Pirmskaitlis. Skaitļi. Pirmskaitļi Algoritmi pirmskaitļu meklēšanai un atpazīšanai

Šajā rakstā mēs izpētīsim pirmskaitļi un saliktie skaitļi. Pirmkārt, mēs sniegsim pirmskaitļu un salikto skaitļu definīcijas, kā arī sniegsim piemērus. Pēc tam mēs pierādīsim, ka ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu. Tālāk mēs pierakstīsim pirmskaitļu tabulu un apsvērsim metodes pirmskaitļu tabulas sastādīšanai, īpašu uzmanību pievēršot metodei, ko sauc par Eratostena sietu. Noslēgumā mēs izcelsim galvenos punktus, kas jāņem vērā, pierādot, ka dots skaitlis ir pirmskaitlis vai salikts.

Lapas navigācija.

Pirmskaitļi un saliktie skaitļi — definīcijas un piemēri

Pirmskaitļu un salikto skaitļu jēdzieni attiecas uz skaitļiem, kas ir lielāki par vienu. Šādus veselus skaitļus atkarībā no to pozitīvo dalītāju skaita iedala pirmskaitļos un saliktos skaitļos. Tātad, lai saprastu pirmskaitļu un salikto skaitļu definīcijas, jums ir labi jāsaprot, kas ir dalītāji un reizinātāji.

Definīcija.

Pirmskaitļi ir veseli skaitļi, lielas vienības, kurām ir tikai divi pozitīvi dalītāji, proti, paši un 1.

Definīcija.

Saliktie skaitļi ir veseli skaitļi, lieli, kuriem ir vismaz trīs pozitīvi dalītāji.

Atsevišķi mēs atzīmējam, ka skaitlis 1 neattiecas ne uz pirmskaitļiem, ne uz saliktiem skaitļiem. Vienībai ir tikai viens pozitīvs dalītājs, kas ir pats skaitlis 1. Tas atšķir skaitli 1 no visiem citiem pozitīviem veseliem skaitļiem, kuriem ir vismaz divi pozitīvi dalītāji.

Ņemot vērā, ka pozitīvi veseli skaitļi ir , un ka vienam ir tikai viens pozitīvs dalītājs, mēs varam sniegt citus formulējumus norādītajām primāro un salikto skaitļu definīcijām.

Definīcija.

Pirmskaitļi ir naturāli skaitļi, kuriem ir tikai divi pozitīvi dalītāji.

Definīcija.

Saliktie skaitļi ir naturāli skaitļi, kuriem ir vairāk nekā divi pozitīvi dalītāji.

Ņemiet vērā, ka katrs pozitīvs vesels skaitlis, kas ir lielāks par vienu, ir pirmskaitlis vai salikts skaitlis. Citiem vārdiem sakot, nav neviena vesela skaitļa, kas nebūtu ne primārs, ne salikts. Tas izriet no dalāmības īpašības, kas nosaka, ka skaitļi 1 un a vienmēr ir jebkura vesela skaitļa a dalītāji.

Pamatojoties uz informāciju iepriekšējā punktā, mēs varam sniegt šādu salikto skaitļu definīciju.

Definīcija.

Tiek izsaukti naturālie skaitļi, kas nav pirmskaitļi salikts.

Dosim pirmskaitļu un salikto skaitļu piemēri.

Salikto skaitļu piemēri ir 6, 63, 121 un 6697. Arī šis apgalvojums ir jāprecizē. Skaitlim 6 papildus pozitīvajiem dalītājiem 1 un 6 ir arī dalītāji 2 un 3, jo 6 = 2 3, tāpēc 6 patiešām ir salikts skaitlis. Pozitīvie faktori 63 ir skaitļi 1, 3, 7, 9, 21 un 63. Skaitlis 121 ir vienāds ar reizinājumu 11·11, tāpēc tā pozitīvie dalītāji ir 1, 11 un 121. Un skaitlis 6697 ir salikts, jo tā pozitīvie dalītāji papildus 1 un 6697 ir arī skaitļi 37 un 181.

Noslēdzot šo punktu, es vēlos pievērst uzmanību arī tam, ka pirmskaitļi un pirmskaitļi nebūt nav viens un tas pats.

Pirmskaitļu tabula

Pirmskaitļi to turpmākās izmantošanas ērtībai tiek ierakstīti tabulā, ko sauc par pirmskaitļu tabulu. Zemāk ir pirmskaitļu tabula līdz 1000.

Rodas loģisks jautājums: "Kāpēc mēs aizpildījām pirmskaitļu tabulu tikai līdz 1000, vai nav iespējams izveidot tabulu ar visiem esošajiem pirmskaitļiem"?

Vispirms atbildēsim uz šī jautājuma pirmo daļu. Lielākajai daļai problēmu, kurās ir jāizmanto pirmskaitļi, pietiks ar pirmskaitļiem tūkstoš robežās. Citos gadījumos, visticamāk, nāksies ķerties pie kādiem īpašiem risinājumu paņēmieniem. Lai gan mēs noteikti varam izveidot pirmskaitļu tabulu līdz pat patvaļīgi lielam galīgam pozitīvam veselam skaitlim, neatkarīgi no tā, vai tas ir 10 000 vai 1 000 000 000, nākamajā rindkopā mēs runāsim par pirmskaitļu tabulu izveides metodēm, jo īpaši mēs apskatīsim metodi. sauca.

Tagad apskatīsim iespēju (vai drīzāk, neiespējamību) sastādīt visu esošo pirmskaitļu tabulu. Mēs nevaram izveidot tabulu ar visiem pirmskaitļiem, jo ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu. Pēdējais apgalvojums ir teorēma, kuru mēs pierādīsim pēc sekojošās palīgteorēmas.

Teorēma.

Mazākais pozitīvais dalītājs, kas nav 1 no naturāla skaitļa, kas lielāks par vienu, ir pirmskaitlis.

Pierādījums.

Ļaujiet a ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par vienu, un b ir mazākais pozitīvais a dalītājs, kas atšķiras no viena. Pierādīsim, ka b ir pirmskaitlis ar pretrunu.

Pieņemsim, ka b ir salikts skaitlis. Tad ir skaitļa b dalītājs (apzīmēsim to ar b 1), kas atšķiras gan no 1, gan no b. Ja ņemam vērā arī to, ka dalītāja absolūtā vērtība nepārsniedz dividendes absolūto vērtību (to zinām pēc dalāmības īpašībām), tad jāizpilda nosacījums 1

Tā kā skaitlis a dalās ar b saskaņā ar nosacījumu, un mēs teicām, ka b dalās ar b 1, tad dalāmības jēdziens ļauj runāt par veselu skaitļu q un q 1 esamību tā, ka a=b q un b=b 1 q 1 , no kurienes a= b 1 · (q 1 · q) . No tā izriet, ka divu veselu skaitļu reizinājums ir vesels skaitlis, tad vienādība a=b 1 ·(q 1 ·q) norāda, ka b 1 ir skaitļa a dalītājs. Ņemot vērā iepriekš minētās nevienlīdzības 1

Tagad mēs varam pierādīt, ka ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu.

Teorēma.

Ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu.

Pierādījums.

Pieņemsim, ka tas tā nav. Tas ir, pieņemsim, ka ir tikai n pirmskaitļi, un šie pirmskaitļi ir p 1, p 2, ..., p n. Parādīsim, ka mēs vienmēr varam atrast pirmskaitli, kas atšķiras no norādītajiem.

Apsveriet skaitli p, kas vienāds ar p 1 · p 2 ·… · p n +1. Ir skaidrs, ka šis skaitlis atšķiras no katra pirmskaitļa p 1, p 2, ..., p n. Ja skaitlis p ir pirmskaitlis, tad teorēma ir pierādīta. Ja šis skaitlis ir salikts, tad saskaņā ar iepriekšējo teorēmu šim skaitļam ir pirmdalītājs (apzīmējam ar p n+1). Parādīsim, ka šis dalītājs nesakrīt ne ar vienu no skaitļiem p 1, p 2, ..., p n.

Ja tas tā nebūtu, tad pēc dalāmības īpašībām reizinājums p 1 ·p 2 ·…·p n tiktu dalīts ar p n+1. Taču skaitlis p dalās arī ar p n+1, kas ir vienāds ar summu p 1 ·p 2 ·…·p n +1. No tā izriet, ka p n+1 jādala šīs summas otrais loceklis, kas ir vienāds ar vienu, bet tas nav iespējams.

Tādējādi ir pierādīts, ka vienmēr var atrast jaunu pirmskaitļu, kas nav iekļauts nevienā iepriekšnoteikto pirmskaitļu skaitā. Tāpēc pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz.

Tātad, ņemot vērā to, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz, sastādot pirmskaitļu tabulas, jūs vienmēr ierobežojat sevi no augšas uz kādu skaitli, parasti 100, 1000, 10 000 utt.

Eratostena siets

Tagad mēs apspriedīsim veidus, kā izveidot pirmskaitļu tabulas. Pieņemsim, ka mums ir jāizveido tabula ar pirmskaitļiem līdz 100.

Acīmredzamākā metode šīs problēmas risināšanai ir secīgi pārbaudīt pozitīvus veselus skaitļus, sākot no 2 un beidzot ar 100, lai noteiktu pozitīvu dalītāju, kas ir lielāks par 1 un mazāks par pārbaudāmo skaitli (no mums zināmajām dalāmības īpašībām ka dalītāja absolūtā vērtība nepārsniedz dividendes absolūto vērtību, kas nav nulle). Ja šāds dalītājs netiek atrasts, tad pārbaudāmais skaitlis ir pirmskaitlis, un tas tiek ievadīts pirmskaitļu tabulā. Ja tiek atrasts šāds dalītājs, tad pārbaudāmais skaitlis ir salikts, tas NAV ievadīts pirmskaitļu tabulā. Pēc tam notiek pāreja uz nākamo skaitli, kas līdzīgi tiek pārbaudīts, vai nav dalītāja.

Aprakstīsim dažus pirmos soļus.

Mēs sākam ar skaitli 2. Skaitlim 2 nav citu pozitīvu dalītāju, izņemot 1 un 2. Tāpēc tas ir vienkārši, tāpēc mēs to ievadām pirmskaitļu tabulā. Šeit jāsaka, ka 2 ir mazākais pirmskaitlis. Pārejam pie 3. numura. Tā iespējamais pozitīvais dalītājs, kas nav 1 un 3, ir skaitlis 2. Bet 3 nedalās ar 2, tāpēc 3 ir pirmskaitlis, un tas ir jāiekļauj arī pirmskaitļu tabulā. Pārejam pie 4. numura. Tās pozitīvie dalītāji, kas nav 1 un 4, var būt skaitļi 2 un 3, pārbaudīsim tos. Skaitlis 4 dalās ar 2, tāpēc 4 ir salikts skaitlis, un tas nav jāiekļauj pirmskaitļu tabulā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka 4 ir mazākais saliktais skaitlis. Pārejam pie 5. numura. Mēs pārbaudām, vai vismaz viens no skaitļiem 2, 3, 4 ir tā dalītājs. Tā kā 5 nedalās ar 2, 3 vai 4, tad tas ir pirmskaitlis, un tas ir jāpieraksta pirmskaitļu tabulā. Pēc tam notiek pāreja uz skaitļiem 6, 7 un tā tālāk līdz 100.

Šī pieeja pirmskaitļu tabulas sastādīšanai ir tālu no ideāla. Tā vai citādi viņam ir tiesības pastāvēt. Ņemiet vērā, ka, izmantojot šo veselo skaitļu tabulas veidošanas metodi, varat izmantot dalāmības kritērijus, kas nedaudz paātrinās dalītāju atrašanas procesu.

Ir ērtāks veids, kā izveidot pirmskaitļu tabulu, ko sauc. Vārds “siets” nosaukumā nav nejaušs, jo šīs metodes darbības palīdz it kā “izsijāt” veselus skaitļus un lielas vienības caur Eratostena sietu, lai atdalītu vienkāršus no saliktajiem.

Sastādot pirmskaitļu tabulu līdz 50, parādīsim darbībā Eratostena sietu.

Vispirms secībā pierakstiet skaitļus 2, 3, 4, ..., 50.

Pirmais uzrakstītais skaitlis 2 ir pirmskaitlis. Tagad no skaitļa 2 mēs secīgi virzāmies pa labi par diviem skaitļiem un izsvītrojam šos skaitļus, līdz sasniedzam apkopojamās skaitļu tabulas beigas. Tādējādi tiks izsvītroti visi skaitļi, kas ir divi reizinātāji.

Pirmais cipars pēc 2, kas nav izsvītrots, ir 3. Šis skaitlis ir galvenais. Tagad no skaitļa 3 mēs konsekventi virzāmies pa labi par trim cipariem (ņemot vērā jau izsvītrotos skaitļus) un tos izsvītrojam. Tādējādi tiks izsvītroti visi skaitļi, kas ir trīs reizes.

Pirmais cipars pēc 3, kas nav izsvītrots, ir 5. Šis skaitlis ir galvenais. Tagad no skaitļa 5 mēs konsekventi pārejam pa labi par 5 cipariem (ņemam vērā arī iepriekš izsvītrotos ciparus) un izsvītrojam. Tādējādi tiks izsvītroti visi skaitļi, kas ir pieci reizinātāji.

Tālāk mēs izsvītrojam skaitļus, kas ir 7 reizinātāji, pēc tam reizināti ar 11 un tā tālāk. Process beidzas, kad vairs nav skaitļu, ko pārsvītrot. Zemāk ir aizpildīta pirmskaitļu tabula līdz 50, kas iegūta, izmantojot Eratosthenes sietu. Visi nesvītrotie skaitļi ir pirmskaitļi, un visi pārsvītroti skaitļi ir salikti.

Tāpat formulēsim un pierādīsim teorēmu, kas paātrinās pirmskaitļu tabulas sastādīšanas procesu, izmantojot Eratostena sietu.

Teorēma.

Saliktā skaitļa a mazākais pozitīvais dalītājs, kas atšķiras no viena, nepārsniedz , kur ir no a .

Pierādījums.

Ar burtu b apzīmēsim saliktā skaitļa a mazāko dalītāju, kas atšķiras no viena (skaitlis b ir pirmskaitlis, kā izriet no iepriekšējās rindkopas pašā sākumā pierādītās teorēmas). Tad ir tāds vesels skaitlis q, ka a=b·q (šeit q ir pozitīvs vesels skaitlis, kas izriet no veselu skaitļu reizināšanas noteikumiem), un (b>q gadījumā tiek pārkāpts nosacījums, ka b ir mazākais a dalītājs , jo q ir arī skaitļa a dalītājs vienādības a=q·b dēļ). Reizinot abas nevienlīdzības puses ar pozitīvu un veselu skaitli, kas ir lielāks par vienu (mums ir atļauts to darīt), mēs iegūstam , No kura un .

Ko mums sniedz pārbaudītā teorēma par Eratostena sietu?

Pirmkārt, izsvītrojot saliktos skaitļus, kas ir pirmskaitļa b daudzkārtņi, jāsāk ar skaitli, kas vienāds ar (tas izriet no nevienlīdzības). Piemēram, skaitļu, kas ir divi reizinātāji, izsvītrošanai jāsākas ar skaitli 4, skaitļa trīs reizinātājiem ar skaitli 9, skaitļu pieci reizinājumiem ar skaitli 25 un tā tālāk.

Otrkārt, pirmskaitļu tabulas sastādīšanu līdz skaitlim n, izmantojot Eratostena sietu, var uzskatīt par pabeigtu, ja visi saliktie skaitļi, kas ir pirmskaitļu daudzkārtņi, nepārsniedz . Mūsu piemērā n=50 (jo mēs veidojam tabulu ar pirmskaitļiem līdz 50), un tāpēc Eratostena sietam ir jāizslēdz visi saliktie skaitļi, kas ir pirmskaitļu 2, 3, 5 un 7 daudzkārtņi. nepārsniedz aritmētisko kvadrātsakni no 50. Tas nozīmē, ka mums vairs nav jāmeklē un jāizsvītro skaitļi, kas ir pirmskaitļu 11, 13, 17, 19, 23 un tā reizināti līdz 47, jo tie jau tiks izsvītroti kā mazāku pirmskaitļu 2 reizinātāji. , 3, 5 un 7 .

Vai šis skaitlis ir pirmskaitlis vai salikts?

Dažiem uzdevumiem ir jānoskaidro, vai dotais skaitlis ir pirmskaitlis vai salikts skaitlis. Kopumā šis uzdevums nebūt nav vienkāršs, it īpaši cipariem, kuru rakstīšana sastāv no ievērojama skaita rakstzīmju. Vairumā gadījumu ir jāmeklē kāds konkrēts veids, kā to atrisināt. Tomēr mēģināsim dot virzienu domu gājienam vienkāršiem gadījumiem.

Protams, varat mēģināt izmantot dalāmības testus, lai pierādītu, ka dotais skaitlis ir salikts. Ja, piemēram, kāds dalāmības tests parāda, ka dots skaitlis dalās ar kādu pozitīvu veselu skaitli, kas ir lielāks par vienu, tad sākotnējais skaitlis ir salikts.

Piemērs.

Pierādiet, ka 898 989 898 989 898 989 ir salikts skaitlis.

Risinājums.

Šī skaitļa ciparu summa ir 9·8+9·9=9·17. Tā kā skaitlis, kas vienāds ar 9·17, dalās ar 9, tad pēc dalījuma ar 9 varam teikt, ka sākotnējais skaitlis arī dalās ar 9. Tāpēc tas ir salikts.

Šīs pieejas būtisks trūkums ir tas, ka dalāmības kritēriji neļauj pierādīt skaitļa pirmšķirīgumu. Tāpēc, pārbaudot skaitli, lai noskaidrotu, vai tas ir primārais vai saliktais, jums jārīkojas citādi.

Loģiskākā pieeja ir izmēģināt visus iespējamos dotā skaitļa dalītājus. Ja neviens no iespējamajiem dalītājiem nav patiess dotā skaitļa dalītājs, tad šis skaitlis būs pirmskaitlis, pretējā gadījumā tas būs salikts. No iepriekšējā punktā pierādītajām teorēmām izriet, ka dotā skaitļa a dalītāji ir jāmeklē starp pirmskaitļiem, kas nepārsniedz . Tādējādi doto skaitli a var secīgi dalīt ar pirmskaitļiem (kurus ērti ņemt no pirmskaitļu tabulas), mēģinot atrast skaitļa a dalītāju. Ja ir atrasts dalītājs, tad skaitlis a ir salikts. Ja starp pirmskaitļiem, kas nepārsniedz , nav skaitļa a dalītāja, tad skaitlis a ir galvenais.

Piemērs.

Numurs 11 723 vienkāršs vai salikts?

Risinājums.

Noskaidrosim, līdz kādam pirmskaitļam var būt skaitļa 11 723 dalītāji. Lai to izdarītu, novērtēsim.

Tas ir diezgan acīmredzami , kopš 200 2 = 40 000 un 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью skaitļu salīdzinājums). Tādējādi iespējamie pirmfaktori 11 723 ir mazāki par 200. Tas jau ievērojami atvieglo mūsu uzdevumu. Ja mēs to nezinātu, mums būtu jāiziet cauri visi pirmskaitļi nevis līdz 200, bet līdz skaitlim 11 723.

Ja vēlaties, varat novērtēt precīzāk. Tā kā 108 2 = 11 664 un 109 2 = 11 881, tad 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Tādējādi jebkurš no pirmskaitļiem, kas ir mazāks par 109, potenciāli ir dotā skaitļa 11 723 galvenais koeficients.

Tagad mēs secīgi sadalīsim skaitli 11 723 pirmskaitļos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Ja skaitli 11 723 dala ar kādu no rakstītajiem pirmskaitļiem, tad tas būs salikts. Ja tas nedalās ne ar vienu no uzrakstītajiem pirmskaitļiem, tad sākotnējais skaitlis ir pirmskaitlis.

Mēs neaprakstīsim visu šo vienmuļo un vienmuļo dalīšanās procesu. Teiksim uzreiz, ka 11 723

§2 Pirmskaitļi.

1. lpp. Pirmskaitļi un saliktie skaitļi.

Cik dalītāju var būt naturālam skaitlim? Skaitlim 1 ir tikai viens dalītājs. Katram naturālajam skaitlim ir divi dalītāji: 1 un pats skaitlis A. Ir skaitļi, kuriem nav citu dalītāju.

Definīcija . Dabiskais skaitlis r sauc par pirmskaitļu, ja tam ir tieši divi dalītāji: 1 un p.

Definīcija . Naturālu skaitli a sauc par saliktu, ja tam papildus 1 un a ir arī vismaz viens dalītājs.

komentēt. Skaitlis 1 nav ne salikts, ne pirmskaitlis.

Daudzi N var iedalīt trīs apakšgrupās.

1 ir skaitlis, kuram ir viens dalītājs.
Pirmskaitļi, kuriem ir tieši divi dalītāji.
Salikti skaitļi, kuriem ir vismaz trīs dalītāji.

Pierakstīsim dažus pirmos pirmskaitļus:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

Vai šī secība ir bezgalīga, vai arī mēs varam uzskaitīt visus pirmskaitļus? Atbilde Eiklidam jau bija zināma.

Teorēma. (Eiklids)

Pirmskaitļu kopa ir bezgalīga.

Pierādījums. “
"Ļaujiet
- visu pirmskaitļu kopa, kur - pēdējais (lielākais) pirmskaitlis.

Izveidosim skaitli
. Acīmredzot
, nozīmē, N- salikts.
ir sadalīts vienā no vienkāršajiem, piemēram, uz . Bet tad pēc dalāmības īpašībām 1 tiek dalīts ar , kas nav iespējams.

Apskatīsim dažas pirmskaitļu elementāras īpašības.

1. Ļaujiet
- naturālā skaitļa a mazākais dalītājs.

Tad lpp- pirmskaitlis.

Pierādījums. Ļaujiet d- kāds skaitļa dalītājs lpp.

Bet lpp- mazākais dalītājs
vai
lpp- vienkāršs.

2. Ļaujiet
- saliktā skaitļa mazākais dalītājs A.

Tad

Pierādījums. a-salikts, nozīmē

Pēc nosacījuma

3. Ļaujiet a būt naturāls skaitlis, lpp- pirmskaitlis.

Tad a tiek dalīts ar lpp, vai A Un lpp savstarpēji vienkārši.

Pierādījums. Ļaujiet
. D- galvenais dalītājs
vai

Ja d=1, tad a un lpp savstarpēji vienkārši.

Ja d=lpp, tad a tiek dalīts ar r.

4. Ļaujiet lpp- pirmskaitlis, a reizinājums b dalīts ar lpp, tad a tiek dalīts ar lpp vai b dalīts ar r.

Pierādījums. Ja a nedalās ar lpp, pēc tam pēc īpašuma 3 GCD(A, lpp)=1.

Bet tad pēc 2 kopskaitļu īpašības b dalīts ar r.

1. piezīme. 4. īpašību var viegli vispārināt ar indukciju: ja reizinājums
dalāms ar pirmskaitli lpp, tad ir faktors , kas ir sadalīts r.

2. piezīme. Ja darbs
dalāms ar pirmskaitli lpp, un visi faktori ir pirmskaitļi, tad vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar p.

Sastādīt pirmskaitļu sarakstu, kas nepārsniedz doto skaitli N, izmantojiet algoritmu, ko sauc par "Eratostena sietu".

Pierakstīsim naturālos skaitļus no 2 līdz N.

Skaitlis 2 ir galvenais. No saraksta izsvītrosim visus skaitļus, kas ir 2 reizes (izņemot 2). Pirmais no atlikušajiem, numurs 3, būs galvenais. No saraksta izsvītrosim visus skaitļus, kas ir 3 reizinātāji (izņemot 3). Pirmais no atlikušajiem skaitļiem, 5, būs pirmais. Tad izsvītrojam visus skaitļus, kas ir 5 reizinātāji (izņemot skaitli 5) un tā tālāk.

Algoritms apstāsies, kad neizsvītrotais skaitlis kļūs lielāks par
. Patiešām, pēc 2. rekvizīta visiem saliktajiem skaitļiem mūsu sarakstā ir dalītājs
. Tas nozīmē, ka tie jau ir izsvītroti.

Visi pārējie skaitļi ir pirmskaitļi.

Piemērs. Atrodiet visus pirmskaitļus intervālā no 2 līdz 100.

Risinājums. Izsvītrosim (izcelsim) skaitļus, kas ir 2 reizes (1. att.).

Nākamais pirmskaitlis
visi pārējie skaitļi ir pirmskaitļi (5. att.).

komentēt. Ja lpp- pirmais cipars nav izsvītrots, tad visi skaitļi ir mazāki jau ir izsvītrotas.
Izsvītrojiet skaitļa reizinātājus lpp jūs varat sākt ar .

2. klauzula Faktorizācija.

Saliktajam skaitlim 495 ir dalītājs 5, kas nozīmē
. Otrs faktors ir arī salikts skaitlis
. Turpinot procesu, jūs varat sākotnēji faktorizēt numuru

Definīcija . Saliktā skaitļa faktorēšana N sauc par sadalīšanos N galvenajos faktoros.

Acīmredzamākais veids, kā faktorēt skaitli N reducē, lai uzskaitītu visus iespējamos galvenos dalītājus,
.

Piemērs. Koeficients skaitlis 323.

Ņemiet vērā, ka
. Tas nozīmē, ka dalītājs jāmeklē starp pirmskaitļiem
. Pārlūkojot tos pa vienam, mēs to atklājam

Piemērs. Pierādiet, ka 919 ir pirmskaitlis.

Jo
, tad mazākais pirmskaitļa dalītājs nepārsniedz 29. Pārbaudot, pārliecināsimies, ka 919 nedalās ar pirmskaitļiem.
- pirmskaitlis.

Lieliem naturāliem skaitļiem aplūkotā metode ir neefektīva. Daudzi matemātiķi meklēja vienkāršākas faktorizācijas metodes, kas prasīja mazāk aprēķinu.

I. Fermā metode.

Ļaujiet N- dotais numurs,
. Skaitļu veidošana

Ja viens no tiem izrādās precīzs kvadrāts, tad iegūstam vienādību
, vai
.

Meklēšana jāveic līdz vērtībai
. (Šajā gadījumā
Un
). Ja precīzs kvadrāts toreiz nesanāca N- pirmskaitlis.

Piemērs. Faktorizēt N=9271.

Mums ir
, kas nozīmē m=97. Aprēķināsim secīgi: .

II. Eilera metode.

Eilers ieteica pierakstīt numuru N kā summa
, Kur d- īpaši izvēlēts reizinātājs, lai GCD (x, g d)=1. lielums d atkarīgs no numura veida N. Tātad, ja N=4k+1 tad d=1 ja N=6k+1 tad d=3 utt. Kopumā Eilers norādīja 65 faktorus d dažādiem veidiem N.

Ja N pasniegts kā
divos veidos (ar to pašu d), Tas N var faktorizēt.

Piemēram, ļaujiet

Tad kur GCD(u,v)=1.

Mēs iegūstam sistēmu:
Un

risinot, mēs atrodam: .

Piemērs. Faktorizēt N = 2197.

Tādējādi u=2, v=3, t=10, s=24.

.

III. Vairāku metožu pamatā ir vienkāršas algebriskas identitātes. Piemēram, Sofijas Žermēnas teorēma apgalvo, ka
- salikts skaitlis.

Tas izriet no tā, ka kad N>1 abi faktori ir lielāki par 1.

Pēdējo desmitgažu laikā jaunu efektīvu faktorizācijas algoritmu meklēšana ir bijusi viena no aktuālākajām skaitļu teorijas problēmām. Iemesls tam bija publiskās atslēgas kriptogrāfijas algoritmu izstrāde, kuru atšifrēšanai nepieciešama lielu salikto skaitļu faktorizācija.

3. punkts. Par formulām, kas ģenerē pirmskaitļus.

Matemātiķi ilgu laiku mēģināja atrast formulu, kas ļautu aprēķināt jebkuru lielu pirmskaitli. Visslavenākā ir Mersena formula.
un Fermā skaitļi .

Definīcija .
- Mersenna cipari.

Saliktām vērtībām
numuru
dalīts ar un tas nozīmē, ka tas nebūs vienkārši.

Ļaujiet N- pirmskaitlis. Tad ir pirmskaitļi.

Bet jau
, tādējādi skaitļa galvenais skaitlis lpp negarantē prostatas
.

Mersenna skaitļi izrādījās vienkārši .

Skaitļu vienkāršība
(rakstīts ar 139 cipariem) 1876. gadā pierādīja franču matemātiķis E. Luks.

Tālāka Mesenne pirmskaitļu meklēšana turpinājās ar datortehnoloģiju palīdzību.

Slavenākais (no 2011. gada) pirmskaitlis ir 46. Mersena skaitlis. Šis
. Lai rakstītu, ir nepieciešami aptuveni 13 miljoni ciparu.

Aprēķinu algoritmu pamatā ir skaitļu vienkāršības kritērijs
, kuru 1878. gadā norādīja Lūks un 1930. gadā uzlaboja Lemārs.

Lūkasa-Lemēra kritērijs.

Numurs
prime tad un tikai tad, ja atkārtojas secībā
biedrs
dalīts ar
.

Mūsdienās nav zināms, vai Mersena skaitļu kopa ir ierobežota vai bezgalīga.

Definīcija .
- Fermā cipari.

Pirmie sērijas vārdi ir pirmskaitļi:

Fermā ierosināja (1650), ka visi šāda veida skaitļi būtu pirmskaitļi. Tomēr Eilers parādīja (1739), ka .

Pašlaik nav zināms, vai ir citi Fermā pirmskaitļi
.

Izmantojot Fermā skaitļus, mēs varam iegūt citu Eiklida teorēmas pierādījumu.

Teorēma(Poija).

Jebkuri divi Fermā skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi.

Pierādījums. Ļaujiet Un
- patvaļīgi Fermā skaitļi.

Parādīsim to
dalīts ar . Faktiski tas dalās ar x+1, t.i. ieslēgts .

Kopējais dalītājs ir m Un
. Tad un kopš tā laika
, nozīmē,
. Bet Fermā skaitļi ir nepāra

Sekas. Ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu.

Pierādījums. katrs no
ir nepāra dalītājs, kas nedala atlikušos Fermā skaitļus, tāpēc ir vismaz N vienkārši nepāra skaitļi,
Ir bezgala daudz pirmskaitļu.

komentēt. Regulāras konstruēšanas uzdevumā negaidīti parādās Fermā pirmskaitļi N– kvadrāts, izmantojot kompasu un lineālu. Gauss pierādīja, ka celtniecība ir iespējama tad un tikai tad
, Kur - Fermā pirmskaitļi.

Nepamatoti pieņēmumi par skaitļu vienkāršību
Un mudināja zinātniekus meklēt citas formulas, kuru vērtības būtu tikai pirmskaitļi vai vismaz ietvertu bezgalīgu skaitu primāro vērtību.

Eilers pievērsa uzmanību polinomiem:
, norādot pirmskaitļus pie
un, ņemot vienkāršas vērtības pie
.

Vēlāk tika pierādīta šāda teorēma.

Teorēma(Goldbahs).

Nav polinoma
ar veselu skaitļu koeficientiem nevar ņemt vienkāršas vērtības
visu priekšā
.

Pierādījums. Ļauj, ļauj
- pirmskaitlis.

Tad pēc Teilora formulas: .

Visas izredzes
- veseli skaitļi
dalīts ar r.

Ja jūs mēģināt iegūt vērtības
tad bija vienkārši
visiem veseliem skaitļiem t, bet tas ir pretrunā ar faktu, ka
.

Iļjas atbilde ir pareiza, taču ne pārāk detalizēta. Starp citu, 18. gadsimtā viens vēl tika uzskatīts par pirmskaitli. Piemēram, tādi lieliski matemātiķi kā Eilers un Goldbahs. Goldbahs ir autors vienai no septiņām tūkstošgades problēmām - Goldbaha hipotēzei. Sākotnējā formulējumā teikts, ka katru pāra skaitli var attēlot kā divu pirmskaitļu summu. Turklāt sākotnēji 1 tika ņemts vērā kā pirmskaitlis, un mēs redzam šo: 2 = 1+1. Šis ir mazākais piemērs, kas apmierina hipotēzes sākotnējo formulējumu. Vēlāk tas tika labots, un formulējums ieguva modernu formu: "katru pāra skaitli, sākot ar 4, var attēlot kā divu pirmskaitļu summu."
Atcerēsimies definīciju. Pirmskaitlis ir naturāls skaitlis p, kuram ir tikai 2 dažādi naturālie dalītāji: pats p un 1. Secinājums no definīcijas: pirmskaitlim p ir tikai viens pirmskaitļa dalītājs - pats p.
Tagad pieņemsim, ka 1 ir pirmskaitlis. Pēc definīcijas pirmskaitļam ir tikai viens pirmskaitļa dalītājs - pats. Tad izrādās, ka jebkurš pirmskaitlis, kas lielāks par 1, dalās ar pirmskaitli, kas atšķiras no tā (ar 1). Bet divus dažādus pirmskaitļus nevar dalīt viens ar otru, jo pretējā gadījumā tie nav pirmskaitļi, bet gan saliktie skaitļi, un tas ir pretrunā definīcijai. Izmantojot šo pieeju, izrādās, ka ir tikai 1 pirmskaitlis - pati vienība. Bet tas ir absurds. Tāpēc 1 nav pirmskaitlis.
1, kā arī 0 veido vēl vienu skaitļu klasi - neitrālu elementu klasi attiecībā uz n-ārajām darbībām kādā algebriskā lauka apakškopā. Turklāt attiecībā uz saskaitīšanas darbību 1 ir arī veselu skaitļu gredzena ģenerēšanas elements.
Ņemot to vērā, nav grūti atrast pirmskaitļu analogus citās algebriskajās struktūrās. Pieņemsim, ka mums ir reizināšanas grupa, kas izveidota no 2 pakāpēm, sākot no 1: 2, 4, 8, 16, ... utt. 2 šeit darbojas kā veidojošs elements. Pirmskaitlis šajā grupā ir skaitlis, kas ir lielāks par mazāko elementu un dalās tikai ar sevi un mazāko elementu. Mūsu grupā tikai 4 ir šādas īpašības. Mūsu grupā vairs nav pirmskaitļu.
Ja arī 2 mūsu grupā būtu pirmskaitlis, tad skaties pirmo rindkopu - atkal sanāktu, ka tikai 2 ir pirmskaitlis.

Šobrīd faktoringa skaitļu polinomu algoritmi nav zināmi, lai gan nav pierādīts, ka šādu algoritmu nav. RSA kriptosistēma un dažas citas ir balstītas uz faktorizācijas problēmas šķietamo augsto skaitļošanas sarežģītību. Faktorizācija ar polinoma sarežģītību teorētiski ir iespējama kvantu datorā, izmantojot Šora algoritmu.

Algoritmi pirmskaitļu meklēšanai un atpazīšanai

Vienkāršas metodes sākotnējā pirmskaitļu saraksta atrašanai līdz noteiktai vērtībai sniedz Eratostena siets, Sundaramas siets un Atkina siets.
Tomēr praksē tā vietā, lai iegūtu pirmskaitļu sarakstu, jūs bieži vēlaties pārbaudīt, vai norādītais skaitlis ir pirmskaitlis. Algoritmus, kas atrisina šo problēmu, sauc par primāruma testiem. Ir daudz polinomu pirmatnības testu, taču lielākā daļa no tiem ir varbūtības (piemēram, Millera–Rabina tests) un tiek izmantoti kriptogrāfijas vajadzībām. 2002. gadā tika pierādīts, ka primalitātes testa problēma kopumā ir polinomi atrisināma, bet piedāvātajam deterministiskajam Agrawal–Kajal–Saxena testam ir diezgan liela skaitļošanas sarežģītība, kas apgrūtina tā praktisko pielietojumu.
Dažām skaitļu klasēm ir specializēti efektīvas pirmkārtības testi (skatīt tālāk).

Pirmskaitļu kopas bezgalība

Ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu. Vecāko zināmo pierādījumu šim faktam sniedza Eiklīds Elementos (IX grāmata, 20. apgalvojums). Viņa pierādījumus var īsi reproducēt šādi:

Matemātiķi piedāvāja citus pierādījumus. Viens no tiem (norādījis Eilers) parāda, ka pirmā apgriezto vērtību summa n pirmskaitļi, aug neierobežoti pieaugot n.
Mersenna skaitļi labvēlīgi atšķiras no citiem ar efektīvu pirmatnības testu: Luka-Lemēra testu. Pateicoties viņam, Mersenna pirmskaitļi ilgu laiku ir saglabājuši rekordu kā lielākie zināmie pirmskaitļi.
Par pirmskaitļu atrašanu, kas pārsniedz 100 000 000 un 1 000 000 000 aiz komata, EZF piešķīra naudas balvas attiecīgi 150 000 un 250 000 ASV dolāru apmērā. EZF jau iepriekš ir piešķīrusi balvas par 1 000 000 un 10 000 000 decimālciparu pirmskaitļu atrašanu.

Īpaša veida pirmskaitļi

Ir vairāki skaitļi, kuru izcilību var efektīvi noteikt, izmantojot specializētus algoritmus.

Lai meklētu norādīto tipu pirmskaitļus, pašlaik tiek izmantoti izplatīti skaitļošanas projekti GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen vai Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Daži īpašumi

Ja p ir pirmskaitlis un p dala ab, tad p dala a vai b. Pierādījumu šim faktam sniedza Eiklīds, un to sauc par Eiklida lemmu. To izmanto aritmētikas pamatteorēmas pierādīšanā.

Atskaitījumu gredzens $\mathbb(Z)_n$ ir lauks tad un tikai tad $n$ - vienkāršs.

Katra lauka raksturlielums ir nulle vai pirmskaitlis.

Ja $lpp$ - vienkārši, bet $a$ - tad dabiski $a^p-a$ dalīts ar $lpp$ (Fermata mazā teorēma).

Ja $G$ ir ierobežota grupa, kuras secība $|G|$ dalīts ar $lpp$ , Tas $G$ satur kārtības elementu $lpp$ (Košī teorēma).

Ja $G$ ir ierobežota grupa, un $p^n$ - maksimālā pakāpe $lpp$ , kas sadala $|G|$ , Tas $G$ ir pasūtījuma apakšgrupa $p^n$ , ko sauc par Sylow apakšgrupu, turklāt Sylow apakšgrupu skaits ir vienāds ar $pk+1$ kādam veselam $k$ (Silova teorēma).

Dabiski $p > 1$ ir vienkārši tad un tikai tad $(p-1)! +1$ dalīts ar $lpp$ (Vilsona teorēma).

Ja $n > 1$ - dabiski, tad ir vienkāršs $lpp$ , tāds $n< p < 2 n$ (Bertāna postulāts).

Pirmskaitļu apgriezto vērtību virkne atšķiras. Turklāt, kad $x\to\infty$ $\summa_(lpp$

Jebkura formas aritmētiskā progresija $a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ...$ , Kur $a, q > 1$ - veseli skaitļi pirmskaitļi, satur bezgalīgi daudz pirmskaitļu (Dirihlē teorēma par pirmskaitļiem aritmētiskā progresijā).

Katru pirmskaitli, kas ir lielāks par 3, var attēlot kā $6k+1$ vai $6k-1$ , Kur $k$ - kāds naturāls skaitlis. Tādējādi, ja starpība starp vairākiem secīgiem pirmskaitļiem (ja k>1) ir vienāda, tad tā noteikti ir 6 reizināta - piemēram: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

Ja $p > 3$ - Tad vienkārši $p^2-1$ ir 24 reizinājums (attiecas arī uz visiem nepāra skaitļiem, kas nedalās ar 3).

Zaļā-Tao teorēma. Ir patvaļīgi garas galīgas aritmētiskās progresijas, kas sastāv no pirmskaitļiem.

$n^k-1$ , Kur n>2, k>1. Citiem vārdiem sakot, skaitlis, kas seko pirmajam skaitlim, nevar būt kvadrāts vai lielāka pakāpe ar bāzi, kas ir lielāka par 2. No tā izriet arī tas, ka, ja pirmskaitļam ir forma $2^k-1$ , Tas k- pirmskaitlis (skat. Mersena skaitļus).

Nevienam pirmskaitļam nevar būt forma $n^(2k+1)+1$ , Kur n>1, k>0. Citiem vārdiem sakot, skaitlis pirms pirmskaitļa nevar būt kubs vai lielāka nepāra pakāpe ar bāzi, kas lielāka par 1.

Formulas pirmskaitļu atrašanai

Dažādos laikos tika mēģināts norādīt izteiksmi, kuras vērtības, ņemot vērā dažādas tajā iekļauto mainīgo vērtības, būtu pirmskaitļi. L. Eilers norādīja uz polinomu $\textstyle n^2-n+41,$ ņemot vienkāršas vērtības pie n = 0, 1, 2, …, 40. Tomēr, kad n = 41 polinoma vērtība ir salikts skaitlis. Var pierādīt, ka vienā mainīgajā n nav neviena polinoma, kas ņemtu primārās vērtības visiem veseliem skaitļiem n. P. Fermā ierosināja, ka visi skaitļi formā 2 2 k + 1 vienkāršs; tomēr Eilers atspēkoja šo hipotēzi, pierādot, ka skaitlis 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - savienojums.
Tomēr ir polinomi, kuru pozitīvo vērtību kopa ar mainīgo lielumu nenegatīvām vērtībām sakrīt ar pirmskaitļu kopu. Viens piemērs ir polinoms

$\begin (līdzināt)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1) (h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(līdzināt) satur 26 mainīgos un ar pakāpi 25. Mazākā pakāpe zināmajiem šāda veida polinomiem ir 5 ar 42 mainīgajiem; mazākais mainīgo skaits ir 10 ar pakāpi aptuveni 1,6·10 45. Šis rezultāts ir īpašs gadījums jebkuras uzskaitāmās kopas Diofantīna īpašībai, ko pierādījis Jurijs Matijasevičs.

Atvērtie jautājumi

Joprojām ir daudz atklātu jautājumu par pirmskaitļiem, no kuriem slavenākos uzskaitīja Edmunds Landau Piektajā starptautiskajā matemātikas kongresā:

Atklāta problēma ir arī bezgalīga skaita pirmskaitļu esamība daudzās veselu skaitļu secībās, tostarp Mersenna skaitļos, Fibonači skaitļos, Fermā skaitļos utt.

Lietojumprogrammas

Publiskās atslēgas kriptogrāfijā tiek izmantoti lieli pirmskaitļi (apmēram 10 300). Pirmskaitļi tiek izmantoti arī hash tabulās un pseidogadījuma skaitļu ģenerēšanai (īpaši Mersenne Twister PRNG).

Variācijas un vispārinājumi

Gredzenu teorijā ir definēta vispārējās algebras nozare, pirmelementa un pirmideāla jēdziens.

Mezglu teorijā vienkārša mezgla jēdziens ir definēts kā netriviāls mezgls, ko nevar attēlot kā netriviālu mezglu savienotu summu.

Skatīt arī

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Pirmskaitlis"
Piezīmes
|heading3= Paplašināšanas rīki
skaitļu sistēmas |heading4= Ciparu hierarhija |saraksts4=

$-1,\;0,\;1,\;\lpunkti$ Veseli skaitļi

$-1,\;1,\;\frac(1)(2),\;\;0(,)12,\frac(2)(3),\;\lpunkti$ Racionālie skaitļi

$-1,\;1,\;\;0(,)12,\frac(1)(2),\;\pi,\;\sqrt(2),\;\ldots$ Reāli skaitļi

$-1,\;\frac(1)(2),\;0(,)12,\;\pi,\;3i+2,\;e^(i\pi/3),\;\lpunkti$ Sarežģīti skaitļi
$1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac(1)(2)k,\;\punkti$ Kvarterniji $1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac(\pi)(3)m,\;\ punkti$ Octonions $1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_(15),\;7e_2 + \frac(2)(5)e_7 - \frac(1)(3)e_(15),\ ;\ punkti$ Cedenions |heading5= Citi
numuru sistēmas |heading6= Skat. arī

Vispārīga informācija

Faktorizācijas formas

Ar ierobežotiem dalītājiem

Skaitļi ar daudziem dalītājiem

Saistīts ar alikvotu
sekvences

Cits

Izvilkums, kas raksturo galveno skaitli
Saņēmusi ziņas par Natašas slimību, grāfiene, joprojām ne visai vesela un vāja, kopā ar Petju un visu māju ieradās Maskavā, un visa Rostovas ģimene pārcēlās no Marijas Dmitrijevnas uz savu māju un pilnībā apmetās Maskavā.
Natašas slimība bija tik nopietna, ka viņas un ģimenes laimei domas par visu, kas bija viņas slimības cēlonis, viņas rīcība un šķiršanās ar līgavaini kļuva sekundāras. Viņai bija tik slikti, ka nevarēja iedomāties, cik viņa ir vainīga pie visa notikušā, kamēr viņa neēda, negulēja, manāmi zaudēja svaru, klepoja un bija, kā ārsti lika justies, briesmas. Viss, par ko man bija jādomā, bija palīdzēt viņai. Ārsti apmeklēja Natašu gan atsevišķi, gan konsultācijās, daudz runāja franču, vācu un latīņu valodā, viens otru nosodīja, izrakstīja visdažādākās zāles pret visām viņiem zināmajām slimībām; taču nevienam no viņiem nebija tāda vienkārša doma, ka viņi nevar zināt slimību, ar kuru slimoja Nataša, tāpat kā neviena slimība, ar kuru slimo dzīvs cilvēks, nav zināma: jo katram dzīvam cilvēkam ir savas īpatnības, un viņam vienmēr ir īpaša un sava jauna, sarežģīta, medicīnai nezināma slimība, nevis medicīnā reģistrēta plaušu, aknu, ādas, sirds, nervu u.c. slimība, bet slimība, kas sastāv no viena no neskaitāmajiem savienojumiem šo orgānu ciešanās. Šī vienkāršā doma ārstiem nevarēja ienākt prātā (tāpat kā burvim nevar ienākt prātā doma, ka viņš nevar mest maģiju), jo viņu dzīves uzdevums bija dziedināt, tāpēc, ka viņi par to saņēma naudu, un tāpēc, ka viņi pavadīja savas dzīves labākos gadus šo lietu. Bet galvenais ir tas, ka šī doma ārstiem nevarēja ienākt prātā, jo viņi redzēja, ka tie neapšaubāmi ir noderīgi un patiešām noderēja visiem Rostoviem mājās. Tās bija noderīgas nevis tāpēc, ka lika pacientam norīt pārsvarā kaitīgas vielas (šis kaitējums bija maz jūtīgs, jo kaitīgās vielas tika dotas mazos daudzumos), bet gan bija noderīgas, vajadzīgas, neizbēgamas (kādēļ ir un būs vienmēr iedomātie dziednieki, zīlnieki, homeopāti un alopāti), jo viņi apmierināja pacienta un cilvēku, kuri mīl pacientu, morālās vajadzības. Viņi apmierināja mūžīgo cilvēka vajadzību pēc cerības uz atvieglojumu, vajadzību pēc līdzjūtības un aktivitātes, ko cilvēks izjūt ciešanu laikā. Viņi apmierināja, ka mūžīgai, cilvēciskai - bērnā pamanāmai visprimitīvākajā formā - vajag noberzt vietu, kas ir sasista. Bērns tiek nogalināts un uzreiz ieskrien mātes, aukles rokās, lai varētu skūpstīt un berzēt sāpošo vietu, un viņam kļūst vieglāk, kad sāpošā vieta tiek noberzta vai bučota. Bērns netic, ka viņa stiprākajiem un gudrākajiem nav līdzekļu, lai palīdzētu viņa sāpēm. Un cerība uz atvieglojumu un līdzjūtības izpausme, kamēr māte berzē viņa kamolu, viņu mierina. Ārsti Natašai noderēja, jo skūpstīja un berzēja bobu, apliecinot, ka tagad pāries, ja kučieris aiziet uz Arbatas aptieku un paņems septiņu grivnu vērtus pulverus un tabletes glītā kastītē par rubli, un ja šie pūderi pāries. noteikti būs pēc divām stundām, ne vairāk un ne mazāk, pacients to uzņems vārītā ūdenī.
Ko darītu Sonja, grāfs un grāfiene, kā viņi skatītos uz vājo, kūstošo Natašu, neko nedarot, ja nebūtu šīs tabletes pa stundām, iedzertu kaut ko siltu, vistas kotleti un visas dzīves detaļas, ko nosaka ārsts, kuru uzdevums bija novērot un mierināt? Jo stingrāki un sarežģītāki bija šie noteikumi, jo mierīgāk tie bija apkārtējiem. Kā grāfs panes savas mīļotās meitas slimību, ja viņš nezinātu, ka Natašas slimība viņam izmaksāja tūkstošiem rubļu un ka viņš nežēlos vēl tūkstošus, lai viņai būtu labums, ja viņš nezinātu, ka tad, ja viņa neizveseļosies? viņš nežēlos vēl tūkstošus un aizvedīs viņu uz ārzemēm un tur konsultēs; ja viņam nebūtu bijusi iespēja pastāstīt sīkāk par to, kā Metivjē un Fellers nesaprata, bet Frīzs saprata, un Mudrovs slimību definēja vēl labāk? Ko darītu grāfiene, ja viņa dažreiz nevarētu strīdēties ar slimo Natašu, jo viņa pilnībā neievēroja ārsta norādījumus?
"Tu nekad nekļūsi vesels," viņa sacīja, aizmirstot savas bēdas no neapmierinātības, "ja jūs neklausīsit ārstu un neiedzersit zāles nepareizā laikā!" Galu galā par to nevar jokot, kad varēja saslimt ar pneimoniju,” sacīja grāfiene un šī viņai nesaprotamā vārda izrunā jau atrada lielu mierinājumu. Ko Sonija darītu, ja viņai nebūtu priecīgas apziņas, ka viņa sākumā trīs naktis neizģērbās, lai būtu gatava precīzi izpildīt visus ārsta rīkojumus, un ka tagad viņa naktīs neguļ, lai nepalaistu garām pulkstenis, kurā jāiedod mazkaitīgas tabletes no zelta kastītes? Pat pati Nataša, kura, lai gan teica, ka nekādas zāles viņu neizārstēs un tas viss ir muļķības, bija priecīga, redzot, ka viņas labā ir tik daudz ziedojuši, ka viņai bija jālieto zāles noteiktos laikos, un pat viņa bija laimīga. bija tā, ka, neievērojot norādījumus, viņa varēja parādīt, ka netic ārstēšanai un nenovērtē savu dzīvību.
Ārsts gāja katru dienu, taustīja viņas pulsu, skatījās uz mēli un, nepievēršot uzmanību viņas nogalinātajai sejai, jokoja ar viņu. Bet, kad viņš izgāja citā istabā, grāfiene steidzīgi sekoja viņam ārā, un viņš, uzmetot nopietnu skatienu un domīgi pakratījis galvu, sacīja, ka, lai gan pastāv briesmas, viņš cer, ka šīs pēdējās zāles iedarbosies un ka viņš gaidīt un redzēt; ka slimība ir morālāka, bet...
Grāfiene, cenšoties noslēpt šo rīcību no sevis un no ārsta, ieslidināja viņam rokā zelta gabalu un katru reizi ar nomierinātu sirdi atgriezās pie pacienta.
Natašas slimības pazīmes bija tādas, ka viņa maz ēda, maz gulēja, klepoja un nekad neuzmundrināja. Ārsti teica, ka paciente nevar palikt bez medicīniskās palīdzības, un tāpēc viņu turēja piesmakušajā pilsētas gaisā. Un 1812. gada vasarā Rostovs neaizbrauca uz ciemu.
Neraugoties uz lielo norīto tablešu, pilienu un pulveru skaitu no burciņām un kastēm, no kurām šo džemu medniece Šosas kundze savāca lielu kolekciju, neskatoties uz to, ka nebija ierastās ciema dzīves, jaunība darīja savu: Natašas skumjas sākās tikt pārklāta ar iespaidu slāni par dzīvi, ko viņa bija nodzīvojusi, tā pārstāja būt tik mokoša sāpes viņas sirdī, tas sāka kļūt par pagātni, un Nataša sāka fiziski atgūties.
Nataša bija mierīgāka, bet ne jautrāka. Viņa ne tikai izvairījās no visiem ārējiem prieka apstākļiem: ballēm, slidošanas, koncertiem, teātra; bet viņa nekad nav smējusies tik stipri, lai no viņas smiekliem nebūtu dzirdamas asaras. Viņa nevarēja dziedāt. Tiklīdz viņa sāka smieties vai mēģināja dziedāt pie sevis vienatnē, asaras viņu žņaudza: nožēlas asaras, atmiņu asaras par šo neatgriezenisko, tīro laiku; neapmierinātības asaras, ka viņa par velti sabojājusi savu jauno dzīvi, kas varēja būt tik laimīga. Īpaši smiekli un dziedāšana viņai šķita kā bēdu zaimošana. Viņa nekad nav domājusi par koķetēriju; viņai pat nebija jāatturas. Viņa teica un juta, ka tajā laikā viņai visi vīrieši bija tieši tādi paši kā jezga Nastasja Ivanovna. Iekšējā apsardze stingri aizliedza viņai prieku. Un viņai nebija visas vecās dzīves intereses no šī meitenīgā, bezrūpīgā, cerību pilnā dzīvesveida. Visbiežāk un sāpīgāk viņa atcerējās rudens mēnešus, medības, tēvoci un Ziemassvētku laiku, ko pavadīja kopā ar Nikolaju Otradnoje. Ko viņa dotu, lai atgrieztu tikai vienu dienu no tā laika! Bet tas bija beidzies uz visiem laikiem. Toreiz viņu nemaldināja priekšnojauta, ka tas brīvības un atvērtības visiem priekiem stāvoklis vairs neatgriezīsies. Bet man bija jādzīvo.
Viņai bija prieks domāt, ka viņa nav labāka, kā viņa bija domājusi iepriekš, bet gan sliktāka un daudz sliktāka par visiem, visiem, kas ir pasaulē. Bet ar to nepietika. Viņa to zināja un jautāja sev: "Kas tālāk?" Un tad nekas nebija. Dzīvē nebija prieka, un dzīve pagāja. Acīmredzot Nataša tikai centās nevienam nekļūt par apgrūtinājumu un nevienu netraucēt, taču viņai pašai neko nevajadzēja. Viņa attālinājās no visiem mājās, un tikai kopā ar savu brāli Petju viņa jutās viegli. Viņa mīlēja būt kopā ar viņu vairāk nekā ar citiem; un dažreiz, kad viņa bija ar viņu aci pret aci, viņa smējās. Viņa gandrīz nekad neizgāja no mājas, un no tiem, kas pie viņiem ieradās, viņa bija tikai laimīga ar Pjēru. Nevarēja pret viņu izturēties maigāk, rūpīgāk un tajā pašā laikā nopietnāk, nekā pret viņu izturējās grāfs Bezukhovs. Nataša Osa apzināti juta šo uzrunas maigumu un tāpēc guva lielu prieku savā sabiedrībā. Bet viņa pat nebija viņam pateicīga par maigumu; nekas labs no Pjēra puses viņai nešķita kā piepūle. Pjēram šķita tik dabiski būt laipnam pret visiem, ka viņa laipnībai nebija nekāda nopelna. Dažkārt Nataša pamanīja Pjēra apmulsumu un neveiklību viņas klātbūtnē, it īpaši, kad viņš gribēja viņas labā izdarīt kaut ko patīkamu vai baidījās, ka sarunā kaut kas Natašai radīs smagas atmiņas. Viņa to pamanīja un attiecināja to uz viņa vispārējo laipnību un kautrību, kam, pēc viņas domām, tāpat kā ar viņu, vajadzēja būt ar visiem. Pēc šiem negaidītajiem vārdiem, ka, ja viņš būtu brīvs, viņš būtu uz ceļiem, lūdzot viņas roku un mīlestību, kas teikti tik spēcīgas sajūsmas brīdī par viņu, Pjērs nekad neko neteica par savām jūtām pret Natašu; un viņai bija skaidrs, ka tie vārdi, kas viņu toreiz tik ļoti mierināja, tika teikti tāpat kā visādi bezjēdzīgi vārdi, lai mierinātu raudošu bērnu. Ne tāpēc, ka Pjērs bija precēts vīrietis, bet tāpēc, ka Nataša starp sevi un viņu visaugstākajā mērā izjuta morālo barjeru spēku, kuru neesamību viņa juta kopā ar Kiraginu, viņai neienāca prātā, ka viņa varētu izkļūt no attiecībām ar Pjēru. ne tikai mīlestība no viņas puses vai, vēl mazāk, no viņa puses, bet pat tāda maiga, sevi atpazīstoša, poētiska vīrieša un sievietes draudzība, kuras piemērus viņa zināja.
Pētera gavēņa beigās Maskavā ieradās Rostovu Otradnenska kaimiņiene Agrafena Ivanovna Belova, lai paklanītos Maskavas svētajiem. Viņa aicināja Natašu gavēt, un Nataša ar prieku izmantoja šo ideju. Neraugoties uz ārsta aizliegumu agri no rīta iziet ārā, Nataša uzstāja uz gavēni un nevis gavēšanu tā, kā viņi parasti gavēja Rostovu mājā, proti, apmeklēt trīs dievkalpojumus mājās, bet gan gavēt tā, kā gavēja Agrafena Ivanovna, tas ir. , visu nedēļu neizlaižot nevienu vesperu, masu vai matiņu.
Grāfienei patika šī Natašas dedzība; Savā dvēselē pēc neveiksmīgas medicīniskās ārstēšanas viņa cerēja, ka lūgšana viņai palīdzēs saņemt vairāk zāļu, un, kaut arī ar bailēm un slēpšanu no ārsta, viņa piekrita Natašas vēlmei un uzticēja viņu Belovai. Agrafena Ivanovna ieradās pamodināt Natašu pulksten trijos naktī un lielākoties konstatēja, ka viņa vairs neguļ. Nataša baidījās pārgulēt matiņu laikā. Steidzīgi nomazgājusi seju un pazemīgi ģērbusies savā sliktākajā kleitā un vecajā mantilā, drebēdams no svaiguma, Nataša izgāja pamestajās ielās, ko caurspīdīgi apgaismoja rīta ausma. Pēc Agrafena Ivanovnas ieteikuma Nataša gavēja nevis savā draudzē, bet gan baznīcā, kurā, pēc dievbijīgās Belovas teiktā, bija ļoti stingrs un augstvērtīgs priesteris. Baznīcā vienmēr bija maz cilvēku; Nataša un Belova ieņēma savu ierasto vietu Dievmātes ikonas priekšā, kas bija iestrādāta kreisā kora aizmugurē, un Natašu pārņēma jauna sajūta pirms lielā, nesaprotamā, kad šajā neparastajā rīta stundā skatoties uz Dievmātes melno, sveču apgaismoto seju, kas deg viņa priekšā un no loga krītošā rīta gaisma, viņa klausījās dievkalpojuma skaņās, kurām centās sekot, tās saprotot. Kad viņa tos saprata, viņas lūgšanai pievienojās personiskā sajūta ar savām niansēm; kad viņa nesaprata, viņai bija vēl saldāk domāt, ka vēlme visu saprast ir lepnums, ka visu saprast nav iespējams, ka vajag tikai ticēt un nodoties Dievam, kurš tajos brīžos — viņa juta — valdīja viņas dvēselē. Viņa krustu šķērsu, paklanījās un, kad nesaprata, viņa tikai, šausmās par savu negantību, lūdza, lai Dievs viņai piedod par visu, par visu un apžēlo. Lūgšanas, kurām viņa veltīja sevi visvairāk, bija grēku nožēlas lūgšanas. Atgriežoties mājās agrā rīta stundā, kad uz darbu gāja tikai mūrnieki, sētnieki slaucīja ielu un visi mājās vēl gulēja, Nataša piedzīvoja jaunu sajūtu par iespēju laboties no saviem netikumiem un netikumiem. jaunas, tīras dzīves un laimes iespēja.
Visas nedēļas laikā, kurā viņa vadīja šo dzīvi, šī sajūta pieauga ar katru dienu. Un laime pievienoties vai sazināties, kā viņai stāstīja Agrafena Ivanovna, priecīgi spēlējoties ar šo vārdu, viņai šķita tik liela, ka viņai šķita, ka viņa nenodzīvos, lai redzētu šo svētlaimīgo svētdienu.
Taču pienāca laimīgā diena, un, kad Nataša šajā neaizmirstamajā svētdienā atgriezās no dievgalda, baltā muslīna kleitā, pirmo reizi pēc daudziem mēnešiem viņa jutās mierīga un nebija apgrūtināta ar dzīvi, kas viņu gaidīja.
Ārsts, kurš ieradās tajā dienā, apskatīja Natašu un lika viņai turpināt lietot pēdējos pulverus, ko viņš izrakstīja pirms divām nedēļām.
"Mums jāturpina, no rīta un vakarā," viņš teica, acīmredzot apzinīgi apmierināts ar saviem panākumiem. - Tikai lūdzu esiet uzmanīgāks. — Esiet mierīgs, grāfiene, — ārsts jokojot sacīja, veikli paceļot zeltu plaukstas mīkstumā, — drīz viņš atkal sāks dziedāt un rotaļāties. Pēdējās zāles viņai ir ļoti, ļoti labas. Viņa ir ļoti atsvaidzināta.
Grāfiene paskatījās uz saviem nagiem un nospļāva, ar jautru seju atgriezusies viesistabā.
Jūlija sākumā Maskavā izplatījās arvien satraucošākas baumas par kara gaitu: tika runāts par suverēna aicinājumu tautai, par paša suverēna ierašanos no armijas uz Maskavu. Un tā kā manifests un aicinājums netika saņemti pirms 11. jūlija, par tiem un par situāciju Krievijā klīda pārspīlētas baumas. Viņi teica, ka suverēns dodas prom, jo armijai draud briesmas, viņi teica, ka Smoļenska ir padota, ka Napoleonam ir miljons karaspēka un ka tikai brīnums var glābt Krieviju.
11. jūlijā, sestdien, manifests saņemts, bet vēl nav iespiests; un Pjērs, kurš ciemojās pie Rostoviem, apsolīja nākt vakariņās nākamajā dienā, svētdienā, un atnest manifestu un aicinājumu, ko viņš saņems no grāfa Rastopčina.
Šo svētdien rostovieši, kā ierasts, devās uz misi Razumovski dzimtajā baznīcā. Bija karsta jūlija diena. Jau pulksten desmitos, kad rostovieši izkāpa no karietes baznīcas priekšā, karstā gaisā, tirgoņu saucienos, pūļa gaišajās un vieglajās vasaras kleitās, putekļainās lapās. bulvāra kokos, mūzikas skaņās un gājienā soļojošā bataljona baltajās biksēs, bruģa pērkonā un karstās saules spožajā spīdējumā bija tā vasarīgā kūtrums, gandarījums un neapmierinātība ar tagadni, kas īpaši asi jūtams skaidrā karstā dienā pilsētā. Razumovska baznīcā bija visa Maskavas muižniecība, visi rostoviešu paziņas (šogad, it kā kaut ko gaidot, pilsētā palika daudz bagātu ģimeņu, kas parasti brauca uz ciemiem). Pagājusi garām liverētā kājnieka, kurš šķīra pūli pie mātes, Nataša dzirdēja kāda jauna vīrieša balsi, kas par viņu runāja pārāk skaļā čukstā:
- Šī ir Rostova, tā pati...
- Viņa ir zaudējusi tik daudz svara, bet viņa joprojām ir laba!
Viņa dzirdēja vai viņai šķita, ka tika minēti Kuragina un Bolkonska vārdi. Tomēr viņai vienmēr tā šķita. Viņai vienmēr šķita, ka visi, skatoties uz viņu, domā tikai par to, kas ar viņu noticis. Dvēselē ciešot un izdzisusi, kā vienmēr pūlī, Nataša purpursarkanā zīda kleitā ar melnām mežģīnēm staigāja tā, kā sievietes var staigāt – jo mierīgāk un majestātiskāk, jo sāpīgāk un kaunīgāk viņa bija savā dvēselē. Viņa zināja un nekļūdījās, ka ir laba, taču tas viņu tagad neiepriecināja kā agrāk. Gluži pretēji, tas viņu mocīja pavisam nesen un īpaši šajā gaišajā, karstajā vasaras dienā pilsētā. "Vēl viena svētdiena, vēl viena nedēļa," viņa teica sev, atceroties, kā viņa bija šeit tajā svētdienā, "un joprojām tā pati dzīve bez dzīves un visi tie paši apstākļi, kādos bija tik viegli dzīvot agrāk. Viņa ir laba, viņa ir jauna, un es zinu, ka tagad es esmu labs, pirms es biju slikts, bet tagad es esmu labs, es zinu," viņa domāja, "un tāpēc labākie gadi paiet veltīgi, nevienam." Viņa stāvēja blakus mātei un pārmija vārdus ar tuvumā esošajiem paziņām. Nataša aiz ieraduma apskatīja dāmu kleitas, nosodīja izturēšanos [uzvedību] un nepiedienīgo veidu, kā krustoties ar roku vienas blakus stāvošās kundzes mazajā telpā, atkal ar īgnumu domāja, ka viņa tiek tiesāta, ka viņa arī sprieda, un pēkšņi, dzirdot dievkalpojuma skaņas, viņa pārbijās par savu riebumu, šausminājās, ka viņas agrākā tīrība atkal ir zudusi.
Skaistais, klusais vecais vīrs kalpoja ar maigu svinīgumu, kam ir tik majestātiska, nomierinoša iedarbība uz lūdzēju dvēselēm. Karaliskās durvis aizvērās, priekškars lēnām aizvērās; noslēpumaini klusa balss kaut ko teica no turienes. Natašas krūtīs bija viņai nesaprotamas asaras, un viņu satrauca priecīga un sāpīga sajūta.
"Māciet man, kas man jādara, kā es varu uzlaboties mūžīgi, uz visiem laikiem, kas man jādara ar savu dzīvi..." viņa domāja.
Diakons izgāja pie kanceles, iztaisnoja garos matus no apakšas, īkšķi plaši turēdams, un, uzlikusi krustu uz krūtīm, skaļi un svinīgi sāka lasīt lūgšanas vārdus:
- "Lūgsim To Kungu ar mieru."
“Lūgsimies mierā – visi kopā, bez šķiru atšķirības, bez naidīguma un brālīgās mīlestības vienoti,” domāja Nataša.
- Par debesu pasauli un mūsu dvēseļu glābšanu!
"Par eņģeļu mieru un visu bezķermeņu radījumu dvēselēm, kas dzīvo virs mums," lūdza Nataša.
Kad viņi lūdza par armiju, viņa atcerējās savu brāli un Denisovu. Kad viņi lūdza par tiem, kas kuģo un ceļo, viņa atcerējās princi Andreju un lūdza par viņu, un lūdza, lai Dievs viņai piedod par ļaunumu, ko viņa bija viņam nodarījusi. Kad viņi lūdza par tiem, kas mūs mīlēja, viņa lūdza par savu ģimeni, par savu tēvu, māti, Sonju, pirmo reizi izprotot visu savu vainu viņu priekšā un izjutot visu savas mīlestības spēku pret viņiem. Kad viņi lūdza par tiem, kas mūs ienīda, viņa izdomāja sev ienaidniekus un ienaidniekus, lai lūgtu par viņiem. Viņa pieskaitīja ienaidniekiem kreditorus un visus, kas kārtoja viņas tēvu, un katru reizi, kad viņa domāja par ienaidniekiem un naidniekiem, viņa atcerējās Anatolu, kurš viņai bija nodarījis tik daudz ļauna, un, lai gan viņš nebija nīdējs, viņa priecīgi lūdza Dievu. viņam kā ienaidniekam. Tikai lūgšanas laikā viņa jutās spējīga skaidri un mierīgi atcerēties gan princi Andreju, gan Anatolu kā cilvēkus, pret kuriem viņas jūtas tika iznīcinātas salīdzinājumā ar baiļu un cieņas sajūtu pret Dievu. Kad viņi lūdza par karalisko ģimeni un Sinodi, viņa īpaši zemu paklanījās un sakrustoja sevi, sakot, ka, ja viņa nesaprot, viņa nevar šaubīties un joprojām mīl valdošo Sinodi un lūdza par to.
Pabeidzis litāniju, diakons sakrustoja orarionu ap krūtīm un sacīja:
- "Mēs nododam sevi un savu dzīvi Kristum Dievam."
"Mēs nodosim sevi Dievam," savā dvēselē atkārtoja Nataša. "Mans Dievs, es nododu sevi tavai gribai," viņa domāja. - Es neko nevēlos, es neko nevēlos; iemāci man, ko darīt, kur izmantot manu gribu! Ņem mani, ņem mani! - Nataša teica ar maigu nepacietību dvēselē, nekrustot sevi, nolaižot plānās rokas un it kā gaidot, ka neredzams spēks viņu paņems un atbrīvos no viņas pašas, no nožēlas, vēlmēm, pārmetumiem, cerībām un netikumiem.
Vairākas reizes dievkalpojuma laikā grāfiene atskatījās uz meitas maigo, dzirkstošo acu seju un lūdza, lai Dievs viņai palīdz.

Vai viens ir pirmskaitlis? Nē, viens nav pirmskaitlis.
Vai 0 ir pirmskaitlis? Nē, nulle nav pirmskaitlis.
Vai 2 ir pirmskaitlis? Jā, 2 ir pirmskaitlis. 2 ir vienīgais pāra pirmskaitlis.

Vai 3 ir pirmskaitlis? Jā, 3 ir pirmskaitlis.
Vai 5 ir pirmskaitlis? Jā, 5 ir pirmskaitlis.
Vai 7 ir pirmskaitlis? Jā, 7 ir pirmskaitlis.
Vai 9 ir pirmskaitlis? Nē, 9 nav pirmskaitlis. Galu galā 9 dalās ar vienu un trīs.
Vai 11 ir pirmskaitlis? Jā, 11 ir pirmskaitlis.
Vai 13 ir pirmskaitlis? Jā, 13 ir pirmskaitlis.
Vai 15 ir pirmskaitlis? Nē, 15 nav pirmskaitlis. Galu galā 15 dalās ar sevi, ar vienu, ar trīs, ar pieciem.
Vai 17 ir pirmskaitlis? Jā, 17 ir pirmskaitlis.
Vai 19 ir pirmskaitlis? Jā, 19 ir pirmskaitlis.
Vai 20 ir pirmskaitlis? Nē, 20 nav pirmskaitlis. Galu galā 20 dalās ar sevi, ar vienu, ar diviem, ar četriem, ar pieciem, ar desmit.
Vai 777 ir pirmskaitlis? Nē, 777 nav pirmskaitlis. Galu galā 777 dalās ar sevi, ar vienu, ar 3, ar 7, ar 37.
Vai 997 ir pirmskaitlis? Jā, 997 ir pirmskaitlis.
Pirmskaitlis ir naturāls skaitlis, kas dalās tikai ar sevi un vienu.