არაწრფივი სისტემების მდგრადობის შესწავლის ზოგადი მეთოდია პირდაპირი ლიაპუნოვის მეთოდი. იგი ეფუძნება ლიაპუნოვის თეორემას არაწრფივი სისტემების მდგრადობის შესახებ. საკვლევ აპარატად გამოიყენება ეგრეთ წოდებული ლიაპუნოვის ფუნქცია, რომელიც წარმოადგენს სისტემის კოორდინატების ნიშან-განსაზღვრულ ფუნქციას, რომელსაც ასევე აქვს ნიშან-განსაზღვრული წარმოებული დროის მიმართ. ამ მეთოდის გამოყენება შეზღუდულია მისი სირთულით.

არაწრფივი სისტემების სტაბილურობის გამოთვლის უფრო მარტივ მეთოდს წარმოადგენს რუმინელი მეცნიერის ვ.მ.პოპოვის მიერ შემუშავებული მეთოდი. თუმცა, ის შესაფერისია ზოგიერთი განსაკუთრებული შემთხვევისთვის.

პროცესები არაწრფივ სისტემაში შეიძლება შესწავლილი იყოს ცალმხრივი წრფივი დაახლოების საფუძველზე. ამ შემთხვევაში, ცალკეული ბმულების არაწრფივი მახასიათებლები იყოფა რამდენიმე წრფივ მონაკვეთად, რომლის ფარგლებშიც პრობლემა აღმოჩნდება წრფივი და შეიძლება გადაიჭრას საკმაოდ მარტივად. სექციების საზღვრებში აუცილებელია პროცესის ცალკეული ნაწილების "გაკერვა" ერთ პროცესში. მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ სექციების რაოდენობა, რომლებზეც იყოფა არაწრფივი მახასიათებელი, მცირეა. ეს ეხება, მაგალითად, რელეს მახასიათებლებს (იხ. სურ. 5.1). სექციების დიდი რაოდენობით, მეთოდი აღმოჩნდება ძალიან რთული. ამასთან, კომპიუტერის გამოყენება შესაძლებელს ხდის ამ სირთულის გადალახვას და წარმატებით გამოთვალოს პროცესები არაწრფივ სისტემებში ნებისმიერი არაწრფივი მახასიათებლისთვის და, ზოგადად, თვითნებური ტიპის არაწრფივი დამოკიდებულებების არსებობისას.

ფაზური სივრცის მეთოდი, პრინციპში, საშუალებას იძლევა შეისწავლოს სისტემები თვითნებური ტიპების არაწრფივობით, ასევე რამდენიმე არაწრფივობით. ამ შემთხვევაში, ფაზურ სივრცეში აგებულია ე.წ. რხევები და სიზუსტე სტაბილურ მდგომარეობაში, თუმცა, ფაზური სივრცის განზომილება უდრის არაწრფივი სისტემის დიფერენციალური განტოლების რიგითობას, რაც ართულებს დიფერენციალური განტოლებით აღწერილი სისტემების გამოყენებას მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების შემთხვევაში, ფაზის სივრცე არის ფაზის სიბრტყე და ეს მეთოდი შეიძლება წარმატებით იქნას გამოყენებული.

არაწრფივი ავტომატური სისტემების შემთხვევითი პროცესების გასაანალიზებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ მარკოვის შემთხვევითი პროცესების თეორიის მათემატიკური აპარატი. თუმცა, მეთოდის სირთულე და შესაძლებლობა

ფოკერ-პლანკის განტოლების ამოხსნა, რომელიც საჭიროა ანალიზის დროს, მხოლოდ პირველი და ზოგ შემთხვევაში მეორე რიგის განტოლებისთვის, ზღუდავს მის გამოყენებას.

ყველა ჩამოთვლილი მეთოდი ზუსტია. მათმა სირთულემ და შეზღუდულმა გამოყენებამ განაპირობა არაწრფივი სისტემების შესწავლის სავარაუდო, მაგრამ უფრო მარტივი მეთოდების შემუშავება. მიახლოებითი მეთოდები ხშირ შემთხვევაში შესაძლებელს ხდის საკმაოდ მარტივად მივიღოთ არაწრფივი სისტემების ანალიზის გამჭვირვალე და ადვილად თვალსაჩინო შედეგები. ფაზის ტრაექტორიები ტერიტორიაზე - ა< x < a представляют собой прямые с коэффициентом наклона -1/Т 1 при различных значениях начальных условий.

ისრებს ვათავსებთ სწორ ხაზებზე ისე, რომ საბოლოო მოძრაობა მიდრეკილი იყოს კოორდინატების საწყისისკენ.

დაე x > a, . ამ შემთხვევაში, არაწრფივი განტოლებების თავდაპირველ სისტემას აქვს ფორმა

(27)

სადაც c i არის იზოკლინების ოჯახი, რომელიც არის სწორი ხაზები x ღერძის პარალელურად, ე.ი. , სადაც განისაზღვრება გამოთქმიდან for

. (28)

ამგვარად

. (29)

მნიშვნელობების გათვალისწინებით, ჩვენ ვაშენებთ იზოკლინების ოჯახს. იზოკლინების გადაკვეთის კუთხეებს ფაზური ტრაექტორიებით ვადგენთ.

იმიტომ რომ . მაგალითად, თუ , მაშინ a = 90°.

დაე X< – a, . მშენებლობას ანალოგიურად ვახორციელებთ, ვინაიდან ნიშანი შეიცვალა, იქნება იზოკლინების გადაკვეთის სხვადასხვა კუთხე ფაზის ტრაექტორიასთან. სისტემის ფაზური პორტრეტი ნაჩვენებია ნახ. 15.

ბრინჯი. 14 ნახ. 15

მოდი ამოვიღოთ გამარტივება K = 0, ე.ი. განვიხილოთ უარყოფითი გამოხმაურების გავლენა ძრავის სიჩქარეზე ფაზის ტრაექტორიის ბუნებაზე.

ამ შემთხვევაში, განტოლებები ასე გამოიყურება:

(30)

დაე , ამ შემთხვევაში გადართვა მოხდება იმ პირობით (და არა პირობა x = a), ეს არის წრფის განტოლება (ნახ. 16)

ამავდროულად, მცირდება გადაჭარბების რაოდენობა; თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ფერდობი, რომელზეც არ არის რყევები.

მოდით განვიხილოთ ფაზის პორტრეტი შეზღუდვების გარეშე.სისტემაში შეზღუდვების გარეშე, ფაზური პორტრეტი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სამ ფურცლიან ზედაპირზე დახრილი კიდეებით (ნახ. 17.) ამ შემთხვევაში, ფურცელი 2 შეესაბამება მკვდარ ზონას z = 0, ფურცელი 1 შეესაბამება უარყოფით z მნიშვნელობებს, და ფურცელი 3 დადებითია. ჰისტერეზის გამო ხდება ფურცლების ნაწილობრივი გადახურვა.

ბრინჯი. 16 ნახ. 17

მოდით გამოვიკვლიოთ სისტემა. მოდით შევისწავლოთ უარყოფითი გამოხმაურების გავლენა ძრავის სიჩქარეზე (ანუ მნიშვნელობის გავლენა - K). მოდით, K-ის მნიშვნელობა გაიზარდოს, ხოლო სწორი ხაზების დახრილობა მცირდება და შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ჭრილი უფრო ბრტყელი იქნება, ვიდრე შუა ნაწილში მახასიათებლის დახრილობა. ეს იწვევს ხშირ გადართვას. ამ რეჟიმს სრიალი ეწოდება. თუ ზონა ძალიან ვიწროა, მაშინ მოძრაობა თითქოს სრიალებს სტაბილურ მდგომარეობაში (ნახ. 18a).

თუ თქვენ შეცვლით უკუკავშირის ნიშანს უარყოფითი კავშირიდან პოზიტიურ კავშირზე, მაშინ შეიცვლება გადართვის ხაზების დახრილობა და გაიზრდება რხევების რაოდენობა, სისტემა "მოძვრება". სისტემა მუშაობს როგორც გენერატორი და შეიძლება გამოჩნდეს ან დახურული ციკლი - თვითრხევები - ან განსხვავებული გარდამავალი პროცესი (ნახ. 18b).

მეთოდის უპირატესობები:სიმარტივე და სიცხადე მე-2 რიგის სისტემებისთვის; ვარგისია ნებისმიერი ტიპის არაწრფივი ელემენტებისთვის.

ხარვეზები:მეთოდი რთულია მე-2 რიგის ზემოთ სისტემებისთვის, ამიტომ ის არ გამოიყენება n > 2-ისთვის.

განვიხილოთ არაწრფივი მართვის სისტემების ფაზური პორტრეტების აგების რამდენიმე მაგალითი

მაგალითი 1.მოდით იყოს მოცემული სისტემა, რომელიც შედგება წრფივი ნაწილისა და არაწრფივი ელემენტისგან (გამაძლიერებელი მოდულის შეზღუდვით) (ნახ. 19). ეს არის ცალმხრივი წრფივი სისტემა, ვინაიდან გარკვეულ მონაკვეთებში ის იქცევა წრფივივით (რეგიონში) – a, +a[). დავუშვათ, რომ რეგიონში (] – а, +а[) მომატება დიდია და სისტემა არასტაბილურია, ხოლო ფაზური პორტრეტი ხასიათდება სპეციალური წერტილით „არასტაბილური ფოკუსი“. რეგიონის გარეთ მოგება მცირეა, დავუშვათ, რომ სისტემა სტაბილურია და ხასიათდება განსაკუთრებული წერტილით - „სტაბილური ფოკუსი“.

დიდი გადახრებისთვის x > |a| სისტემის საერთო მოგება მცირეა, სისტემა სტაბილურია, პროცესი იშლება.

მცირე გადახრებისთვის, სისტემის საერთო მოგება დიდია - პროცესი გადადის დახურულ ტრაექტორიაზე, რაც ახასიათებს სტაბილური თვითრხევების არსებობას (ნახ. 20).

ამ სისტემაში სამი სახის მოძრაობაა: თვითრხევები; კონვერტაციული რხევები; განსხვავებული ვიბრაციები

მაგალითი 2.დაე, სისტემა იყოს მოცემული „მკვდარი ზონის“ ტიპის არაწრფივი რგოლის მახასიათებლით (ნახ. 21). აუცილებელია ფაზის აშენება

მოცემული სისტემის პორტრეტი, განსაზღვრავს ზღვრული ციკლების არსებობას და გაანალიზებს მათ სტაბილურობას.

მოდით ავაშენოთ ფაზის პორტრეტი

1) როდის – ა< x < +a f(x) = 0, а система уравнений имеет вид

ფაზური პორტრეტი ამ არეში წარმოადგენს სწორი ხაზების ოჯახს k = -1 კოეფიციენტით, ხოლო წონასწორობის მდგომარეობა არის ლიაპუნოვის სტაბილური და წარმოადგენს ღერძის სეგმენტს y = 0 ინტერვალზე – a.

2) x > +a f(x) = x – a და განტოლებათა სისტემას აქვს ფორმა

ხოლო იზოკლინის გადაკვეთის კუთხე ფაზის ტრაექტორიით a = arctan c ფორმულის მიხედვით, შედეგები მოცემულია ცხრილებში 1 და 2.

ცხრილი 1

მაგიდა 2

3) x-ზე< – a f(x) = x + a, а система уравнений имеет вид

მაგალითი 4. მოცემული სისტემისთვის (ნახ. 26) შექმენით სავარაუდო ფაზის პორტრეტი.

ორიგინალური დიაგრამა შეიძლება იყოს წარმოდგენილი (ნახ. 27).

მოდით ავაშენოთ ფაზის პორტრეტი.

1) -1-ზე< x < +1 f(x) = x, а система уравнений имеет вид

თითოეული c i-სთვის ჩვენ ვადგენთ იზოკლინის კუთხური დახრის კოეფიციენტს - k ფორმულის გამოყენებით

2) x > +1-ისთვის f(x) = 1 და განტოლებათა სისტემას აქვს ფორმა

თითოეული c i-სთვის ჩვენ ვადგენთ იზოკლინის კუთხური დახრის კოეფიციენტს - k ფორმულის გამოყენებით ხოლო იზოკლინის გადაკვეთის კუთხე ფაზის ტრაექტორიით a = arctan c ფორმულის მიხედვით.

3) x-ზე< -1 f(x) = -1.

ფაზის პორტრეტის მარცხენა ნაწილი აგებულია ანალოგიურად მარჯვნივ.

ლიტერატურა

1. ატაბეკოვი გ.ი., ტიმოფეევი ა.ბ., კუპალიან ს.დ., ხუხრიკოვი ს.ს. ელექტროტექნიკის თეორიული საფუძვლები (TOE). არაწრფივი ელექტრული სქემები. ელექტრომაგნიტური ველი. მე-5 გამოცემა. გამომცემლობა: LAN, 2005. – 432გვ.

2. გავრილოვის არაწრფივი სქემები მიკროსქემის მოდელირების პროგრამებში. გამომცემლობა: SOLON-PRESS, 2002. – 368გვ.

3. Dorf R., ეპისკოპოსი R. Automation. თანამედროვე მართვის სისტემები. 2002 – 832 გვ.

4. ავტომატური მართვის თეორია. სახელმძღვანელო სპეციალური დანიშნულების უნივერსიტეტებისთვის "ავტომატიკა და ტელემექანიკა". 2 საათში / ნ.ა. ბაბაკოვი, ა.ა. ვორონოვი და სხვები: რედ. ᲐᲐ. ვორონოვა. – მე-2 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი – მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1986. – 367გვ., ილ.

5. ხარაზოვი ვ.გ. ინტეგრირებული პროცესის კონტროლის სისტემები: სახელმძღვანელო. გამომცემელი: PROFESSIYA, PUBLISHING HOUSE, 2009. – 550გვ.

ელემენტი:

"ავტომატური მართვის თეორია"

თემა:

"არაწრფივი სისტემების შესწავლის მეთოდები"

1. დიფერენციალური განტოლების მეთოდი

n-ე რიგის დახურული არაწრფივი სისტემის დიფერენციალური განტოლება (ნახ. 1) შეიძლება გარდაიქმნას პირველი რიგის n-დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემად სახით:

სადაც: – სისტემის ქცევის დამახასიათებელი ცვლადები (ერთ-ერთი მათგანი შეიძლება იყოს კონტროლირებადი ცვლადი); – არაწრფივი ფუნქციები; u – დაყენების გავლენა.

როგორც წესი, ეს განტოლებები იწერება სასრულ სხვაობებში:

,

სად არის საწყისი პირობები.

თუ გადახრები

არ არის დიდი, მაშინ ეს სისტემა შეიძლება ამოიხსნას როგორც ალგებრული განტოლებების სისტემა. გამოსავალი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გრაფიკულად.

2. ფაზის სივრცის მეთოდი

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც გარე გავლენა ნულის ტოლია (U = 0).

სისტემის მოძრაობა განისაზღვრება მისი კოორდინატების ცვლილებით -

დროის ფუნქციად. მნიშვნელობები ნებისმიერ დროს ახასიათებს სისტემის მდგომარეობას (ფაზას) და განსაზღვრავს სისტემის კოორდინატებს, რომელსაც აქვს n-ღერძი და შეიძლება წარმოდგენილი იყოს M წერტილის ზოგიერთი (წარმომადგენელი) კოორდინატებად (ნახ. 2).

ფაზის სივრცეეწოდება სისტემის კოორდინატთა სივრცე.

დრო t იცვლება, M წერტილი მოძრაობს ტრაექტორიის გასწვრივ, რომელსაც ეწოდება ფაზის ტრაექტორია. თუ საწყის პირობებს შევცვლით, მივიღებთ ფაზის ტრაექტორიების ოჯახს, რომელსაც ე.წ ფაზის პორტრეტი. ფაზის პორტრეტი განსაზღვრავს გადასვლის პროცესის ბუნებას არაწრფივ სისტემაში. ფაზის პორტრეტს აქვს სპეციალური წერტილები, რომლებზეც სისტემის ფაზური ტრაექტორიები მიისწრაფვის ან შორდება (შეიძლება რამდენიმე მათგანი იყოს).

ფაზის პორტრეტი შეიძლება შეიცავდეს დახურულ ფაზურ ტრაექტორიებს, რომლებიც ე.წ ლიმიტის ციკლები.ზღვრული ციკლები ახასიათებს სისტემაში თვითრხევებს. ფაზის ტრაექტორიები არ იკვეთება არსად, გარდა სპეციალური წერტილებისა, რომლებიც ახასიათებენ სისტემის წონასწორობის მდგომარეობებს. ზღვრული ციკლები და წონასწორობის მდგომარეობები შეიძლება იყოს სტაბილური ან არასტაბილური.

ფაზური პორტრეტი მთლიანად ახასიათებს არაწრფივ სისტემას. არაწრფივი სისტემების დამახასიათებელი მახასიათებელია სხვადასხვა ტიპის მოძრაობის არსებობა, წონასწორობის რამდენიმე მდგომარეობა და ლიმიტური ციკლების არსებობა.

ფაზური სივრცის მეთოდი ფუნდამენტური მეთოდია არაწრფივი სისტემების შესასწავლად. ბევრად უფრო ადვილი და მოსახერხებელია არაწრფივი სისტემების შესწავლა ფაზის სიბრტყეზე, ვიდრე დროის დომენში გარდამავალი პროცესების გამოსახვა.

გეომეტრიული კონსტრუქციები სივრცეში ნაკლებად ვიზუალურია, ვიდრე კონსტრუქციები სიბრტყეზე, როდესაც სისტემა მეორე რიგისაა და გამოიყენება ფაზის სიბრტყის მეთოდი.

ხაზოვანი სისტემებისთვის ფაზის სიბრტყის მეთოდის გამოყენება

მოდით გავაანალიზოთ ურთიერთკავშირი გარდამავალი პროცესის ბუნებასა და ფაზური ტრაექტორიების მოსახვევებს შორის. ფაზის ტრაექტორიების მიღება შესაძლებელია ფაზის ტრაექტორიის განტოლების ინტეგრირებით ან ორიგინალური მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნით.

მოდით, სისტემა იყოს მოცემული (ნახ. 3).

განვიხილოთ სისტემის თავისუფალი გადაადგილება. მეტიც: U(t)=0, e(t)=– x(t)

ზოგადად, დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

სად (1)

ეს არის მე-2 რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება

. (2)

დამახასიათებელი განტოლების ფესვები განისაზღვრება ურთიერთობებიდან

(3)

წარმოვადგინოთ მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლება სისტემის სახით

1 რიგის განტოლებები:

(4) კონტროლირებადი ცვლადის ცვლილების მაჩვენებელი.

განსახილველ ხაზოვან სისტემაში x და y ცვლადები წარმოადგენს ფაზის კოორდინატებს. ფაზურ პორტრეტს ვაშენებთ x და y კოორდინატების სივრცეში, ე.ი. ფაზის სიბრტყეზე.

თუ (1) განტოლებიდან გამოვრიცხავთ დროს, მივიღებთ ინტეგრალური მრუდების ან ფაზის ტრაექტორიების განტოლებას.

. (5)

ეს არის განცალკევებული განტოლება

. (6)

განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა

1. დამახასიათებელი განტოლების (3) ფესვებს ჰქონდეთ ფორმა

(ისინი. ). (7)

ამ შემთხვევაში, გარდამავალი პროცესი აღწერილია განტოლებით

x = ცოდვა (wt+j), (8)

y = Aw cos (wt+j),

იმათ. წარმოადგენს დაუცველ რხევებს მუდმივი ამპლიტუდით A და საწყისი ფაზა – j.

ფაზის სიბრტყეზე (ნახ. 4) ეს განტოლებები არის ელიფსის პარამეტრული განტოლებები ნახევრად ღერძებით A და wA (სადაც A არის ინტეგრაციის მუდმივი).

თუ დავნიშნავთ

ელიფსის განტოლება შეიძლება მივიღოთ ფაზის ტრაექტორიების განტოლების ამოხსნით

(9)

წონასწორობის მდგომარეობა განისაზღვრება მდგომარეობიდან

,

ამ შემთხვევაში x 0 = y 0 = 0.

სინგულარული წერტილი ეწოდება "ცენტრს" და შეესაბამება სტაბილურ წონასწორობას, რადგან ფაზის ტრაექტორიები არ შორდება მას.

2. დამახასიათებელი განტოლების (3) ფესვებს ჰქონდეთ ფორმა

(10)

ამ შემთხვევაში, გარდამავალი პროცესი აღწერილია განტოლებით:

ფაზის ტრაექტორიების განტოლებიდან

ვიღებთ განტოლებას

ეს არის ჰიპერბოლების ოჯახის განტოლება, როდესაც A იცვლება (ნახ. 5).

არაწრფივი სისტემების შესწავლის ყველა საინჟინრო მეთოდი იყოფა ორ ძირითად ჯგუფად: ზუსტ და მიახლოებით. ზუსტი მეთოდები მოიცავს A.M Lyapunov მეთოდს, ფაზური სიბრტყის მეთოდს და პოპოვის სიხშირის მეთოდს. მიახლოებითი მეთოდები ეფუძნება არაწრფივი სისტემის განტოლებების წრფივიზაციას ჰარმონიული ან სტატისტიკური წრფივობის გამოყენებით. პრაქტიკაში გამოიყენება სხვადასხვა მეთოდების კომბინაცია. უნდა აღინიშნოს, რომ უახლოეს მომავალში საჭიროა არაწრფივი სისტემების თეორიისა და პრაქტიკის შემდგომი განვითარება.

განვიხილოთ არაწრფივი სისტემების ანალიზის შემდეგი მეთოდები:

1) ფაზის სიბრტყის მეთოდი.იგი გამოიყენება პირველი და მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებებით აღწერილი არაწრფივი სისტემების შესასწავლად. იგი შედგება შესწავლილი რაოდენობისა და მისი წარმოებულის კოორდინატებში სისტემის ფაზური პორტრეტის აგებისა და შესწავლისგან.

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც გარე გავლენა ნულის ტოლია (U = 0). სისტემის მოძრაობა განისაზღვრება მისი კოორდინატების ცვლილებით - X იდროის ფუნქციად. ღირებულებები X იდროის ნებისმიერ მომენტში ახასიათებს სისტემის მდგომარეობას (ფაზას) და განსაზღვრავს სისტემის კოორდინატებს, რომელსაც აქვს n - ღერძი და შეიძლება წარმოდგენილი იყოს M წერტილის ზოგიერთი (გამომსახველი) კოორდინატებად (ნახ. 10).

სურათი 10

ფაზის სივრცე არის სისტემის კოორდინატთა სივრცე.

დრო t იცვლება, წერტილი M მოძრაობს ტრაექტორიის გასწვრივ, რომელსაც ეწოდება ფაზის ტრაექტორია. თუ საწყის პირობებს შევცვლით, მივიღებთ ფაზის ტრაექტორიების ოჯახს, რომელსაც ეწოდება ფაზური პორტრეტი. ფაზის პორტრეტი განსაზღვრავს გადასვლის პროცესის ბუნებას არაწრფივ სისტემაში. ფაზის პორტრეტს აქვს სპეციალური წერტილები, რომლებზეც სისტემის ფაზური ტრაექტორიები მიისწრაფვის ან შორდება (შეიძლება რამდენიმე მათგანი იყოს).

ფაზის პორტრეტი შეიძლება შეიცავდეს დახურულ ფაზის ტრაექტორიებს, რომლებსაც ლიმიტის ციკლები ეწოდება. ზღვრული ციკლები ახასიათებს სისტემაში თვითრხევებს. ფაზის ტრაექტორიები არ იკვეთება არსად, გარდა სპეციალური წერტილებისა, რომლებიც ახასიათებენ სისტემის წონასწორობის მდგომარეობებს. ზღვრული ციკლები და წონასწორობის მდგომარეობები შეიძლება იყოს სტაბილური ან არასტაბილური.

ფაზური პორტრეტი მთლიანად ახასიათებს არაწრფივ სისტემას. არაწრფივი სისტემების დამახასიათებელი მახასიათებელია სხვადასხვა ტიპის მოძრაობის არსებობა, წონასწორობის რამდენიმე მდგომარეობა და ლიმიტური ციკლების არსებობა.

მაგალითი

დახაზეთ ფაზური ტრაექტორიები არაწრფივი სისტემისთვის სამი განსხვავებული არაწრფივობით - ორადგილიანი რელე, სამპოზიციიანი რელე მკვდარი ზოლით (±0.2) და ორპოზიციიანი რელე ჰისტერეზით (±0.1), თუ ხაზოვან ნაწილს აქვს გადაცემის ფუნქცია

გამოსავალი

დავალების შესაბამისად, არაწრფივი სისტემის მოდელი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნახ.11-ის სახით.

ყველა არაწრფივობისთვის, ჩვენ ვიღებთ სიგნალის მნიშვნელობას სარელეო გამომავალზე, როგორც ±2.

სურათი 11 - არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემის მოდელი

შემდეგ ფორმის განტოლებები დაიწერება

განტოლებიდან მეორეს პირველზე გავყოფთ, მივიღებთ ფაზის ტრაექტორიის განტოლებას

იმისდა მიხედვით, თუ რა მხარეს არის რელეს გადართვის ხაზის გამომსახველი წერტილი, დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები შემდეგი იქნება:

გადართვის ხაზის მარჯვნივ x1 > 0 x 1 = 4 ln |x 2 + 10| - 0.4x 2 + c 1;

გადართვის ხაზის მარცხნივ x1-ზე< 0 x 1 = 4 ln |x 2 - 10| - 0,4x 2 + c 2 ;

სამპოზიციიანი რელესთვის გამომსახველი წერტილის მოძრაობა მკვდარ ზონაში არის -0.2

სადაც с 1, с 2 და с 3 არის ინტეგრაციის მუდმივები საწყისი პირობებიდან გამომდინარე.

ნახ. სურათი 9 გვიჩვენებს არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემის ფაზურ ტრაექტორიებს სხვადასხვა არაწრფივი ელემენტებით. ფაზის ტრაექტორიების მონაკვეთების მორგება ან შეკერვა ხდება გადართვის ხაზების გასწვრივ.

სურათი 12 - სარელეო სისტემების ფაზის ტრაექტორიები

ფაზის ტრაექტორიების გაანალიზებით, შეიძლება გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნები:

1. მოცემულ საწყის პირობებში ყველა სისტემა სტაბილურია. უფრო მეტიც, სისტემები ორპოზიციიანი რელეებით სტაბილურია „დიდი“;

2. სისტემები ორპოზიციიანი რელეებით ავლენენ სტაბილურ რხევებს. ზღვრული ციკლის აბსცისა განსაზღვრავს A o რხევების ამპლიტუდას, ხოლო სიხშირე შეიძლება განისაზღვროს ზღვრული ციკლის A o ω o ორდინატიდან;

3. მკვდარი ზონის მქონე სამპოზიციიანი რელეს მქონე სისტემას აქვს „სპეციალური სეგმენტი“. გარდამავალი პროცესის გავლის შემდეგ, სისტემას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა მკვდარ ზონაში, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 9-ში.

ამრიგად, ფაზური სივრცის მეთოდი ფუნდამენტური მეთოდია არაწრფივი სისტემების შესასწავლად. ბევრად უფრო ადვილი და მოსახერხებელია არაწრფივი სისტემების შესწავლა ფაზის სიბრტყეზე, ვიდრე დროის დომენში გარდამავალი პროცესების გამოსახვა.

გეომეტრიული კონსტრუქციები სივრცეში ნაკლებად ვიზუალურია, ვიდრე კონსტრუქციები სიბრტყეზე, როდესაც სისტემა მეორე რიგისაა და გამოიყენება ფაზის სიბრტყის მეთოდი.

2) ჰარმონიული ხაზინაარიზაციის მეთოდი.

ჰარმონიული ხაზოვანი მეთოდის იდეა ეკუთვნის ნ.მ. კრილოვი და ნ.ნ. ბოგოლიუბოვი და ემყარება სისტემის არაწრფივი ელემენტის შეცვლას წრფივი ბმულით, რომლის პარამეტრები განისაზღვრება ჰარმონიული შეყვანის მოქმედებით პირველი ჰარმონიკის ამპლიტუდების ტოლობის პირობიდან არაწრფივი ელემენტის გამოსავალზე და ეკვივალენტური ხაზოვანი ბმული. მეთოდი არის მიახლოებითი და შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც სისტემის ხაზოვანი ნაწილი არის დაბალი გამტარი ფილტრი, ე.ი. ფილტრავს ყველა ჰარმონიულ კომპონენტს, რომელიც წარმოიქმნება არაწრფივი ელემენტის გამოსავალზე, გარდა პირველი ჰარმონიისა. ამ შემთხვევაში, წრფივი ნაწილი შეიძლება აღწერილი იყოს ნებისმიერი რიგის დიფერენციალური განტოლებით, ხოლო არაწრფივი ელემენტი შეიძლება იყოს ერთმნიშვნელოვანი ან მრავალმნიშვნელოვანი. მეთოდი შეიძლება ეფექტური იყოს სისტემაში ბუნებრივი რხევების პარამეტრების გამოსათვლელად, იგი ასევე გამოიყენება ჰარმონიული მამოძრავებელი გავლენის ქვეშ მყოფი სიზუსტის გასაანალიზებლად.

ჰარმონიული წრფივობის მეთოდი ეფუძნება ვარაუდს, რომ ჰარმონიული გავლენა ω სიხშირით და ამპლიტუდით A გამოიყენება არაწრფივი ელემენტის შეყვანაზე, ე.ი. x = А sinωt. თუ ვივარაუდებთ, რომ ხაზოვანი ნაწილი არის დაბალი გამტარი ფილტრი, ხაზოვანი ნაწილის გამომავალი სიგნალის სპექტრი შემოიფარგლება მხოლოდ ფურიეს სერიით განსაზღვრული პირველი ჰარმონიით (ეს არის მეთოდის მიახლოება, რადგან უმაღლესი ჰარმონიები გამორიცხულია განხილვისგან. ). შემდეგ კავშირი გამომავალი სიგნალის პირველ ჰარმონიასა და არაწრფივი ელემენტის შეყვანის ჰარმონიულ გავლენას შორის წარმოდგენილია გადაცემის ფუნქციის სახით:

განტოლებას (1.6) ეწოდება ჰარმონიული წრფივი განტოლება, ხოლო კოეფიციენტები q და q" არის ჰარმონიული წრფივი კოეფიციენტები, რაც დამოკიდებულია შეყვანის მოქმედების A ამპლიტუდაზე და ω სიხშირეზე. უნდა აღინიშნოს, რომ სტატიკური ერთმნიშვნელოვანი კოეფიციენტებისთვის q" (A) = 0. განტოლება (1.6) ლაპლასის ტრანსფორმაციას ნულოვან საწყის პირობებში, რასაც მოჰყვება p ოპერატორის jω (p = jω) ჩანაცვლება, მივიღებთ არაწრფივი ელემენტის ექვივალენტურ კომპლექსურ გადაცემის კოეფიციენტს.

W ne (jω,A) = q + jq" (1.7)

მას შემდეგ, რაც განხორციელდა ჰარმონიული წრფივება, არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემების ანალიზისა და სინთეზისთვის შესაძლებელია გამოვიყენოთ წრფივი სისტემების შესასწავლად გამოყენებული ყველა მეთოდი, მათ შორის სტაბილურობის სხვადასხვა კრიტერიუმების გამოყენება. ჰარმონიული წრფივი მეთოდის საფუძველზე არაწრფივი სისტემების შესწავლისას ჯერ წყდება საკითხი პერიოდული (თვითრხევადი) რეჟიმების არსებობისა და მდგრადობის შესახებ. თუ პერიოდული რეჟიმი სტაბილურია, მაშინ სისტემა შეიცავს თვითრხევებს ω 0 სიხშირით და A 0 ამპლიტუდით. განვიხილოთ არაწრფივი სისტემა, რომელიც მოიცავს ხაზოვან ნაწილს გადაცემის ფუნქციით

და არაწრფივი ელემენტი ექვივალენტური რთული გადაცემის კოეფიციენტით (1.7). არაწრფივი სისტემის გამოთვლილი ბლოკ-სქემა იღებს ნახ.13-ის ფორმას.

სურათი 13 - არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემის ბლოკ-სქემა

არაწრფივი სისტემაში თვითრხევების წარმოქმნის შესაძლებლობის შესაფასებლად ჰარმონიული წრფივი მეთოდის გამოყენებით, საჭიროა ვიპოვოთ მდგრადობის საზღვრის პირობები, როგორც ეს გაკეთდა წრფივი სისტემების მდგრადობის ანალიზის დროს. თუ წრფივი ნაწილი აღწერილია გადაცემის ფუნქციით (1.8) და არაწრფივი ელემენტით (1.7), მაშინ დახურული სისტემის დამახასიათებელ განტოლებას ექნება ფორმა:

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (1.10)

მიხაილოვის სტაბილურობის კრიტერიუმიდან გამომდინარე, სტაბილურობის საზღვარი იქნება მიხაილოვის ჰოდოგრაფის გავლა საწყისზე. გამონათქვამებიდან (1.10) შეიძლება აღმოვაჩინოთ თვითრხევების ამპლიტუდისა და სიხშირის დამოკიდებულება სისტემის პარამეტრებზე, მაგალითად, სისტემის ხაზოვანი ნაწილის გადაცემის k კოეფიციენტზე. ამისათვის აუცილებელია გადაცემის კოეფიციენტი k განიხილოს, როგორც ცვლადი მნიშვნელობა განტოლებებში (1.10), ე.ი. დაწერეთ ეს განტოლება ფორმით:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0,K) +Jm(ω 0,A 0,k) = 0 ( 1.11)

სადაც ω o და A o არის თვითრხევების შესაძლო სიხშირე და ამპლიტუდა.

შემდეგ, განტოლების (1.11) რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების ნულის ტოლფასი.

ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ სტაბილურობის საზღვარი (D- დანაყოფი) ჩვენთვის საინტერესო k პარამეტრის გამოყენებით (ნახ. 11).

სურათი 14 - არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემის K პარამეტრის სიბრტყის D- დანაყოფი

ნახაზი 14-ის გაანალიზებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ 1 რეგიონში თვითრხევები შეუძლებელია და კრიტიკული კოეფიციენტი უდრის kr-ს, ხოლო მე-2 რეგიონში რხევები კონვერგირდება A o ამპლიტუდამდე და სიხშირე ω o (თვითრხევადი რეჟიმი) დამოკიდებულია საწყისი პირობები. 11-ში მოცემული გრაფიკის გამოყენებით შეგიძლიათ აირჩიოთ გადაცემის კოეფიციენტი k, რომლის დროსაც შესაძლო თვითრხევების ამპლიტუდა და სიხშირე აქვს მისაღები მნიშვნელობები ან საერთოდ არ არსებობს.

უფრო ხშირად პრაქტიკაში გრაფიკულ-ანალიტიკური მეთოდი გამოიყენება არაწრფივი სისტემებში თვითრხევების შესაძლო ამპლიტუდებისა და სიხშირის დასადგენად. Nyquist-ის მდგრადობის კრიტერიუმის მიხედვით, ხაზოვან სისტემაში დაუცველი რხევები ხდება იმ შემთხვევაში, როდესაც ღია მარყუჟის სისტემის ამპლიტუდა-ფაზის მახასიათებელი გადის წერტილში კოორდინატებით. ეს პირობა ასევე არის თვითრხევების არსებობის პირობა ჰარმონიულად ხაზოვან არაწრფივ სისტემაში (სურ. 11), ე.ი.

1 + W lch (jω)*W ne (jω,A)=0 (1.13)

ან W lch (jω)=-1/W ne (jω,A). (1.14)

(1.14) განტოლების ამოხსნა თვითრხევების სიხშირესა და ამპლიტუდასთან დაკავშირებით შეიძლება მივიღოთ გრაფიკულად, როგორც სისტემის Wlch(jω) ხაზოვანი ნაწილის სიხშირის დამახასიათებელი ჰოდოგრაფისა და შებრუნებული მახასიათებლის ჰოდოგრაფის გადაკვეთის წერტილი. არაწრფივი ნაწილის -1/Wne(jω,A) (სურ. 15). თუ ეს ჰოდოგრაფები არ იკვეთება, მაშინ შესწავლილ სისტემაში არ არსებობს თვითრხევის რეჟიმი.

სურათი 15 - სისტემის წრფივი და არაწრფივი ნაწილების ჰოდოგრამები

თვითრხევადი რეჟიმის სტაბილურობისთვის ω 0 სიხშირით და A 0 ამპლიტუდით, საჭიროა, რომ წერტილი M არაწრფივი ნაწილის ჰოდოგრაფზე, რომელიც შეესაბამება A 0 +ΔA გაზრდილ ამპლიტუდას სიდიდესთან შედარებით. ჰოდოგრაფების კვეთა არ არის დაფარული სისტემის ხაზოვანი ნაწილის სიხშირეზე პასუხის ჰოდოგრაფით, წინააღმდეგ შემთხვევაში თვითრხევები არასტაბილურია. ნახ. ნახაზი 15 მოცემულია ჰოდოგრაფების ადგილმდებარეობის მაგალითი იმ შემთხვევისთვის, როდესაც სტაბილური თვითრხევები არსებობს არაწრფივ სისტემაში. არაწრფივი ელემენტის შეყვანისას თვითრხევების პარამეტრები განისაზღვრება ჰოდოგრამების გადაკვეთის წერტილში: სიხშირე W lch-დან (jω), და ამპლიტუდა W ne -1-დან (A). არაწრფივი სისტემების შესწავლა შესაძლებელია ლოგარითმული სიხშირის მახასიათებლების გამოყენებით (შაბლონური მეთოდი). ჰარმონიული ბალანსის მეთოდი იძლევა არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემების სინთეზს, რათა უზრუნველყოს საჭირო ხარისხის მაჩვენებლები ხაზოვანი ნაწილის ან არაწრფივი ელემენტის პარამეტრების შეცვლით.

მაგალითი

განსაზღვრეთ თვითრხევების შესაძლო სიხშირე ავტომატური მართვის სისტემაში ორპოზიციური რელეს სახით ცალსახა არაწრფივიობის შეყვანისას, რომელსაც აქვს ფორმის LFC (სურათი 16).

სურათი 16 - ხაზოვანი ნაწილის LFC

გამოსავალიცნობილია, რომ ერთმნიშვნელოვანი არაწრფივი ელემენტის (ორპოზიციური რელე) მახასიათებელი - 1/W ne (jω,A) მთლიანად განლაგებულია უარყოფით რეალურ ნახევარღერძზე, შესაბამისად ა.ფ.ჰ. ხაზოვან ნაწილს W lch (jω) შეუძლია მისი გადაკვეთა მხოლოდ -180° კუთხით. შესაძლო თვითრხევების სიხშირე განისაზღვრება W lch (jω), და l.f.h. (ნახ. 7.8) გვიჩვენებს, რომ ფაზის კუთხის ცვლა -180° ხდება ω = 300 რად/წმ სიხშირეზე. ეს არის თვითრხევების შესაძლო სიხშირე ACS-ში ცალსახა არაწრფივობის დანერგვისას.

ჰარმონიული ხაზინაარიზაციის მეთოდი გამოიყენება გარდამავალი სამუშაო პირობების გასაანალიზებლად, სისტემის სტაბილურობისა და პერიოდული რხევების წარმოქმნის შესაძლებლობის შესაფასებლად.

3) სტატისტიკური ხაზინაარიზაციის მეთოდი.

მეთოდი ეფუძნება პროცესების არაწრფივი ტრანსფორმაციის ჩანაცვლებას სტატისტიკურად ექვივალენტური წრფივი გარდაქმნებით. არაწრფივი ელემენტი ჩანაცვლებულია წრფივი ეკვივალენტით (სურათი 17). ჩანაცვლების შედეგად სისტემა ხდება ხაზოვანი, რაც იძლევა ხაზოვანი სისტემების შესწავლის მეთოდების გამოყენების საშუალებას.

არაწრფივი ტრანსფორმაციის წრფივით ჩანაცვლება მიახლოებითი და სამართლიანია მხოლოდ გარკვეული თვალსაზრისით. აქედან გამომდინარე, არ არსებობს მკაფიო ეკვივალენტობა სხვადასხვა კრიტერიუმების გამოყენებისას.

კერძოდ, თუ არაწრფივობა განისაზღვრება ფორმის ინერციისგან თავისუფალი დამოკიდებულებით

გამოიყენება ეკვივალენტობის ორი კრიტერიუმი.

სურათი 17

პირველი კრიტერიუმი ითვალისწინებს თანასწორობას არაწრფივი ელემენტის გამოსავალში და მის წრფივ ეკვივალენტს მათემატიკური მოლოდინებისა და პროცესების დისპერსიებზე.

მეორე კრიტერიუმი არის საშუალო კვადრატული სხვაობის მინიმუმი არაწრფივი ელემენტის გამომავალ პროცესებსა და მის წრფივ ეკვივალენტს შორის.

მოდით წარმოვადგინოთ პროცესი არაწრფივი ელემენტის შეყვანასა და გამომავალში სახით:

სად არის პროცესის მათემატიკური მოლოდინი NE-ის გამოსავალზე;

─ ორიენტირებული შემთხვევითი კომპონენტი.

წრფივი ეკვივალენტის გამოსავალზე პროცესი წარმოდგენილია შემდეგნაირად:

სადაც ─ წრფივი ეკვივალენტური გადაცემის კოეფიციენტი მათემატიკური მოლოდინის მიხედვით; ─ გადაცემის კოეფიციენტი ორიენტირებული შემთხვევითი კომპონენტისთვის.

გამოვიყენოთ პირველი ეკვივალენტობის კრიტერიუმი:

ამ განტოლებიდან ვპოულობთ

სადაც არის პროცესის ალბათობის სიმკვრივე არაწრფივი ელემენტის შეყვანისას.

წრფივი ეკვივალენტის გადაცემის კოეფიციენტი ცენტრალური შემთხვევითი კომპონენტისთვის (პირველი კრიტერიუმის მიხედვით).

მეორე ეკვივალენტობის კრიტერიუმის მიხედვით:

იმის დასადგენად და რისთვის არის დაკმაყოფილებული ეკვივალენტობის პირობა, ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულებს და ვატოლებთ მათ ნულს:

ამ კოეფიციენტების გაანგარიშებისას, ვარაუდობენ, რომ შეყვანის განაწილება ნორმალურია:

რაოდენობების განსაზღვრა

ტიპიური არაწრფივებისთვის, ეს უკანასკნელი ჩაანაცვლეთ წრფივი ეკვივალენტური გადაცემის კოეფიციენტებით და გააანალიზეთ სისტემა წრფივი მეთოდების გამოყენებით.

არაწრფივობის ძირითადი ტიპებისთვის და შეყვანის პროცესის ნორმალური განაწილებისთვის, კოეფიციენტები გამოითვლება და წარმოდგენილია ცხრილური მნიშვნელობების სახით. კერძოდ, რელეს ტიპის მახასიათებლებისთვის (ნახ. 19)

სურათი 19 - რელეს ტიპის მახასიათებლები:

კოეფიციენტები ტოლია.

"ავტომატური მართვის თეორია"

"არაწრფივი სისტემების შესწავლის მეთოდები"

1. დიფერენციალური განტოლების მეთოდი

n-ე რიგის დახურული არაწრფივი სისტემის დიფერენციალური განტოლება (ნახ. 1) შეიძლება გარდაიქმნას პირველი რიგის n-დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემად სახით:

სადაც: – სისტემის ქცევის დამახასიათებელი ცვლადები (ერთ-ერთი მათგანი შეიძლება იყოს კონტროლირებადი ცვლადი); – არაწრფივი ფუნქციები; u – დაყენების გავლენა.

როგორც წესი, ეს განტოლებები იწერება სასრულ სხვაობებში:

სად არის საწყისი პირობები.

თუ გადახრები არ არის დიდი, მაშინ ეს სისტემა შეიძლება გადაწყდეს როგორც ალგებრული განტოლებების სისტემა. გამოსავალი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გრაფიკულად.

2. ფაზის სივრცის მეთოდი

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც გარე გავლენა ნულის ტოლია (U = 0).

სისტემის მოძრაობა განისაზღვრება მისი კოორდინატების ცვლილებით - დროის ფუნქციის მიხედვით. მნიშვნელობები ნებისმიერ დროს ახასიათებს სისტემის მდგომარეობას (ფაზას) და განსაზღვრავს სისტემის კოორდინატებს, რომელსაც აქვს n-ღერძი და შეიძლება წარმოდგენილი იყოს M წერტილის ზოგიერთი (წარმომადგენელი) კოორდინატებად (ნახ. 2).

ფაზის სივრცე არის სისტემის კოორდინატთა სივრცე.

დრო t იცვლება, წერტილი M მოძრაობს ტრაექტორიის გასწვრივ, რომელსაც ეწოდება ფაზის ტრაექტორია. თუ საწყის პირობებს შევცვლით, მივიღებთ ფაზის ტრაექტორიების ოჯახს, რომელსაც ეწოდება ფაზური პორტრეტი. ფაზის პორტრეტი განსაზღვრავს გადასვლის პროცესის ბუნებას არაწრფივ სისტემაში. ფაზის პორტრეტს აქვს სპეციალური წერტილები, რომლებზეც სისტემის ფაზური ტრაექტორიები მიისწრაფვის ან შორდება (შეიძლება რამდენიმე მათგანი იყოს).

ფაზის პორტრეტი შეიძლება შეიცავდეს დახურულ ფაზის ტრაექტორიებს, რომლებსაც ლიმიტის ციკლები ეწოდება. ზღვრული ციკლები ახასიათებს სისტემაში თვითრხევებს. ფაზის ტრაექტორიები არ იკვეთება არსად, გარდა სპეციალური წერტილებისა, რომლებიც ახასიათებენ სისტემის წონასწორობის მდგომარეობებს. ზღვრული ციკლები და წონასწორობის მდგომარეობები შეიძლება იყოს სტაბილური ან არასტაბილური.

ფაზური პორტრეტი მთლიანად ახასიათებს არაწრფივ სისტემას. არაწრფივი სისტემების დამახასიათებელი მახასიათებელია სხვადასხვა ტიპის მოძრაობის არსებობა, წონასწორობის რამდენიმე მდგომარეობა და ლიმიტური ციკლების არსებობა.

ფაზური სივრცის მეთოდი ფუნდამენტური მეთოდია არაწრფივი სისტემების შესასწავლად. ბევრად უფრო ადვილი და მოსახერხებელია არაწრფივი სისტემების შესწავლა ფაზის სიბრტყეზე, ვიდრე დროის დომენში გარდამავალი პროცესების გამოსახვა.

გეომეტრიული კონსტრუქციები სივრცეში ნაკლებად ვიზუალურია, ვიდრე კონსტრუქციები სიბრტყეზე, როდესაც სისტემა მეორე რიგისაა და გამოიყენება ფაზის სიბრტყის მეთოდი.

ხაზოვანი სისტემებისთვის ფაზის სიბრტყის მეთოდის გამოყენება

მოდით გავაანალიზოთ ურთიერთკავშირი გარდამავალი პროცესის ბუნებასა და ფაზური ტრაექტორიების მოსახვევებს შორის. ფაზის ტრაექტორიების მიღება შესაძლებელია ფაზის ტრაექტორიის განტოლების ინტეგრირებით ან ორიგინალური მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნით.

მოდით, სისტემა იყოს მოცემული (ნახ. 3).

განვიხილოთ სისტემის თავისუფალი გადაადგილება. ამ შემთხვევაში: U(t)=0, e(t)=– x(t)

ზოგადად, დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

სად (1)

ეს არის მე-2 რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება

. (2)

დამახასიათებელი განტოლების ფესვები განისაზღვრება ურთიერთობებიდან

(3)

წარმოვადგინოთ მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლება სისტემის სახით

1 რიგის განტოლებები:

(4)

სადაც არის კონტროლირებადი ცვლადის ცვლილების სიჩქარე.

განსახილველ ხაზოვან სისტემაში x და y ცვლადები წარმოადგენს ფაზის კოორდინატებს. ფაზურ პორტრეტს ვაშენებთ x და y კოორდინატების სივრცეში, ე.ი. ფაზის სიბრტყეზე.

თუ (1) განტოლებიდან გამოვრიცხავთ დროს, მივიღებთ ინტეგრალური მრუდების ან ფაზის ტრაექტორიების განტოლებას.

. (5)

ეს არის განცალკევებული განტოლება

განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა

ფაილები GB_prog.m და GB_mod.mdl და პერიოდული რეჟიმის სპექტრული შემადგენლობის ანალიზი ხაზოვანი ნაწილის გამოსავალზე - ფაილების GB_prog.m და R_Fourie.mdl გამოყენებით. ფაილის შინაარსი GB_prog.m: % არაწრფივი სისტემების შესწავლა ჰარმონიული ბალანსის მეთოდით % გამოყენებული ფაილები: GB_prog.m, GB_mod.mdl და R_Fourie.mdl. % გამოყენებული აღნიშვნები: NE – არაწრფივი ელემენტი, LP – წრფივი ნაწილი. ყველა გასუფთავება...

ინერციის გარეშე დასაშვებ (ზემოდან შეზღუდული) სიხშირის დიაპაზონში, რომლის მიღმაც ხდება ინერციული. მახასიათებლების ტიპებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ არაწრფივ ელემენტებს სიმეტრიული და ასიმეტრიული მახასიათებლებით. მახასიათებელს, რომელიც არ არის დამოკიდებული მის განმსაზღვრელ სიდიდეების მიმართულებაზე, ეწოდება სიმეტრიული, ე.ი. აქვს სიმეტრია სისტემის წარმოშობასთან შედარებით...