Razlozi za pojavu stranih korijena pri rješavanju jednadžbi. Radionica "rješavanje trigonometrijskih jednadžbi". Ekvivalentne transformacije jednadžbi

Tema trigonometrijskih jednadžbi započinje školskim predavanjem koje je strukturirano u obliku heurističkog razgovora. Na predavanju se obrađuje teorijsko gradivo i primjeri rješavanja svih tipičnih zadataka prema planu:

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.
Osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
Homogene jednadžbe.

U narednim satima započinje samostalno razvijanje vještina koje se temelji na primjeni načela zajedničke aktivnosti nastavnika i učenika. Prvo se postavljaju ciljevi za učenike, tj. Određuje se tko ne želi znati više od onoga što zahtijeva državni standard, a tko je spreman učiniti više.

Konačna dijagnoza izrađuje se uzimajući u obzir diferencijaciju razina, što omogućuje učenicima da svjesno utvrde minimalno znanje koje je potrebno za dobivanje ocjene “3”. Na temelju toga odabiru se materijali na više razina za dijagnosticiranje znanja učenika. Takav rad omogućuje individualan pristup učenicima, uključivanje svakoga u aktivnosti svjesnog učenja, razvijanje vještina samoorganiziranja i samoučenja te osiguravanje prijelaza na aktivno, samostalno mišljenje.

Seminar se izvodi nakon uvježbavanja osnovnih vještina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Nekoliko sati prije seminara studentima se postavljaju pitanja o kojima će se raspravljati tijekom seminara.

Seminar se sastoji od tri dijela.

1. Uvodni dio obuhvaća cjelokupno teoretsko gradivo, uključujući i uvod u probleme koji će se pojaviti pri rješavanju složenih jednadžbi.

2. Drugi dio govori o rješavanju jednadžbi oblika:

i cosx + bsinx = c.
a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
jednadžbe rješive redukcijom stupnja.

Ove jednadžbe koriste univerzalnu supstituciju, formule za smanjenje stupnja i metodu pomoćnih argumenata.

3. Treći dio govori o problemima gubitka korijena i stjecanja stranih korijena. Pokazuje kako odabrati korijene.

Učenici rade u skupinama. Za rješavanje primjera pozivaju se dobro obučeni momci koji mogu pokazati i objasniti gradivo.

Seminar je namijenjen dobro pripremljenom studentu, jer... bavi se pitanjima koja su donekle izvan opsega programskog materijala. Uključuje jednadžbe složenijeg oblika, a posebno se bavi problemima koji se javljaju pri rješavanju složenih trigonometrijskih jednadžbi.

Seminar je održan za učenike od 10. do 11. razreda. Svaki učenik je imao priliku proširiti i produbiti svoje znanje o ovoj temi, usporediti razinu svog znanja ne samo sa zahtjevima za maturanta, već i sa zahtjevima za one koji upisuju V.U.Z.

SEMINAR

Predmet:"Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi"

Ciljevi:

Generalizirati znanja o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi svih vrsta.
Usredotočite se na probleme: gubitak korijena;

strani korijeni; izbor korijena.

NAPREDAK SATA.

I. Uvodni dio

1. Osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi
Faktorizacija.
Uvođenje nove varijable.

Funkcionalno-grafička metoda.

2. Neke vrste trigonometrijskih jednadžbi.

Jednadžbe koje se svode na kvadratne jednadžbe za cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Rješavaju se uvođenjem nove varijable.

Homogene jednadžbe prvog i drugog stupnja Jednadžba prvog stupnja:

Asinx + Bcosx = 0 podijelimo s cos x, dobivamo Atg x + B = 0 Jednadžba drugog stupnja:

Ako sin 2 x + Bsinx cosx + Scos 2 x = 0 podijelimo sa cos 2 x, dobivamo Atg 2 x + Btgx + C = 0

Rješavaju se faktorizacijom i uvođenjem nove varijable.

Primjenjuju se sve metode.

Unazaditi:

1). Akos2x + Vcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Rješeno metodom faktorizacije.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C. Jednadžba oblika:

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Svedeno na kvadrat s obzirom na t = sinx + cosx;

sin2x = t 2 – 1.

3. Formule.
x + 2n; Provjera je obavezna!

Opadajući stupanj: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2

Metoda pomoćnih argumenata.

Zamijenite Acosx + Bsinx s Csin (x + ), gdje je sin = a/C; cos=v/c;

– pomoćni argument.
4. Pravila.
Ako vidite kvadrat, smanjite stupanj.

Ako vidite komad, zbrojite.

Ako vidite iznos, obavite posao. 5. Gubitak korijena, dodatni korijeni.

Gubitak korijena: podijeliti s g(x); opasne formule (univerzalna supstitucija). Ovim operacijama sužavamo opseg definicije.

Višak korijena: podignut na parnu snagu;

1. Jednadžbe oblika Asinx + Bcosx = C

1) Univerzalna supstitucija.O.D.Z. x – bilo koji.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Ispitivanje: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Je li korijen jednadžbe.

Odgovor: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Funkcionalno-grafička metoda. O.D.Z. x – bilo koji.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Nacrtajmo funkcije: y = sinx, y = cosx + 1.

Odgovor: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Uvođenje pomoćnog argumenta. O.D.Z.: x – bilo koji.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, jer (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, tada postoji takav da je sin = 8/17,

cos = 15/17, što znači sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Odgovor: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Smanjenje reda: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – bilo koji.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Odgovor: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

k = 1 i m = 0
k = 4 i m = 1.

serije su iste.

3. Svođenje na homogenost. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – bilo koji.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) ne može se podijeliti s cos 2 x, jer gubimo korijene.
cos 2 x = 0 zadovoljava jednadžbu.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Odgovor: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Jednadžba oblika: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – bilo koji.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Odgovor: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Rastavljanje na faktore.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, nema korijena.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Odgovor: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Problemi koji nastaju pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi

1. Gubitak korijena: podijelite s g(x); Koristimo opasne formule.

1) Pronađite grešku.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formula.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* sosx/2* sinx/2 podijeli s 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Izgubljeni korijeni sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Točno rješenje: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

sin 2 x/2 = 0
x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. Strani korijeni: rješavamo se nazivnika; podići na parnu potenciju.

1). (sin4x – sin2x – sos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2sos3h sinx – sos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). sos3x + 1 = 0
x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3
1. n = 0
grijeh 2/3 = 3/2
ne zadovoljiti. O.D.Z.

2. n = 1
grijeh 2= 0
zadovoljiti O.D.Z.

3. n = 2
grijeh 2/3 = –3/2
zadovoljiti O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z
1.k = 0
grijeh 2/6 = 3/2
ne zadovoljavaju O.D.Z.
2. k = 1
sin 2*5/6 = –3 / 2
zadovoljiti O.D.Z.

Odgovor: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. IZGUBLJENI I IZNIČENI KORIJENI PRILIKOM RJEŠAVANJA JEDNADŽBI (ZA PRIMJERE)

REFERENTNI MATERIJAL

1. Dva teorema u § 3 Poglavlja VII govorila su o tome koje akcije na jednadžbama ne narušavaju njihovu ekvivalenciju.

2. Razmotrimo sada takve operacije na jednadžbama koje mogu dovesti do nove jednadžbe koja nije jednaka izvornoj jednadžbi. Umjesto općih razmatranja, ograničit ćemo se na razmatranje samo konkretnih primjera.

3. Primjer 1. Zadana je jednadžba. Otvorimo zagrade u ovoj jednadžbi, premjestimo sve članove na lijevu stranu i riješimo kvadratnu jednadžbu. Njegovi korijeni su

Ako obje strane jednadžbe smanjite za zajednički faktor, dobit ćete jednadžbu koja nije jednaka izvornoj, jer ima samo jedan korijen

Dakle, smanjivanje obje strane jednadžbe faktorom koji sadrži nepoznanicu može dovesti do gubitka korijena jednadžbe.

4. Primjer 2. Zadana jednadžba ima jedan korijen te jednadžbe, i dobivamo dva korijena.

Vidimo da nova jednadžba nije ekvivalentna izvornoj jednadžbi korijen jednadžbe koji, nakon kvadriranja obje strane, vodi do jednadžbe

5. Vanjski korijeni se također mogu pojaviti kada se obje strane jednadžbe pomnože s faktorom koji sadrži nepoznatu, ako taj faktor nestaje za stvarne vrijednosti x.

Primjer 3. Ako obje strane jednadžbe pomnožimo time, dobivamo novu jednadžbu koja, nakon prijenosa člana s desne strane na lijevu i rastavljanja na faktore, daje jednadžbu iz

Korijen ne zadovoljava jednadžbu koja ima samo jedan korijen

Odavde zaključujemo: kod kvadriranja obje strane jednadžbe (općenito na jednaku snagu), kao i kod množenja s faktorom koji sadrži nepoznatu i nestaje na stvarnim vrijednostima nepoznate, mogu se pojaviti strani korijeni.

Sva razmatranja izražena ovdje o pitanju gubitka i pojave stranih korijena jednadžbe jednako se primjenjuju na sve jednadžbe (algebarske, trigonometrijske, itd.).

6. Jednadžba se naziva algebarskom ako se nad nepoznanicom izvode samo algebarske operacije - zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena s prirodnim eksponentom (a broj takvih operacija je konačan).

Tako, na primjer, jednadžbe

su algebarske, a jednadžbe

ZUBI. Zubi kralježnjaka su svojom građom i razvojem potpuno slični plakoidnim ljuskama koje prekrivaju cijelu kožu ribe morskog psa. Budući da je cijela usna šupljina, a dijelom i ždrijelna šupljina, obložena ektodermalnim epitelom, tipični plakoid... ...

TUBERKULOZA PLUĆA- TUBERKULOZA PLUĆA. Sadržaj: I. Patološka anatomija...........110 II. Klasifikacija plućne tuberkuloze.... 124 III. Klinika.........................128 IV. Dijagnostika.........................160 V. Prognoza..................... .......... 190 VI. Liječenje… Velika medicinska enciklopedija

TROVANJE- TROVANJE. Pod otrovanjem podrazumijevamo “poremećaje funkcija životinja”. organizama, uzrokovanih egzogenim ili endogenim, kemijski ili fizički i kemijski aktivnim tvarima, koje su strane po kvaliteti, količini ili koncentraciji... ... Velika medicinska enciklopedija

Kvržične bakterije mahunarki- Paleontološki podaci pokazuju da su najstarije mahunarke koje su imale kvržice neke biljke iz skupine Eucaesalpinioideae. Kod modernih vrsta mahunarki pronađene su kvržice... Biološka enciklopedija

Popis epizoda animirane serije "Luntik"- U ovom članku nedostaju poveznice na izvore informacija. Podaci moraju biti provjerljivi, inače mogu biti dovedeni u pitanje i izbrisani. Možete... Wikipedia

BILJE I OKOLIŠ- Život biljke, kao i svakog drugog živog organizma, složen je skup međusobno povezanih procesa; Najznačajniji od njih, kao što je poznato, je izmjena tvari s okolinom. Okolina je izvor iz kojeg se... ... Biološka enciklopedija

Popis epizoda serije "Luntik"- Glavni članak: Avanture Luntika i njegovih prijatelja Sadržaj 1 Broj epizoda 2 Popis epizoda animirane serije Luntik i njegovi prijatelji ... Wikipedia

Bolesti voćaka- Voćke bi, zahvaljujući stalnoj ljudskoj brizi za njih, trebale doživjeti mnogo stariju starost od svojih nekultiviranih srodnika, da nije suprotstavljenih utjecaja mnogih uvjeta same kulture, odnosno zahtjeva koje postavljamo mi... ...

Sječa šume- Sječa šume, odnosno izvlačenje šumskog prihoda u obliku drva i kore, može se obavljati na dva načina: kopanjem ili čupanjem cijelih stabala, odnosno debla s korijenjem, ili odvojeno, u dijelovima, prvo posječenim ili uklonjenim od ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Groš- (poljski groš, od njemačkog Groschen, od latinskog grossus (dēnārius) “debeli denar”) kovani novac raznih zemalja i vremena. Sadržaj 1 Pojava novčića ... Wikipedia

kovanice SAD-a- 20 Saint Gaudens dolara najljepši i najskuplji američki novčić je kovan u američkoj kovnici novca. Proizvodi se od 1792... Wikipedia

knjige

Glavni uzroci gubitka kose kod žena, Alexey Michman, Šest od deset žena pati od gubitka kose u nekom trenutku svog života. Do gubitka kose može doći iz više razloga, poput nasljeđa, hormonalnih promjena u... Kategorija:

U prošloj lekciji koristili smo tri koraka za rješavanje jednadžbi.

Prva faza je tehnička. Koristeći lanac transformacija iz izvorne jednadžbe, dolazimo do prilično jednostavne, koju rješavamo i nalazimo korijene.

Druga faza je analiza rješenja. Analiziramo transformacije koje smo izvršili i utvrđujemo jesu li ekvivalentne.

Treća faza je verifikacija. Provjera svih pronađenih korijena njihovom zamjenom u izvornu jednadžbu obavezna je pri izvođenju transformacija koje mogu dovesti do korolarne jednadžbe

Je li kod rješavanja jednadžbe uvijek potrebno razlikovati tri faze?

Naravno da nije. Kao npr. kod rješavanja ove jednadžbe. U svakodnevnom životu obično se ne razlikuju. Ali sve ove faze treba "imati na umu" i provesti u ovom ili onom obliku. Nužno je analizirati ekvivalentnost transformacija. A ako analiza pokaže da treba obaviti provjeru, onda je ona obavezna. U protivnom se jednadžba ne može smatrati ispravno riješenom.

Je li uvijek moguće provjeriti korijene jednadžbe samo supstitucijom?

Ako su pri rješavanju jednadžbe korištene ekvivalentne transformacije, provjera nije potrebna. Kod provjere korijena jednadžbe vrlo se često koristi ODZ (dopušteni raspon vrijednosti). Ako je provjera pomoću ODZ-a teška, onda se ona izvodi zamjenom u izvornu jednadžbu.

Zadatak 1

Riješite jednadžbu kvadratni korijen od dva x plus tri jednako jedan plus x.

Otopina

ODZ jednadžbe određen je sustavom dviju nejednakosti: dva x plus tri je veće ili jednako nuli i jedan plus x je veće ili jednako nuli. Rješenje je x veće ili jednako minus jedan.

Kvadratiramo obje strane jednadžbe, premjestimo članove s jedne strane jednadžbe na drugu, dodamo slične članove i dobijemo kvadratnu jednadžbu x na kvadrat jednako dva. Njegovi korijeni su

x prvo, drugo je plus ili minus kvadratni korijen iz dva.

Ispitivanje

Vrijednost x prva je jednaka kvadratnom korijenu dva je korijen jednadžbe, budući da je uključen u ODZ.
Vrijednost x sekunde jednaka je minus kvadratni korijen iz dva nije korijen jednadžbe, jer ne ulazi u DZ.
Provjerimo da je korijen x jednak kvadratnom korijenu iz dva, zamijenivši ga u izvornoj jednakosti, dobivamo

jednakost je istinita, što znači da je x jednako kvadratni korijen iz dva je korijen jednadžbe.

Odgovor: kvadratni korijen iz dva.

Zadatak 2

Riješite jednadžbu kvadratni korijen od x minus osam jednako pet minus x.

Otopina

ODZ iracionalne jednadžbe određen je sustavom dviju nejednakosti: x minus osam je veće ili jednako nuli i pet minus x je veće ili jednako nuli. Rješavajući ga, nalazimo da ovaj sustav nema rješenja. Korijen jednadžbe ne može biti niti jedna od vrijednosti varijable x.

Odgovor: nema korijena.

Zadatak 3

Riješite jednadžbu kvadratni korijen od x kubnog plus četiri x minus jedan minus osam kvadratnih korijena od x na četvrtu potenciju minus x jednako kvadratni korijen od x kubnog minus jedan plus dva kvadratna korijena od x.

Otopina

Pronalaženje ODZ u ovoj jednadžbi prilično je teško.

Provedimo transformaciju: kvadrirajte obje strane ove jednadžbe,

Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednadžbe i dovedimo slične članove, napišimo dva korijena ispod jednog, dobijemo slične radikale, dovedemo slične jedinice, podijelimo s koeficijentom minus 12 i faktoriziramo radikalni izraz, dobit ćemo jednadžbu u obliku umnoška dva faktora jednaka nuli. Nakon što smo to riješili, nalazimo korijene:

x prvo je jednako jedan, x drugo je jednako nula.

Budući da smo podigli obje strane jednadžbe na parnu potenciju, provjera korijena je obavezna.

Ispitivanje

Ako je x jednako jedan, tada

dobivamo točnu jednakost, što znači da je x jednako jedan korijen jednadžbe.

Ako je x nula, tada je kvadratni korijen od minus jedan nedefiniran.

To znači da je x jednak nuli vanjski korijen.

Odgovor: jedan.

Zadatak 4

Riješite jednadžbu logaritma izraza x na kvadrat plus pet x plus dva baza dva jednako je tri.

Otopina

Nađimo ODZ jednadžbu. Da bismo to učinili, rješavamo nejednadžbu x na kvadrat plus pet x plus dva kroz nulu.

Nejednadžbu rješavamo metodom intervala. Da bismo to učinili, faktoriziramo njegovu lijevu stranu, prethodno riješivši kvadratnu jednadžbu, i uzimajući u obzir znak nejednakosti, odredimo ODZ. ODZ je jednak uniji otvorenih zraka od minus beskonačno do minus razlomka pet plus kvadratni korijen od sedamnaest podijeljeno s dva, i od minus razlomak pet minus kvadratni korijen od sedamnaest podijeljeno s dva do plus beskonačno.

Sada počnimo pronalaziti korijene jednadžbe. S obzirom da je tri jednako logaritmu od osam na bazu dva, jednadžbu pišemo na sljedeći način: logaritam izraza x kvadrat plus pet x plus dva na bazu dva jednak je logaritmu od osam na bazu dva. Potencirajmo jednadžbu, dobijmo i riješimo kvadratnu jednadžbu.

Diskriminant je četrdeset devet.

Izračunajte korijene:

x prvo je jednako minus šest; x sekunda jednako je jedan.

Ispitivanje

Minus šest pripada ODZ, jedan pripada ODZ, što znači da su oba broja korijeni jednadžbe.

Odgovor: minus šest; jedan.

U prošloj lekciji smo se osvrnuli na pojavu stranih korijena. Možemo ih otkriti putem provjere. Je li moguće izgubiti korijene pri rješavanju jednadžbe i kako to spriječiti?

Prilikom izvođenja takvih radnji na jednadžbi, kao što je, prvo, dijeljenje obje strane jednadžbe istim izrazom ax iz x (osim onih slučajeva kada je sigurno poznato da ax iz x nije jednaka nuli za bilo koji x iz domena definicije jednadžbe);

drugo, sužavanje OD jednadžbe tijekom procesa rješavanja može dovesti do gubitka korijena jednadžbe.

Upamtite!

Jednadžba napisana kao

ef od x pomnoženo s pepelom iz x jednako je zhe iz x pomnoženo s pepelom iz x rješava se na ovaj način:

morate faktorizirati stavljanjem zajedničkog faktora izvan zagrada;

zatim izjednačite svaki faktor s nulom, čime dobivate dvije jednadžbe.

Izračunavamo njihove korijene.

Zadatak 1

Riješite jednadžbu x kocka jednako x.

Prvi način

Podijelimo obje strane ove jednadžbe s x, dobit ćemo x na kvadrat jednako jedan, s korijenima x prvi jednak jedan,

x sekunda jednako je minus jedan.

Drugi način

X kocka je X. Premjestimo x na lijevu stranu jednadžbe, izvadimo x iz zagrada i dobit ćemo: x pomnoženo s x na kvadrat minus jedan jednako je nula.

Izračunajmo njegove korijene:

X prvo je jednako nuli, x drugo je jednako jedan, x treće je jednako minus jedan.

Jednadžba ima tri korijena.

Prilikom rješavanja prve metode izgubili smo jedan korijen - x je jednako nula.

Odgovor: minus jedan; nula; jedan.

Upamtite! Smanjenje obje strane jednadžbe faktorom koji sadrži nepoznanicu može rezultirati izgubljenim korijenima.

Zadatak 2

Riješite jednadžbu: decimalni logaritam x na kvadrat jednak je dva.

Otopina

Prvi način

Prema definiciji logaritma, dobivamo kvadratnu jednadžbu x kvadrat jednako sto.

Njegovi korijeni: x prvo je jednako deset; X sekunda jednako je minus deset.

Drugi način

Po svojstvu logaritama, imamo dva decimalna logaritma x jednako dva.

Njegov korijen - x je jednak deset

S drugom metodom izgubljen je korijen x jednak minus deset. A razlog je taj što su primijenili pogrešnu formulu, sužavajući opseg jednadžbe. Izraz za decimalni logaritam x na kvadrat definiran je za sve x osim x jednakog nuli. Izraz za decimalni logaritam od x je za x veće od nule. Ispravna formula za decimalni logaritam x kvadrat jednaka je dva decimalna logaritma modul x.

Upamtite! Kada rješavate jednadžbu, mudro koristite dostupne formule.

Osnovne metode rješavanja jednadžbi

Što je rješenje jednadžbe?

Identična transformacija. Osnovno

vrste transformacija identiteta.

Strani korijen. Gubitak korijena.

Rješavanje jednadžbe je proces koji se uglavnom sastoji od zamjene dane jednadžbe drugom jednadžbom koja joj je ekvivalentna . Ova zamjena se zoveidentična transformacija . Glavne transformacije identiteta su sljedeće:

Zamjena jednog izraza drugim koji mu je identički jednak. Na primjer, jednadžba (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 može se zamijeniti sljedećim ekvivalentom:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

Prenošenje članova jednadžbe s jedne strane na drugu s obrnutim predznacima. Dakle, u prethodnoj jednadžbi možemo prenijeti sve njene članove s desne strane na lijevu sa znakom “-”: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, nakon čega dobivamo:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

Množenje ili dijeljenje obje strane jednadžbe istim izrazom (brojem) osim nule. Ovo je vrlo važno jernova jednadžba možda neće biti ekvivalentna prethodnoj ako izraz s kojim množimo ili dijelimo može biti jednak nuli.

PRIMJER Jednadžbax – 1 = 0 ima jedan korijenx = 1.

Množenje obje strane sx – 3 , dobivamo jednadžbu

( x – 1)( x – 3) = 0, koji ima dva korijena:x = 1 ix = 3.

Posljednja vrijednost nije korijen dane jednadžbe

x – 1 = 0. To je tzvstrani korijen .

Suprotno tome, podjela može dovesti dogubitak korijena . Tako

u našem slučaju, ako (x – 1 )( x – 3 ) = 0 je original

jednadžba, zatim korijenx = 3 će biti izgubljeno u podjeli

obje strane jednadžbe nax – 3 .

U posljednjoj jednadžbi (stavka 2) možemo sve članove podijeliti s 3 (ne s nulom!) i na kraju dobiti:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Ova jednadžba je ekvivalentna izvornoj: