiali de pe Pământ. Sateliții artificiali se deplasează în afara atmosferei Pământului și sunt afectați doar de forțele gravitaționale de pe Pământ. În funcție de viteza inițială, linia de mișcare a corpului galactic poate fi diferită (vezi §1.24). Vom considera aici doar cazul unui satelit artificial care se deplasează radial aproape de Pământ orbită. Astfel de sateliți zboară la altitudini de ordinul 200-300 km, iar distanța până la centrul Pământului poate fi considerată aproximativ egală cu raza sa RЗ. Atunci accelerația centripetă a satelitului transmisă acestuia de forțele gravitaționale este aproximativ egală cu accelerația gravitației g. Să notăm viteza satelitului pe orbita joasă a Pământului ca υ1. Această viteză se numește prima viteză cosmică. Folosind formula cinematică pentru accelerația centripetă (vezi §1.6), obținem:

Mișcându-se cu o astfel de viteză, satelitul ar înconjura Pământul într-un timp. De fapt, perioada orbitei satelitului pe o orbită radială în apropierea suprafeței Pământului depășește puțin valoarea indicată din cauza diferenței dintre raza orbitei reale și. raza Pământului. Mișcarea satelitului poate fi considerată ca cădere liberă, similar cu mișcarea proiectilelor sau a rachetelor balistice. Diferența constă numai în faptul că viteza satelitului este atât de mare încât raza de curbură a liniei sale de mișcare este egală cu raza Pământului. Pentru sateliții care se deplasează pe traiectorii radiale la o distanță semnificativă de Pământ, gravitația Pământului slăbește înapoi proporțional cu pătratul razei r a liniei de mișcare. Viteza satelitului υ este găsită din condiție

Astfel, pe orbitele mari viteza sateliților este mai mică decât pe orbita joasă a Pământului. Perioada de apel T a unui astfel de satelit este egală cu

Aici T1 este perioada de apelare a satelitului pe orbita joasă a Pământului. Perioada de apelare a satelitului crește odată cu creșterea razei orbitale. Este ușor de calculat că, cu o rază orbitală r egală cu aproximativ 6,6RZ, perioada de apel prin satelit va fi egală cu 24 de ore. Un satelit cu o astfel de perioadă de apel, lansat în planul ecuatorial, va pluti nemișcat peste un anumit punct de pe suprafața pământului. Astfel de sateliți sunt utilizați în sistemele de comunicații radio cosmice. Se numește o orbită cu raza r = 6,6R3 geostaționar.

Numele secțiunilor și subiectelor		Volumul orelor	Nivel de maiestrie
Subiectul 3.3. Mișcarea corpurilor cerești sub influența forțelor gravitaționale.	Legea gravitației universale. Tulburări în mișcarea corpurilor sistemului solar. Masa și densitatea Pământului. Determinarea masei corpurilor cerești. Mișcarea sateliților artificiali Pământului și a navelor spațiale către planete. Descrierea caracteristicilor mișcării corpurilor sistemului solar sub influența forțelor gravitaționale pe orbite cu excentricități diferite. Explicația cauzelor mareelor ​​pe Pământ și a perturbărilor în mișcarea corpurilor din Sistemul Solar. Înțelegerea particularităților mișcării și manevrelor navelor spațiale pentru studierea corpurilor Sistemului Solar.

3.3.1. Legea gravitației universale.

Conform legii gravitației universale, studiată la cursul de fizică,

toate corpurile din Univers sunt atrase unele de altele cu o forță direct proporțională cu produsul maselor lor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele:

Unde t 1Și t 2- mase de corpuri;r - distanta dintre ele;G - constantă gravitațională.

Descoperirea legii gravitației universale a fost mult facilitată de legile mișcării planetare formulate de Kepler și de alte realizări ale astronomiei în secolul al XVII-lea. Astfel, cunoașterea distanței până la Lună i-a permis lui Isaac Newton (1643-1727) să demonstreze identitatea forței care ține Luna în timp ce se mișcă în jurul Pământului și forța care face ca corpurile să cadă pe Pământ.

La urma urmei, dacă forța gravitației variază invers proporțional cu pătratul distanței, după cum rezultă din legea gravitației universale, atunci Luna, situată de Pământ la o distanță de aproximativ 60 din razele sale, ar trebui să experimenteze o accelerație. De 3600 de ori mai mică decât accelerația gravitației de pe suprafața Pământului, egală cu 9,8 m/s. Prin urmare, accelerația Lunii ar trebui să fie de 0,0027 m/s 2 .

În același timp, Luna, ca orice corp care se mișcă uniform într-un cerc, are o accelerație

Unde ω - viteza sa unghiulara,r - raza orbitei sale. Dacă presupunem că raza Pământului este de 6400 km, atunci raza orbitei lunii va fir= 60 6 400 000 m = 3,84 10 6 m. Perioada siderale a revoluției Lunii T= 27,32 zile, în secunde este 2,36 10 6 Cu. Apoi accelerația mișcării orbitale a Lunii

Egalitatea acestor două valori de accelerație dovedește că forța care ține Luna pe orbită este forța gravitației, slăbită de 3600 de ori față de cea care acționează pe suprafața Pământului.

De asemenea, poți fi convins că atunci când planetele se mișcă, în conformitate cu cea de-a treia lege a lui Kepler, accelerația lor și forța gravitațională a Soarelui care acționează asupra lor sunt invers proporționale cu pătratul distanței, după cum reiese din legea gravitației universale. Într-adevăr, conform celei de-a treia legi a lui Kepler, raportul dintre cuburile semiaxelor mari ale orbitelord și pătratele perioadelor de circulație T există o valoare constantă:

Accelerația planetei este

Din a treia lege a lui Kepler rezultă

prin urmare accelerația planetei este egală

Deci, forța de interacțiune dintre planete și Soare satisface legea gravitației universale.

3.3.2. Tulburări în mișcarea corpurilor sistemului solar.

Legile lui Kepler sunt strict îndeplinite dacă se ia în considerare mișcarea a două corpuri izolate (Soarele și planeta) sub influența atracției lor reciproce. Cu toate acestea, există multe planete în Sistemul Solar, toate interacționează nu numai cu Soarele, ci și între ele. Prin urmare, mișcarea planetelor și a altor corpuri nu respectă întocmai legile lui Kepler. Se numesc abaterile corpurilor de la deplasarea de-a lungul elipselor tulburări.

Aceste perturbări sunt mici, deoarece masa Soarelui este mult mai mare decât masa nu numai a unei planete individuale, ci și a tuturor planetelor în ansamblu. Cele mai mari perturbări în mișcarea corpurilor în sistemul solar sunt cauzate de Jupiter, a cărui masă este de 300 de ori mai mare decât masa Pământului. Abaterile asteroizilor și cometelor sunt vizibile în special atunci când trec lângă Jupiter.

În prezent, perturbațiile sunt luate în considerare la calcularea poziției planetelor, a sateliților acestora și a altor corpuri ale Sistemului Solar, precum și a traiectoriilor navelor spațiale lansate pentru a le studia. Dar în secolul al XIX-lea. calculul perturbațiilor a făcut posibilă realizarea uneia dintre cele mai faimoase descoperiri din știință „la vârful unui stilou” - descoperirea planetei Neptun.

Efectuând un alt sondaj al cerului în căutarea unor obiecte necunoscute, William Herschel în 1781 a descoperit o planetă, numită mai târziu Uranus. După aproximativ o jumătate de secol, a devenit evident că mișcarea observată a lui Uranus nu este de acord cu cea calculată, chiar și luând în considerare perturbațiile de pe toate planetele cunoscute. Pe baza ipotezei prezenței unei alte planete „subaurane”, au fost făcute calcule cu privire la orbita și poziția sa pe cer. Am rezolvat această problemă independentJohn Adams în Anglia şi Urban Le Verrier în Franța. Pe baza calculelor lui Le Verrier, astronomul german Johann Halle Pe 23 septembrie 1846, a descoperit o planetă necunoscută anterior în constelația Vărsător - Neptun. Această descoperire a devenit un triumf al sistemului heliocentric, cea mai importantă confirmare a validității legii gravitației universale. Ulterior, s-au observat perturbări în mișcarea lui Uranus și Neptun, care au devenit baza pentru presupunerea existenței unei alte planete în sistemul solar. Căutarea ei a fost încununată cu succes abia în 1930, când, după vizualizarea unui număr mare de fotografii ale cerului înstelat, a fost descoperită planeta cea mai îndepărtată de Soare, Pluto.

3.3.3. Masa și densitatea Pământului.

Legea gravitației universale a făcut posibilă determinarea masei planetei noastre. Pe baza legii gravitației universale, accelerația gravitației poate fi exprimată după cum urmează:

Să înlocuim valorile cunoscute ale acestor cantități în formula:

g = 9,8 m/s, G = 6,67 10 -11 N m 2 /kg 2, R = 6370 km - și aflăm că masa Pământului este M = 6 10 24 kg

Cunoscând masa și volumul globului, putem calcula densitatea medie a acestuia: 5,5 10 3 kg/m 3 . Odată cu adâncimea, datorită presiunii în creștere și conținutului de elemente grele, densitatea crește.

3.3.4. Determinarea masei corpurilor cerești.

O formulă mai precisă pentru cea de-a treia lege a lui Kepler, care a fost obținută de Newton, face posibilă determinarea uneia dintre cele mai importante caracteristici ale oricărui corp ceresc - masa. Să derivăm această formulă, presupunând (pentru o primă aproximare) orbitele planetelor să fie circulare.

Fie ca două corpuri, care se atrag reciproc și se rotesc în jurul unui centru de masă comun, au masem 1 Și m 2 , sunt situate la o distanţă de centrul de masăr 1Și r 2și se învârt în jurul lui cu un punct T. Distanța dintre centrele lorR= r 1 + r 2 . Pe baza legii gravitației universale, accelerația fiecăruia dintre aceste corpuri este egală cu:

Viteza unghiulară de revoluție în jurul centrului de masă este . Apoi accelerația centripetă va fi exprimată pentru fiecare corp după cum urmează:

După ce au echivalat expresiile obținute pentru accelerații, exprimând din acestear 1 Și r 2 și adăugându-le termen cu termen, obținem:

Unde

Deoarece partea dreaptă a acestei expresii conține doar cantități constante, este valabilă pentru orice sistem de două corpuri care interacționează conform legii gravitației și se rotesc în jurul unui centru de masă comun - Soarele și o planetă, o planetă și un satelit. Să determinăm masa Soarelui, pentru aceasta scriem expresia:

Unde M- masa Soarelui;m 1 - masa Pământului; t 2- masa Lunii;T 1ȘiA 1 - perioada de revoluție a Pământului în jurul Soarelui (an) și semiaxa mare a orbitei sale; T 2Și a 2- perioada de revoluție a Lunii în jurul Pământului și semiaxa mare a orbitei lunare.

Neglijând masa Pământului, care este neglijabilă în comparație cu masa Soarelui, și masa Lunii, care este de 81 de ori mai mică decât masa Pământului, obținem:

Înlocuind valorile corespunzătoare în formulă și luând masa Pământului ca 1, obținem că Soarele este de aproximativ 333.000 de ori mai mare în masă decât planeta noastră.

Masele planetelor care nu au sateliți sunt determinate de perturbațiile pe care le au asupra mișcării asteroizilor, cometelor sau navelor spațiale care zboară în vecinătatea lor.

3.3.5. Cauzele mareelor ​​pe Pământ

Sub influența atracției reciproce a particulelor, corpul tinde să ia forma unei mingi. Dacă aceste corpuri se rotesc, ele sunt deformate și comprimate de-a lungul axei de rotație.

În plus, o schimbare a formei lor are loc și sub influența atracției reciproce, care este cauzată de fenomene numite mareele. Cunoscute pe Pământ de multă vreme, ele au fost explicate doar pe baza legii gravitației universale.

Să luăm în considerare accelerațiile create de atracția Lunii în diferite puncte de pe glob (Fig. 3.13). Din moment ce punctele A, B sunt la distanțe diferite de Lună, accelerațiile create de gravitația acesteia vor fi diferite.

Diferența de accelerație cauzată de atracția unui alt corp într-un punct dat și în centrul planetei se numește accelerație de maree.

Accelerațiile mareelor ​​în puncte AȘi ÎNîndreptată din centrul Pământului. Ca rezultat, Pământul, și în primul rând învelișul său de apă, este întins în ambele direcții de-a lungul unei linii care leagă centrele Pământului și ale Lunii. La puncte AȘi ÎN există o maree înaltă și de-a lungul unui cerc, al cărui plan este perpendicular pe această linie, are loc un reflux pe Pământ. Gravitația Soarelui provoacă și maree, dar datorită distanței sale mai mari, acestea sunt mai mici decât cele cauzate de Lună. Mareele sunt observate nu numai în hidrosferă, ci și în atmosfera și litosfera Pământului și a altor planete.

Datorită rotației zilnice a Pământului, acesta tinde să tragă împreună cocoașele de maree, în timp ce, în același timp, datorită gravitației Lunii, care se învârte în jurul Pământului într-o lună, banda de maree ar trebui să se deplaseze de-a lungul suprafata mult mai incet. Ca urmare, apare frecarea mareelor ​​între mase uriașe de apă de maree și fundul oceanului. Încetinește rotația Pământului și provoacă o creștere a lungimii zilei, care în trecut era mult mai scurtă (5-6 ore). În același timp, mareele cauzate de Pământul pe Lună și-au încetinit rotația, iar acum se confruntă cu Pământul cu o parte. Aceeași rotație lentă este caracteristică multor sateliți ai lui Jupiter și a altor planete. Mareele puternice cauzate de Soare pe Mercur și Venus par a fi motivul rotației lor extrem de lente pe axa lor.

3.3.6. Mișcarea sateliților artificiali Pământului și a navelor spațiale către planete.

Posibilitatea creării unui satelit artificial de pe Pământ a fost fundamentată teoretic de Newton. El a arătat că există o astfel de viteză direcționată orizontal la care un corp, care cade pe Pământ, nu va cădea totuși pe el, ci se va mișca în jurul Pământului, rămânând la aceeași distanță de acesta. Cu această viteză, corpul se va apropia de Pământ datorită atracției sale la fel de mult cât se va îndepărta de acesta datorită curburii suprafeței planetei noastre (Fig. 3.14). Această viteză, care se numește prima cosmică (sau circulară), vă este cunoscută de la un curs de fizică:

Sa dovedit a fi practic posibilă lansarea unui satelit artificial de pe Pământ la doar două secole și jumătate după descoperirea lui Newton - 4 octombrie 1957. În mai bine de patruzeci de ani de la acea zi, care este adesea numită începutul erei spațiale a omenirii, aproximativ 4.000 de sateliți au fost lansați în multe țări din întreaga lume diverse dispozitive și scopuri. Au fost create stații orbitale pe care lucrează mult timp echipaje formate din cosmonauți din diferite țări, înlocuindu-se. Astronauții americani au vizitat în mod repetat Luna, stațiile interplanetare automate au explorat toate planetele Sistemului Solar, cu excepția celei mai îndepărtate planete Pluto.

Navele spațiale (SV), care sunt trimise pe Lună și pe planete, experimentează atracția Soarelui și, conform legilor lui Kepler, la fel ca planetele înseși, se mișcă în elipse. Viteza orbitală a Pământului este de aproximativ 30 km/s. Dacă suma geometrică a vitezei navei spațiale, care i-a fost raportată la lansare, și viteza Pământului este mai mare decât această valoare, atunci nava spațială se va mișca pe o orbită care se află în afara orbitei Pământului. Dacă mai puțin, în interiorul ei. În primul caz, atunci când zboară către Marte sau o altă planetă exterioară, costurile energetice vor fi minime dacă nava spațială ajunge pe orbita acestei planete la distanța sa maximă de Soare - la afeliu (Fig. 3.15). În plus, este necesar să se calculeze timpul de lansare al navei spațiale, astfel încât în ​​acest moment planeta să ajungă în același punct de pe orbită. Cu alte cuvinte, viteza inițială și ziua lansării navei spațiale trebuie alese în așa fel încât nava și planeta, fiecare mișcându-se pe propria sa orbită, să se apropie simultan de punctul de întâlnire. În al doilea caz - pentru planeta interioară - întâlnirea cu nava spațială ar trebui să aibă loc la periheliul orbitei sale (Fig. 3.16). Astfel de traiectorii de zbor sunt numite semi-eliptice. Axele majore ale acestor elipse trec prin Soare, care se află la unul dintre focare, așa cum era de așteptat de prima lege a lui Kepler.