구 주위에 외접된 프리즘입니다. 다이렉트 프리즘(사각형 정사각형). 입방체, 평행육면체, 프리즘 및 구

"다면체, 원기둥, 원뿔 및 공에 대한 다양한 문제"라는 주제는 11학년 기하학 과정에서 가장 어려운 주제 중 하나입니다. 기하학적 문제를 해결하기 전에 일반적으로 문제를 해결할 때 참조되는 이론의 관련 부분을 연구합니다. S. Atanasyan과 이 주제에 대한 다른 사람들의 교과서(p. 138)에서는 구 주위에 설명된 다면체, 구에 내접된 다면체, 다면체에 내접된 구 및 주위에 설명된 구의 정의만 찾을 수 있습니다. 다면체. 이 교과서에 대한 방법론적 권장 사항(S.M. Sahakyan 및 V.F. Butuzov, p. 159의 "10-11학년의 기하학 연구" 참조)은 문제 번호 629-646을 해결할 때 어떤 신체 조합을 고려하는지 말하고 있으며 주의를 끌게 됩니다. “특정 문제를 풀 때 우선 학생들이 그 조건에 표시된 신체의 상대적인 위치를 잘 이해하고 있는지 확인하는 것이 필요하다”는 사실에. 다음은 문제 번호 638(a) 및 640번에 대한 해결책입니다.

위의 모든 사항과 학생들에게 가장 어려운 문제는 공과 다른 물체의 결합이라는 점을 고려할 때 관련 이론적 원리를 체계화하고 학생들에게 전달하는 것이 필요합니다.

정의.

1. 공은 다면체에 내접된 공이라고 하며 공의 표면이 다면체의 모든 면에 닿으면 공 주위에 설명된 다면체를 말합니다.

2. 공의 표면이 다면체의 모든 꼭지점을 통과하는 경우 공을 다면체 주위에 외접하는 다면체, 공에 내접하는 다면체라고 합니다.

3. 공은 원통형, 원뿔대(cone)에 내접한다고 하고, 원통형, 원뿔형(cone)은 공의 표면이 베이스(base)에 닿으면 공 주위에 내접한다고 합니다. 원통의 모선, 잘린 원뿔(원뿔).

(이 정의에 따르면 공의 대원은 이들 몸체의 모든 축 단면에 새겨질 수 있습니다.)

4. 밑면의 원(밑면 원과 꼭지점)이 공의 표면에 속하면 공은 잘린 원뿔(원뿔) 주위에 외접한다고 합니다.

(이 정의에 따르면 이 몸체의 축 단면 주위에 공의 더 큰 원의 원주를 설명할 수 있습니다.)

공의 중심 위치에 대한 일반적인 참고 사항입니다.

1. 다면체에 새겨진 공의 중심은 다면체의 모든 2면체 각도의 이등분선 평면의 교차점에 있습니다. 다면체 내부에만 위치합니다.

2. 다면체 주위에 외접하는 공의 중심은 다면체의 모든 모서리에 수직이고 중심점을 통과하는 평면의 교차점에 있습니다. 다면체 내부, 표면 또는 외부에 위치할 수 있습니다.

구와 프리즘의 조합.

1. 직선 프리즘에 새겨진 공.

정리 1. 원이 프리즘의 밑면에 내접할 수 있고 프리즘의 높이가 이 원의 지름과 같은 경우에만 구가 직선 프리즘에 내접될 수 있습니다.

결과 1.직각 프리즘에 내접된 구의 중심은 밑면에 내접된 원의 중심을 통과하는 프리즘 고도의 중간점에 있습니다.

결과 2.특히 공은 H = 2r 조건 하에서 삼각형, 정사각형, 사각형(밑면의 반대쪽 변의 합이 서로 같음) 등 직선으로 새겨질 수 있습니다. 여기서 H는 공의 높이입니다. 프리즘, r은 밑면에 새겨진 원의 반경입니다.

2. 프리즘 주위에 외접하는 구.

정리 2. 프리즘이 직선이고 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우에만 구가 프리즘 주위에 설명될 수 있습니다.

추론 1. 직선 프리즘 주위에 외접하는 구의 중심은 밑면 주위에 외접하는 원의 중심을 통해 그려진 프리즘 높이의 중간점에 있습니다.

결과 2.특히 공은 직각삼각형 프리즘 근처, 정삼각형 프리즘 근처, 직육면체 근처, 직사각기둥 근처로 설명될 수 있으며 밑면의 반대 각도의 합은 180도입니다.

L.S. Atanasyan의 교과서에서 볼과 프리즘의 조합에 대한 문제 번호 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b)를 제안할 수 있습니다.

공과 피라미드의 조합.

1. 피라미드 근처에 묘사된 공.

정리 3. 공은 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우에만 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.

결과 1.피라미드 주위에 외접하는 구의 중심은 피라미드의 밑면에 수직인 직선과 이 밑면 주위에 외접하는 원의 중심을 통과하는 직선과 피라미드의 중심을 통과하는 측면 모서리에 수직인 평면의 교차점에 있습니다. 이 가장자리.

결과 2.피라미드의 측면 모서리가 서로 같으면(또는 밑면에 대해 동일한 경사면) 이러한 피라미드 주위에 공이 설명될 수 있습니다. 이 경우 이 공의 중심은 다음과 같은 교차점에 있습니다. 평면 측면 모서리와 높이에 있는 측면 모서리의 대칭축을 사용한 피라미드(또는 그 확장)의 높이.

결과 3.특히 공은 다음과 같이 설명할 수 있습니다. 삼각형 피라미드 근처, 정뿔 근처, 반대 각도의 합이 180도인 사각형 피라미드 근처.

2. 피라미드에 새겨진 공.

정리 4. 피라미드의 측면이 밑면에 대해 동일한 기울어지면 공이 그러한 피라미드에 새겨질 수 있습니다.

결과 1.측면이 밑면에 대해 동일한 경사를 이루는 피라미드에 새겨진 공의 중심은 피라미드 높이와 피라미드 밑면의 모든 2면각의 선형 각도의 이등분선의 교차점에 있습니다. 그 중 피라미드의 꼭대기에서 그린 옆면의 높이입니다.

결과 2.일반 피라미드에 공을 넣을 수 있습니다.

L.S. Atanasyan의 교과서에서 문제 번호 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641은 공과 피라미드의 조합에 대해 제안될 수 있습니다.

공과 잘린 피라미드의 조합입니다.

1. 규칙적인 잘린 피라미드 주위에 외접하는 공.

정리 5. 구는 모든 정규 잘린 피라미드 주위로 설명될 수 있습니다. (이 조건은 충분하지만 필수는 아닙니다)

2. 규칙적인 잘린 피라미드에 새겨진 공.

정리 6. 공은 피라미드의 변심이 밑면의 변심의 합과 같은 경우에만 정규 잘린 피라미드에 새겨질 수 있습니다.

L.S. Atanasyan의 교과서(No. 636)에는 공과 잘린 피라미드의 조합에 대한 문제가 단 하나 있습니다.

둥근 몸체와 공의 조합.

정리 7. 구는 원통, 잘린 원뿔(직선 원형) 또는 원뿔 주위로 설명될 수 있습니다.

정리 8. 공은 원통이 등변인 경우에만 (직선 원형) 원통에 새겨질 수 있습니다.

정리 9. 어떤 원뿔(직선 원형)에도 공을 맞출 수 있습니다.

정리 10. 공의 생성기가 밑면 반지름의 합과 같은 경우에만 공이 잘린 원뿔(직선 원형)에 내접될 수 있습니다.

L.S. Atanasyan의 교과서에서 공과 둥근 몸체의 조합에 대한 문제 번호 642, 643, 644, 645, 646을 제안할 수 있습니다.

이 주제에 대한 자료를 보다 성공적으로 연구하려면 수업에 구두 작업을 포함해야 합니다.

1. 큐브의 모서리는 a와 같습니다. 공의 반지름을 구하세요. 큐브에 내접되어 있고 그 주위에 외접되어 있습니다. (r = a/2, R = a3).

2. 주위에 구(공)를 설명하는 것이 가능합니까? a) 큐브; b) 직육면체; c) 밑면에 직사각형이 있는 경사진 평행육면체; d) 직선형 평행육면체; e) 기울어진 평행육면체? (a) 그렇습니다; b) 그렇습니다; c) 아니오; d) 아니오; d) 아니오)

3. 모든 삼각형 피라미드 주위에 구가 묘사될 수 있다는 것이 사실입니까? (예)

4. 사각뿔 주위의 구를 묘사하는 것이 가능합니까? (아니요, 사각뿔 근처에는 없습니다)

5. 피라미드 주변의 구를 설명하려면 피라미드가 어떤 속성을 가져야 합니까? (기저에는 원을 묘사할 수 있는 다각형이 있어야 합니다)

6. 피라미드는 측면 가장자리가 밑면에 수직인 구에 새겨져 있습니다. 구의 중심을 찾는 방법은 무엇입니까? (구의 중심은 공간에 있는 두 기하학적 점의 교차점입니다. 첫 번째는 피라미드 밑면에 외접하는 원의 중심을 통해 피라미드 밑면에 그려진 수직선입니다. 두 번째는 평면입니다. 주어진 측면 가장자리에 수직이고 가운데를 통해 그려짐)

7. 밑면이 사다리꼴인 프리즘 주위의 구를 어떤 조건에서 설명할 수 있습니까? (첫째, 프리즘은 직선이어야 하고, 둘째, 사다리꼴은 그 주위에 원이 그려질 수 있도록 이등변형이어야 합니다)

8. 프리즘 주위에 구가 나타나려면 프리즘이 어떤 조건을 충족해야 합니까? (프리즘은 직선이어야 하며 밑면은 원을 묘사할 수 있는 다각형이어야 합니다)

9. 삼각형 프리즘 주위에 구가 묘사되어 있으며, 그 중심은 프리즘 외부에 있습니다. 프리즘의 밑변은 어느 삼각형입니까? (둔각삼각형)

10. 기울어진 프리즘 주위의 구를 묘사하는 것이 가능합니까? (아니요, 그럴 수 없습니다)

11. 직각기둥에 외접하는 구의 중심은 어떤 조건에서 프리즘의 측면 중 하나에 위치하게 됩니까? (밑변은 직각삼각형입니다)

12. 피라미드의 밑면은 이등변 사다리꼴입니다. 밑면에 대한 피라미드 상단의 직교 투영은 사다리꼴 외부에 위치한 점입니다. 그러한 사다리꼴 주위의 구를 묘사하는 것이 가능합니까? (예, 가능합니다. 피라미드 꼭대기의 직교 투영이 밑면 바깥에 있다는 사실은 중요하지 않습니다. 피라미드 밑면에 이등변 사다리꼴, 즉 원이 둘러싸일 수 있는 다각형이 있다는 것이 중요합니다. 설명)

13. 정규 피라미드 근처에 구가 묘사되어 있습니다. 중심은 피라미드 요소에 비해 어떻게 위치합니까? (구의 중심은 중심을 통해 밑면의 평면에 수직으로 그려져 있습니다.)

14. 직각삼각기둥 주위에 묘사된 구의 중심은 어떤 조건 하에서: a) 프리즘 내부; b) 프리즘 외부? (프리즘 밑면에서: a) 예각 삼각형; b) 둔각삼각형)

15. 모서리가 1dm, 2dm, 2dm인 직육면체 주위에 구가 설명되어 있습니다. 구의 반경을 계산합니다. (1.5DM)

16. 구는 어떤 잘린 원뿔에 들어갈 수 있습니까? (잘린 원뿔에서 원이 내접할 수 있는 축 단면에 들어갑니다. 원뿔의 축 단면은 이등변 사다리꼴이므로 밑면의 합은 측면의 합과 같아야 합니다. 즉, 원뿔 밑면의 반지름의 합은 생성기와 같아야 합니다)

17. 잘린 원뿔 안에 구가 새겨져 있습니다. 구의 중심에서 원뿔의 모선이 보이는 각도는 얼마입니까? (90도)

18. 직선 프리즘에 구를 맞추려면 어떤 특성이 있어야 합니까? (첫째, 직선 프리즘의 밑면에는 원이 내접될 수 있는 다각형이 있어야 하고, 두 번째로 프리즘의 높이는 밑면에 내접하는 원의 지름과 같아야 합니다)

19. 구가 들어갈 수 없는 피라미드의 예를 들어보시겠습니까? (예: 밑면에 직사각형이나 평행사변형이 있는 사각형 피라미드)

20. 직선 프리즘의 밑면에는 마름모가 있습니다. 이 프리즘에 구를 맞추는 것이 가능합니까? (아니요, 불가능합니다. 일반적으로 마름모 주위의 원을 묘사하는 것은 불가능하기 때문입니다)

21. 어떤 조건에서 구가 직각삼각기둥에 내접할 수 있습니까? (프리즘의 높이가 밑면에 내접하는 원의 반지름의 2배인 경우)

22. 어떤 조건에서 구가 정사각형 잘린 피라미드에 내접될 수 있습니까? (주어진 피라미드의 단면이 밑변의 중앙을 통과하는 평면이라면 원이 내접할 수 있는 이등변 사다리꼴입니다.)

23. 잘린 삼각형 피라미드에 구가 새겨져 있습니다. 피라미드의 어느 점이 구의 중심입니까? (이 피라미드에 새겨진 구의 중심은 피라미드의 측면과 밑면이 이루는 각의 이등분면 3개가 교차하는 지점에 있습니다.)

24. 원통 주위의 구(오른쪽 원형)를 설명하는 것이 가능합니까? (예, 할 수 있습니다)

25. 원뿔 주위의 구, 즉 잘린 원뿔(직선 원형)을 설명하는 것이 가능합니까? (예, 두 경우 모두 가능합니다)

26. 구는 어떤 원통에도 들어갈 수 있나요? 원통에 구를 맞추려면 원통에는 어떤 특성이 있어야 합니까? (아니요, 매번 그런 것은 아닙니다. 실린더의 축 단면은 정사각형이어야 합니다.)

27. 구가 원뿔에 내접할 수 있나요? 원뿔에 내접된 구의 중심 위치를 결정하는 방법은 무엇입니까? (예, 물론입니다. 내접된 구의 중심은 원뿔의 고도와 모선의 밑면에 대한 경사각의 이등분선의 교차점에 있습니다)

저자는 "다면체, 원통, 원뿔 및 공에 대한 다양한 문제"라는 주제에 대한 세 가지 계획 수업 중에서 공을 다른 몸체와 결합하는 문제를 해결하는 데 두 가지 수업을 집중하는 것이 바람직하다고 믿습니다. 수업 시간이 부족하여 위에 주어진 정리를 증명하는 것은 권장하지 않습니다. (교사의 재량에 따라) 증명 과정이나 계획을 표시하여 이를 증명할 수 있는 충분한 기술을 갖춘 학생을 초대할 수 있습니다.

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슬라이드 캡션:

다면체 주위에 설명된 구입니다.

정의. 다면체의 모든 꼭지점이 이 구에 속하면 다면체는 구(그리고 다면체에 대해 설명된 구)에 내접한다고 합니다. 결과. 외접 구의 중심은 다면체의 모든 꼭지점에서 등거리에 있는 점입니다. 오오오. . .

정리 1. 주어진 두 점에서 등거리에 있는 점 집합은 주어진 점에서 끝이 있는 세그먼트에 수직인 평면으로, 중간(이 세그먼트에 대한 수직 이등분선의 평면)을 통과합니다. AB ┴ α AO=OB α A B O

정리 2. 같은 원 위에 놓인 n개의 주어진 점으로부터 등거리에 있는 점들의 집합은 이 점들의 평면에 수직인 직선으로, 그 점 주위에 외접하는 원의 중심을 통과합니다. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .

구에 새겨진 프리즘입니다. OA=OB=…=OX=R SF. 오 1. 영형. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . 영형. 오 1

결과. 1) 구는 직선 삼각기둥 주위로 묘사될 수 있습니다. 언제나 삼각형 주위의 원을 묘사할 수 있습니다. 2) 구는 일반 프리즘 주위에 묘사될 수 있습니다. 정기둥은 직선이고 원은 항상 정다면체 주위로 묘사될 수 있습니다. 영형. 영형. .

작업 번호 1. 공은 프리즘 주위에 외접되어 있으며 그 밑면에는 다리 6과 8이 있는 직각삼각형이 있습니다. 프리즘의 측면 가장자리는 24입니다. 공의 반경을 구하십시오. 주어진 값: Δ ABC – 직사각형; AC=6, BC=8, AA 1 =24. 찾기: Rw = ? 해결책: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO1=AA1=24. 2) ABC:AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 답: 13. O 1 O. . . R w O sh C 1 B 1 A 1 A C B

작업 번호 3. 직육면체의 크기는 2,3,5입니다. 외접하는 구의 반지름을 구합니다. 주어진 값:AB=a=2; 기원전=b=3; CC1=c=5. 찾기: Rw = ? 해결책: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2. 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (직육면체의 대각선의 성질) 3) A 1 C=√38; R w = O w C = √38 /2 답: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . 아 쉿

작업 번호 3. 정삼각형 프리즘의 밑변은 a와 같고 측면 가장자리는 2a와 같습니다. 외접하는 구의 반지름을 구합니다. 주어진 경우: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1= 2a. 찾기: Rw = ? 해결책: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2)R w =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 답: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. 오오1

결과. 1) 삼각형 주위의 원은 항상 설명할 수 있으므로 삼각형 피라미드 주위의 구는 항상 설명할 수 있습니다. 2) 정규 피라미드 주위의 구는 언제든지 설명할 수 있습니다. 3) 피라미드의 측면 모서리가 동일하면(밑면에 대해 동일한 경사), 그러한 피라미드 주위에 구가 항상 설명될 수 있습니다. *마지막 두 경우에서는 구의 중심이 피라미드의 높이를 포함하는 직선 위에 있습니다. 영형. 영형.

문제(피라미드 근처에 설명된 구) 공은 변이 4√3인 정삼각형 ABC인 피라미드 PABC 주위에 설명되어 있습니다. 측면 모서리 PA는 피라미드 밑면에 수직이며 6과 같습니다. 공의 반경을 찾으십시오. 주어진 값: AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(ABC); PA=6. 찾기: Rw = ? 해결책: 1) OO SF ┴(ABC); O – ΔABC에 외접하는 원의 중심; KO SF ┴ PA; KP=AK(KO SF 측면 가장자리 PA에 대한 중앙 수직선 중 하나); O SF는 외접구의 중심이다. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF는 (AKO)에 속합니다. PA ┴(ABC); AK는 (AKO)에 속합니다. KA를 의미합니다|| OO SF; . 오 SF. 알았어 K.P.A.B.C

문제(피라미드 근처에 설명된 구) 3) KO c f ┴AP; KO c f는 (AOK)에 속합니다. AO┴AP; AO는 (AOK)에 속합니다. KO c f를 의미 || 아오; 4) (2)와 (3)에서: AOO c f K- 직사각형, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) Δ AO O c f: AO c f = R w =5 답: 5

문제(피라미드 근처에 설명된 구) 정사각형 피라미드에서는 측면 모서리가 밑면에 대해 45˚ 각도로 기울어져 있습니다. 피라미드의 높이는 h이다. 외접하는 구의 반지름을 구합니다. 주어진 값: PABCD – 일반 피라미드; (AP^(ABC))=45˚; PO=h. 찾기: Rw = ? 해결책: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ΔPAP ​​1 – 직사각형; PP 1 – 볼 직경; PP1 = 2Rw; AP 2 = PP 1 *OP; (h √ 2) 2 =2 R w *h; R w = 2h 2 /2h=h. 답: ㅎ. 기음. B A. .D .P .P 1 . 영형

작업(피라미드 근처에 설명된 구체) 스스로. 정사면체에 외접하는 구의 반지름은 R과 같습니다. 정사면체의 전체 표면적을 구하십시오.

문제(피라미드 근처에 설명된 구) 스스로. 주어진 값: DABC – 정사면체; R은 구의 반경입니다. 찾기: S 풀 테트라. =? 해결 방법: 1) 사면체는 정사면체이므로 외접 구의 중심은 피라미드의 높이를 포함하는 직선에 속합니다. 2) S 풀테트라. = 2 √ 3/4*4= 2 √ 3; 3) 점 D, A, D 1은 동일한 원에 속합니다. 즉, 각도 DAD 1을 의미하는 평면 DAD 1에 의한 구의 단면은 직경 DD 1을 기준으로 한 내접 각도입니다. 각도 DAD 1 =90˚; 4) AO – 높이 Δ 직각 꼭지점에서 1을 더함. AD 2 = DO*DD 1 ; 5) AO=a/ √3; DO= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a2=8R2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a

문제(피라미드 근처에 설명된 구) 스스로. 6) S 전체 테트. = 8R 2 √ 3/3 답: 8R 2 √ 3/3

부피가 65dm 3인 정사각형 프리즘이 구 주위에 묘사되어 있습니다. 프리즘의 전체 표면적과 구의 부피의 비율을 계산합니다.
밑면이 정다각형이고 측면 가장자리가 밑면에 수직인 경우 프리즘을 정다각형이라고 합니다. 정사각형은 정사각형입니다. 정사각형의 대각선의 교차점은 정사각형의 중심이자 그 안에 새겨진 원의 중심입니다. 이 사실을 증명해보자. 비록 이 증명은 질문될 가능성이 낮고 생략될 수 있지만
특별한 유형의 평행사변형, 직사각형 및 마름모로서 정사각형은 고유한 특성을 갖습니다. 대각선은 동일하고 교차점으로 이등분되며 정사각형 모서리의 이등분선입니다. 점 E를 통해 AB와 평행한 직선 TK를 그립니다. AB는 BC에 수직입니다. 이는 TC도 BC에 수직임을 의미합니다(두 개의 평행선 중 하나가 세 번째 선에 수직인 경우 두 번째 평행선은 이(세 번째) 선에 수직입니다). 같은 방식으로 직접 MR을 수행하겠습니다. 직각 삼각형 BET와 AEK는 빗변과 예각이 동일합니다(BE=AE - 대각선의 절반, ∠ EBT=∠ EAK - 직각의 절반). 이는 ET=EK를 의미합니다. 같은 방법으로 EM=EP임을 증명합니다. 그리고 삼각형 CEP와 CET(동일한 부호)의 동일성으로부터 우리는 ET = EP, 즉 ET=EP=EK=EM 또는 단순히 점 M이 정사각형의 변에서 등거리에 있다고 말하며 이는 이 정사각형에 내접하는 원의 중심으로 인식하기 위해 필요한 조건입니다.
직사각형 AVTC를 생각해 보세요(이 사변형은 구성상 모든 각도가 직각이므로 직사각형입니다). 직사각형에서 반대쪽은 동일합니다 - AB = CT (CT는 밑면의 직경이라는 점에 유의해야 함) - 이는 밑면의 측면이 내접원의 지름과 같음을 의미합니다.
평행선(동일 평면에 수직인 두 선은 평행함)을 통해 각각 AA 1, CC 1, BB 1 및 DD 1(평행선은 하나의 평면만 정의함)을 통해 평면을 그려 보겠습니다. 평면 AA 1 C 1 C와 BB 1 D 1 D는 ​​밑면 ABCD에 수직입니다. 왜냐하면 수직인 직선(측면 리브)을 통과합니다.
밑면 ABCD에 수직인 평면 AA 1 C 1 C의 점 H(대각선 교차점)에서 시작합니다. 그런 다음 평면 BB 1 D 1 D에서 동일한 작업을 수행합니다. 정리에서: 두 개의 수직 평면 중 하나에 속하는 점에서 다른 평면에 수직을 그리면 이 수직은 완전히 첫 번째 평면에 놓이게 됩니다. 이 수직선은 평면 AA 1 C 1 C 및 평면 BB 1 D 1 D에 있어야 함을 알 수 있습니다. 이는 이 수직선이 이들 평면의 교차선과 일치하는 경우에만 가능합니다. 저것들. 세그먼트는 내접원의 중심이 놓여 있는 직선이 아닙니다(측면의 평면에서 등거리가 아니기 때문에 이는 해당 밑면의 꼭지점에서 점 E와 H의 등거리에서 이어집니다). (증명된 바에 따르면 대각선의 교차점은 정사각형의 측면에서 등거리에 있습니다. ) NOT이 밑면에 수직이라는 사실로부터 NOT이 공의 직경이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 공은 높이가 밑면에 새겨진 원의 지름과 같은 경우에만 일반 프리즘에 새겨질 수 있습니다. 음, 공이 이미 공에 새겨져 있으면 높이는 지름과 같습니다. 베이스에 새겨진 원의 측면을 다음과 같이 지정하면. 에이, 프리즘의 높이는 h이고, 이 정리를 사용하여 우리는 결론을 내립니다. 에이=h이고 프리즘의 부피는 다음과 같이 구됩니다.

다음으로, 높이가 내접된 공의 직경 및 프리즘 밑변과 동일하다는 사실을 이용하여 공의 반경과 부피를 구합니다.

측면 모서리는 높이와 같고(평행면 사이에 둘러싸인 평행선 세그먼트는 동일함) 높이는 밑면의 측면과 동일하므로 일반적으로 프리즘의 모든 모서리는 동일합니다. 모든 면은 기본적으로 면적이 있는 정사각형입니다. 에이 2. 실제로 이러한 그림을 입방체라고 합니다. 이는 평행육면체의 특별한 경우입니다. 큐브의 전체 표면을 찾고 이를 공의 부피와 연관시키는 것이 남아 있습니다.

2. 베이스측

작업

1. 밑면에 대각선이 3과 4이고 측면 가장자리가 5인 마름모가 있는 직선 프리즘의 표면적을 구합니다.

답: 62.

2. 직선 프리즘의 밑면에는 대각선이 6과 8인 마름모가 있습니다. 표면적은 248입니다. 이 프리즘의 측면 모서리를 구하십시오.

답: 10.

3. 밑변의 길이가 3이고 표면적이 66인 정사각형 프리즘의 측면 모서리를 구합니다.

답: 4.

4. 밑면 반지름과 높이가 2인 원통 주위에 정사각기둥이 외접되어 있습니다. 프리즘의 옆면적을 구합니다.

답: 32.

5. 밑면 반지름이 2인 원기둥에 정사각기둥이 외접되어 있습니다. 프리즘의 옆면적은 48입니다. 원기둥의 높이를 구합니다.

직각기둥(육각정사각형)

측면 모서리가 밑면에 수직이고 밑면이 동일한 정사각형인 프리즘입니다.

1. 측면 - 동일한 직사각형

2. 베이스측

작업

1. 밑변의 길이가 1이고 옆 모서리의 길이가 와 같은 정육각형 프리즘의 부피를 구합니다.

답: 4.5.

2. 밑변이 3이고 높이가 6인 정육각기둥의 옆넓이를 구합니다.

답: 108.

3. 모든 모서리가 √3인 정육각형 프리즘의 부피를 구합니다.

답: 13.5

4. 정육각형 프리즘 ABCDEFA1B1C1D1E1F1의 정점이 A, B, C, D, A1, B1, C1, D1인 다면체의 부피를 구합니다. 밑면적은 6이고 측면 가장자리는 2입니다.

직선 프리즘(임의 N-석탄)

측면 모서리가 밑면에 수직이고 밑면이 n각형인 프리즘입니다.

1. 밑면이 정다각형이면 옆면은 동일한 직사각형입니다.

2. 베이스측 .

피라미드

피라미드는 n각형 A1A2...AnA1과 n개의 삼각형(A1A2P, A1A3P 등)으로 구성된 다면체입니다.

1. 피라미드의 밑면과 평행한 단면은 밑면과 유사한 다각형입니다. 단면적과 밑면은 피라미드 꼭대기까지의 거리의 제곱과 관련이 있습니다.

2. 밑면이 정다각형이고 정점이 밑면의 중심에 투영된 피라미드를 정뿔이라고 합니다.

3. 정다각형의 모든 측면 모서리는 동일하고 측면은 동일한 이등변삼각형입니다.

4. 정다각형 피라미드의 옆면의 높이를 변심점(apthem)이라 한다.

5. 일반 피라미드의 측면 표면적은 밑면과 변심의 둘레의 곱의 절반과 같습니다.

작업

1. 정사면체의 모든 모서리를 두 배로 늘리면 부피는 몇 배나 증가합니까?

답: 8.

2. 정육각형 피라미드의 밑면의 변은 10이고, 측면 모서리는 13입니다. 피라미드의 옆면의 면적을 구합니다.

답: 360.

5. 그림에 보이는 피라미드의 부피를 구하세요. 밑면은 다각형이며 인접한 측면은 수직이고 측면 가장자리 중 하나는 밑면 평면에 수직이며 3과 같습니다.

답: 27.

6. 밑변의 길이가 1이고 높이가 와 같은 정삼각형 피라미드의 부피를 구합니다.

답: 0.25.

7. 삼각형 피라미드의 측면 모서리는 서로 수직이며 각각은 3과 같습니다. 피라미드의 부피를 찾으십시오.

답: 4.5.

8. 정사각형 피라미드의 밑변의 대각선은 8입니다. 측면 모서리는 5입니다. 피라미드의 부피를 구하십시오.

답: 32.

9. 정사각형 피라미드에서 높이는 12이고 부피는 200입니다. 피라미드의 측면 모서리를 구합니다.

답: 13.

10. 정사각뿔의 밑면의 변은 6이고, 변의 모서리는 5와 같습니다. 피라미드의 표면적을 구합니다.

답: 84.

11. 정육각형 피라미드의 부피는 6입니다. 밑면의 변은 1입니다. 측면 모서리를 구합니다.

12. 정사면체의 모든 모서리를 두 배로 늘리면 표면적은 몇 배나 증가합니까?

답: 4.

13. 정사각뿔의 부피는 12입니다. 밑면의 대각선과 반대쪽 가장자리의 중앙을 통과하는 평면에 의해 잘라진 피라미드의 부피를 구합니다.

답: 3.

14. 정팔면체의 모서리를 모두 반으로 줄이면 부피는 몇 배나 줄어들까요?

답: 8.

15. 삼각뿔의 부피는 15입니다. 평면은 이 피라미드의 밑면을 통과하고 피라미드의 꼭대기에서 세어 1:2의 비율로 나누는 지점에서 반대쪽 가장자리와 교차합니다. 평면이 원래 피라미드를 나누는 피라미드의 가장 큰 부피를 찾으십시오.

답: 10.

16. 밑변이 2이고 부피가 와 같은 정삼각형 피라미드의 높이를 구합니다.

답: 3.

17. 정사각형 피라미드에서 높이는 6, 측면 가장자리는 10입니다. 부피를 찾으십시오.

답: 256.

18. 부피가 12인 삼각형 피라미드에서 피라미드의 상단과 밑면의 중간선을 통과하는 평면에 의해 삼각형 피라미드가 잘립니다. 잘라낸 삼각뿔의 부피를 구합니다.

답: 3.

실린더

원통은 원통형 표면과 경계가 있는 두 개의 원으로 둘러싸인 몸체입니다.

시간

아르 자형

체적	측면 표면적	기본 면적	총 표면적

1. 실린더 생성기 - 베이스 사이에 둘러싸인 생성기 세그먼트.

2. 원통의 높이는 모선의 길이입니다.

3. 축 단면은 직사각형이며 그 두 변은 모선이고 나머지 두 변은 원통 밑면의 지름입니다.

4. 원형 단면 - 절단 평면이 원통 축에 수직인 단면입니다.

5. 원통의 측면 개발 - 모선을 따라 원통 측면 표면 절단의 두 모서리를 나타내는 직사각형입니다.

6. 원통의 측면 표면적은 발달 영역이다.

7. 원통의 전체 표면적은 측면과 두 밑면의 면적의 합이라고 합니다.

8. 원통 주위의 구를 언제든지 묘사할 수 있습니다. 그 중심은 높이의 중앙에 있습니다. , 여기서 R은 공의 반경, r은 원통 바닥의 반경, H는 원통의 높이입니다.

9. 원통 바닥의 직경이 높이와 같으면 원통에 공을 넣을 수 있습니다. .

작업

1. 부품을 6리터의 물이 담긴 원통형 용기에 담습니다. 동시에 용기 안의 액체 수위는 1.5배 상승했습니다. 부품의 부피는 얼마입니까?

답: 3.

2. 밑면적이 1이고 모선이 6이며 밑면에 대해 30° 각도로 기울어진 원기둥의 부피를 구합니다.

답: 3.

3. 원통과 원뿔은 밑면과 높이가 공통입니다. 원뿔의 부피가 50일 때 원통의 부피를 구합니다.

답: 150.

4. 높이 12cm의 원통형 용기에 담긴 물을 직경이 두 배 더 큰 원통형 용기에 부었습니다. 두 번째 용기의 수위는 얼마입니까?

5. 원통의 축방향 단면적은 . 원통의 측면적을 구합니다.

답: 2.

6. 밑면 반지름과 높이가 2인 원통 주위에 정사각기둥이 외접되어 있습니다. 프리즘의 옆면적을 구합니다.

답: 32.

7. 원기둥의 밑면의 둘레는 3입니다. 옆면적은 6입니다. 원기둥의 높이를 구하십시오.

8. 원통형 머그 하나는 두 번째 머그보다 키가 두 배 크지만, 두 번째 머그는 너비가 1.5배 더 넓습니다. 두 번째 머그컵의 부피와 첫 번째 머그컵의 부피 비율을 구하세요.

답: 1.125.

9. 원통형 용기에서 액체 수위는 18cm에 도달하는데, 직경이 첫 번째 용기보다 3배 더 큰 두 번째 용기에 부으면 액체 수위는 얼마나 됩니까?

답: 2.

원뿔

원뿔은 원뿔형 표면과 원으로 둘러싸인 몸체입니다.

원뿔 축

아르 자형

꼭지점

형성

측면

아르 자형

체적	측면 표면적	기본 면적	총 표면적

1. 원뿔의 측면 표면적은 발달 영역입니다.

2. 축 단면의 스위프 각도와 정점 각도의 관계 .

1. 원통과 원뿔은 밑면과 높이가 동일합니다. 원뿔의 부피가 50일 때 원통의 부피를 구합니다.

답: 150.

2. 밑면 면적이 2이고 모선이 6이며 밑면에 대해 30° 각도로 기울어진 원뿔의 부피를 구합니다.

답: 2.

3. 원뿔의 부피는 12입니다. 원뿔의 밑면과 평행하게 단면을 그려 높이를 절반으로 나눕니다. 잘라낸 원뿔의 부피를 구합니다.

답: 1.5.

4. 정사각형 피라미드에 외접하는 원뿔의 부피는 이 피라미드에 내접하는 원뿔의 부피보다 몇 배나 더 큽니까?

답: 2.

5. 원뿔의 높이는 6이고, 모선은 10입니다. 그 부피를 로 나눈 값을 구합니다.

답: 128.

6. 원통과 원뿔은 밑면과 높이가 공통입니다. 원기둥의 부피가 48일 때 원뿔의 부피를 구하세요.

답: 16.

7. 원뿔 밑면의 지름은 6이고 축 단면의 정점 각도는 90°입니다. 원뿔의 부피를 로 나누어 계산합니다.

8. 밑면이 4이고 높이가 6인 정사각뿔 주위에 원뿔이 묘사되어 있습니다. 그 부피를 로 나눈 값을 구하십시오.

9. 6과 같은 다리 주위로 이등변 직각삼각형을 회전시켜 원뿔을 얻습니다. 그 부피를 로 나눈 값을 구합니다.

구와 공

구는 주어진 점으로부터 주어진 거리에 위치한 공간의 모든 점으로 구성된 표면입니다. 공은 구에 의해 제한된 몸체입니다.

1. 구의 중심에서 평면까지의 거리가 구의 반지름보다 작으면 평면에 의한 구의 단면은 원입니다.

2. 평면에 의한 공의 단면은 원입니다.

3. 구에 대한 접평면은 구와 공통점이 하나만 있는 평면입니다.

4. 구와 평면의 접촉점에 그려진 구의 반지름은 접평면에 수직입니다.

5. 구의 반지름이 구에 있는 끝을 통과하는 평면에 수직인 경우 이 평면은 구에 접합니다.

6. 구가 모든 면에 닿으면 다면체는 구 주위에 외접한다고 합니다.

7. 한 점에서 그린 구에 대한 접선의 선분은 이 점과 구의 중심을 통과하는 직선과 동일하고 동일한 각도를 이룹니다.

8. 구가 모든 생성기에 닿으면 원통형 표면에 구가 새겨집니다.

9. 구가 모든 생성기에 닿으면 원뿔형 표면에 구가 새겨집니다.

작업

1. 두 공의 반지름은 6과 8입니다. 표면적이 표면적의 합과 같은 공의 반지름을 구하십시오.

답: 10.

2. 공의 대원의 넓이는 1. 공의 표면적을 구하라.

3. 공의 반경이 2배가 되면 공의 표면적은 몇 배로 늘어나나요?

4. 세 개의 공의 반지름은 3, 4, 5입니다. 부피가 그 부피의 합과 같은 공의 반지름을 구하십시오.

답: 6.

5. 직육면체는 반지름이 2인 구 주위에 묘사되어 있습니다. 표면적을 구하십시오.

답: 96.

6. 반경 의 공에 큐브가 새겨져 있습니다. 큐브의 표면적을 찾으십시오.

답: 24.

7. 직육면체는 반지름이 2인 구 주위에 설명되어 있습니다. 부피를 구합니다.

8. 구에 외접하는 직육면체의 부피는 216입니다. 구의 반지름을 구하세요.

답: 3.

9. 구에 외접하는 직육면체의 표면적은 96입니다. 구의 반지름을 구하세요.

답: 2.

10. 공 주위에 원통이 묘사되어 있으며, 그 측면 표면적은 9입니다. 공의 표면적을 구하십시오.

답: 9.

11. 같은 입방체에 내접하는 구의 표면적보다 입방체에 외접하는 구의 표면적은 몇 배나 더 큽니까?

답: 3.

12. 반경 의 공에 큐브가 새겨져 있습니다. 큐브의 부피를 구하세요.

답: 8.

복합 다면체

작업

1. 그림은 다면체를 보여줍니다. 다면체의 모든 2면체 각도는 직각입니다. 정점 A와 C2 사이의 거리를 구합니다.

답: 3.

2. 그림에 표시된 다면체의 각도 CAD2를 구합니다. 다면체의 모든 2면각은 직각입니다. 답을 각도 단위로 입력하세요.

답: 60.

3. 그림에 표시된 다면체의 겉넓이를 구하세요. (2면체 각도는 모두 직각입니다.)

답: 18.

4. 그림에 표시된 다면체의 겉넓이를 구하세요. (2면체 각도는 모두 직각입니다.)

답: 132

5. 그림에 표시된 단위 큐브로 구성된 공간 십자형의 표면적을 구하십시오.

답: 30

6. 그림에 표시된 다면체의 부피를 구하십시오(2면체 각도는 모두 직각입니다).

답:8

7.그림에 표시된 다면체의 부피를 구하세요. (2면체 각도는 모두 직각입니다.)

답: 78

8. 그림은 다면체를 보여줍니다. 다면체의 모든 2면체 각도는 직각입니다. 각도 ABB3의 탄젠트를 구합니다.

답: 2

10. 그림은 다면체를 보여줍니다. 다면체의 모든 2면체 각도는 직각입니다. 각도 C3D3B3의 탄젠트를 구합니다.

답: 3

11. 삼각기둥 밑면의 중심선을 통해 측면 가장자리와 평행한 평면이 그려집니다. 잘려진 삼각기둥의 옆넓이가 37일 때, 프리즘의 옆넓이를 구합니다.

답: 74.

12. 그림은 다면체를 보여줍니다. 다면체의 모든 2면체 각도는 직각입니다. 정점 B2와 D3 사이의 거리의 제곱을 구합니다.

답: 11.

공은 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우에만 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.

이 공의 중심 O를 구성하려면 다음이 필요합니다.

1. 밑면에 외접하는 원의 중심 O를 찾습니다.

2. 점 O를 통해 밑면에 수직인 직선을 그립니다.

3. 이 모서리에 수직인 피라미드의 측면 모서리 중앙을 통과하는 평면을 그립니다.

4. 구성된 직선과 평면이 만나는 점 O를 찾아보세요.

특별한 경우: 피라미드의 측면 모서리가 동일합니다. 그 다음에:

공은 설명될 수 있다.

공의 중심 O는 피라미드의 높이에 있습니다.

외접 구의 반경은 어디에 있습니까? - 측면 갈비뼈; H는 피라미드의 높이입니다.

5.2. 볼과 프리즘

프리즘이 직선이고 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우에만 구가 프리즘 주위에 설명될 수 있습니다.

공의 중심은 베이스 근처에 설명된 원의 중심을 연결하는 세그먼트의 중앙입니다.

외접 구의 반경은 어디에 있습니까? - 밑면 근처에 설명된 원의 반경; H는 프리즘의 높이입니다.

5.3. 볼과 실린더

공은 항상 원통 주위로 설명될 수 있습니다. 공의 중심은 원통의 축 단면의 대칭 중심입니다.

5.4. 볼과 콘

공은 항상 원뿔 주위로 설명될 수 있습니다. 공의 중심; 원뿔의 축 단면 주위에 외접하는 원의 중심 역할을 합니다.