Яке перетворення не призводить до втрати коріння. Перетворення рівнянь, рівносильні перетворення. За умовами ОДЗ

Тема тригонометричних рівнянь починається зі шкільної лекції, яка будується у вигляді евристичної розмови. На лекції розглядається теоретичний матеріал та зразки вирішення всіх типових завдань за планом:

• Найпростіші тригонометричні рівняння.
• Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
• Однорідні рівняння.

На наступних уроках починається самостійне відпрацювання навичок, засноване на застосуванні принципу спільної діяльності вчителя та учня. Спочатку встановлюються мети учнів, тобто. визначається, хто хоче знати трохи більше того, що потрібно державним стандартом, а хто готовий займатися більше.

Підсумкова діагностика створюється з урахуванням рівневої диференціації, що дозволяє учням усвідомлено визначати той мінімум знань, необхідний отримання оцінки “3”. Виходячи з цього, відбираються різнорівневі матеріали для діагностики знань учнів. Така робота дозволяє здійснити індивідуальний підхід до учнів, включити кожного до усвідомленої навчальної діяльності, формувати навички самоорганізованості та самонавчання, забезпечувати перехід до активного, самостійного мислення.

Семінар проводиться після відпрацювання основних навичок розв'язання тригонометричних рівнянь. За кілька уроків до семінару учням подаються питання, які розглядатимуться на ньому.

Семінар складається із трьох частин.

1. У вступній частині розглядається весь теоретичний матеріал, включаючи знайомство з проблемами, які виникнуть при вирішенні складних рівнянь.

2. У другій частині розглядаються рішення рівнянь виду:

• а cosx + bsinx = c.
• a(sinx+cosx)+bsin2x+c=0.
• рівняння, розв'язувані через зниження ступеня.

У цих рівняннях застосовуються універсальна підстановка, формули зниження ступеня, спосіб допоміжного аргументу.

3. У третій частині розглядаються проблеми втрати коренів та придбання сторонніх коренів. З'являється, як треба відбирати коріння.

Учні працюють у групах. Для вирішення прикладів викликаються добре підготовлені хлопці, які можуть показати та пояснити матеріал.

Семінар розрахований добре підготовленого учня, т.к. на ньому розглядаються питання дещо виходять за рамки програмного матеріалу. У нього включені рівняння складнішого виду, і особливо розглядаються проблеми, що виникають під час вирішення складних тригонометричних рівнянь.

Семінар проводився для учнів 10 – 11 класів. Кожен учень отримав можливість розширити і поглибити свої знання з цієї теми, порівняти рівень своїх знань не лише з вимогами, що висуваються до випускника школи, але й з вимогами, що пред'являються вступникам В.У.З.

СЕМІНАР

Тема:"Рішення тригонометричних рівнянь"

Цілі:

• Узагальнити знання у вирішенні тригонометричних рівнянь всіх типів.
• Загострити увагу до проблемах: втрата коріння; стороннє коріння; відбір коренів.

ХІД УРОКУ.

I. Вступна частина

1. Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

• Розкладання на множники.
• Введення нової змінної.
• Функціонально-графічний метод.

2. Деякі типи тригонометричних рівнянь.

• Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь, щодо cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.

Вирішуються шляхом введення нової змінної.

• Однорідні рівняння першого та другого ступеня

Рівняння першого ступеня: Asinx + Bcosx = 0 розділимо на cos x, отримаємо Atg x + B = 0

Рівняння другого ступеня: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 розділимо на cos 2 x, отримаємо Atg 2 x + Btgx + C = 0

Вирішуються методом розкладання на множники та методом введення нової змінної.

Застосовні усі методи.

• Зниження ступеня:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Вирішуються шляхом розкладання на множники.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Рівняння виду: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Зводяться до квадратних щодо t = sinx + cosx; sin2x = t 2 - 1.

3. Формули.

х + 2 n; Перевірка є обов'язковою!

• Зниження ступеня: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Метод допоміжного аргументу.

Acosx + Bsinx замінимо Csin (x + ), де sin = а/С; cos= в/З;

- Допоміжний аргумент.

4. Правила.

• Побачив квадрат – знижуй рівень.
• Побачив твір – роби суму.
• Побачив суму – роби твір.

5. Втрата коріння, зайве коріння.

• Втрата коріння: ділимо на g(х); небезпечні формули (універсальна підстановка). Цими операціями звужуємо область визначення.

• Зайві коріння: зводимо в парний ступінь; множимо на g(х) (позбавляємося від знаменника). Цими операціями розширюємо область визначення.

ІІ. Приклади тригонометричних рівнянь

1. Рівняння виду Asinx + Bcosx = C

1) Універсальна подстановка.О.Д.З. х – будь-яке.

3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0.

tgx = u. х /2 + n;

u = - 1/3.

tg x = -1/3, x = arctg (-1/3) + k, k Z.

Перевірка: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1 = 3 sin + cos + 1 = 0 - 1 + 1 = 0.

х = /2 + n, n е Z. Є коренем рівняння.

Відповідь: x = arctg(-1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Функціонально-графічний метод. О.Д.З. х – будь-яке.

Sinx - cosx = 1
Sinx = cosx +1.

Побудуємо графіки функцій: y = sinx, y = cosx +1.

Відповідь:х = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Запровадження допоміжного аргументу. О.Д.З.: х – будь-яке.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx=1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то існує таке, що sin = 8/17,

cos = 15/17, отже sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Відповідь: x = / 2 + 2n -, x = / 2 + 2n - arcsin 8/17, n Z.

2. Зниження порядку: Acos2x+Bsin2x=C. Acos2x+Bcos2x=C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – будь-яке.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x=0, cos3x=0, cosx=0.

Відповідь: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

При

k = 1 та m = 0 k = 4 та m = 1.

серії збігаються.

3. Зведення до однорідного. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – будь-яке.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 х = 0 (1) ділити на cos 2 х не можна, оскільки втрачаємо коріння.
cos 2 х = 0 задовольняє рівняння.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = -1/3 x = -/6 + n, n Z.

Відповідь: x = /2 + k, k Z., x = -/6 + n, n Z

4. Рівняння виду: А(sinx + cosx) + sin2x + С = 0.

1). 4 + 2sin2x - 5 (sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х - будь-яке.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 - 1.
4 + 2t 2 - 2 - 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 - 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = Ѕ.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin (x + / 2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (-1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Відповідь: x = (-1) k arcsin(1/22) - /4 + k, k Z.

5. Розкладання на множники.

1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx - 2) (cosx + 2 sinx) = 0.

1) сosx = 2, коріння немає.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Відповідь: x = arctg(1/2) + n, n Z.

ІІІ. Проблеми, що виникають при вирішенні тригонометричних рівнянь

1. Втрата коріння: ділимо на g(х); застосовуємо небезпечні формули.

1) Знайдіть помилку.

1 - сosx = sinx * sinx / 2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 розділимо на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х / 2 = 2 n, x = 4n, n "Z.
Втратили коріння sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Правильне рішення: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.

sin 2 х/2 = 0 x=2k, kZ.

1 - сosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Стороннє коріння: звільняємося від знаменника; зводимо у парний ступінь.

1). (sin4x - sin2x - сos3x + 2sinx - 1) : (2sin2x - 3) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx - сos3x + 2sinx - 1 = 0
(Сos3x + 1) (2sinx - 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx - 1 = 0 x = (-1) k / 6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 sin 2/3 = 3/2 не задовольняють. О.Д.З. 2. n = 1 sin 2 = 0 задовольняють О.Д.З. 3. n = 2 sin 2/3 = –3/2 задовольняють О.Д.З.

ІІ. x = (-1) k /6 + k, k Z 1. k = 0 sin 2/6 = 3/2 не задовольняють О.Д.З. 2. k = 1 sin 2 * 5/6 = -3 / 2 задовольняють О.Д.З.

Відповідь: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Основні методи вирішення рівнянь

Що таке рішення рівняння?

Тотожне перетворення. Основні

види тотожних перетворень.

Стороннє коріння. Втрата кореня.

Рішення рівняння - це процес, що полягає в основному в заміні заданого рівняння іншим рівнянням, йому рівносильним . Така заміна називаєтьсятотожним перетворенням . Основні тотожні перетворення такі:

1.

Заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому. Наприклад, рівняння (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 можна замінити наступним рівносильним:9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2.

Перенесення членів рівняння з одного боку до іншого зі зворотними знаками. Так, у попередньому рівнянні ми можемо перенести всі його члени з правої частини до лівої зі знаком «-»: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x – 10 = 0, після чого отримаємо:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

3.

Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме вираз (число), відмінне від нуля. Це дуже важливо, оскількинове рівняння може бути рівносильним попередньому, якщо вираз, яку ми множимо чи ділимо, то, можливо дорівнює нулю.

П р і м е р. Рівнянняx – 1 = 0 має єдиний коріньx = 1.

Помноживши обидві його частини наx – 3 , ми отримаємо рівняння

( x – 1)( x – 3) = 0, у якого два корені:x = 1 таx = 3.

Останнє значення не є коренем заданого рівняння

x – 1 = 0. Це так званийсторонній корінь .

І навпаки, поділ може призвести довтрати кореня . Так

у нашому випадку, якщо (x – 1 )( x – 3 ) = 0 є вихідним

рівнянням, то коріньx = 3 буде втрачено при розподілі

обох частин рівняння наx – 3 .

В останньому рівнянні (п.2) ми можемо розділити всі його члени на 3 (не нуль!) і одержимо остаточно:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Це рівняння рівносильне вихідному:

(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .

4.

можназвести обидві частини рівняння на непарний ступінь абовитягти з обох частин рівняння корінь непарного ступеня . Необхідно пам'ятати, що:

а) зведення впарний ступінь може привестидо придбання стороннього коріння ;

б)неправильне вилученнякореня парного ступеня може призвести довтрати коренів .

Приміри. Рівняння 7x = 35 має єдиний коріньx = 5 .

Звівши обидві частини цього рівняння у квадрат, отримаємо

рівняння:

49 x 2 = 1225 .

що має два корені:x = 5 іx = – 5. Останнє значення

є стороннім коренем.

Неправильне вилучення квадратного кореня з обох

частин рівняння 49x 2 = 1225 дає в результаті 7x = 35,

і ми втрачаємо коріньx = – 5.

Правильне вилучення квадратного кореня призводить до

рівняння: | 7x | = 35, а отже, до двох випадків:

1) 7 x = 35, тодіx = 5 ; 2) – 7 x = 35, тодіx = – 5 .

Отже, приправильному вилучення квадратного

кореня ми не втрачаємо коріння рівняння.

Що означаєправильно витягти корінь? Тут ми зустрічаємося

з дуже важливим поняттямарифметичного кореня

(Див. ).

Може призвести до появи так званого стороннього коріння. У цій статті ми, по-перше, детально розберемо, що таке стороннє коріння. По-друге, поговоримо про причини їхнього виникнення. І по-третє, на прикладах розглянемо основні способи відсіювання сторонніх коренів, тобто перевірки коренів щодо наявності серед них сторонніх з метою виключення їх з відповіді.

Стороннє коріння рівняння, визначення, приклади

У шкільних підручниках з алгебри немає визначення стороннього кореня. Там уявлення про стороннє коріння формується шляхом опису наступної ситуації: за допомогою деяких перетворень рівняння здійснюється перехід від вихідного рівняння до рівняння-наслідку, знаходяться корені отриманого рівняння-слідства, і здійснюється перевірка знайдених коренів підстановкою у вихідне рівняння, яка показує, що деякі зі знайдених коріння не є корінням вихідного рівняння, це коріння називають стороннім корінням для вихідного рівняння .

Відштовхуючись від цієї бази, можна прийняти таке визначення стороннього кореня:

Визначення

Стороннє коріння- це коріння отриманого в результаті проведення перетворень рівняння-наслідку, що не є корінням вихідного рівняння.

Наведемо приклад. Розглянемо рівняння і наслідок цього рівняння x·(x−1)=0 отримане в результаті заміни виразу тотожно рівним йому виразом x·(x−1) . Початкове рівняння має єдиний корінь 1 . Рівняння, отримане в результаті проведення перетворення, має два корені 0 та 1 . Значить 0 це сторонній корінь для вихідного рівняння.

Причини можливої ​​появи сторонніх коренів

Якщо для отримання рівняння-наслідку не використовувати жодні «екзотичні» перетворення, а використовувати лише основні перетворення рівнянь, то сторонні корені можуть виникнути лише з двох причин:

• через розширення ОДЗ та
• через зведення обох частин рівняння в один і той самий парний ступінь.

Тут варто нагадати, що розширення ОДЗ внаслідок перетворення рівняння переважно відбувається

• При скороченні дробів;
• При заміні банкрутом твори з одним або декількома нульовими множниками;
• При заміні банкрутом дробу з нульовим чисельником;
• При використанні деяких властивостей ступенів, коренів, логарифмів;
• При використанні деяких тригонометричних формул;
• При множенні обох частин рівняння на те саме вираз, що обертається в нуль на ОДЗ для цього рівняння;
• При звільненні у процесі рішення знаків логарифмів.

Приклад із попереднього пункту статті ілюструє появу стороннього кореня через розширення ОДЗ, яке має місце при переході від рівняння до рівняння-наслідку x·(x−1)=0 . ОДЗ для вихідного рівняння є безліч всіх дійсних чисел, за винятком нуля, ОДЗ для отриманого рівняння є безліч R, тобто ОДЗ розширюється числом нуль. Це в результаті і виявляється стороннім коренем.

Також наведемо приклад появи стороннього кореня через зведення обох частин рівняння в один і той самий парний ступінь. Ірраціональне рівняння має єдиний корінь 4 , а наслідок цього рівняння, отримане з нього шляхом зведення обох частин рівняння квадрат, тобто, рівняння має два корені 1 і 4 . З цього видно, що зведення обох частин рівняння квадрат привело до появи стороннього кореня для вихідного рівняння.

Зауважимо, що розширення ОДЗ та зведення обох частин рівняння в один і той самий парний ступінь, який не завжди призводить до появи сторонніх коренів. Наприклад, при переході від рівняння до рівняння-наслідку x=2 ОДЗ розширюється з множини всіх невід'ємних чисел до множини всіх дійсних чисел, але сторонні корені не з'являються. 2 – це єдиний корінь як першого, і другого рівняння. Також не відбувається появи сторонніх коренів при переході від рівняння до рівняння-наслідку. Єдиним коренем першого і другого рівняння є x=16 . Саме тому ми говоримо не про причини появи сторонніх коренів, а про причини можливої ​​появи сторонніх коренів.

Що таке відсіювання сторонніх коренів?

Термін «відсіювання сторонніх коренів» лише з натяжкою можна назвати усталеним, він зустрічається далеко не у всіх підручниках алгебри, але інтуїтивно зрозумілим, через що зазвичай і використовується. Що розуміють під відсіюванням сторонніх коренів, стає зрозуміло з наступної фрази: «... перевірка – обов'язковий етап вирішення рівняння, який допоможе виявити сторонні коріння, якщо вони є, і відкинути їх (зазвичай говорять «відсіяти»)» .

Таким чином,

Визначення

Відсіювання сторонніх коренів– це виявлення та відкидання сторонніх коренів.

Тепер можна переходити до способів відсіювання сторонніх коренів.

Способи відсіювання сторонніх коренів

Перевірка підстановкою

Основний спосіб відсіювання сторонніх коренів – це перевірка підстановкою. Він дозволяє відсіяти сторонні коріння, які могли виникнути і через розширення ОДЗ, і через зведення обох частин рівняння в один і той самий парний ступінь.

Перевірка підстановкою полягає в наступному: знайдені корені рівняння-наслідки по черзі підставляються у вихідне рівняння або в будь-яке рівносильне йому рівняння, ті з них, які дають правильну числову рівність, є корінням вихідного рівняння, а ті, що дають неправильну числову рівність або вираз, не має сенсу, є стороннім корінням для вихідного рівняння.

Покажемо з прикладу, як проводиться відсіювання сторонніх коренів через підстановку у вихідне рівняння.

У деяких випадках відсіювання сторонніх коренів доцільніше проводити іншими способами. Це стосується в основному тих випадків, коли перевірка підстановкою пов'язана зі значними обчислювальними труднощами або коли стандартний спосіб розв'язання рівнянь якогось певного виду передбачає іншу перевірку (наприклад, відсіювання сторонніх коренів при розв'язанні дробово-раціональних рівнянь проводиться за умовою не рівності нулю знаменника дробу ). Розберемо альтернативні способи відсіювання сторонніх коренів.

За ОДЗ

На відміну від перевірки підстановкою, відсівання сторонніх коренів по ОДЗ доречно не завжди. Справа в тому, що цей спосіб дозволяє відсівати лише сторонні корені, що виникають через розширення ОДЗ, і він не гарантує відсіювання сторонніх коренів, які могли виникнути з інших причин, наприклад, через зведення обох частин рівняння в один і той же парний ступінь . Більше того, не завжди просто знайти ОДЗ для рівняння, що вирішується. Тим не менш, спосіб відсіювання сторонніх коренів по ОДЗ варто тримати на озброєнні, оскільки часто його використання потребує менших обчислювальних робіт, ніж використання інших способів.

Відсіювання сторонніх коренів по ОДЗ проводиться таким чином: всі знайдені корені рівняння-наслідки перевіряються на предмет належності області допустимих значень змінної для вихідного рівняння або будь-якого рівносильного йому рівняння, ті з них, які належать ОДЗ, є корінням вихідного рівняння, а ті з них які не належать ОДЗ, є стороннім корінням для вихідного рівняння.

Аналіз наведеної інформації призводить до висновку, що відсіювання сторонніх коренів за ОДЗ доцільно проводити, якщо:

• легко знаходиться ОДЗ для вихідного рівняння,
• сторонні коріння могли виникнути тільки через розширення ОДЗ,
• перевірка підстановкою пов'язана із значними обчислювальними складнощами.

Покажемо, як проводиться відсіювання сторонніх коренів, на практиці.

За умовами ОДЗ

Як ми сказали в попередньому пункті, якщо сторонні корені могли виникнути лише через розширення ОДЗ, то їх можна відсіяти за ОДЗ для вихідного рівняння. Але не завжди просто знайти ОДЗ у вигляді числової множини. У таких випадках можна проводити відсіювання сторонніх коренів не за ОДЗ, а за умовами, що визначають ОДЗ. Роз'яснимо, як проводиться відсіювання сторонніх коренів за умов ОДЗ.

Знайдене коріння по черзі підставляється в умови, що визначають ОДЗ для вихідного рівняння або будь-якого рівносильного рівняння. Ті з них, які задовольняють всі умови, є корінням рівняння. А ті з них, які не задовольняють хоча б одній умові або дають вираз, що не має сенсу, є стороннім корінням для вихідного рівняння.

Наведемо приклад відсіювання сторонніх коренів за умов ОДЗ.

Відсіювання сторонніх коренів, що виникають через зведення обох частин рівняння на парний ступінь

Зрозуміло, що відсіювання сторонніх коренів, що виникають через зведення обох частин рівняння в той самий парний ступінь, можна здійснити шляхом підстановки у вихідне рівняння або будь-яке рівносильне йому рівняння. Але така перевірка може бути пов'язана із значними обчислювальними труднощами. На цей випадок варто знати альтернативний спосіб відсіювання стороннього коріння, про який ми зараз і поговоримо.

Відсіювання сторонніх коренів, які можуть виникнути при зведенні в один і той самий парний ступінь обох частин ірраціональних рівнянь виду , де n – деяке парне число, можна проводити за умовою g(x) ≥0. Це випливає з визначення кореня парного ступеня: корінь парного ступеня n є невід'ємним числом, n -а ступінь якого дорівнює підкореному числу, звідки . Таким чином, озвучений підхід є свого роду симбіозом методу зведення обох частин рівняння в один і той же ступінь і методу вирішення ірраціональних рівнянь щодо визначення кореня. Тобто, рівняння , де n -парне число, вирішується методом зведення обох частин рівняння в ту саму парну ступінь, а відсіювання сторонніх коренів виконується за умовою g(x)≥0 , взятому з методу вирішення ірраціональних рівнянь визначення кореня.

На минулому уроці під час вирішення рівнянь ми використовували три етапи.

Перший етап – технічний. За допомогою ланцюжка перетворень від вихідного рівняння ми приходимо до досить простого, яке вирішуємо та знаходимо коріння.

Другий етап – аналіз рішення. Аналізуємо перетворення, які виконали, та з'ясовуємо, чи рівносильні вони.

Третій етап – перевірка. Перевірка всіх знайдених коренів їх підстановкою у вихідне рівняння є обов'язковою при виконанні перетворень, які можуть призвести до рівняння-наслідку

Чи завжди потрібно виділяти три етапи під час вирішення рівняння?

Звісно, ​​ні. Як, наприклад, у вирішенні цього рівняння. У повсякденному житті їх зазвичай не виділяють. Але всі ці етапи потрібно «тримати в голові» і виконувати у тій чи іншій формі. Обов'язково проводити аналіз на рівносильність перетворень. І якщо аналіз показав, що потрібно виконати перевірку, вона обов'язкова. Інакше рівняння неспроможна вважатися вирішеним правильно.

Чи завжди підстановкою можна виконати перевірку коренів рівняння?

Якщо при вирішенні рівняння використовувалися рівносильні перетворення, перевірка не потрібна. При перевірці коренів рівняння дуже часто використовують ОДЗ (область допустимих значень). Якщо по ОДЗ перевірку зробити важко, виконують її підстановкою у вихідне рівняння.

Завдання 1

Вирішити рівняння квадратний корінь з двох ікс плюс три дорівнює одному плюс ікс.

Рішення

ОДЗ рівняння визначається системою двох нерівностей: два ікс плюс три більше або одно нулю і один плюс ікс більше або дорівнює нулю. Рішенням є ікс більше або одно мінус одиниці.

Зведемо обидві частини рівняння в квадрат, перенесемо доданки з однієї частини рівняння в іншу, наведемо подібні доданки, отримаємо квадратне рівняння ікс у квадраті і двом. Коріння його -

ікс перше, друге і плюс-мінус квадратний корінь з двох.

Перевірка

Значення ікс перше дорівнює квадратний корінь із двох є коренем рівняння, оскільки воно входить до ОДЗ.
Значення ікс друге дорівнює мінус квадратний корінь із двох не є коренем рівняння, т.к. воно не входить до ОДЗ.
Перевіримо корінь ікс і квадратний корінь із двох, підставивши їх у вихідну рівність, отримаємо

правильна рівність, отже, ікс дорівнює квадратному кореню з двох є коренем рівняння.

Відповідь: квадратний корінь із двох.

Завдання 2

Вирішити рівняння квадратний корінь з ікс мінус вісім і п'ять мінус ікс.

Рішення

ОДЗ ірраціонального рівняння визначається системою двох нерівностей: ікс мінус вісім більше або дорівнює нулю та п'ять мінус ікс більше або дорівнює нулю. Вирішуючи її, отримуємо, що ця система не має рішень. Коренем рівняння не може бути жодне зі значень змінної ікс.

Відповідь: коріння немає.

Завдання 3

Вирішити рівняння квадратний корінь з ікс в кубі плюс чотири ікс мінус один мінус вісім квадратних коренів з ікс четвертою мірою мінус ікс і квадратний корінь з ікс в кубі мінус один плюс два квадратні корені з ікс.

Рішення

Знайти ОДЗ у цьому рівнянні досить складно.

Виконаємо перетворення: зведемо обидві частини цього рівняння квадрат,

перенесемо всі доданки в ліву частину рівняння і наведемо подібні доданки, два корені запишемо під один, отримаємо подібні радикали, наводимо подібні, ділимо на коефіцієнт мінус 12, і розкладаємо підкорене вираз на множники, отримаємо рівняння у вигляді добутку двох множників, що дорівнює ну. Вирішивши його, знайдемо коріння:

ікс перше дорівнює одиниці, ікс друге дорівнює нулю.

Оскільки обидві частини рівняння зводили на парний ступінь, то перевірка коренів обов'язкова.

Перевірка

Якщо ікс дорівнює одиниці, то

отримаємо правильну рівність, отже, ікс дорівнює одиниці - корінь рівняння.

Якщо ікс дорівнює нулю, квадратний корінь з мінус одиниці не визначений.

Значить, ікс дорівнює нулю – сторонній корінь.

Відповідь: одна.

Завдання 4

Розв'язати рівняння логарифм виразу ікс квадрат плюс п'ять ікс плюс два на підставі два дорівнює трьом.

Рішення

Знайдемо ОДЗ рівняння. Для цього вирішимо нерівність ікс квадрат плюс п'ять ікс плюс два більше за нуль.

Вирішуємо нерівність шляхом інтервалів. Для цього розкладемо його ліву частину на множники, попередньо розв'язавши квадратне рівняння, та враховуючи знак нерівності, визначаємо ОДЗ. ОДЗ дорівнює об'єднанню відкритих променів від мінус нескінченності до мінус дробу п'ять плюс квадратний корінь із сімнадцяти, поділене на два, і від мінус дробу п'ять мінус квадратний корінь із сімнадцяти, поділене на два, до плюс нескінченності.

Тепер приступимо до пошуку коренів рівняння. Враховуючи, що три дорівнює логарифму восьми на підставі два, запишемо рівняння в наступному вигляді: логарифм виразу ікс квадрат плюс п'ять ікс плюс два на основі два дорівнює логарифму восьми на підставі два. Потенціюємо рівняння, отримаємо і розв'яжемо квадратне рівняння.

Дискримінант дорівнює сорока дев'яти.

Обчислюємо коріння:

ікс перше одно мінус шести; ікс друге дорівнює одиниці.

Перевірка

Мінус шість належить ОДЗ, одиниця належить ОДЗ, отже, обидва числа є корінням рівняння.

Відповідь: мінус шість; один.

Минулого уроці ми розглядали питання про появу сторонніх коренів. Ми можемо їх знайти за допомогою перевірки. А чи можна при вирішенні рівняння втратити коріння та як цього не допустити?

При виконанні таких дій над рівнянням, як, по-перше, розподіл обох частин рівняння на один і той же вираз аш від ікс (крім тих випадків, коли точно відомо, що аш від ікс не дорівнює нулю при будь-якому ікс з області визначення рівняння) ;

по - друге, звуження ОДЗ рівняння у процесі рішення може призвести до втрати коренів рівняння.

Запам'ятайте!

Рівняння, записане у вигляді

еф від ікс помножене на аш від ікс дорівнює же від ікс помножене на аш від ікс вирішується таким чином:

потрібно розкласти на множники винесенням за дужки загального множника;

потім кожен множник прирівняти до нуля, тим самим отримаємо два рівняння.

Обчислюємо їх коріння.

Завдання 1

Розв'язати рівняння ікс куб і ікс.

Перший спосіб

Розділимо обидві частини даного рівняння на ікс, отримаємо ікс квадрат одно одиниці, що має коріння ікс перше одно одиниці,

ікс друге дорівнює мінус одиниці.

Другий спосіб

Ікс куб і ікс. Перенесемо ікс у ліву частину рівняння, винесемо ікс за дужки, отримаємо: ікс, помножений на ікс квадрат, мінус один і нулю.

Обчислимо його коріння:

Ікс перше дорівнює нулю, ікс друге одно одиниці, ікс третє одно мінус одиниці.

Рівняння має три корені.

При вирішенні першим способом ми втратили один корінь - ікс дорівнює нулю.

Відповідь: мінус один; нуль; один.

Запам'ятайте! Скорочення обох частин рівняння на множник, що містить невідоме, може призвести до втрати коріння.

Завдання 2

Розв'язати рівняння десятковий логарифм ікс у квадраті дорівнює двом.

Рішення

Перший спосіб

За визначенням логарифму, отримаємо квадратне рівняння ікс квадрат одно сто.

Його коріння: ікс перше дорівнює десяти; ікс друге дорівнює мінус десяти.

Другий спосіб

За властивістю логарифму маємо два десяткові логарифми ікс одно двом.

Його корінь - ікс дорівнює десяти

При другому способі відбулася втрата кореня ікс дорівнює мінус десяти. А причина в тому, що застосували неправильну формулу, що звужує область визначення рівняння. Вираз десятковий логарифм ікс у квадраті визначено всім ікс, крім ікс дорівнює нулю. Вираз десятковий логарифм ікс - для ікс більше за нуль. Правильна формула десятковий логарифм ікс квадрат дорівнює двом десятковим логарифмам модуль ікс.

Запам'ятайте! При розв'язанні рівняння грамотно використовуйте наявні формули.

Втрата коріння та стороннє коріння при вирішенні рівнянь

МОУ "ЗОШ №2 із поглибленим вивченням окремих предметів" міста Всеволожська. Дослідницьку роботу підготував учень 11 Б класу Васильєв Василь. Керівник проекту: Єгорова Людмила Олексіївна.

Для початку розглянемо різні способи розв'язання даного рівняння sinx+cosx =- 1

Рішення №1 sinx+cosx =-1 я У х 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Відповідь: +2

Рішення №2 sinx + cosx = - 1 я Відповідь: +2 у х 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin) = 0 cos = 0 cos + sin = 1 = + m tg = -1 = + m = - + x = - +2 x = +2

Рішення №3 я у х 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Відповідь:

sinx+cosx =-1 Рішення №4 я у х 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Відповідь: - + 2 n

Звіримо рішення Вірні рішення Розберемося, в яких випадках може з'явитися стороннє коріння і чому №2 Відповідь: +2 №3 Відповідь: №4 Відповідь: + 2 n №1 Відповідь: +2

Перевірка рішення Чи потрібно перевірити? Перевіряти коріння про всяк випадок, для надійності? Це, звичайно, корисно, коли підставити просто, але математики народ раціональний і зайвих дій не роблять. Розглянемо різні випадки та згадаємо, коли перевірка справді потрібна.

1. Найпростіші готові формули у випадках, коли коріння знайдено за найпростішими, готовими формулами, то перевірку можна не робити. Тим не менш, при використанні таких формул слід пам'ятати умови, за яких їх можна застосовувати. Наприклад, формулу = можна використовувати за умови a 0 , -4ac 0 А грубої помилкою вважається відповідь x= arccos2+2 для рівняння cosx =2 , оскільки формулою x= arccos a +2 можна скористатися лише коренів рівняння cosx =a , де | a | 1

2 . Перетворення Найчастіше під час вирішення рівнянь доводиться проводити багато перетворень. Якщо рівняння замінити на нове, що має всі коріння попереднього, і перетворювати його так, щоб не сталося втрати або придбання коренів, то такі рівняння називаються рівносильними. 1. При перенесенні складових рівняння з однієї частини до іншої. 2 . При додаванні до обох частин того самого числа. 3 . При множенні обох частин рівняння на те саме не дорівнює нулю число. 4 . При застосуванні тотожності, вірних на безлічі всіх дійсних чисел. При цьому перевірка не є обов'язковою!

Проте, не всяке рівняння можна вирішити рівносильними перетвореннями. Найчастіше доводиться застосовувати нерівносильні перетворення. Часто такі перетворення засновані на користуванні формул, вірних не за всіх дійсних значень. При цьому, зокрема, змінюється область визначення рівняння. Така помилка перебуває у рішенні №4. Розберемо помилку, але спочатку знову подивимося на спосіб рішення №4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Помилка криється у формулі sin2x= Цією формулою користуватися можна, тільки слід додатково перевірити, чи є корінням числа виду + ​​при яких не визначено tg. Тепер ясно, що у вирішенні втрата коріння. Доведемо його до кінця.

Рішення №4 я у х 0 1 Перевіримо числа = + n підстановкою: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Значить x= +2 n є коренем рівняння Відповідь: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Ми розглянули один із способів втрати коріння, в математиці їх безліч, тому потрібно вирішувати уважно, пам'ятаючи всі правила. Також, як можна втратити коріння рівняння, можна придбати зайві в ході його рішення. Розглянемо рішення №3 у якому допущено таку помилку.

Рішення №3 я у х 0 1 2 2 і зайве коріння! Стороннє коріння могло з'явитися, коли обидві частини рівняння були зведені в квадрат. І тут необхідно зробити перевірку. При n=2k маємо sin k+cos k=-1; cos k=-1 при k=2m-1 , Тоді n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Відповідь: +2 При n=2k+1 маємо sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 при k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Отже, ми розглянули кілька можливих випадків, яких безліч. Намагайтеся не витрачати свій час і не робити дурних помилок.