Przybliżenie liniowe, zwłaszcza wielomianowe, często nie odpowiada naturze funkcji. Na przykład wielomian wysokiego stopnia rośnie szybko i dlatego nawet prosta funkcja jest słabo aproksymowana przez wielomian na dużym segmencie. Ponieważ aproksymacja odbywa się po szerokim zakresie zmian argumentu, zastosowanie nieliniowej zależności od współczynników jest tutaj jeszcze bardziej korzystne niż w przypadku interpolacji.

W praktyce stosowane są dwa rodzaje zależności. Jedną z nich jest zależność quasi-liniowa, pomniejszona poprzez niwelacyjną zmianę zmiennych na liniową, co szczegółowo zbadaliśmy w poprzednich akapitach. Metoda ta jest bardzo skuteczna i często stosowana przy przetwarzaniu eksperymentów, ponieważ informacja aprioryczna o fizyce procesu pomaga znaleźć dobry zamiennik zmiennych. Musimy tylko pamiętać, że przybliżenie, które jest najlepsze w przypadku nowych zmiennych, nie będzie najlepsze w sensie iloczynu skalarnego w przypadku starych zmiennych. Dlatego też szczególną uwagę należy zwrócić na dobór wag nowych zmiennych.

Klasycznym przykładem jest problem rozpadu radioaktywnego napromieniowanej próbki, w którym wygodne zmienne i t, gdzie jest szybkością rozpadu. W przypadku tych zmiennych krzywą zwykle przybliża się linią przerywaną, której połączenia odpowiadają rozpadowi coraz dłużej żyjących członków szeregu promieniotwórczego.

Innym powszechnie stosowanym typem zależności od współczynników jest zależność ułamkowo-liniowa, gdy funkcja aproksymująca jest wymierna:

Często stosuje się również stosunek uogólnionych wielomianów. To przybliżenie pozwala nam przekazać bieguny funkcji - odpowiadają one zerom mianownika wymaganej krotności. Często możliwe jest odtworzenie asymptotycznego zachowania w dzięki odpowiedniemu doborowi wielkości, np. jeśli , to musimy ustawić . W tym przypadku można je przyjąć na tyle duże, aby mieć wiele współczynników aproksymacji.

Jednak błąd kwadratowy nie będzie już funkcją kwadratową współczynników, więc nie jest łatwo znaleźć współczynniki funkcji wymiernej. Przez analogię do aproksymacji średniej kwadratowej wielomianami możemy postawić hipotezę, że błąd ma liczbę zer nie mniejszą niż liczba wolnych współczynników (por. uwaga 3 w paragrafie 2). Następnie problem sprowadza się do interpolacji Lagrangianu po tych zerach, a współczynniki wyznacza się z układu równań liniowych:

Oczywiście dokładna pozycja zer nie jest znana; są wybierane losowo i zwykle równomiernie rozłożone w segmencie. Metoda ta nazywana jest metodą wybranych punktów. Przybliżenie uzyskane tą metodą wcale nie będzie najlepsze.

Poza tym metoda wybranych punktów jest nieuzasadniona, podobnie jak każda interpolacja, jeśli jest obarczona zauważalnym błędem.

Najlepsze przybliżenie można znaleźć stosując metodę iterowanej wagi. Uwaga, zadanie

można łatwo rozwiązać: wyrażenie po lewej stronie jest funkcją kwadratową współczynników i różniczkowanie względem nich prowadzi do liniowego układu wyznaczania współczynników, podobnego do (38). Nowe zadanie zasadniczo różni się od pierwotnego tym, że zamiast odważnika zastosowano inną wagę, więc jego rozwiązanie nie jest najlepszym przybliżeniem. Zapiszmy pierwotny problem w nowej formie:

i rozwiążemy go za pomocą prostego procesu iteracyjnego

można przyjąć jako przybliżenie zerowe. W każdej iteracji znana jest waga z poprzedniej iteracji, więc współczynniki można łatwo znaleźć na podstawie warunku minimalnego postaci kwadratowej. Praktyka pokazuje, że współczynniki najlepszego przybliżenia słabo zależą od wyboru wagi, dlatego iteracje zwykle szybko osiągają zbieżność.

a) Rozważ kilka przykładów aproksymacji funkcją wymierną. Włóżmy

zastępując dwa pierwsze wyrazy szeregu ułamkiem, otrzymujemy . Ten prosty wzór zapewnia dokładność i jest bardzo wygodny w szacunkach.

b) W teorii prawdopodobieństwa ważną rolę odgrywa całka błędu, dla której znane są rozwinięcia szeregów:

Pierwsza seria jest zbieżna absolutnie, ale zbieżność jest bardzo powolna; drugi szereg zbiega się asymptotycznie dla dużych wartości . Zastępując pierwsze wyrazy każdej serii ułamkami, otrzymujemy

We wskazanych zakresach zmiany argumentów błąd pierwszego wzoru nie przekracza 0,4%, a błąd drugiego wzoru nie przekracza 2,4%. Zatem dokładność tych przybliżeń jest wystarczająca dla wielu praktycznych zastosowań.

c) Ustalmy na . Funkcja ta jest monotoniczna i dla niej łatwo jest skonstruować ułamek

Aproksymacja funkcji nieliniowej

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

r 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Ponieważ przedział podziału funkcji jest równy, obliczamy następujące współczynniki nachylenia odpowiednich odcinków funkcji aproksymowanej:

1. Konstrukcja bloków do formowania odcinków funkcji aproksymującej

Tworzenie funkcji czasu

Interwał zmiany:

Czas restartu cyklicznego: T = 1s

Teraz zamodelujmy funkcję:

Przybliżenie

Rysunek 3.1 - Schemat rozwiązania równania

Rysunek 3.2 - Schemat blokowy tworzenia funkcji nieliniowej

W ten sposób automatycznie tworzy się lewa strona równania. W tym przypadku umownie zakłada się, że znana jest najwyższa pochodna x//, ponieważ znane są wyrazy po prawej stronie równania i można je podłączyć do wejść U1 (rysunek 3.1). Wzmacniacz operacyjny U3 pełni funkcję falownika sygnału +x. Aby zasymulować x//, należy wprowadzić do układu kolejny podwzmacniacz, na którego wejścia należy podać sygnały symulujące prawą stronę równania (3.2).

Skale wszystkich zmiennych oblicza się biorąc pod uwagę, że maksymalna wartość zmiennej maszynowej poza wartością bezwzględną wynosi 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/maks.; Mx // = 10 / x //maks;

My = 10 / ymax. (3.3)

Skala czasu Mt = T / tmax = 1, ponieważ problem jest symulowany w czasie rzeczywistym.

Obliczane są współczynniki transmisji dla każdego wejścia wzmacniaczy całkujących.

Dla wzmacniacza U1 współczynniki transmisji wyznacza się ze wzorów:

K11 = Mx/ b / (MyMt); K12 = Mx/a2 / (MxMt);

K13 = Mx/a1 / (MxMt). (3.4)

Dla wzmacniacza U2:

K21 = Mx/ / (Mx/Mt), (3,5)

oraz dla wzmacniacza U3:

K31 = 1. (3,6)

Napięcia warunków początkowych oblicza się ze wzorów:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Prawa strona równania (3.2) jest reprezentowana przez funkcję nieliniową, która jest określona przez przybliżenie liniowe. W takim przypadku należy sprawdzić, czy błąd aproksymacji nie przekracza określonej wartości. Schemat blokowy tworzenia funkcji nieliniowej przedstawiono na rysunku 3.2.

Opis schematu obwodu

Blok generowania funkcji czasu (Ф) wykonany jest w postaci jednego (do postaci t) lub dwóch połączonych szeregowo (do postaci t2) wzmacniaczy całkujących z zerowymi warunkami początkowymi.

W tym przypadku, gdy na wejście pierwszego integratora zostanie podany sygnał U, na jego wyjściu otrzymamy:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Ustawiając K11E=1, mamy u1(t)= t.

Na wyjściu drugiego integratora otrzymujemy:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

Ustawiając K11K21E/2 = 1, mamy u2(t)= t2.

Bloki generowania odcinków funkcji aproksymującej realizowane są w postaci bloków diodowych funkcji nieliniowych (DBNF), dla których wartość wejściowa jest funkcją czasu t lub t2. Procedura obliczania i konstruowania DBNF jest podana w.

Sumator (SAD) segmentów funkcji aproksymującej realizowany jest w postaci różnicowego wzmacniacza końcowego.

Warunki początkowe dla integratorów obwodu modelującego wprowadza się za pomocą węzła o zmiennej strukturze (rysunek 3.3). Schemat ten może działać w dwóch trybach:

a) całkowanie - z kluczem K w pozycji 1. W tym przypadku sygnał początkowy układu opisuje się z wystarczającą dokładnością równaniem idealnego integratora:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Ten tryb jest używany podczas modelowania zadania. Aby sprawdzić poprawność doboru parametrów R i C integratora, należy sprawdzić wartość napięcia początkowego integratora w funkcji czasu oraz czas całkowania użytecznego w granicach błędu dopuszczalnego Uperm?

Wielkość początkowego napięcia integratora

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

podczas symulacji T przy całkowaniu sygnału wejściowego E przy użyciu wzmacniacza operacyjnego o wzmocnieniu Ky bez obwodu sprzężenia zwrotnego nie powinien przekraczać wartości zmiennej maszynowej (10 V).

Czas integracji

Ti = 2RC(Kу + 1)?Uadd (3.12)

z wybranymi parametrami obwodu nie powinien być krótszy niż czas symulacji T.

b) ustawienie warunków początkowych realizowane jest po przełączeniu kluczyka K w położenie 2. Tryb ten wykorzystywany jest podczas przygotowania układu modelującego do procesu rozwiązywania. W tym przypadku pierwotny sygnał obwodu opisuje równanie:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

gdzie u0(t) jest wartością warunków początkowych.

Aby skrócić czas powstawania warunków początkowych i zapewnić niezawodną pracę, parametry obwodu muszą spełniać warunek: R1C1 = R2C.

Zbuduj kompletny schemat obliczeniowy. W takim przypadku należy zastosować symbole podane w podrozdziale 3.1.

Wykorzystując głębię bitową danych wejściowych i źródłowych, skonstruuj schematy obwodów bloków B1 i B2 i podłącz je do bloku RS.

(Proszę zwrócić uwagę na dodatkową sekcję z dnia 04.06.2017 na końcu artykułu.)

Księgowość i kontrola! Osoby powyżej 40. roku życia powinny dobrze pamiętać to hasło z epoki budowania socjalizmu i komunizmu w naszym kraju.

Ale bez ugruntowanej rachunkowości efektywne funkcjonowanie kraju, regionu, przedsiębiorstwa czy gospodarstwa domowego jest niemożliwe w jakiejkolwiek społeczno-gospodarczej formacji społeczeństwa! Do sporządzenia prognoz i planów działalności i rozwoju potrzebne są dane wstępne. Gdzie mogę je dostać? Tylko jeden niezawodnyźródło jest twój zapisy statystyczne z poprzednich okresów.

W moim rozumieniu każdy rozsądny człowiek powinien brać pod uwagę wyniki swoich działań, gromadzić i rejestrować informacje, przetwarzać i analizować dane, a wyniki analiz wykorzystywać do podejmowania właściwych decyzji w przyszłości. To nic innego jak gromadzenie i racjonalne wykorzystanie własnego doświadczenia życiowego. Jeśli nie będziesz prowadzić ewidencji ważnych danych, to po pewnym czasie o nich zapomnisz, a gdy zaczniesz zajmować się tymi sprawami na nowo, ponownie popełnisz te same błędy, które popełniłeś za pierwszym razem.

„Pamiętam, że 5 lat temu produkowaliśmy do 1000 sztuk takich produktów miesięcznie, a teraz ledwo udaje nam się zebrać 700!” Otwieramy statystyki i widzimy, że 5 lat temu nie wyprodukowali nawet 500 sztuk…

„Ile kosztuje kilometr Twojego samochodu, biorąc pod uwagę wszyscy koszty? Otwórzmy statystyki – 6 rubli/km. Wyjazd do pracy – 107 rubli. Taniej niż taksówka (180 rubli) ponad półtora raza. A były czasy, kiedy taniej było wziąć taksówkę...

„Ile czasu zajmuje wykonanie konstrukcji stalowych narożnej wieży komunikacyjnej o wysokości 50 m?” Otwieramy statystyki - i za 5 minut odpowiedź jest gotowa...

„Ile będzie kosztować remont pokoju w mieszkaniu?” Wyciągamy stare rekordy, robimy korektę o inflację z ostatnich lat, bierzemy pod uwagę, że ostatnim razem kupiliśmy materiały 10% taniej niż cena rynkowa i znamy już szacunkowy koszt...

Prowadząc dokumentację swojej działalności zawodowej, zawsze będziesz gotowy odpowiedzieć na pytanie swojego szefa: „Kiedy!!!???” Prowadząc dokumentację gospodarstwa domowego, łatwiej jest zaplanować wydatki na duże zakupy, wakacje i inne wydatki w przyszłości, podejmując odpowiednie działania, aby uzyskać dodatkowy dochód lub ograniczyć niepotrzebne wydatki już dziś.

W tym artykule na prostym przykładzie pokażę, w jaki sposób zebrane dane statystyczne można przetworzyć w programie Excel w celu dalszego wykorzystania w prognozowaniu przyszłych okresów.

Aproksymacja danych statystycznych w Excelu z funkcją analityczną.

Zakład produkcyjny produkuje metalowe konstrukcje budowlane z wyrobów z blachy i profili metalowych. Strona działa stabilnie, zamówienia są tego samego rodzaju, liczba pracowników nieznacznie się waha. Znajdują się tu dane dotyczące produkcji wyrobów za ostatnie 12 miesięcy oraz ilości przerobionej w tych okresach walcówki w podziale na grupy: blachy, dwuteowniki, ceowniki, kątowniki, rury okrągłe, profile prostokątne, wyroby okrągłe. Po wstępnej analizie danych wyjściowych przyjęto założenie, że całkowita miesięczna produkcja konstrukcji metalowych w istotny sposób zależy od ilości kątowników w zamówieniach. Sprawdźmy to założenie.

Na początek kilka słów o przybliżeniu. Będziemy szukać prawa - funkcji analitycznej, czyli funkcji określonej równaniem, która lepiej niż inne opisuje zależność całkowitej produkcji konstrukcji metalowych od ilości kątowników stalowych w realizowanych zamówieniach. Jest to przybliżenie, a znalezione równanie nazywamy funkcją aproksymującą funkcję pierwotną, podaną w formie tabeli.

1. Włącz Excel i umieść tabelę z danymi statystycznymi na arkuszu.

2. Następnie budujemy i formatujemy wykres punktowy, na którym wzdłuż osi X ustalamy wartości argumentu – liczbę obrobionych narożników w tonach. Na osi Y nanosimy wartości funkcji pierwotnej – całkowitą miesięczną produkcję konstrukcji metalowych, podaną w tabeli.

3. „Wskazujemy” myszką na dowolny punkt na wykresie i klikamy prawym przyciskiem myszy, aby wywołać menu kontekstowe (jak mówi jeden z moich dobrych znajomych - podczas pracy w nieznanym programie, gdy nie wiadomo, co robić, częściej klikaj prawym przyciskiem myszy...). Z rozwijanego menu wybierz „Dodaj linię trendu…”.

4. W wyświetlonym oknie „Linia trendu” w zakładce „Typ” wybierz „Liniowy”.

6. Na wykresie pojawiła się linia prosta przybliżająca naszą zależność tabelarską.

Oprócz samej linii widzimy równanie tej linii i, co najważniejsze, widzimy wartość parametru R 2 - wartość niezawodności aproksymacji! Im jej wartość jest bliższa 1, tym dokładniej wybrana funkcja przybliża dane tabelaryczne!

7. Budujemy linie trendu przy użyciu przybliżeń potęgowych, logarytmicznych, wykładniczych i wielomianowych w taki sam sposób, w jaki budowaliśmy liniową linię trendu.

Ze wszystkich wybranych funkcji najlepiej przybliża nasze dane wielomian drugiego stopnia, który ma maksymalny współczynnik rzetelności R 2 .

Jednak chcę Cię ostrzec! Jeśli weźmiesz wielomiany wyższego stopnia, prawdopodobnie uzyskasz jeszcze lepsze wyniki, ale krzywe będą miały zawiły wygląd... Ważne jest, aby zrozumieć, że szukamy funkcji, która ma znaczenie fizyczne. Co to znaczy? Oznacza to, że potrzebujemy funkcji aproksymującej, która da odpowiednie wyniki nie tylko w rozpatrywanym zakresie wartości X, ale także poza nim, czyli odpowie na pytanie: „Jaka będzie wydajność konstrukcji metalowych, jeżeli liczba kątowników przerabianych miesięcznie to niecałe 45 i ponad 168 ton! Dlatego nie radzę dać się ponieść wielomianom wysokich stopni i ostrożnie wybierać parabolę (wielomian drugiego stopnia)!

Musimy więc wybrać funkcję, która nie tylko dobrze interpoluje dane tabelaryczne w zakresie wartości X=45...168, ale także pozwala na odpowiednią ekstrapolację poza ten zakres. W tym przypadku wybieram funkcję logarytmiczną, choć można też wybrać funkcję liniową, bo jest najprostsza. W rozważanym przykładzie przy wyborze przybliżenia liniowego w Excelu błędy będą większe niż przy wyborze przybliżenia logarytmicznego, ale niewiele.

8. Usuwamy wszystkie linie trendu z pola wykresu, z wyjątkiem funkcji logarytmicznej. Aby to zrobić, kliknij prawym przyciskiem myszy niepotrzebne linie i wybierz „Wyczyść” z wyświetlonego menu kontekstowego.

9. Na koniec dodamy słupki błędów do tabelarycznych punktów danych. Aby to zrobić, kliknij prawym przyciskiem myszy dowolny punkt na wykresie i z menu kontekstowego wybierz „Formatuj serię danych…” i skonfiguruj dane w zakładce „Błędy Y” jak na rysunku poniżej.

10. Następnie kliknij prawym przyciskiem myszy dowolną linię zakresu błędu, z menu kontekstowego wybierz „Format słupków błędów…” i w oknie „Format słupków błędów” na zakładce „Widok” dostosuj kolor i grubość linii.

Wszystkie inne obiekty diagramu są formatowane w ten sam sposób.Przewyższać!

Ostateczny wynik wykresu pokazano na poniższym zrzucie ekranu.

Wyniki.

Efektem wszystkich poprzednich działań był otrzymany wzór na funkcję aproksymującą y=-172,01*ln (x)+1188,2. Znając to i liczbę narożników w miesięcznym zestawie prac, można z dużym prawdopodobieństwem (±4% - patrz słupki błędów) przewidzieć całkowitą produkcję konstrukcji metalowych w miesiącu! Na przykład, jeśli plan na miesiąc obejmuje 140 ton kątowników, wówczas całkowita produkcja, przy założeniu niezmienionych wszystkich innych czynników, najprawdopodobniej wyniesie 338 ± 14 ton.

Aby zwiększyć wiarygodność przybliżenia, powinno być dużo danych statystycznych. Dwanaście par wartości to za mało.

Z praktyki powiem, że znalezienie funkcji aproksymującej o współczynniku rzetelności R 2 > 0,87 należy uznać za wynik dobry. Doskonały wynik uzyskuje się przy R2 > 0,94.

W praktyce zidentyfikowanie jednego najważniejszego czynnika determinującego może być trudne (w naszym przykładzie jest to masa narożników wykonanych w ciągu miesiąca), ale jeśli spróbujesz, zawsze znajdziesz go w każdym konkretnym zadaniu! Oczywiście całkowita produkcja za miesiąc naprawdę zależy od setek czynników, biorąc pod uwagę, które wymagają znacznych kosztów pracy ze strony osób ustalających standardy i innych specjalistów. Ale wynik będzie nadal przybliżony! Czy zatem warto ponosić koszty, gdy istnieje znacznie tańsze modelowanie matematyczne!

W tym artykule dotknąłem jedynie wierzchołka góry lodowej zwanej gromadzeniem, przetwarzaniem i praktycznym wykorzystaniem danych statystycznych. Mam nadzieję, że na podstawie komentarzy i ocen artykułu w wyszukiwarkach dowiem się, czy udało mi się wzbudzić Państwa zainteresowanie tym tematem.

Podniesiona problematyka aproksymacji funkcji jednej zmiennej ma szerokie zastosowanie praktyczne w różnych dziedzinach życia. Jednak rozwiązanie problemu aproksymacji funkcji ma znacznie szersze zastosowanie kilka niezależnych zmienne... O tym i nie tylko przeczytasz w kolejnych artykułach na blogu.

Subskrybuj do zapowiedzi artykułów w oknie znajdującym się na końcu każdego artykułu lub w oknie u góry strony.

Nie zapomnij potwierdzać zapisz się klikając na link w liście, który dotrze do Ciebie na określoną pocztę (może dotrzeć do folderu « spam » )!!!

Z zainteresowaniem przeczytam Wasze komentarze, drodzy czytelnicy! Pisać!

P.S. (04.06.2017)

Bardzo dokładne, piękne zastąpienie danych tabelarycznych prostym równaniem.

Nie jesteś zadowolony z uzyskanej dokładności aproksymacji (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Czy wymiary wyrażenia i kształt linii wielomianu wysokiego stopnia aproksymującego nie są przyjemne dla oka?

Proszę zapoznać się ze stroną „”, aby uzyskać dokładniejszy i zwarty wynik aproksymacji danych tabelarycznych oraz poznać prostą technikę rozwiązywania problemów precyzyjnego przybliżenia za pomocą funkcji jednej zmiennej.

Korzystając z zaproponowanego algorytmu działań, znaleziono bardzo zwartą funkcję zapewniającą największą dokładność aproksymacji: R 2 =0,9963!!!

Rozwiązywanie układów równań nieliniowych i przestępnych.

Układy równań nieliniowych i przestępnych. Rozwiązywanie równań w postaci numerycznej.

Numeryczne metody rozwiązywania problemów

Radiofizyka i elektronika

(Instruktaż)

Woroneż 2009

Podręcznik powstał w Katedrze Elektroniki Fizycznej

Wydział Państwowego Uniwersytetu w Woroneżu.

Rozważane są metody rozwiązywania problemów związanych z automatyczną analizą obwodów elektronicznych. Przedstawiono podstawowe pojęcia teorii grafów. Podano macierzowo-topologiczne sformułowanie praw Kirchhoffa. Opisano najbardziej znane metody macierzowo-topologiczne: metodę potencjałów węzłowych, metodę prądów pętlicowych, metodę modeli dyskretnych, metodę hybrydową, metodę stanów zmiennych.

1. Aproksymacja charakterystyk nieliniowych. Interpolacja. 6

1.1. Wielomiany Newtona i Lagrange'a 6

1.2. Interpolacja splajnu 8

1.3. Metoda najmniejszych kwadratów 9

2. Układy równań algebraicznych 28

2.1. Układy równań liniowych. Metoda Gaussa. 28

2.2. Rzadkie układy równań. Faktoryzacja LU. 36

2.3. Rozwiązywanie równań nieliniowych 37

2.4. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych 40

2.5. Równania różniczkowe. 44

2. Metody poszukiwania ekstremum. Optymalizacja. 28

2.1. Ekstremalne metody poszukiwań. 36

2.2. Wyszukiwanie pasywne 28

2.3. Wyszukiwanie sekwencyjne 36

2.4. Optymalizacja wielowymiarowa 37

Referencje 47

Aproksymacja charakterystyk nieliniowych. Interpolacja.

1.1. Wielomiany Newtona i Lagrange'a.

Rozwiązując wiele problemów, konieczne staje się zastąpienie funkcji f, o której nie ma pełnych informacji lub której forma jest zbyt złożona, prostszą i wygodniejszą funkcją F, zbliżoną w tym czy innym sensie do f, podając jej przybliżone reprezentacja. Do aproksymacji (aproksymacji) wykorzystuje się funkcje F należące do określonej klasy, np. wielomiany algebraiczne danego stopnia. Istnieje wiele różnych wersji problemu aproksymacji funkcji, w zależności od tego, jakie funkcje f są aproksymowane, jakich funkcji F używa się do aproksymacji, jak rozumieć bliskość funkcji f i F itp.

Jedną z metod konstruowania funkcji przybliżonych jest interpolacja, gdy wymagane jest, aby w pewnych punktach (węzłach interpolacji) wartości pierwotnej funkcji f i funkcji aproksymującej F pokrywały się. W bardziej ogólnym przypadku wartości pochodne w danych punktach muszą się pokrywać.

Interpolację funkcji stosuje się w celu zastąpienia trudnej do obliczenia funkcji inną, łatwiejszą do obliczenia; w celu przybliżonego przywrócenia funkcji z jej wartości w poszczególnych punktach; do numerycznego różniczkowania i całkowania funkcji; do numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych i różniczkowych itp.

Najprostszy problem interpolacji jest następujący. Dla pewnej funkcji na odcinku w punktach określa się wartości n+1, które nazywane są węzłami interpolacji. W której . Należy skonstruować funkcję interpolującą F(x), która przyjmuje w węzłach interpolacji takie same wartości jak f(x):

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

Geometrycznie oznacza to znalezienie krzywej określonego typu przechodzącej przez zadany układ punktów (x i, y i), i = 0,1,…,n.

Jeśli wartości argumentu wykraczają poza obszar, wówczas mówimy o ekstrapolacji - kontynuacji funkcji poza obszarem jej definicji.

Najczęściej funkcja F(x) jest konstruowana w postaci wielomianu algebraicznego. Istnieje kilka reprezentacji wielomianów interpolacji algebraicznej.

Jedną z metod interpolacji funkcji przyjmujących wartości w punktach jest skonstruowanie wielomianu Lagrange'a, który ma następującą postać:

Stopień przejścia wielomianu interpolacyjnego przez n+1 węzłów interpolacji jest równy n.

Z postaci wielomianu Lagrange'a wynika, że ​​dodanie nowego punktu węzłowego powoduje zmianę wszystkich wyrazów wielomianu. Na tym polega niedogodność wzoru Lagrange'a. Ale metoda Lagrange'a zawiera minimalną liczbę operacji arytmetycznych.

Aby skonstruować wielomiany Lagrange'a o rosnących stopniach, można zastosować następujący schemat iteracji (schemat Aitkena).

Wielomiany przechodzące przez dwa punkty (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n) można przedstawić w następujący sposób:

Wielomiany przechodzące przez trzy punkty (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), można wyrazić poprzez wielomiany L ij i L jk:

Wielomiany dla czterech punktów (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) buduje się z wielomianów L ijk i L jkl:

Proces trwa aż do uzyskania wielomianu przechodzącego przez n danych punktów.

Algorytm obliczania wartości wielomianu Lagrange'a w punkcie XX, realizujący schemat Aitkena, można zapisać za pomocą operatora:

for (int i=0;i

for (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

zostanie to odebrane jako błąd – wielokrotna deklaracja zmiennej,

zmienna i została już zadeklarowana

for (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

gdzie tablica F jest wartościami pośrednimi wielomianu Lagrange'a. Początkowo F[I] powinno być ustawione na y i . Po wykonaniu pętli F[N] jest wartością wielomianu Lagrange'a stopnia N w punkcie XX.

Inną formą przedstawienia wielomianu interpolacyjnego są wzory Newtona. Pozwolić być równoodległymi węzłami interpolacji; i=0,1,…,n ; - krok interpolacji.

Pierwszy wzór interpolacji Newtona, używany do interpolacji w przód, to:

Nazywane (skończonymi) różnicami i-tego rzędu. Są one zdefiniowane w następujący sposób:

Znormalizowany argument.

Kiedy wzór interpolacyjny Newtona zamienia się w szereg Taylora.

Drugi wzór interpolacji Newtona służy do interpolacji „wstecz”:

W ostatnim wpisie zamiast różnic (zwanych różnicami „do przodu”) zastosowano różnice „do tyłu”:

W przypadku węzłów nierównomiernie rozmieszczonych, tzw rozdzielone różnice

W tym przypadku wielomian interpolacyjny w postaci Newtona ma postać

W przeciwieństwie do wzoru Lagrange'a, dodanie nowej pary wartości. (x n +1, y n +1) sprowadza się tutaj do dodania jednego nowego terminu. Można zatem łatwo zwiększyć liczbę węzłów interpolacji bez konieczności powtarzania całych obliczeń. Pozwala to ocenić dokładność interpolacji. Jednak wzory Newtona wymagają większej liczby operacji arytmetycznych niż wzory Lagrange'a.

Dla n=1 otrzymujemy wzór na interpolację liniową:

Dla n=2 będziemy mieli wzór na interpolację paraboliczną:

Podczas interpolacji funkcji rzadko stosuje się wielomiany algebraiczne wysokiego stopnia ze względu na znaczne koszty obliczeniowe i duże błędy w obliczaniu wartości.

W praktyce najczęściej stosuje się odcinkową interpolację liniową lub odcinkowo paraboliczną.

Przy interpolacji liniowej odcinkowej funkcja f(x) na przedziale (i=0,1,…,n-1) jest aproksymowana odcinkiem prostym

Algorytm obliczeniowy realizujący odcinkową interpolację liniową można zapisać za pomocą operatora:

for (int i=0;i

if ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Korzystając z pierwszej pętli, szukamy, gdzie znajduje się żądany punkt.

W przypadku fragmentarycznej interpolacji parabolicznej wielomian jest konstruowany przy użyciu 3 punktów węzłowych najbliższych określonej wartości argumentu.

Algorytm obliczeniowy realizujący odcinkową interpolację paraboliczną można zapisać za pomocą operatora:

for (int i=0;i

y0=Fy; Gdy i=0 element nie istnieje!

x0=Fx; Ten sam

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Nie zawsze wskazane jest stosowanie interpolacji. Podczas przetwarzania danych eksperymentalnych pożądane jest wygładzenie funkcji. Aproksymacja zależności eksperymentalnych metodą najmniejszych kwadratów opiera się na wymogu minimalizacji błędu średniokwadratowego

Współczynniki wielomianu aproksymującego wyznacza się rozwiązując układ równań liniowych m+1, tzw. równania „normalne”, k=0,1,…,m

Oprócz wielomianów algebraicznych do aproksymacji funkcji powszechnie stosuje się wielomiany trygonometryczne

(patrz „numeryczna analiza harmonicznych”).

Splajny są skutecznym sposobem aproksymacji funkcji. Splajn wymaga, aby jego wartości i pochodne w punktach węzłowych pokrywały się z funkcją interpolowaną f(x) i jej pochodnymi do pewnego rzędu. Jednak konstrukcja splajnów w niektórych przypadkach wymaga znacznych kosztów obliczeniowych.

1 | | | | | | | | | | | |

Niech w wyniku pomiarów podczas eksperymentu otrzymamy tabelaryczne przypisanie określonej funkcji f(x), wyrażający związek pomiędzy dwoma parametrami geograficznymi:

X	x 1	x 2	…	x rz
k(x)	y 1	o 2	…	y n

Można oczywiście znaleźć wzór, który analitycznie wyrazi tę zależność, stosując metodę interpolacji. Jednak zbieżność wartości otrzymanej specyfikacji analitycznej funkcji w węzłach interpolacji z dostępnymi danymi empirycznymi często nie musi oznaczać zbieżności zachowania się funkcji pierwotnej i interpolującej w całym przedziale obserwacji. Ponadto tabelaryczną zależność wskaźników geograficznych uzyskuje się zawsze w wyniku pomiarów różnymi przyrządami, które mają pewien i nie zawsze wystarczająco mały błąd pomiaru. Wymóg dokładnej zbieżności wartości funkcji aproksymującej i aproksymującej w węzłach jest tym bardziej nieuzasadniony, jeśli wartości funkcji f(x), te uzyskane w wyniku pomiarów same w sobie są przybliżone.

Problem aproksymacji funkcji jednej zmiennej od samego początku koniecznie uwzględnia zachowanie funkcji pierwotnej w całym przedziale obserwacji. Sformułowanie problemu jest następujące. Funkcjonować y= f(x) podane w tabeli (1). Należy znaleźć funkcję danego typu:

czyli w punktach x 1 , x 2 , …, x rz przyjmuje wartości możliwie najbliższe wartościom tabelarycznym y 1, y 2, …, y n.

W praktyce typ funkcji aproksymującej najczęściej określa się poprzez porównanie rodzaju w przybliżeniu skonstruowanego wykresu funkcji y= f(x) z wykresami znanych badaczowi funkcji, określonych analitycznie (najczęściej funkcje elementarne, o prostym wyglądzie). Mianowicie, zgodnie z tabelą (1) tworzony jest wykres punktowy f(x), następnie rysowana jest gładka krzywa, najlepiej jak to możliwe odzwierciedlająca charakter położenia punktów. Na podstawie otrzymanej w ten sposób krzywej ustala się postać funkcji aproksymującej na poziomie jakościowym.

Rozważ rysunek 6.

Rysunek 6 przedstawia trzy sytuacje:

• Na wykresie (a) zależność X I Na zbliżony do liniowego; linia prosta przebiega tu blisko punktów obserwacyjnych, a te odchylają się od niej jedynie w wyniku stosunkowo niewielkich wpływów losowych.
• Wykres (b) przedstawia rzeczywistą zależność pomiędzy wielkościami X I Na jest opisana funkcją nieliniową i niezależnie od tego, jaką prostą narysujemy, odchylenie punktów obserwacyjnych od niej będzie znaczące i nieprzypadkowe. Jednocześnie narysowana gałąź paraboli dość dobrze oddaje charakter zależności między wielkościami.
• Na wykresie (c) widać wyraźną zależność pomiędzy zmiennymi X I Na nieobecny; niezależnie od tego, jaką formułę połączenia wybierzemy, wyniki jej parametryzacji będą nieskuteczne. W szczególności obie wybrane linie proste są równie złe do wyciągania wniosków na temat oczekiwanych wartości zmiennej Na według zmiennych wartości X.

Należy zauważyć, że rzadko obserwuje się ścisłą zależność funkcjonalną tabeli danych początkowych, ponieważ każda z wchodzących w nią wielkości może zależeć od wielu czynników losowych. Jednakże wzór (2) (nazywa się go wzorem empirycznym lub równaniem regresji Na NA X) jest interesujące, ponieważ pozwala znaleźć wartości funkcji F dla wartości nietabelarycznych X, „wygładzanie” wyników pomiarów wielkości Na, tj. w całym zakresie zmian X. O uzasadnieniu takiego podejścia ostatecznie decyduje praktyczna użyteczność otrzymanej formuły.

Poprzez istniejącą „chmurę” punktów zawsze można spróbować wyprowadzić linię ustalonego typu, która będzie w pewnym sensie najlepsza spośród wszystkich linii danego typu, czyli „najbliżej” punktów obserwacyjnych w ich całość. Aby to zrobić, najpierw definiujemy pojęcie bliskości linii do określonego zestawu punktów na płaszczyźnie. Miary takiej bliskości mogą się różnić. Jednakże każdy rozsądny pomiar musi oczywiście być powiązany z odległością punktów obserwacyjnych od danej linii (podaną równaniem y=F(x)).

Załóżmy, że funkcja aproksymująca F(x) w punktach x 1, x 2, ..., x n materiał y 1 , y 2 , ..., y N. Często jako kryterium bliskości stosuje się minimalną sumę kwadratów różnic między obserwacjami zmiennej zależnej. tak, ja oraz wartości teoretyczne obliczone za pomocą równania regresji y I. Tutaj się tak uważa tak, ja I x ja- znane dane obserwacyjne, oraz F- równanie prostej regresji o nieznanych parametrach (wzory do ich obliczania zostaną podane poniżej). Nazywa się metodę szacowania parametrów funkcji aproksymującej, która minimalizuje sumę kwadratów odchyleń obserwacji zmiennej zależnej od wartości pożądanej funkcji metoda najmniej kwadraty (LS) Lub Metoda najmniejszych kwadratów (LS).

Zatem problem aproksymacji funkcji F można teraz sformułować następująco: dla funkcji F, podane w tabeli (1), znajdź funkcję F określonego typu, tak aby suma kwadratów Ф była najmniejsza.

Rozważmy metodę znajdowania funkcji aproksymującej w postaci ogólnej na przykładzie funkcji aproksymującej z trzema parametrami:

(3)

Pozwalać F(x ja, za, b, c) = y ja, i=1, 2, ..., n. Suma kwadratów różnic odpowiednich wartości F I F będzie wyglądać jak:

Suma ta jest funkcją Ф (a, b, c) trzy zmienne (parametry a, b I C). Zadanie sprowadza się do znalezienia jego minimum. Korzystamy z warunku koniecznego dla ekstremum:

Otrzymujemy układ wyznaczania nieznanych parametrów a, b, c.

(5)

Po rozwiązaniu tego układu trzech równań z trzema niewiadomymi dotyczącymi parametrów a, b, c, otrzymamy konkretną postać pożądanej funkcji F(x, a, b, c). Jak widać z rozpatrywanego przykładu, zmiana liczby parametrów nie będzie prowadzić do zniekształcenia istoty samego podejścia, a jedynie wyrazi się zmianą liczby równań w układzie (5).

Naturalne jest oczekiwanie, że wartości znalezionej funkcji F(x, a, b, c) w punktach x 1, x 2, ..., x n, będą się różnić od wartości z tabeli y 1 , y 2 , ..., y n. Wartości różnicowe y i -F(x ja, a, b, c)=e ja (i=1, 2, ..., n) nazywane są odchyleniami wartości mierzonych y od obliczonych według wzoru (3). Dla znalezionego wzoru empirycznego (2) zgodnie z oryginalną tabelą (1) można zatem znaleźć

suma kwadratów odchyleń, która zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów dla danego typu funkcji aproksymującej (i znalezionych wartości parametrów) powinna być najmniejsza. Z dwóch różnych przybliżeń tej samej funkcji tabelarycznej, stosując metodę najmniejszych kwadratów, za najlepsze należy uznać to, dla którego suma (4) ma najmniejszą wartość.

W praktyce eksperymentalnej jako funkcje aproksymujące w zależności od charakteru wykresu punktowego F Często stosuje się funkcje aproksymujące z dwoma parametrami:

Oczywiście po ustaleniu rodzaju funkcji aproksymującej zadanie ogranicza się jedynie do znalezienia wartości parametrów.

Rozważmy najczęstsze zależności empiryczne w badaniach praktycznych.

3.3.1. Funkcja liniowa (regresja liniowa). Punktem wyjścia analizy zależności jest zwykle oszacowanie liniowej zależności zmiennych. Należy jednak wziąć pod uwagę, że „najlepsza” prosta metodą najmniejszych kwadratów zawsze istnieje, jednak nawet najlepsza nie zawsze jest wystarczająco dobra. Jeśli w rzeczywistości uzależnienie y=f(x) jest kwadratowa, to żadna funkcja liniowa nie jest w stanie jej odpowiednio opisać, chociaż wśród wszystkich takich funkcji z pewnością znajdzie się „najlepsza”. Jeśli wartości X I Na nie są w ogóle powiązane, zawsze możemy znaleźć „najlepszą” funkcję liniową y=topór+b dla danego zbioru obserwacji, ale w tym przypadku konkretnych wartości A I B są określane jedynie na podstawie przypadkowych odchyleń zmiennych i same w sobie będą się znacznie różnić dla różnych próbek z tej samej populacji.

Rozważmy teraz problem estymacji współczynników regresji liniowej w sposób bardziej formalny. Załóżmy, że związek pomiędzy X I y jest liniowa i pożądanej funkcji aproksymującej będziemy szukać w postaci:

Znajdźmy pochodne cząstkowe po parametrach:

Podstawmy otrzymane zależności do układu postaci (5):

lub dzieląc każde równanie przez n:

Wprowadźmy następującą notację:

(7)

Wtedy ostatni system będzie wyglądał następująco:

(8)

Współczynniki tego układu M x , M y , M xy , M x 2- liczby, które w każdym konkretnym zadaniu aproksymacyjnym można łatwo obliczyć za pomocą wzorów (7), gdzie x ja, y i- wartości z tabeli (1). Po rozwiązaniu układu (8) otrzymujemy wartości parametrów A I B, a co za tym idzie, specyficzna postać funkcji liniowej (6).

Warunkiem koniecznym wyboru funkcji liniowej jako pożądanego wzoru empirycznego jest zależność:

3.3.2. Funkcja kwadratowa (regresja kwadratowa). Będziemy szukać funkcji aproksymującej w postaci trójmianu kwadratowego:

Znajdowanie pochodnych cząstkowych:

Stwórzmy układ postaci (5):

Po prostych przekształceniach otrzymujemy układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi a, b, c. Współczynniki układu, podobnie jak w przypadku funkcji liniowej, wyrażane są jedynie poprzez znane dane z tabeli (1):

(10)

Stosowana jest tu również notacja (7).

Rozwiązanie układu (10) podaje wartość parametrów a, b I Z dla funkcji aproksymującej (9).

Regresja kwadratowa jest stosowana w przypadku wszystkich wyrażeń postaci r 2 -2 lata 1 + r 0 , r 3 -2 r 2 + r 1 , r 4 -2 r 3 + r 2 itp. niewiele się od siebie różnią.

3.3.3. Funkcja potęgowa (regresja geometryczna) Znajdźmy teraz funkcję aproksymującą w postaci:

(11)

Zakładając, że w oryginalnej tabeli (1) wartości argumentu i wartości funkcji są dodatnie, przyjmujemy logarytm równości (11) pod warunkiem a>0:

Ponieważ funkcja F jest przybliżeniem funkcji F, funkcja lnF będzie przybliżeniem funkcji lnf. Wprowadźmy nową zmienną u=lnx; wówczas, jak wynika z (12), lnF będzie funkcją ty: Ф(u).

Oznaczmy

Teraz równość (12) przyjmuje postać:

te. problem sprowadzał się do znalezienia funkcji aproksymującej w postaci liniowej. W praktyce, aby znaleźć pożądaną funkcję aproksymującą w postaci funkcji potęgowej (przy założeniach przyjętych powyżej), należy wykonać następujące czynności:

1. korzystając z tej tabeli (1) utwórz nową tabelę, biorąc logarytmy wartości X I y w tabeli źródłowej;

2. użyj nowej tabeli, aby znaleźć parametry A I W funkcja aproksymująca postaci (14);

3. korzystając z notacji (13), znajdź wartości parametrów A I M i podstaw je do wyrażenia (11).

Warunkiem koniecznym wyboru funkcji potęgowej jako pożądanego wzoru empirycznego jest zależność:

3.3.4. Funkcja wykładnicza . Niech oryginalna tabela (1) będzie taka, że ​​warto szukać funkcji aproksymującej w postaci funkcji wykładniczej:

Weźmy logarytm równości (15):

(16)

Przyjmując zapis (13) zapisujemy (16) w postaci:

(17)

Zatem, aby znaleźć funkcję aproksymującą w postaci (15), należy logarytmować wartości funkcji z oryginalnej tabeli (1) i rozważając je razem z pierwotnymi wartościami argumentu, skonstruować funkcję aproksymującą formularza (17) dla nowej tabeli. Następnie zgodnie z zapisem (13) pozostaje uzyskać wartości poszukiwanych parametrów A I B i podstaw je do wzoru (15).

Warunkiem koniecznym wyboru funkcji wykładniczej jako pożądanego wzoru empirycznego jest zależność:

.

3.3.5. Ułamkowa funkcja liniowa. Będziemy szukać funkcji aproksymującej w postaci:

(18)

Równość (18) przepisujemy następująco:

Z ostatniej równości wynika, że ​​należy znaleźć wartości parametrów A I B dla danej tabeli (1) należy utworzyć nową tabelę, w której wartości argumentów pozostają takie same, a wartości funkcji zastępowane są liczbami odwrotnymi, a następnie dla otrzymanej tabeli znaleźć przybliżenie funkcja formy topór+b. Znaleziono wartości parametrów A I B podstaw do wzoru (18).

Warunkiem koniecznym wyboru ułamkowej funkcji liniowej jako pożądanego wzoru empirycznego jest zależność:

.

3.3.6. Funkcja logarytmiczna. Niech funkcja aproksymująca ma postać:

Łatwo zauważyć, że aby przejść do funkcji liniowej wystarczy dokonać podstawienia lnx=ty. Wynika z tego, aby znaleźć wartości A I B musisz logarytmować wartości argumentu w oryginalnej tabeli (1) i biorąc pod uwagę uzyskane wartości w połączeniu z pierwotnymi wartościami funkcji, znajdź funkcję aproksymującą w postaci liniowej dla otrzymaną w ten sposób nową tabelę. Szanse A I B podstaw znalezioną funkcję do wzoru (19).

Warunkiem koniecznym wyboru funkcji logarytmicznej jako pożądanego wzoru empirycznego jest zależność:

.

3.3.7. Hiperbola. Jeżeli wykres punktowy skonstruowany z tabeli (1) daje gałąź hiperboli, to funkcji aproksymującej można szukać w postaci.