Svešu sakņu parādīšanās iemesli, risinot vienādojumus. Seminārs "trigonometrisko vienādojumu risināšana". Ekvivalentās vienādojumu transformācijas

Trigonometrisko vienādojumu tēma sākas ar skolas lekciju, kas ir strukturēta heiristiskas sarunas veidā. Lekcijā tiek apspriests teorētiskais materiāls un piemēri visu tipisko problēmu risināšanai pēc plāna:

Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi.
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
Homogēni vienādojumi.

Turpmākajās nodarbībās sākas patstāvīga prasmju pilnveidošana, kuras pamatā ir skolotāja un skolēna kopīgās darbības principa pielietošana. Pirmkārt, tiek izvirzīti mērķi studentiem, t.i. tiek noteikts, kurš vēlas zināt ne vairāk par to, ko prasa valsts standarts, un kurš ir gatavs darīt vairāk.

Galīgā diagnoze tiek veidota, ņemot vērā līmeņu diferenciāciju, kas ļauj studentiem apzināti noteikt minimālās zināšanas, kas nepieciešamas, lai saņemtu atzīmi “3”. Pamatojoties uz to, tiek atlasīti daudzlīmeņu materiāli, lai diagnosticētu studentu zināšanas. Šāds darbs ļauj veidot individuālu pieeju skolēniem, iekļaujot ikvienu apzinātās mācību aktivitātēs, attīstot pašorganizācijas un pašmācības prasmes un nodrošinot pāreju uz aktīvu, patstāvīgu domāšanu.

Seminārs tiek vadīts pēc trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatiemaņu praktizēšanas. Vairākas nodarbības pirms semināra studentiem tiek uzdoti jautājumi, kas tiks apspriesti semināra laikā.

Seminārs sastāv no trim daļām.

1. Ievaddaļa aptver visu teorētisko materiālu, ieskaitot ievadu problēmām, kas radīsies, risinot sarežģītus vienādojumus.

2. Otrajā daļā apskatīts formas vienādojumu risinājums:

un cosx + bsinx = c.
a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
vienādojumi atrisināmi, samazinot pakāpi.

Šajos vienādojumos tiek izmantota universālā aizstāšana, pakāpes samazināšanas formulas un palīgargumentu metode.

3. Trešajā daļā aplūkotas sakņu zaudēšanas un svešo sakņu iegūšanas problēmas. Parāda, kā atlasīt saknes.

Skolēni strādā grupās. Lai atrisinātu piemērus, tiek pieaicināti labi apmācīti puiši, kuri var parādīt un izskaidrot materiālu.

Seminārs paredzēts labi sagatavotam studentam, jo... tajā ir aplūkoti jautājumi, kas nedaudz pārsniedz programmas materiāla darbības jomu. Tas ietver sarežģītākas formas vienādojumus un jo īpaši pievēršas problēmām, kas rodas, risinot sarežģītus trigonometriskos vienādojumus.

Seminārs notika 10.-11.klašu skolēniem. Katram skolēnam bija iespēja paplašināt un padziļināt zināšanas par šo tēmu, salīdzināt savu zināšanu līmeni ne tikai ar prasībām skolas absolventam, bet arī ar prasībām, kas tiek izvirzītas V.U.Z.

SEMINĀRS

Temats:"Trigonometrisko vienādojumu risināšana"

Mērķi:

Vispārināt zināšanas par visu veidu trigonometrisko vienādojumu risināšanu.
Koncentrēties uz problēmām: sakņu zudums; svešas saknes; saknes atlase.

NODARBĪBU LAIKĀ.

I. Ievaddaļa

1. Trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes

Faktorizācija.
Jauna mainīgā lieluma ieviešana.
Funkcionālā grafika metode.

2. Daži trigonometrisko vienādojumu veidi.

Vienādojumi, kas reducējas uz kvadrātvienādojumiem attiecībā uz cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Tie tiek atrisināti, ieviešot jaunu mainīgo.

Pirmās un otrās pakāpes homogēnie vienādojumi

Pirmās pakāpes vienādojums: Asinx + Bcosx = 0 dalot ar cos x, iegūstam Atg x + B = 0

Otrās pakāpes vienādojums: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 dalot ar cos 2 x, mēs iegūstam Atg 2 x + Btgx + C = 0

Tie tiek atrisināti, izmantojot faktorizāciju un ieviešot jaunu mainīgo.

Piemēro visas metodes.

Pazemināt:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Atrisināts ar faktorizācijas metodi.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

Formas vienādojums: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Reducēts līdz kvadrātam attiecībā pret t = sinx + cosx; sin2x = t 2–1.

3. Formulas.

x + 2 n; Nepieciešama pārbaude!

Samazinoša jauda: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; grēks 2 x = (1 – cos 2x): 2
Papildargumentu metode.

Aizstāsim Acosx + Bsinx ar Csin (x + ), kur sin = a/C; cos=v/c;

– palīgarguments.

4. Noteikumi.

Ja redzat kvadrātu, pazeminiet grādu.
Ja redzat gabalu, izveidojiet summu.
Ja redzat summu, dariet darbu.

5. Sakņu zudums, papildu saknes.

Sakņu zudums: dala ar g(x); bīstamas formulas (universāla aizstāšana). Ar šīm darbībām mēs sašaurinām definīcijas jomu.

Papildu saknes: paceltas līdz vienmērīgai jaudai; reiziniet ar g(x) (atbrīvojieties no saucēja). Ar šīm darbībām mēs paplašinām definīcijas jomu.

II. Trigonometrisko vienādojumu piemēri

1. Formas vienādojumi Asinx + Bcosx = C

1) Universāla aizstāšana.O.D.Z. x – jebkurš.

3 grēks 2x + cos 2x + 1 = 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

iedegums x = –1/3, x = arctāns (–1/3) + k, k Z.

Pārbaude: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Ir vienādojuma sakne.

Atbilde: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Funkcionālā grafika metode. O.D.Z. x – jebkura.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Atzīmēsim funkcijas: y = sinx, y = cosx + 1.

Atbilde: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Papildargumenta ievads. O.D.Z.: x – jebkurš.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, jo (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, tad pastāv tāds, ka grēks = 8/17,

cos = 15/17, kas nozīmē sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Atbilde: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Pasūtījuma samazināšana: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). grēks 2 3x + grēks 2 4x + grēks 2 6x + grēks 2 7x = 2. O.D.Z.: x – jebkurš.

1 - cos 6x + 1 - cos 8x + 1 - cos 12x + 1 - cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x (cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Atbilde: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Plkst

k = 1 un m = 0
k = 4 un m = 1.

sērijas ir vienādas.

3. Samazināšana līdz viendabīgumam. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – jebkurš.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x – 5 sin 2 x - 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) nevar dalīt ar cos 2 x, jo mēs zaudējam saknes.
cos 2 x = 0 apmierina vienādojumu.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Atbilde: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Formas vienādojums: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – jebkurš.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5 t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Atbilde: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorizācija.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2) (cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, bez saknēm.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Atbilde: x = arktāns(1/2) + n, n Z.

III. Problēmas, kas rodas, risinot trigonometriskos vienādojumus

1. Sakņu zudums: dala ar g(x); Mēs izmantojam bīstamas formulas.

1) Atrodiet kļūdu.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formula.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 dalīt ar 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Zaudētās saknes sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Pareizs risinājums: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

grēks 2 x/2 = 0
x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. Svešas saknes: atbrīvojamies no saucēja; paaugstināt līdz vienmērīgai jaudai.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3
1. n = 0
grēks 2/3 = 3/2
neapmierina. O.D.Z.

2. n = 1
grēks 2 = 0
apmierināt O.D.Z.

3. n = 2
grēks 2/3 = –3/2
apmierināt O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z
1.k = 0
grēks 2/6 = 3/2
neapmierina O.D.Z.
2. k = 1
grēks 2*5/6 = –3/2
apmierināt O.D.Z.

Atbilde: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

1. §. ZAUDĒTĀS UN ATZĪTĀS SAKNES, RISINOT VIENĀDĀJUMUS (PĒC PIEMĒRIEM)

ATSAUCES MATERIĀLS

1. Divas teorēmas VII nodaļas 3. punktā runāja par to, kādas darbības vienādojumos nepārkāpj to līdzvērtību.

2. Tagad aplūkosim tādas darbības ar vienādojumiem, kas var radīt jaunu vienādojumu, kas nav vienāds ar sākotnējo vienādojumu. Vispārīgu apsvērumu vietā mēs aprobežosimies ar konkrētu piemēru apsvēršanu.

3. Piemērs 1. Ir dots vienādojums. Atvērsim šī vienādojuma iekavas, pārcelsim visus terminus uz kreiso pusi un atrisināsim kvadrātvienādojumu. Tās saknes ir

Samazinot abas vienādojuma puses ar kopīgu koeficientu, jūs iegūstat vienādojumu, kas nav vienāds ar sākotnējo, jo tam ir tikai viena sakne

Tādējādi, samazinot abas vienādojuma puses ar koeficientu, kas satur nezināmo, vienādojuma saknes var tikt zaudētas.

4. Piemērs 2. Šim vienādojumam ir viena sakne, un, atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam divas saknes.

Mēs redzam, ka jaunais vienādojums nav līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam. Sakne ir vienādojuma sakne, kas pēc abu pušu likšanas kvadrātā noved pie vienādojuma.

5. Svešas saknes var parādīties arī tad, ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas ar koeficientu, kas satur nezināmo, ja šis faktors izzūd reālajām x vērtībām.

Piemērs 3. Ja mēs reizinām abas vienādojuma puses ar to, mēs iegūstam jaunu vienādojumu, kas pēc termina pārsūtīšanas no labās puses uz kreiso un to faktorēšanas dod vienādojumu no jebkura

Sakne neapmierina vienādojumu, kuram ir tikai viena sakne

No šejienes mēs secinām: abas vienādojuma puses kvadrātā (vispārīgi līdz vienmērīgai pakāpei), kā arī reizinot ar koeficientu, kas satur nezināmo un izzūd pie reālajām nezināmā vērtībām, var parādīties svešas saknes.

Visi šeit izteiktie apsvērumi par vienādojuma svešu sakņu zudumu un parādīšanos vienlīdz attiecas uz jebkuriem vienādojumiem (algebriskajiem, trigonometriskajiem utt.).

6. Vienādojumu sauc par algebrisko, ja ar nezināmo veic tikai algebriskas darbības - saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, kāpināšanu un saknes ekstrakciju ar naturālo eksponentu (un šādu darbību skaits ir ierobežots).

Tā, piemēram, vienādojumi

ir algebriskas, un vienādojumi

ZOBI. Mugurkaulnieku zobi pēc uzbūves un attīstības ir pilnīgi līdzīgi plakoīdajām zvīņām, kas klāj visu haizivju zivju ādu. Tā kā viss mutes dobums un daļēji rīkles dobums ir izklāts ar ektodermālu epitēliju, tipisku plakoīdu... ...

PLAUŠU TUBERKULOZE- PLAUŠU TUBERKULOZE. Saturs: I. Patoloģiskā anatomija.........110 II. Plaušu tuberkulozes klasifikācija.... 124 III. Klīnika........................128 IV. Diagnostika.........................160 V. Prognoze.................. ........ 190 VI. Ārstēšana… Lielā medicīnas enciklopēdija

SAINDĒŠANĀS- SAINDĒŠANĀS. Saindēšanās nozīmē “dzīvnieku funkciju traucējumi”. organismi, ko izraisa eksogēnas vai endogēnas, ķīmiski vai fizikāli un ķīmiski aktīvas vielas, kuras kvalitātes, daudzuma vai koncentrācijas ziņā ir svešas... ... Lielā medicīnas enciklopēdija

Pākšaugu mezgliņu baktērijas- Paleontoloģiskie dati liecina, ka senākie pākšaugi, kuriem bija mezgliņi, bija daži Eucaesalpinioideae grupas augi. Mūsdienu pākšaugu sugās ir konstatēti mezgliņi... Bioloģiskā enciklopēdija

Animācijas seriāla "Luntik" epizožu saraksts- Šajā rakstā trūkst saišu uz informācijas avotiem. Informācijai jābūt pārbaudāmai, pretējā gadījumā to var apšaubīt un dzēst. Jūs varat... Wikipedia

AUGS UN VIDE- Auga, tāpat kā jebkura cita dzīva organisma, dzīve ir sarežģīts savstarpēji saistītu procesu kopums; Nozīmīgākā no tām, kā zināms, ir vielu apmaiņa ar vidi. Vide ir avots, no kura...... Bioloģiskā enciklopēdija

Seriāla "Luntik" epizožu saraksts- Galvenais raksts: Luntika un viņa draugu piedzīvojumi Saturs 1 Sēriju skaits 2 Animācijas seriāla Luntika un viņa draugi epizožu saraksts ... Wikipedia

Augļu koku slimības- Augļu kokiem, pateicoties pastāvīgām cilvēku rūpēm par tiem, būtu jāsasniedz daudz vecāks vecums nekā viņu nekoptajiem radiniekiem, ja ne daudzu pašas kultūras apstākļu, proti, mūsu izvirzīto prasību, pretdarbības... ...

Meža ciršana- Meža ciršanu jeb meža ienākumu ieguvi koksnes un mizas veidā var veikt divos veidos: izrokot vai izraujot veselus kokus, t.i., stumbrus kopā ar saknēm, vai atsevišķi, pa daļām, vispirms nocērtot vai izvācot. no...... Enciklopēdiskā vārdnīca F.A. Brokhauss un I.A. Efrons

Grosh- (poļu grosz, no vācu Groschen, no latīņu grossus (dēnārius) “biezais denārijs”) dažādu valstu un laiku monēta. Saturs 1 Pensa izskats ... Wikipedia

ASV monētas- 20 Saint Gaudens dolāri skaistākā un dārgākā ASV monēta ASV monētas ir ASV monētu kaltuvē kaltas monētas. Ražots kopš 1792... Wikipedia

Grāmatas

Galvenie matu izkrišanas cēloņi sievietēm, Aleksejs Mičmans, Sešas no desmit sievietēm kādā dzīves posmā cieš no matu izkrišanas. Matu izkrišana var rasties vairāku iemeslu dēļ, piemēram, iedzimtības, hormonālo izmaiņu dēļ... Kategorija:

Pēdējā nodarbībā vienādojumu risināšanai izmantojām trīs soļus.

Pirmais posms ir tehnisks. Izmantojot transformāciju ķēdi no sākotnējā vienādojuma, mēs nonākam pie diezgan vienkārša, kuru atrisinām un atrodam saknes.

Otrais posms ir risinājuma analīze. Mēs analizējam veiktās transformācijas un noskaidrojam, vai tās ir līdzvērtīgas.

Trešais posms ir pārbaude. Visu atrasto sakņu pārbaude, aizvietojot tās sākotnējā vienādojumā, ir obligāta, veicot transformācijas, kas var novest pie izrietoša vienādojuma

Vai vienmēr, risinot vienādojumu, ir jānošķir trīs posmi?

Protams, nē. Kā, piemēram, risinot šo vienādojumu. Ikdienā tos parasti neatšķir. Bet visi šie posmi ir “jāpatur prātā” un jāveic vienā vai otrā veidā. Ir obligāti jāanalizē transformāciju līdzvērtība. Un, ja analīze parāda, ka ir jāveic pārbaude, tad tā ir obligāta. Pretējā gadījumā vienādojumu nevar uzskatīt par pareizi atrisinātu.

Vai vienmēr ir iespējams pārbaudīt vienādojuma saknes tikai ar aizstāšanu?

Ja, risinot vienādojumu, tika izmantotas līdzvērtīgas transformācijas, tad pārbaude nav nepieciešama. Pārbaudot vienādojuma saknes, ļoti bieži tiek izmantots ODZ (pieļaujamo vērtību diapazons). Ja to ir grūti pārbaudīt, izmantojot ODZ, tad to veic, aizstājot to sākotnējā vienādojumā.

1. vingrinājums

Atrisiniet vienādojumu kvadrātsakne no divi x plus trīs ir vienāds ar vienu plus x.

Risinājums

Vienādojuma ODZ nosaka divu nevienādību sistēma: divi x plus trīs ir lielāks vai vienāds ar nulli un viens plus x ir lielāks vai vienāds ar nulli. Risinājums ir x lielāks vai vienāds ar mīnus viens.

Izlīdzināsim abas vienādojuma puses kvadrātā, pārvietosim vārdus no vienas vienādojuma puses uz otru, pievienosim līdzīgus vārdus un iegūsim kvadrātvienādojumu x kvadrātā ir vienāds ar diviem. Tās saknes ir

x pirmais, otrais ir vienāds ar plus vai mīnus kvadrātsakne no diviem.

Pārbaude

Vērtība x vispirms ir vienāda ar kvadrātsakni no diviem, kas ir vienādojuma sakne, jo tas ir iekļauts ODZ.
Vērtība x sekundes ir vienāda ar mīnus kvadrātsakni no diviem nav vienādojuma sakne, jo tas nav iekļauts DZ.
Pārbaudīsim, ka sakne x ir vienāda ar kvadrātsakni no diviem, aizstājot to sākotnējā vienādībā, mēs iegūstam

vienādība ir patiesa, kas nozīmē, ka x ir vienāds ar kvadrātsakni no diviem, ir vienādojuma sakne.

Atbilde: kvadrātsakne no diviem.

2. uzdevums

Atrisiniet vienādojumu kvadrātsakne no x mīnus astoņi ir vienāds ar pieci mīnus x.

Risinājums

Iracionāla vienādojuma ODZ nosaka divu nevienādību sistēma: x mīnus astoņi ir lielāka vai vienāda ar nulli un pieci mīnus x ir lielāka vai vienāda ar nulli. Atrisinot to, mēs atklājam, ka šai sistēmai nav risinājumu. Vienādojuma sakne nevar būt neviena no mainīgā x vērtībām.

Atbilde: nav sakņu.

3. uzdevums

Atrisiniet vienādojumu kvadrātsakne no x x kubs plus četri x mīnus viens mīnus astoņas kvadrātsaknes no x līdz ceturtajai pakāpei mīnus x ir vienāda ar kvadrātsakni no x kuba mīnus viens plus divas kvadrātsaknes no x.

Risinājums

ODZ atrašana šajā vienādojumā ir diezgan sarežģīta.

Veiksim transformāciju: kvadrātā abas šī vienādojuma puses,

Pārvietosim visus vārdus uz vienādojuma kreiso pusi un izveidosim līdzīgus vārdus, zem viena uzrakstīsim divas saknes, iegūstam līdzīgus radikāļus, izveidosim līdzīgus, dalīsim ar koeficientu mīnus 12 un faktorējam radikāļu izteiksmi, iegūstam vienādojumu divu faktoru reizinājuma forma, kas vienāda ar nulli. Atrisinot to, mēs atrodam saknes:

x pirmais ir vienāds ar vienu, x otrais ir vienāds ar nulli.

Tā kā mēs paaugstinājām abas vienādojuma puses līdz vienmērīgai pakāpei, sakņu pārbaude ir obligāta.

Pārbaude

Ja x ir vienāds ar vienu, tad

mēs iegūstam pareizo vienādību, kas nozīmē, ka x ir vienāds ar vienu, ir vienādojuma sakne.

Ja x ir nulle, tad kvadrātsakne no mīnus viens nav definēta.

Tas nozīmē, ka x vienāds ar nulli ir sveša sakne.

Atbilde: viens.

4. uzdevums

Atrisiniet vienādojuma logaritmu izteiksmei x kvadrātā plus pieci x plus divi bāze divi ir vienāds ar trīs.

Risinājums

Atradīsim ODZ vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs atrisinām nevienādību x kvadrātā plus pieci x plus divi virs nulles.

Nevienādību risinām, izmantojot intervāla metodi. Lai to izdarītu, mēs faktorizējam tā kreiso pusi, iepriekš atrisinot kvadrātvienādojumu, un, ņemot vērā nevienlīdzības zīmi, mēs nosakām ODZ. ODZ ir vienāds ar atvērto staru savienojumu no mīnus bezgalības līdz mīnus daļai pieci plus kvadrātsakne no septiņpadsmit, dalīta ar divi, un no mīnus daļdaļas pieci mīnus kvadrātsakne no septiņpadsmit, dalīta ar divi, līdz plus bezgalība.

Tagad sāksim atrast vienādojuma saknes. Ņemot vērā, ka trīs ir vienāds ar logaritmu no astoņiem pret bāzi divi, mēs rakstām vienādojumu šādi: izteiksmes x kvadrāts plus pieci x plus divi pret bāzi divi ir vienāds ar logaritmu astoņi pret bāzi divi. Potencēsim vienādojumu, iegūsim un atrisināsim kvadrātvienādojumu.

Diskriminants ir četrdesmit deviņi.

Aprēķiniet saknes:

X pirmais ir vienāds ar mīnus seši; x sekunde ir vienāda ar vienu.

Pārbaude

Mīnus seši pieder ODZ, viens pieder ODZ, kas nozīmē, ka abi skaitļi ir vienādojuma saknes.

Atbilde: mīnus seši; viens.

Pēdējā nodarbībā apskatījām jautājumu par svešu sakņu parādīšanos. Mēs varam tos atklāt, veicot verifikāciju. Vai, risinot vienādojumu, ir iespējams zaudēt saknes un kā to novērst?

Veicot tādas darbības ar vienādojumu, piemēram, pirmkārt, sadalot abas vienādojuma puses ar vienu un to pašu izteiksmi ax no x (izņemot gadījumus, kad ir droši zināms, ka ax no x nav vienāds ar nulli nevienam x no x vienādojuma definīcijas joma) ;

otrkārt, vienādojuma OD sašaurināšanās risināšanas procesa laikā var novest pie vienādojuma sakņu zaudēšanas.

Atcerieties!

Vienādojums, kas uzrakstīts kā

ef no x reizināts ar pelniem no x ir vienāds ar zhe no x reizināts ar pelniem no x tiek atrisināts šādi:

nepieciešams veikt koeficientu, izliekot kopējo koeficientu iekavās;

tad pielīdziniet katru koeficientu nullei, tādējādi iegūstot divus vienādojumus.

Mēs aprēķinām to saknes.

1. vingrinājums

Atrisiniet vienādojumu x kubs ir vienāds ar x.

Pirmais veids

Sadalīsim abas šī vienādojuma puses ar x, iegūstam x kvadrāts ir vienāds ar vienu, kam saknes x vispirms ir vienāds ar vienu,

x sekunde ir vienāda ar mīnus viens.

Otrais veids

X kubs ir vienāds ar X. Pārvietosim x uz vienādojuma kreiso pusi, izņemam x no iekavām un iegūstam: x reizināts ar x kvadrātā mīnus viens ir vienāds ar nulli.

Aprēķināsim tā saknes:

X pirmais ir vienāds ar nulli, x second ir vienāds ar vienu, x trešais ir vienāds ar mīnus viens.

Vienādojumam ir trīs saknes.

Atrisinot pirmo metodi, mēs zaudējām vienu sakni - x ir vienāds ar nulli.

Atbilde: mīnus viens; nulle; viens.

Atcerieties! Samazinot abas vienādojuma puses ar koeficientu, kas satur nezināmo, var tikt zaudētas saknes.

2. uzdevums

Atrisiniet vienādojumu: x decimāllogaritms kvadrātā ir vienāds ar divi.

Risinājums

Pirmais veids

Pēc logaritma definīcijas mēs iegūstam kvadrātvienādojumu x kvadrāts ir vienāds ar simtu.

Tās saknes: x vispirms ir vienāds ar desmit; X sekunde ir vienāda ar mīnus desmit.

Otrais veids

Pēc logaritmu īpašībām mums ir divi decimāllogaritmi x ir vienāds ar diviem.

Tās sakne - x ir vienāda ar desmit

Ar otro metodi sakne x ir vienāda ar mīnus desmit tika zaudēta. Un iemesls ir tas, ka viņi izmantoja nepareizu formulu, sašaurinot vienādojuma darbības jomu. Decimāllogaritma x kvadrātā izteiksme ir definēta visiem x, izņemot x, kas ir vienāda ar nulli. X decimāllogaritma izteiksme ir x lielāka par nulli. Pareizā decimāllogaritma x kvadrāta formula ir vienāda ar divu decimāllogaritmu moduli x.

Atcerieties! Atrisinot vienādojumu, saprātīgi izmantojiet pieejamās formulas.

Vienādojumu risināšanas pamatmetodes

Kāds ir vienādojuma risinājums?

Identiska transformācija. Pamata

identitātes transformāciju veidi.

Ārzemju sakne. Sakņu zudums.

Vienādojuma atrisināšana ir process, kas galvenokārt sastāv no dotā vienādojuma aizstāšanas ar citu vienādojumu, kas tam ir līdzvērtīgs . Šo nomaiņu saucidentiska transformācija . Galvenās identitātes transformācijas ir šādas:

Vienas izteiksmes aizstāšana ar citu, kas tai ir identiski vienāda. Piemēram, vienādojums (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 var aizstāt ar šādu ekvivalentu:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

Vienādojuma nosacījumu pārnešana no vienas puses uz otru ar apgrieztām zīmēm. Tātad, iepriekšējā vienādojumā mēs varam pārnest visus tā nosacījumus no labās puses uz kreiso ar zīmi “-”: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, pēc kura mēs iegūstam:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

Vienādojuma abu pušu reizināšana vai dalīšana ar vienu un to pašu izteiksmi (skaitli), kas nav nulle. Tas ir ļoti svarīgi, jojaunais vienādojums var nebūt līdzvērtīgs iepriekšējam, ja izteiksme, ar kuru mēs reizinām vai dalām, var būt vienāda ar nulli.

PIEMĒRS Vienādojumsx – 1 = 0 ir viena saknex = 1.

Reizinot abas puses arx – 3 , mēs iegūstam vienādojumu

( x – 1)( x – 3) = 0, kam ir divas saknes:x = 1 unx = 3.

Pēdējā vērtība nav dotā vienādojuma sakne

x – 1 = 0. Tas ir tā sauktaissveša sakne .

Un otrādi, sadalīšana var novest piesakņu zudums . Tātad

mūsu gadījumā, ja (x – 1 )( x – 3 ) = 0 ir oriģināls

vienādojums, tad saknex = 3 tiks zaudēti divīzijā

abas vienādojuma puses ieslēgtasx – 3 .

Pēdējā vienādojumā (2. punkts) visus tā nosacījumus varam dalīt ar 3 (nevis nulli!) un visbeidzot iegūt:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Šis vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam: