Trupmenų sudėjimas ir atėmimas duomenų bankas. Veiksmai su trupmenomis. Santrauka: bendra skaičiavimo schema

Veiksmai su trupmenomis.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Taigi, kas yra trupmenos, trupmenų rūšys, transformacijos – prisiminėme. Pereikime prie pagrindinės problemos.

Ką galite padaryti su trupmenomis? Taip, viskas taip pat, kaip ir su įprastais skaičiais. Sudėti, atimti, dauginti, padalyti.

Visi šie veiksmai su dešimtainis darbas su trupmenomis nesiskiria nuo darbo su sveikaisiais skaičiais. Tiesą sakant, tuo jie ir yra gerai, dešimtainiai. Vienintelis dalykas yra tai, kad reikia teisingai dėti kablelį.

Mišrūs skaičiai, kaip jau sakiau, yra mažai naudingi daugeliui veiksmų. Jas dar reikia paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tačiau veiksmai su paprastosios trupmenos jie bus gudresni. Ir daug svarbiau! Leiskite man jums priminti: visi veiksmai su trupmeninėmis išraiškomis su raidėmis, sinusais, nežinomaisiais ir pan., niekuo nesiskiria nuo veiksmų su paprastomis trupmenomis! Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis yra visos algebros pagrindas. Būtent dėl šios priežasties mes čia labai detaliai išanalizuosime visą šią aritmetiką.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas.

Kiekvienas gali pridėti (atimti) trupmenas su tais pačiais vardikliais (labai tikiuosi!). Na, priminsiu tiems, kurie visiškai užmiršta: pridedant (atimant) vardiklis nesikeičia. Skaitikliai sudedami (atimami), kad būtų gautas rezultato skaitiklis. Tipas:

Trumpai, bendrais bruožais:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tada, naudodami pagrindinę trupmenos savybę (čia ji vėl praverčia!), vardiklius padarome vienodus! Pavyzdžiui:

Čia turėjome padaryti trupmeną 4/10 iš trupmenos 2/5. Vien tam, kad vardikliai būtų vienodi. Leiskite man, tik tuo atveju, pažymėti, kad 2/5 ir 4/10 yra ta pati trupmena! Tik 2/5 mums nepatogūs, o 4/10 tikrai gerai.

Beje, tai yra bet kokių matematikos uždavinių sprendimo esmė. Kai mes iš nepatogus darome išraiškas tas pats, bet patogiau spręsti.

Kitas pavyzdys:

Situacija panaši. Čia mes gauname 48 iš 16. Paprasčiausiai dauginant iš 3. Viskas aišku. Bet mes susidūrėme su tokiu dalyku:

Kaip būti?! Sunku iš septynių surinkti devynetą! Bet mes protingi, žinome taisykles! Transformuokime kas trupmeną, kad vardikliai būtų vienodi. Tai vadinama „sumažinti iki bendro vardiklio“:

Oho! Iš kur aš sužinojau apie 63? Labai paprasta! 63 yra skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš 7 ir 9. Tokį skaičių visada galima gauti padauginus vardiklius. Pavyzdžiui, jei skaičių padauginsime iš 7, rezultatas tikrai bus dalinamas iš 7!

Jei reikia pridėti (atimti) kelias trupmenas, nereikia to daryti poromis, žingsnis po žingsnio. Jums tereikia rasti visoms trupmenoms bendrą vardiklį ir kiekvieną trupmeną sumažinti iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui:

O koks bus bendras vardiklis? Žinoma, galite padauginti iš 2, 4, 8 ir 16. Gauname 1024. Košmaras. Lengviau suprasti, kad skaičius 16 puikiai dalijasi iš 2, 4 ir 8. Todėl iš šių skaičių nesunku gauti 16. Šis skaičius bus bendras vardiklis. Paverskime 1/2 į 8/16, 3/4 į 12/16 ir t.t.

Beje, jei imsite 1024 kaip bendrą vardiklį, viskas susitvarkys, galų gale viskas sumažės. Tačiau ne visi pasieks šį tikslą, dėl skaičiavimų...

Užbaikite pavyzdį patys. Ne koks logaritmas... Turėtų būti 29/16.

Taigi, tikiuosi, trupmenų pridėjimas (atėmimas) aiškus? Žinoma, lengviau dirbti sutrumpinta versija, su papildomais daugikliais. Bet šis malonumas prieinamas tiems, kurie sąžiningai dirbo žemesnėse klasėse... Ir nieko nepamiršo.

Ir dabar mes atliksime tuos pačius veiksmus, bet ne su trupmenomis, o su trupmeninės išraiškos. Čia bus atrastas naujas grėblys, taip...

Taigi, turime pridėti dvi trupmenines išraiškas:

Reikia, kad vardikliai būtų vienodi. Ir tik su pagalba daugyba! Tai lemia pagrindinė trupmenos savybė. Todėl aš negaliu pridėti vieneto prie X pirmoje vardiklio trupmenoje. (tai būtų puiku!). Bet jei padauginsite vardiklius, pamatysite, viskas auga kartu! Taigi užrašome trupmenos eilutę, viršuje paliekame tuščią vietą, tada pridedame, o žemiau užrašome vardklių sandaugą, kad nepamirštume:

Ir, žinoma, mes nieko nedauginame dešinėje pusėje, neatidarome skliaustų! Ir dabar, žiūrėdami į bendrą vardiklį dešinėje, suprantame: norint gauti vardiklį x(x+1) pirmoje trupmenoje, reikia šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš (x+1) . O antroje trupmenoje - iki x. Štai ką jūs gaunate:

Pastaba! Štai skliaustai! Tai grėblys, ant kurio užlipa daugelis žmonių. Žinoma, ne skliausteliuose, o jų nebuvime. Skliaustai atsiranda, nes dauginamės visi skaitiklis ir visi vardiklis! Ir ne jų atskiros dalys...

Dešinės pusės skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, viskas kaip skaitinėse trupmenose, tada dešinės pusės skaitiklyje skliaustus atverčiame, t.y. Viską padauginame ir duodame panašius. Nereikia vardikliuose atversti skliaustų ar nieko dauginti! Apskritai vardikliuose (bet kokiuose) produktas visada yra malonesnis! Mes gauname:

Taigi mes gavome atsakymą. Procesas atrodo ilgas ir sunkus, bet tai priklauso nuo praktikos. Kai išspręsite pavyzdžius, priprasite, viskas taps paprasta. Tie, kurie laiku įvaldė trupmenas, visas šias operacijas atlieka viena kaire ranka, automatiškai!

Ir dar viena pastaba. Daugelis protingai elgiasi su trupmenomis, bet įstringa ties pavyzdžiais visas numeriai. Patinka: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kur tvirtinti dviejų dalių? Nereikia niekur tvirtinti, reikia padaryti trupmeną iš dviejų. Tai nėra lengva, bet labai paprasta! 2 = 2/1. Kaip šitas. Bet koks sveikas skaičius gali būti parašytas trupmena. Skaitiklis yra pats skaičius, vardiklis yra vienas. 7 yra 7/1, 3 yra 3/1 ir pan. Tas pats ir su raidėmis. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 ir kt. Ir tada mes dirbame su šiomis trupmenomis pagal visas taisykles.

Na, o trupmenų sudėjimo ir atėmimo žinios buvo atnaujintos. Buvo pakartotas trupmenų konvertavimas iš vienos rūšies į kitą. Taip pat galite pasitikrinti. Ar šiek tiek sutvarkysime?)

Apskaičiuoti:

Atsakymai (netvarkingai):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Trupmenų daugyba/dalyba – kitoje pamokoje. Taip pat yra užduočių visoms operacijoms su trupmenomis.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Klasė: 5

Pamokos pristatymas

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tikslai:

Švietimas:

sisteminti žinias apie paprastąsias trupmenas;
pakartokite trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles;
pakartokite trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisykles.

Švietimas:

ugdyti dėmesį, kalbą, atmintį, loginį mąstymą, savarankiškumą.

Švietimas:

ugdyti norą pasiekti tikslą; pasitikėjimas savimi, gebėjimas dirbti komandoje.

Žinoti: trupmenų su panašiais ir nepanašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklės.

Pamokos tipas:žinių apibendrinimo ir sisteminimo pamoka.

Įranga: ekranas, multimedija, pristatymas „Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas“ (1 priedas), paprastosios trupmenos modelis (1 pav.); forma su testu, atsakymų lentelė (2 pav.), jaustukai refleksijai (3 pav.), nupiešta eglutė (4 pav.).

Nr.	Pamokos etapas	Laikas	Scenos užduotys
1.	Laiko organizavimas.	3 min.	Paruoškite mokinius pamokai.
2.	Žinių atnaujinimas. Uždengtos medžiagos kartojimas.	10 min.	Peržiūrėkite tinkamas ir netinkamas trupmenas, sumažinkite trupmenas, perkelkite trupmenas į naują vardiklį, paryškinkite visą dalį.
3.	Taikykite bendrųjų trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles.	10 min.	Peržiūrėkite bendrųjų trupmenų pridėjimą ir atėmimą su panašiais vardikliais.
4.	Kūno kultūros minutė.	3 min.	Sumažinkite vaiko nuovargį, aktyvų poilsį ir padidinkite mokinių protinę veiklą.
5.	Paprastųjų trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklių taikymas.	13 min.	Peržiūrėkite bendrųjų trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimą ir atėmimą.
6.	Namų darbai.	2 minutės.	Namų darbų instrukcija.
7.	Pamokos santrauka.	4 min.	Apibendrinant. Įvertinimas. Atspindys.

Per užsiėmimus

1). Laiko organizavimas.

- "Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas".

Pamokos tikslus ir uždavinius siūloma suformuluoti diskusijos metu (mokytojas gali užrašyti lentoje);

2). Žinių atnaujinimas. Uždengtos medžiagos kartojimas. (Skaidra Nr. 1).

a) Šiandien pamoką pradėsime aukcionu. Vienintelė galima partija yra „paprastoji trupmena“ (1 paveikslas). Prisiminkime, ką žinome apie paprastas trupmenas:

Skaitiklis;

Vardiklis;

Trupmenų juosta – padalijimas;

Įjungta b daliname dalis, paimame A tokios dalys;

Teisingai;

Neteisinga;

Pasirinkite visą dalį;

Sumažinti;

Sumažinti iki naujo vardiklio;

Pavyzdžiai.

Kas paskutinį kartą kalbėjo apie bendrąją trupmeną, gauna bendrosios trupmenos modelį.

b) Įtvirtinkime savo žinias laikydami testą(atsakymo forma, užduotis Nr. 1, skaidrė Nr. 2).

TESTAS

1. Raskite tinkamą trupmeną:

A); B); IN) .

2. Raskite netinkamą trupmeną:

A); B); IN) .

3. Sumažinkite trupmeną:

A); B); IN) .

4. Sumažinkite trupmeną iki vardiklio 28:

A); B); IN) .

5. Pasirinkite visą dalį:

A); B); IN) .

Atsakymai įrašomi į lentelę.

1 2 3 4 5

Apibendrinti:

5 "+" ženklas 5,
4 "+" ženklas 4,
3 „+“ ženklas 3.

3).Paprastųjų trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisyklių taikymas.

Kokias paprastas trupmenas galime pridėti?

Trupmenos su panašiais ir nepanašiais vardikliais (3 skaidrė).

Pakartokime sudėjus trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Norėdami pridėti dvi trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą.

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti minuend skaitiklį iš minuend skaitiklio ir vardiklį palikti nepakeistą.

Įtvirtinkime žinias praktikoje.

Mokinių prašoma žodžiu suskaičiuoti pavyzdžius ir surašyti atsakymus į 2 užduoties atsakymų lapą.

Keiskitės sąsiuviniais ir atlikite abipusius patikrinimus.

Apibendrinti:

9-8 "+" ženklas 5,
7-6 "+" ženklas 4,
5 "+" ženklas 3.

4). Kūno kultūros minutė.

5). Paprastųjų trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklių taikymas.

Pridėjome trupmenas su tais pačiais vardikliais. Ką reikia padaryti norint pridėti paprastąsias trupmenas su skirtingais vardikliais?(skaidr. numeris 4).

Norėdami pridėti ir atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, turite sutrumpinti trupmenas iki bendro vardiklio, ieškant papildomų faktorių. Sudėti ir atimti paprastąsias trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Pamokos turinys

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais

Yra du trupmenų pridėjimo tipai:

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Pirma, išmokime pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:

2 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Kai ateina užduoties pabaiga, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis yra lengvai izoliuojama - du padalinti iš dviejų, lygu vienas:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite vieną visą picą:

3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Vėlgi, sudedame skaitiklius ir vardiklį paliekame nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite picą:

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picų į picą ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:

Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti vardiklį nepakeistą;

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas, trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.

Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.

Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien apžvelgsime tik vieną iš jų, nes kiti metodai pradedantiesiems gali pasirodyti sudėtingi.

Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškoma abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio, kad būtų gautas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.

Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Sudėkime trupmenas ir

Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6

LCM (2 ir 3) = 6

Dabar grįžkime prie trupmenų ir . Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.

Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas daugiklis. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir užrašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.

Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas daugiklis. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, ant antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir užrašome papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Dabar viską paruošėme papildymui. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:

Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Tai užbaigia pavyzdį. Pasirodo pridėti.

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštadalį picos:

Trupmenų mažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tais pačiais picos gabalėliais. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrasis piešinys – trupmena (trys gabalai iš šešių). Pridėjus šiuos gabalus gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena netinkama, todėl paryškinome visą jos dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).

Atkreipkite dėmesį, kad šį pavyzdį aprašėme per daug išsamiai. Švietimo įstaigose taip smulkiai rašyti nėra įprasta. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume parašyti taip:

Tačiau yra ir kita medalio pusė. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda atsirasti tokių klausimų. „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.

Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:

Raskite trupmenų vardiklių LCM;
Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą jo dalį;

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę .

Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.

1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM

Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4

2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą

Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gauname antrą papildomą koeficientą 4. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar LCM padaliname iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. 12 padaliname iš 4, gauname 3. Gauname trečiąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome virš trečiosios trupmenos:

3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų

Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš jų papildomų koeficientų:

4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais

Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias trupmenas. Pridėkite:

Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.

5 veiksmas. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, paryškinkite visą jo dalį

Mūsų atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Turime pabrėžti visą jo dalį. Mes pabrėžiame:

Gavome atsakymą

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas

Yra du trupmenų atėmimo tipai:

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pirma, išmokime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, tačiau vardiklį palikite tą patį.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir palikti vardiklį nepakeistą. Padarykime tai:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:

Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:

Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pavyzdžiui, galite atimti trupmeną iš trupmenos, nes trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Bendras vardiklis randamas naudojant tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM dalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš pirmosios trupmenos. Panašiai LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš antrosios trupmenos.

Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Raskite posakio prasmę:

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12

LCM (3 ir 4) = 12

Dabar grįžkime prie trupmenų ir

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Virš pirmosios trupmenos parašykite ketvertą:

Tą patį darome su antrąja trupmena. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trejetą:

Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Gavome atsakymą

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei išpjausite picą iš picos, gausite picą

Tai yra išsami sprendimo versija. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:

Trupmenų mažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinus šias trupmenas iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):

Pirmoje nuotraukoje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalėliai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių iškirpę tris gabalus, gauname penkis gabalus iš dvylikos. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia turite jas sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Raskime šių trupmenų vardiklių LCM.

Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. 30 padaliname iš 10, gauname pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 30 iš 3, gausime antrą papildomą koeficientą 10. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Rašome virš trečiosios trupmenos:

Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.

Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:

Paaiškėjo, kad atsakymas yra įprasta trupmena, ir viskas, atrodo, mums tinka, bet tai yra pernelyg sudėtinga ir negražu. Turėtume tai padaryti paprasčiau. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią trupmeną.

Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (GCD) iš skaičių 20 ir 30.

Taigi, randame skaičių 20 ir 30 gcd:

Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš rasto gcd, tai yra iš 10

Gavome atsakymą

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus

Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus ir vardiklį palikti nepakeistą.

1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1

Įrašą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei picas valgote 1 kartą, gausite picas

Iš daugybos dėsnių žinome, kad sukeitus daugiklį ir koeficientą sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:

Šį žymėjimą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą dalį:

Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei paimsite 4 picas, gausite dvi visas picas

Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį, gausime išraišką . Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:

Skaičius, dauginamas iš trupmenos, ir trupmenos vardiklis išsprendžiami, jei jų bendras koeficientas yra didesnis už vienetą.

Pavyzdžiui, išraiška gali būti įvertinta dviem būdais.

Pirmas būdas. Padauginkite skaičių 4 iš trupmenos skaitiklio, o trupmenos vardiklį palikite nepakeistą:

Antras būdas. Keturi padauginami ir keturi trupmenos vardiklyje gali būti sumažinti. Šiuos ketvertus galima sumažinti 4, nes didžiausias bendras dviejų ketvertų daliklis yra pats ketvertas:

Gavome tą patį rezultatą 3. Sumažinus ketvertukus, jų vietoje formuojami nauji skaičiai: du vienetai. Tačiau padauginus vieną iš trijų, o po to padalijus iš vieno, tai nieko nekeičia. Todėl sprendimą galima parašyti trumpai:

Sumažinti galima net tada, kai nusprendėme naudoti pirmąjį metodą, tačiau skaičiaus 4 ir skaitiklio 3 dauginimo etape nusprendėme naudoti sumažinimą:

Bet, pavyzdžiui, išraišką galima apskaičiuoti tik pirmuoju būdu - padauginkite 7 iš trupmenos vardiklio ir palikite vardiklį nepakeistą:

Taip yra dėl to, kad skaičius 7 ir trupmenos vardiklis neturi didesnio nei vieneto bendro daliklio ir atitinkamai neatšaukia.

Kai kurie mokiniai klaidingai sutrumpina dauginamą skaičių ir trupmenos skaitiklį. Jūs negalite to padaryti. Pavyzdžiui, šis įrašas neteisingas:

Dalies sumažinimas reiškia, kad tiek skaitiklis, tiek vardiklis bus padalintas iš to paties skaičiaus. Esant išraiškai, dalyba atliekama tik skaitiklyje, nes rašyti tai yra tas pats, kas rašyti . Matome, kad dalyba atliekama tik skaitiklyje, o vardiklyje nedalijama.

Trupmenų dauginimas

Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei atsakymas pasirodo esąs netinkama trupmena, turite paryškinti visą jo dalį.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Gavome atsakymą. Patartina šią dalį sumažinti. Frakcija gali būti sumažinta 2. Tada galutinis tirpalas bus tokios formos:

Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:

Kaip paimti du trečdalius iš šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:

Ir paimkite du iš šių trijų dalių:

Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip atrodo pica padalinta į tris dalis:

Vienas šios picos gabalas ir du mūsų paimti gabalai bus vienodo dydžio:

Kitaip tariant, mes kalbame apie tokio paties dydžio picą. Todėl išraiškos vertė yra

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą dalį:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas pasirodė taisyklinga trupmena, bet būtų gerai, jei ji būtų sutrumpinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio skaičių 105 ir 450 bendrojo daliklio (GCD).

Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 gcd:

Dabar savo atsakymo skaitiklį ir vardiklį padalijame iš gcd, kurį dabar radome, tai yra iš 15

Sveikąjį skaičių pavaizduoti kaip trupmeną

Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Tai nepakeis penkių reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinome, yra lygi penkiems:

Abipusiai skaičiai

Dabar susipažinsime su labai įdomia matematikos tema. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.

Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša duoda vieną.

Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a skaičių 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:

Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.

Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, tai įmanoma. Įsivaizduokime penkis kaip trupmeną:

Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš pačios, tik aukštyn kojomis:

Kas bus dėl to? Jei ir toliau spręsime šį pavyzdį, gausime vieną:

Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 5 yra skaičius , nes padauginę 5 iš gausite vieną.

Skaičiaus atvirkštinę vertę taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.

Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.

Trupmenos dalijimas iš skaičiaus

Tarkime, kad turime pusę picos:

Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picos gaus kiekvienas žmogus?

Matyti, kad padalijus pusę picos liko du vienodi gabalai, kurių kiekvienas sudarė po picą. Taigi visi gauna picą.

Ši pamoka apims algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimą ir atėmimą. Mes jau žinome, kaip pridėti ir atimti bendrąsias trupmenas su panašiais vardikliais. Pasirodo, algebrinės trupmenos laikosi tų pačių taisyklių. Mokymasis dirbti su trupmenomis su panašiais vardikliais yra vienas iš kertinių akmenų mokantis dirbti su algebrinėmis trupmenomis. Visų pirma, supratę šią temą bus lengviau įsisavinti sudėtingesnę temą – sudėti ir atimti trupmenas su skirtingais vardikliais. Pamokos metu išnagrinėsime algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles, taip pat analizuosime keletą tipiškų pavyzdžių

Algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklė

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih trupmenos iš „vienas su tau -mi“ know-me-na-te-la-mi (ji sutampa su analogiška įprastų smūgių taisykle): Tai yra al-geb-ra-i-che-skih trupmenų sudėjimas arba skaičiavimas su vienas su tau know-me-on-the-la-mi būtina -ho-di-mo-sudaryti atitinkamą skaičių al-geb-ra-i-che-sum, o sign-me-na-tel palikti be jokių.

Šią taisyklę suprantame ir įprasto ven-draw, ir al-geb-ra-i-che-draw pavyzdžiu.

Paprastųjų trupmenų taisyklės taikymo pavyzdžiai

1 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas

Sudėkime trupmenų skaičių ir palikime ženklą tą patį. Po to išskaidome skaičių ir pasirašome į paprastus dauginius ir derinius. Gaukime: .

Pastaba: standartinė klaida, kuri leidžiama sprendžiant panašaus tipo pavyzdžius, skirta -klu-cha-et-sya tokiame galimame sprendime: . Tai didelė klaida, nes ženklas išlieka toks pat, koks buvo pradinėse trupmenose.

2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas

Šis niekuo nesiskiria nuo ankstesnio: .

Taisyklės algebrinėms trupmenoms taikymo pavyzdžiai

Nuo įprastų dro-beat'ų pereiname prie al-geb-ra-i-che-skim.

3 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas: kaip jau minėta aukščiau, al-geb-ra-i-che-frakcijų sudėtis niekuo nesiskiria nuo žodžio, kaip ir įprastų šūvių mūšiuose. Todėl sprendimo būdas yra tas pats: .

4 pavyzdys. Jūs esate trupmena: .

Sprendimas

You-chi-ta-nie iš al-geb-ra-i-che-skih trupmenų sudėjimo tik dėl to, kad skaičiuje pi-sy-va-et-sya skiriasi panaudotų trupmenų skaičius. Štai kodėl .

5 pavyzdys. Jūs esate trupmena: .

Sprendimas:.

6 pavyzdys. Supaprastinkite: .

Sprendimas:.

Taisyklės taikymo pavyzdžiai ir sumažinimas

Trupmenoje, kuri turi tą pačią reikšmę sudėties ar skaičiavimo rezultate, galimi deriniai nia. Be to, neturėtumėte pamiršti apie al-geb-ra-i-che-skih frakcijų ODZ.

7 pavyzdys. Supaprastinkite: .

Sprendimas:.

Kuriame. Apskritai, jei pradinių trupmenų ODZ sutampa su sumos ODZ, tada jo galima praleisti (juk trupmena yra atsakyme, taip pat nebus su atitinkamais reikšmingais pakeitimais). Bet jei naudojamų trupmenų ODZ ir atsakymas nesutampa, reikia nurodyti ODZ.

8 pavyzdys. Supaprastinkite: .

Sprendimas:. Tuo pačiu metu y (pradinių trupmenų ODZ nesutampa su rezultato ODZ).

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti ir perskaityti al-geb-ra-i-che trupmenas su skirtingomis know-me-on-the-la-mi, atliekame ana-lo -giyu su įprastomis-ven-ny trupmenomis ir perkeliame į al-geb -ra-i-che trupmenos.

Pažvelkime į paprasčiausią paprastųjų trupmenų pavyzdį.

1 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Prisiminkime trupmenų pridėjimo taisykles. Norėdami pradėti, trupmeną reikia perkelti į bendrą ženklą. Atlikdami paprastųjų trupmenų bendrojo ženklo vaidmenį, jūs veikiate mažiausias bendras kartotinis(NOK) pradinius ženklus.

Apibrėžimas

Mažiausias skaičius, kuris tuo pačiu metu yra padalintas į skaičius ir.

Norėdami rasti NOC, turite suskirstyti žinias į paprastus rinkinius ir tada pasirinkti viską, ko yra daug, kurie yra įtraukti į abiejų ženklų skirstymą.

; . Tada skaičių LCM turi sudaryti du du ir du trejetukai: .

Radus bendrąsias žinias, kiekvienai trupmenai reikia rasti pilną daugumos gyventoją (iš tikrųjų, iš tikrųjų, bendrąjį ženklą supilti ant atitinkamos trupmenos ženklo).

Tada kiekviena trupmena padauginama iš pusiau pilno koeficiento. Paimkime kelias trupmenas iš tų pačių, kurias žinote, sudėkite ir perskaitykite – nagrinėtas ankstesnėse pamokose.

Pavalgykime: .

Atsakymas:.

Dabar pažvelkime į al-geb-ra-i-che-frakcijų su skirtingais ženklais sudėtį. Dabar pažiūrėkime į trupmenas ir pažiūrėkime, ar yra skaičių.

Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Al-go-ritmas sprendimo ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen į ankstesnį pavyzdį. Nesunku paimti bendrąjį nurodytų trupmenų ženklą: ir papildomus daugiklius kiekvienai iš jų.

Atsakymas:.

Taigi, formuojame al-go-ritmas al-geb-ra-i-che-skih trupmenų su skirtingais ženklais pridėjimo ir skaičiavimo:

1. Raskite mažiausią bendrąjį trupmenos ženklą.

2. Kiekvienai trupmenai raskite papildomus daugiklius (iš tiesų, bendras ženklo ženklas duotas --oji trupmena).

3. Iki daugelio skaičių atitinkamuose dauginiuose.

4. Sudėkite arba apskaičiuokite trupmenas, naudodami mažųjų priedų priedą ir skaičiuodami trupmenas tomis pačiomis žiniomis -me-na-te-la-mi.

Dabar pažiūrėkime į pavyzdį su trupmenomis, kurių ženkle yra raidės jūs -nia.