Հավասարումներ լուծելիս կողմնակի արմատների առաջացման պատճառները. Սեմինար «Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում». Հավասարումների համարժեք փոխակերպումներ

Եռանկյունաչափական հավասարումների թեման սկսվում է դպրոցական դասախոսությունից, որը կառուցված է էվրիստիկական զրույցի տեսքով։ Դասախոսության ընթացքում քննարկվում են տեսական նյութեր և բոլոր բնորոշ խնդիրների լուծման օրինակներ՝ ըստ պլանի.

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.
Միատարր հավասարումներ.

Հետևյալ դասերին սկսվում է ինքնուրույն հմտությունների զարգացումը՝ ուսուցչի և աշակերտի համատեղ գործունեության սկզբունքի կիրառման հիման վրա։ Նախ, ուսանողների համար նպատակներ են դրվում, այսինքն. որոշվում է, թե ով է ուզում իմանալ ավելին, քան այն, ինչ պահանջում է պետական ստանդարտը, և ով է պատրաստ անել ավելին։

Վերջնական ախտորոշումը ստեղծվում է հաշվի առնելով մակարդակի տարբերակումը, որը թույլ է տալիս ուսանողներին գիտակցաբար որոշել նվազագույն գիտելիքները, որոնք անհրաժեշտ են «3» գնահատական ստանալու համար: Դրա հիման վրա ընտրվում են բազմամակարդակ նյութեր՝ ուսանողների գիտելիքները ախտորոշելու համար: Նման աշխատանքը թույլ է տալիս անհատական մոտեցում ցուցաբերել ուսանողներին, ներառյալ բոլորին գիտակից ուսումնական գործունեության մեջ, զարգացնել ինքնակազմակերպման և ինքնուսուցման հմտությունները և ապահովել անցում դեպի ակտիվ, անկախ մտածողություն:

Սեմինարն անցկացվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական հմտությունները կիրառելուց հետո։ Սեմինարից առաջ մի քանի դասաժամ ուսանողներին տրվում են հարցեր, որոնք կքննարկվեն սեմինարի ընթացքում:

Սեմինարը բաղկացած է երեք մասից.

1. Ներածական մասն ընդգրկում է ամբողջ տեսական նյութը, այդ թվում՝ ներածություն այն խնդիրների մասին, որոնք կառաջանան բարդ հավասարումներ լուծելիս:

2. Երկրորդ մասում քննարկվում է ձևի հավասարումների լուծումը.

և cosx + bsinx = c.
a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0:
աստիճանը նվազեցնելով լուծելի հավասարումներ.

Այս հավասարումները օգտագործում են ունիվերսալ փոխարինում, աստիճանի կրճատման բանաձևեր և օժանդակ փաստարկների մեթոդ:

3. Երրորդ մասում քննարկվում են արմատների կորստի և կողմնակի արմատների ձեռքբերման խնդիրները: Ցույց է տալիս, թե ինչպես ընտրել արմատները:

Աշակերտները աշխատում են խմբերով: Օրինակները լուծելու համար հրավիրվում են լավ պատրաստված տղաներ, ովքեր կարող են ցույց տալ և բացատրել նյութը:

Սեմինարը նախատեսված է լավ պատրաստված ուսանողի համար, քանի որ... այն անդրադառնում է ծրագրային նյութի շրջանակներից փոքր-ինչ դուրս խնդիրներին: Այն ներառում է ավելի բարդ ձևի հավասարումներ և հատկապես անդրադառնում է բարդ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ժամանակ հանդիպող խնդիրներին:

Սեմինարն անցկացվեց 10-11-րդ դասարանների աշակերտների համար: Յուրաքանչյուր աշակերտ հնարավորություն ուներ ընդլայնելու և խորացնելու իր գիտելիքներն այս թեմայի շուրջ, համեմատելու իր գիտելիքների մակարդակը ոչ միայն դպրոցի շրջանավարտին, այլև V.U.Z ընդունվողների պահանջների հետ:

ՍԵՄԻՆԱՐ

Թեմա:«Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում»

Նպատակները:

Ընդհանրացնել գիտելիքները բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման վերաբերյալ:
Կենտրոնանալ խնդիրների վրա. արմատների կորուստ;

օտար արմատներ; արմատային ընտրություն.

ԴԱՍԻ ԱՅՑԸ.

I. Ներածական մաս

1. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդներ
Ֆակտորիզացիա.
Նոր փոփոխականի ներդրում.

Ֆունկցիոնալ-գրաֆիկական մեթոդ.

2. Եռանկյունաչափական հավասարումների որոշ տեսակներ.

Հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների cos x = t, sin x = t:

Ասին 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0:

Դրանք լուծվում են նոր փոփոխականի ներդրմամբ։

Առաջին և երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարումներ Առաջին աստիճանի հավասարում.

Asinx + Bcosx = 0 բաժանել cos x-ի վրա, մենք ստանում ենք Atg x + B = 0 Երկրորդ աստիճանի հավասարում.

Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 բաժանել cos 2 x-ի վրա, մենք ստանում ենք Atg 2 x + Btgx + C = 0

Դրանք լուծվում են ֆակտորիզացիայի և նոր փոփոխականի ներդրման միջոցով։

Կիրառվում են բոլոր մեթոդները։

Նվազեցում:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Լուծվում է ֆակտորացման մեթոդով:

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C: Ձևի հավասարումը.

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0:

Կրճատվել է քառակուսու՝ t = sinx + cosx-ի նկատմամբ;

sin2x = t 2 – 1:

3. Բանաձեւեր.
x + 2n; Ստուգումը պարտադիր է:

Նվազող աստիճան՝ cos 2 x = (1 + cos2x): 2; մեղք 2 x = (1 – cos 2x): 2

Օժանդակ փաստարկների մեթոդ.

Փոխարինեք Acosx + Bsinx-ը Csin-ով (x +), որտեղ sin = a/C; cos=v/c;

- օժանդակ փաստարկ.
4. Կանոններ.
Եթե տեսնում եք քառակուսի, իջեցրեք աստիճանը:

Եթե կտոր տեսնեք, գումարեք։

Եթե տեսնում եք գումարը, ապա կատարեք աշխատանքը։ 5. Արմատների կորուստ, ավելորդ արմատներ։

Արմատների կորուստ՝ բաժանել g(x); վտանգավոր բանաձեւեր (ունիվերսալ փոխարինում): Այս գործողություններով մենք նեղացնում ենք սահմանման շրջանակը:

Ավելորդ արմատներ.

1. Asinx + Bcosx = C ձևի հավասարումներ

1) Ունիվերսալ փոխարինում.O.D.Z. x - ցանկացած:

3 մեղք 2x + cos 2x + 1= 0:

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = արկտան (–1/3) + k, k Z.

Փորձաքննություն: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0:

x = /2 + n, n e Z. Հավասարման արմատն է:

Պատասխան. x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Ֆունկցիոնալ-գրաֆիկական մեթոդ. Օ.Դ.Զ. x - ցանկացած:

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1:

Եկեք գծենք ֆունկցիաները՝ y = sinx, y = cosx + 1:

Պատասխան. x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Օժանդակ փաստարկի ներդրում. O.D.Z.: x – ցանկացած:

8cosx + 15 sinx = 17:

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, քանի որ (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, ապա գոյություն ունի այնպիսին, որ մեղքը = 8/17,

cos = 15/17, ինչը նշանակում է մեղք cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Պատասխան. x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Կրճատելով կարգը՝ Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C:

1). մեղք 2 3x + մեղք 2 4x + մեղք 2 6x + մեղք 2 7x = 2. O.D.Z.՝ x – ցանկացած.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x (cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0:

Պատասխան. x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

ժամը

k = 1 և m = 0
k = 4 և m = 1:

շարքերը նույնն են.

3. Նվազեցում դեպի միատարրություն. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C:

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ՝ x – ցանկացած.
5 մեղք 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 մեղք 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) չի կարելի բաժանել cos 2 x-ի, քանի որ մենք կորցնում ենք արմատները:
cos 2 x = 0 բավարարում է հավասարումը:
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0:
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Պատասխան. x = /2 + k, k Z., x = –/6 + n, n Z

4. Ձևի հավասարումը A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0:

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.՝ x – ցանկացած:
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1:
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | տ | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = Ս. cosx = մեղք (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
մեղք (x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Պատասխան. x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Ֆակտորիզացիա.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx (cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2) (cosx + 2 sinx) = 0:

1) cosx = 2, առանց արմատների:
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Պատասխան. x = արկտան (1/2) + n, n Զ.

III. Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս առաջացող խնդիրներ

1. Արմատների կորուստ՝ բաժանել g(x); Մենք օգտագործում ենք վտանգավոր բանաձևեր.

1) Գտեք սխալը:

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 բանաձեւ:
2 մեղք 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 բաժանել 2 մեղքի 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Զ.
Կորած արմատները sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Ճիշտ լուծում. 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0:

մեղք 2 x/2 = 0
x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. Օտար արմատներ՝ ազատվում ենք հայտարարից; բարձրացնել հավասարաչափ հզորության:

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.՝ sin2x 3 / 2:

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
x = /3 + 2n/3, n Զ.

2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3
1. n = 0
մեղք 2/3 = 3/2
չեն բավարարում. Օ.Դ.Զ.

2. n = 1
մեղք 2=0
բավարարել Օ.Դ.Զ.

3. n = 2
մեղք 2/ 3 = –3/2
բավարարել Օ.Դ.Զ.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z
1.k = 0
մեղք 2/6 = 3/2
չեն բավարարում O.D.Z.
2. k = 1
մեղք 2*5/6 = –3/2
բավարարել Օ.Դ.Զ.

Պատասխան. x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ԼՈՒԾԵԼԻՑ ԿՈՐԱԾ ԵՎ ԱՐՄԱՏՆԵՐ (ՕՐԻՆՆԵՐ)

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹ

1. VII գլխի 3-րդ մասի երկու թեորեմներ խոսեցին այն մասին, թե ինչ գործողությունները հավասարումների վրա չեն խախտում դրանց համարժեքությունը:

2. Այժմ դիտարկենք այնպիսի գործողություններ հավասարումների վրա, որոնք կարող են հանգեցնել նոր հավասարման, որն անհավասար է սկզբնական հավասարմանը: Ընդհանուր նկատառումների փոխարեն մենք կսահմանափակվենք միայն կոնկրետ օրինակներ դիտարկելով։

3. Օրինակ 1. Տրված է հավասարում, բացենք այս հավասարման փակագծերը, տեղափոխենք բոլոր անդամները դեպի ձախ և լուծենք քառակուսի հավասարումը։ Դրա արմատներն են

Եթե հավասարման երկու կողմերը կրճատեք ընդհանուր գործակցով, ապա կստանաք հավասարում, որն անհավասար է սկզբնականին, քանի որ այն ունի միայն մեկ արմատ:

Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը անհայտ պարունակող գործոնով կրճատելը կարող է հանգեցնել հավասարման արմատների կորստի:

4. Օրինակ 2. Հաշվի առնելով հավասարումը, այս հավասարումը ունի մեկ արմատ, և մենք ստանում ենք երկու արմատ:

Մենք տեսնում ենք, որ նոր հավասարումը համարժեք չէ սկզբնական հավասարմանը

5. Կողմնակի արմատներ կարող են հայտնվել նաև այն դեպքում, երբ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում են անհայտ պարունակող գործակցով, եթե այդ գործոնը անհետանում է x-ի իրական արժեքների համար:

Օրինակ 3. Եթե հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք, ապա կստանանք նոր հավասարում, որը տերմինը աջից ձախ տեղափոխելուց և այն գործակիցների վերածելուց հետո տալիս է հավասարում որևէ մեկից։

Արմատը չի բավարարում միայն մեկ արմատ ունեցող հավասարմանը

Այստեղից մենք եզրակացնում ենք. հավասարման երկու կողմերը քառակուսելու ժամանակ (ընդհանուր առմամբ մինչև հավասարաչափ), ինչպես նաև անհայտ պարունակող և անհայտի իրական արժեքներով անհետացող գործակցով բազմապատկելիս կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ:

Այստեղ արտահայտված բոլոր նկատառումները հավասարման կողմնակի արմատների կորստի և առաջացման հարցի վերաբերյալ հավասարապես վերաբերում են ցանկացած հավասարումների (հանրահաշվական, եռանկյունաչափական և այլն):

6. Հավասարումը կոչվում է հանրահաշվական, եթե անհայտի վրա կատարվում են միայն հանրահաշվական գործողություններ՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, հզորացում և արմատից հանում բնական ցուցիչով (իսկ այդպիսի գործողությունների թիվը վերջավոր է):

Այսպիսով, օրինակ, հավասարումները

հանրահաշվական են, իսկ հավասարումները

ԱՏԱՄՆԵՐ. Ողնաշարավորների ատամները կառուցվածքով և զարգացմամբ ամբողջովին նման են շնաձկան ձկան ամբողջ մաշկը ծածկող պլակոիդ թեփուկներին: Քանի որ ամբողջ բերանի խոռոչը և մասամբ ֆարինգիալը պատված է էկտոդերմալ էպիթելով՝ տիպիկ պլակոիդ... ...

ԹՈՔԱՅԻՆ ՏՈՒԲԵՐԿՈՒԼՈԶ- ԹՈՔԱՅԻՆ ՏՈՒԲԵՐԿՈՒԼՈԶ. Բովանդակություն՝ I. Պաթոլոգիական անատոմիա..........110 II. Թոքային տուբերկուլյոզի դասակարգումը.... 124 III. Կլինիկա ..............................128 IV. Ախտորոշում...............................160 V. Կանխատեսում................. .......... 190 VI. Բուժում… Մեծ բժշկական հանրագիտարան

ԹՈՒՆԱՎՈՐՈՒՄ- ԹՈՒՆԱՎՈՐՈՒՄ. Թունավորում ասելով հասկանում ենք «կենդանիների ֆունկցիայի խանգարումներ»։ օրգանիզմներ՝ առաջացած էկզոգեն կամ էնդոգեն, քիմիապես կամ ֆիզիկապես և քիմիապես ակտիվ նյութերից, որոնք օտար են որակով, քանակով կամ խտությամբ... Մեծ բժշկական հանրագիտարան

Legume nodule բակտերիաներ- Պալեոնտոլոգիական տվյալները ցույց են տալիս, որ ամենահին հատիկները, որոնք ունեին հանգույցներ, Eucaesalpinioideae խմբին պատկանող որոշ բույսեր էին: Բույսերի ժամանակակից տեսակների մեջ հայտնաբերվել են հանգույցներ... Կենսաբանական հանրագիտարան

«Լունտիկ» անիմացիոն սերիալի դրվագների ցանկ.- Այս հոդվածում բացակայում են տեղեկատվության աղբյուրների հղումները: Տեղեկատվությունը պետք է ստուգելի լինի, հակառակ դեպքում այն կարող է հարցականի տակ դրվել և ջնջվել: Դուք կարող եք... Վիքիպեդիա

ԲՈՒՅՍԸ ԵՎ ՄԻՋԱՎԱՅՐԸ- Բույսի կյանքը, ինչպես ցանկացած այլ կենդանի օրգանիզմ, փոխկապակցված գործընթացների բարդ ամբողջություն է. Դրանցից ամենանշանակալին, ինչպես հայտնի է, նյութերի փոխանակումն է շրջակա միջավայրի հետ։ Շրջակա միջավայրն այն աղբյուրն է, որտեղից... ... Կենսաբանական հանրագիտարան

«Լունտիկ» սերիալի դրվագների ցանկ.- Հիմնական հոդված՝ Լունտիկի և նրա ընկերների արկածները Բովանդակություն 1 Սերիաների քանակը 2 Լունտիկն ու նրա ընկերները անիմացիոն սերիալի դրվագների ցանկ ... Վիքիպեդիա

Պտղատու ծառերի հիվանդություններ- Պտղատու ծառերը, իրենց հանդեպ մարդկային մշտական հոգածության շնորհիվ, պետք է հասնեն շատ ավելի մեծ տարիքի, քան իրենց չմշակված հարազատները, եթե ոչ բուն մշակույթի բազմաթիվ պայմանների, այն է՝ մեր կողմից առաջադրված պահանջների հակազդող ազդեցությունները... ...

Անտառահատումներ- Անտառների բերքահավաքը կամ անտառային եկամուտների արդյունահանումը փայտի և կեղևի տեսքով կարող է իրականացվել երկու եղանակով՝ փորելով կամ արմատախիլ անելով ամբողջ ծառերը, այսինքն՝ բները արմատների հետ միասին, կամ առանձին, մաս-մաս՝ սկզբից կտրված կամ հանվելով։ սկսած... ... Հանրագիտարանային բառարան Ֆ.Ա. Բրոքհաուսը և Ի.Ա. Էֆրոն

Գրոշ- (լեհ. grosz, գերմաներենից Groschen, լատիներեն grossus (dēnārius) «հաստ denarius») տարբեր երկրների և ժամանակների մետաղադրամ։ Բովանդակություն 1 Կոպեկի տեսքը ... Վիքիպեդիա

ԱՄՆ մետաղադրամներ- 20 Սեն Գոդենս դոլար արժողությամբ ԱՄՆ ամենագեղեցիկ և թանկարժեք մետաղադրամները ԱՄՆ դրամահատարանում հատված մետաղադրամներն են: Արտադրվում է 1792 թվականից... Վիքիպեդիա

Գրքեր

Կանանց մազաթափության հիմնական պատճառները՝ Ալեքսեյ Միխման, տասը կանանցից վեցը կյանքի ինչ-որ պահի տառապում է մազաթափությունից։ Մազաթափությունը կարող է առաջանալ մի շարք պատճառներով, ինչպիսիք են ժառանգականությունը, հորմոնալ փոփոխությունները... Կատեգորիա:

Վերջին դասին մենք երեք քայլ օգտագործեցինք հավասարումներ լուծելու համար։

Առաջին փուլը տեխնիկական է. Օգտագործելով սկզբնական հավասարումից փոխակերպումների շղթան՝ մենք հասնում ենք բավականին պարզի, որը լուծում ենք և գտնում ենք արմատները։

Երկրորդ փուլը լուծման վերլուծությունն է: Մենք վերլուծում ենք մեր կատարած փոխակերպումները և պարզում, թե արդյոք դրանք համարժեք են։

Երրորդ փուլը ստուգումն է։ Բոլոր գտնված արմատները ստուգելը` դրանք փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ, պարտադիր է փոխակերպումներ կատարելիս, որոնք կարող են հանգեցնել հետևողական հավասարման:

Հավասարումը լուծելիս միշտ անհրաժեշտ է առանձնացնել երեք փուլ:

Իհարկե ոչ։ Ինչպես, օրինակ, այս հավասարումը լուծելիս. Առօրյա կյանքում նրանք սովորաբար չեն առանձնանում։ Բայց այս բոլոր փուլերը պետք է «հիշել» և իրականացնել այս կամ այն ձևով։ Փոխակերպումների համարժեքության վերլուծությունը հրամայական է։ Իսկ եթե վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ ստուգում է պետք անել, ապա դա պարտադիր է։ Հակառակ դեպքում հավասարումը չի կարող ճիշտ լուծված համարվել։

Մի՞շտ է հնարավոր հավասարման արմատները ստուգել միայն փոխարինմամբ:

Եթե հավասարումը լուծելիս օգտագործվել են համարժեք փոխակերպումներ, ապա ստուգում չի պահանջվում: Հավասարման արմատները ստուգելիս շատ հաճախ օգտագործվում է ODZ-ը (թույլատրելի արժեքների միջակայքը), եթե դժվար է ստուգել ODZ-ի միջոցով, ապա այն կատարվում է սկզբնական հավասարման մեջ:

Առաջադրանք 1

Լուծե՛ք երկու x-ին գումարած երեքի քառակուսի արմատի հավասարումը, որը հավասար է մեկին գումարած x:

Լուծում

Հավասարման ODZ-ը որոշվում է երկու անհավասարությունների համակարգով. երկու x-ին գումարած երեքը մեծ է կամ հավասար է զրոյի և մեկ գումարած x-ին մեծ կամ հավասար է զրոյի: Լուծումը x մեծ է կամ հավասար է մինուս մեկին:

Եկեք քառակուսի դարձնենք հավասարման երկու կողմերը, անդամները տեղափոխենք հավասարման մի կողմից մյուսը, ավելացնենք նմանատիպ անդամներ և ստացվի քառակուսի հավասարում x քառակուսի հավասար է երկուսի: Դրա արմատներն են

x առաջինը, երկրորդը հավասար է երկուսի քառակուսի արմատին գումարած կամ մինուս:

Փորձաքննություն

Առաջին x-ի արժեքը հավասար է երկուսի քառակուսի արմատին, քանի որ այն ներառված է ODZ-ում:
x վայրկյանի արժեքը հավասար է մինուս երկուսի քառակուսի արմատը հավասարման արմատը չէ, քանի որ այն ներառված չէ DZ-ում:
Եկեք ստուգենք, որ x արմատը հավասար է երկուսի քառակուսի արմատին, այն փոխարինելով սկզբնական հավասարության մեջ՝ ստանում ենք.

հավասարությունը ճշմարիտ է, ինչը նշանակում է, որ x-ը հավասար է երկուսի քառակուսի արմատին, հավասարման արմատն է:

Պատասխան՝ երկուսի քառակուսի արմատ:

Առաջադրանք 2

Լուծե՛ք x հանած ութի քառակուսի արմատը հավասար է հինգ հանած x:

Լուծում

Իռացիոնալ հավասարման ODZ-ը որոշվում է երկու անհավասարությունների համակարգով. x մինուս ութը մեծ է կամ հավասար է զրոյի, իսկ հինգ հանած x-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Լուծելով այն՝ մենք գտնում ենք, որ այս համակարգը լուծումներ չունի։ Հավասարման արմատը չի կարող լինել x փոփոխականի արժեքներից որևէ մեկը:

Պատասխան՝ արմատներ չկան:

Առաջադրանք 3

Լուծե՛ք x խորանարդի քառակուսի արմատ գումարած չորս x հանած մեկ հանած x-ի ութ քառակուսի արմատների հավասարումը չորրորդ աստիճանին հանած x հավասար է x խորանարդի քառակուսի արմատին հանած մեկին գումարած x-ի երկու քառակուսի արմատներին:

Լուծում

Այս հավասարման մեջ ODZ-ը գտնելը բավականին դժվար է:

Եկեք կատարենք փոխակերպումը. այս հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դարձնենք,

Բոլոր անդամները տեղափոխենք հավասարման ձախ կողմը և բերենք նման անդամներ, մեկի տակ գրենք երկու արմատ, ստացենք նման ռադիկալներ, բերենք նմանները, բաժանենք մինուս 12 գործակցի վրա և գործակցենք արմատական արտահայտությունը, կստանանք հավասարում. երկու գործակիցների արտադրյալի ձևը, որը հավասար է զրոյի: Լուծելով այն, մենք գտնում ենք արմատները.

x առաջինը հավասար է մեկի, x երկրորդը հավասար է զրոյի։

Քանի որ մենք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցրեցինք հավասարաչափի, արմատների ստուգումը պարտադիր է:

Փորձաքննություն

Եթե x-ը հավասար է մեկի, ապա

մենք ստանում ենք ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ x-ը հավասար է մեկին, հավասարման արմատն է:

Եթե x-ը զրո է, ապա մինուս մեկ քառակուսի արմատն անորոշ է:

Սա նշանակում է, որ x-ը, որը հավասար է զրոյի, կողմնակի արմատ է:

Պատասխան՝ մեկ։

Առաջադրանք 4

Լուծե՛ք x արտահայտության հավասարման լոգարիթմը գումարած հինգ x գումարած երկու հիմք երկուը հավասար է երեքի:

Լուծում

Գտնենք ODZ հավասարումը։ Դա անելու համար մենք լուծում ենք անհավասարությունը x քառակուսի գումարած հինգ x գումարած երկու զրոյի նկատմամբ:

Անհավասարությունը լուծում ենք միջակայքի մեթոդով։ Դրա համար մենք գործոնացնում ենք նրա ձախ կողմը, նախապես լուծելով քառակուսի հավասարումը և հաշվի առնելով անհավասարության նշանը՝ որոշում ենք ODZ-ը։ ODZ-ը հավասար է բաց ճառագայթների միությանը մինուս անսահմանությունից մինուս հինգ կոտորակի գումարած տասնյոթի քառակուսի արմատը բաժանված երկուսի վրա, և մինուս հինգ կոտորակից հանած տասնյոթի քառակուսի արմատը բաժանված երկուսի վրա գումարած անվերջությանը:

Հիմա եկեք սկսենք գտնել հավասարման արմատները: Հաշվի առնելով, որ երեքը հավասար է ութի լոգարիթմին երկու հիմքի վրա, մենք հավասարումը գրում ենք հետևյալ կերպ. Հզորացնենք հավասարումը, ձեռք բերենք և լուծենք քառակուսի հավասարում:

Խտրականը քառասունինը է։

Հաշվել արմատները.

x առաջինը հավասար է մինուս վեցի; x վայրկյանը հավասար է մեկի:

Փորձաքննություն

Մինուս վեցը պատկանում է ODZ-ին, մեկը պատկանում է ODZ-ին, ինչը նշանակում է, որ երկու թվերն էլ հավասարման արմատներն են:

Պատասխան՝ մինուս վեց; մեկ.

Վերջին դասում մենք նայեցինք կողմնակի արմատների առաջացման հարցին: Մենք կարող ենք դրանք հայտնաբերել ստուգման միջոցով: Հնարավո՞ր է արդյոք հավասարումը լուծելիս արմատներ կորցնել և ինչպես կանխել դա:

Հավասարման վրա այնպիսի գործողություններ կատարելիս, ինչպիսին է, առաջին հերթին, հավասարման երկու կողմերը նույն արտահայտությամբ ax-ով բաժանելը x-ից (բացառությամբ այն դեպքերի, երբ հաստատապես հայտնի է, որ x-ի կացինը հավասար չէ զրոյի ցանկացած x-ի համար. հավասարման սահմանման տիրույթը);

երկրորդ, լուծման գործընթացում հավասարման OD-ի նեղացումը կարող է հանգեցնել հավասարման արմատների կորստի:

Հիշիր.

Հավասարումը գրված է այսպես

x-ից ef-ը x-ից մոխրի վրա բազմապատկված է x-ից հավասար է zhe-ին x-ից բազմապատկված x-ից մոխրի վրա, լուծվում է հետևյալ կերպ.

պետք է ֆակտորիզացնել՝ փակագծերից դուրս դնելով ընդհանուր գործոնը.

այնուհետև յուրաքանչյուր գործոն հավասարեցրեք զրոյի՝ դրանով իսկ ստանալով երկու հավասարում:

Մենք հաշվարկում ենք դրանց արմատները:

Առաջադրանք 1

Լուծե՛ք x-ի հավասարումը, խորանարդը հավասար է x-ին:

Առաջին ճանապարհը

Այս հավասարման երկու կողմերը բաժանենք x-ի, կստանանք x քառակուսի հավասար է մեկ, ունենալով արմատներ x նախ հավասար է մեկ,

x վայրկյանը հավասար է մինուս մեկին:

Երկրորդ ճանապարհ

X խորանարդը հավասար է X-ին: Եկեք x-ը տեղափոխենք հավասարման ձախ կողմ, փակագծերից հանենք x-ը և կստանանք՝ x բազմապատկած x քառակուսու վրա հանած մեկը հավասար է զրոյի:

Եկեք հաշվարկենք դրա արմատները.

X առաջինը հավասար է զրոյի, x երկրորդը հավասար է մեկի, x երրորդը հավասար է մինուս մեկին։

Հավասարումն ունի երեք արմատ.

Առաջին մեթոդը լուծելիս մենք կորցրել ենք մեկ արմատ՝ x-ը հավասար է զրոյի:

Պատասխան՝ մինուս մեկ; զրո; մեկ.

Հիշիր. Անհայտը պարունակող գործոնով հավասարման երկու կողմերը կրճատելը կարող է հանգեցնել արմատների կորստի:

Առաջադրանք 2

Լուծե՛ք հավասարումը. x քառակուսի տասնորդական լոգարիթմը հավասար է երկուսի:

Լուծում

Առաջին ճանապարհը

Լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարում x քառակուսին հավասար է հարյուրի:

Դրա արմատները՝ x նախ հավասար է տասի; X վայրկյանը հավասար է մինուս տասի:

Երկրորդ ճանապարհ

Լոգարիթմների հատկությամբ մենք ունենք երկու տասնորդական լոգարիթմ x հավասար է երկու:

Դրա արմատը՝ x-ը հավասար է տասի

Երկրորդ մեթոդով x արմատը հավասար է մինուս տասը կորել է: Իսկ պատճառն այն է, որ սխալ բանաձեւ են կիրառել՝ նեղացնելով հավասարման շրջանակը։ X քառակուսի տասնորդական լոգարիթմի արտահայտությունը սահմանվում է բոլոր x-ի համար, բացառությամբ x-ի, որը հավասար է զրոյի: X-ի տասնորդական լոգարիթմի արտահայտությունը x-ի համար զրոյից մեծ է: X քառակուսի տասնորդական լոգարիթմի ճիշտ բանաձևը հավասար է երկու տասնորդական լոգարիթմի x մոդուլին:

Հիշիր. Հավասարում լուծելիս խելամտորեն օգտագործեք առկա բանաձևերը:

Հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները

Ո՞րն է հավասարման լուծումը:

Նույնական վերափոխում. Հիմնական

ինքնության փոխակերպումների տեսակները.

Օտար արմատ. Արմատային կորուստ.

Հավասարման լուծում գործընթաց է, որը հիմնականում բաղկացած է տվյալ հավասարումը դրան համարժեք մեկ այլ հավասարմամբ փոխարինելուց . Այս փոխարինումը կոչվում էնույնական վերափոխում . Ինքնության հիմնական փոխակերպումները հետևյալն են.

Մի արտահայտությունը փոխարինել մեկ այլով, որը նույնականորեն հավասար է դրան: Օրինակ, հավասարումը (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10-ը կարող է փոխարինվել հետևյալ համարժեքով.9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

Հավասարման տերմինների փոխանցում մի կողմից մյուսը հակառակ նշաններով: Այսպիսով, նախորդ հավասարման մեջ մենք կարող ենք նրա բոլոր տերմինները փոխանցել աջից ձախ «-» նշանով. 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, որից հետո մենք ստանում ենք.9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելը կամ բաժանելը միևնույն արտահայտությամբ (թիվով), բացի զրոյից: Սա շատ կարևոր է, քանի որնոր հավասարումը կարող է համարժեք չլինել նախորդին, եթե արտահայտությունը, որով մենք բազմապատկում կամ բաժանում ենք, կարող է հավասար լինել զրոյի:

ՕՐԻՆԱԿ Հավասարումx – 1 = 0-ն ունի մեկ արմատx = 1.

Բազմապատկելով երկու կողմերըx – 3 , մենք ստանում ենք հավասարումը

( x – 1)( x – 3) = 0, որն ունի երկու արմատ.x = 1 ևx = 3.

Վերջին արժեքը տվյալ հավասարման արմատը չէ

x – 1 = 0. Սա այսպես կոչվածօտար արմատ .

Ընդհակառակը, բաժանումը կարող է հանգեցնելարմատային կորուստ . Այսպիսով

մեր դեպքում, եթե (x – 1 )( x – 3 ) = 0 բնօրինակն է

հավասարումը, ապա արմատըx = 3-ը կկորչի բաժանման մեջ

հավասարման երկու կողմերումx – 3 .

Վերջին հավասարման մեջ (կետ 2) մենք կարող ենք նրա բոլոր անդամները բաժանել 3-ի (ոչ զրոյի) և վերջապես ստանալ.

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Այս հավասարումը համարժեք է սկզբնականին.