একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের গ্রাফের বিন্দু। ফাংশন পার্থক্য. একটি ডেরিভেটিভ থাকার একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা। উপপাদ্য

নিবন্ধের বিষয়বস্তু

অমৌলিক- ফাংশনের ডেরিভেটিভ y = চ(এক্স), একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে দেওয়া ( ক, খ) বিন্দুতে এক্সএই ব্যবধানের সীমাকে বলা হয় ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা চএই সময়ে আর্গুমেন্টের সংশ্লিষ্ট ইনক্রিমেন্টের সাথে যখন আর্গুমেন্টের ইনক্রিমেন্ট শূন্য হয়ে যায়।

ডেরিভেটিভ সাধারণত নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়:

অন্যান্য উপাধিগুলিও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়:

তাত্ক্ষণিক গতি।

বিন্দু যাক এমসরল রেখায় চলে। দূরত্ব sচলন্ত বিন্দু, কিছু প্রাথমিক অবস্থান থেকে গণনা করা হয় এম 0 , সময়ের উপর নির্ভর করে t, অর্থাৎ sসময়ের একটা ফাংশন আছে t: s= চ(t). সময় কোন এক সময়ে যাক tচলন্ত বিন্দু এমদূরত্বে ছিল sশুরুর অবস্থান থেকে এম 0, এবং কিছু পরের মুহূর্তে t+ডি tনিজেকে একটি অবস্থানে খুঁজে পেয়েছেন এম 1 - দূরত্বে s+ডি sপ্রাথমিক অবস্থান থেকে ( ছবি দেখুন.).

এইভাবে, সময়ের সাথে সাথে ডি tদূরত্ব s D পরিমাণ দ্বারা পরিবর্তিত s. এ ক্ষেত্রে তারা বলেন, সময়ের ব্যবধানে ডি tমাত্রা sইনক্রিমেন্ট ডি পেয়েছেন s.

গড় গতি সব ক্ষেত্রে একটি বিন্দুর গতির গতিকে সঠিকভাবে চিহ্নিত করতে পারে না এমসময়ে একটি সময়ে t. যদি, উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধানের শুরুতে শরীর ডি tখুব দ্রুত সরানো হয়েছে, এবং শেষে খুব ধীরে ধীরে, তারপর গড় গতি বিন্দুর গতিবিধির নির্দেশিত বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রতিফলিত করতে সক্ষম হবে না এবং এই মুহুর্তে এর আন্দোলনের প্রকৃত গতি সম্পর্কে ধারণা দিতে পারবে না t. গড় গতি ব্যবহার করে সত্যিকারের গতি আরও সঠিকভাবে প্রকাশ করতে, আপনাকে একটি ছোট সময় নিতে হবে D t. এই মুহূর্তে একটি বিন্দুর চলাচলের গতিকে সর্বাধিক বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে tযে সীমার গড় গতি D এ থাকে t® 0. এই সীমাকে বর্তমান গতি বলা হয়:

এইভাবে, একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে চলাচলের গতিকে পথ বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা বলা হয় sসময় বৃদ্ধি ডি t, যখন সময় বৃদ্ধি শূন্য হয়। কারণ

ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ। একটি ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক।

স্পর্শক রেখার নির্মাণ সেই সমস্যাগুলির মধ্যে একটি যা ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের জন্ম দেয়। লিবনিজের লেখা ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস সম্পর্কিত প্রথম প্রকাশিত কাজটির শিরোনাম ছিল ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা, সেইসাথে স্পর্শকগুলির একটি নতুন পদ্ধতি, যার জন্য ভগ্নাংশ বা অযৌক্তিক পরিমাণগুলি কোনও বাধা নয় এবং এটির জন্য একটি বিশেষ ধরণের ক্যালকুলাস.

বক্ররেখাটি ফাংশনের গ্রাফ হতে দিন y =চ(এক্সএকটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থায় ( সেমি. ভাত।)

কিছু মূল্যে এক্সফাংশন বিষয় y =চ(এক্স) এই মান এক্সএবং yবক্ররেখার বিন্দু মিলে যায় এম 0(এক্স, y) যদি যুক্তি এক্সদিতে বৃদ্ধি ডি এক্স, তারপর আর্গুমেন্টের নতুন মান এক্স+ডি এক্সনতুন ফাংশন মানের সাথে মিলে যায় y+ডি y = চ(এক্স + ডি এক্স) বক্ররেখার সংশ্লিষ্ট বিন্দু হবে বিন্দু এম 1(এক্স+ডি এক্স,y+ডি y) আপনি একটি secant আঁকা এম 0এম 1 এবং j দ্বারা চিহ্নিত অক্ষের ধনাত্মক দিক দিয়ে একটি ট্রান্সভার্সাল দ্বারা গঠিত কোণ বলদ, এটা অবিলম্বে চিত্র থেকে স্পষ্ট যে.

যদি এখন ডি এক্সশূন্যের দিকে ঝোঁক, তারপর বিন্দু এম 1 বক্ররেখা বরাবর সরে, বিন্দুর কাছাকাছি এম 0, এবং কোণ j ডি এর সাথে পরিবর্তন এক্স. এ ডিএক্স® 0 কোণ j একটি নির্দিষ্ট সীমা a এবং বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরল রেখার দিকে ঝোঁক এম 0 এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিক সহ উপাদান, কোণ a, কাঙ্ক্ষিত স্পর্শক হবে। এর ঢাল হল:

তাই, চ´( এক্স) = tga

সেগুলো. ডেরিভেটিভ মান চ´( এক্স) একটি প্রদত্ত আর্গুমেন্ট মানের জন্য এক্সফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক দ্বারা গঠিত কোণের স্পর্শকের সমান চ(এক্স) সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে এম 0(এক্স,y) ইতিবাচক অক্ষের দিক দিয়ে বলদ.

ফাংশনের পার্থক্য।

সংজ্ঞা। যদি ফাংশন y = চ(এক্স) বিন্দুতে একটি ডেরিভেটিভ আছে এক্স = এক্স 0, তাহলে এই সময়ে ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য।

একটি ডেরিভেটিভ থাকার একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা। উপপাদ্য।

যদি ফাংশন y = চ(এক্স) কিছু সময়ে পার্থক্যযোগ্য এক্স = এক্স 0, তারপর এটি এই বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন।

সুতরাং, বিচ্ছিন্নতা বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভ থাকতে পারে না। বিপরীত উপসংহারটি ভুল, যেমন যে কোনো সময়ে থেকে এক্স = এক্স 0 ফাংশন y = চ(এক্স) অবিচ্ছিন্ন এর মানে এই নয় যে এটি এই সময়ে পার্থক্যযোগ্য। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন y = |এক্স| সবার জন্য একটানা এক্স(–Ґ x x = 0 এর কোন ডেরিভেটিভ নেই। এই মুহুর্তে গ্রাফটিতে কোন স্পর্শক নেই। একটি ডান স্পর্শক এবং একটি বাম একটি আছে, কিন্তু তারা একত্রিত হয় না।

পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের কিছু উপপাদ্য। ডেরিভেটিভের শিকড়ের উপর উপপাদ্য (Rolle এর উপপাদ্য)।যদি ফাংশন চ(এক্স) সেগমেন্টে একটানা আছে [ক,খ], এই বিভাগের সমস্ত অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে এবং প্রান্তে পার্থক্যযোগ্য এক্স = কএবং এক্স = খশূন্যে যায় ( চ(ক) = চ(খ) = 0), তারপর সেগমেন্টের ভিতরে [ ক,খ] অন্তত একটি বিন্দু আছে এক্স= সঙ্গে, ক c b, যার মধ্যে ডেরিভেটিভ চў( এক্স) শূন্যে যায়, অর্থাৎ চў( গ) = 0.

সসীম বৃদ্ধির উপপাদ্য (ল্যাগ্রেঞ্জের উপপাদ্য)।যদি ফাংশন চ(এক্স) বিরতিতে একটানা থাকে [ ক, খ] এবং এই সেগমেন্টের সমস্ত অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য, তারপর সেগমেন্টের ভিতরে [ ক, খ] অন্তত একটি বিন্দু আছে সঙ্গে, কগ খ

চ(খ) – চ(ক) = চў( গ)(খ– ক).

দুটি ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের উপর উপপাদ্য (কচির উপপাদ্য)।যদি চ(এক্স) এবং g(এক্স) – সেগমেন্টে একটানা দুটি ফাংশন [ক, খ] এবং এই বিভাগের সমস্ত অভ্যন্তরীণ পয়েন্টে পার্থক্যযোগ্য, এবং gў( এক্স) এই সেগমেন্টের ভিতরে কোথাও বিলুপ্ত হয় না, তারপর সেগমেন্টের ভিতরে [ ক, খ] এরকম একটা পয়েন্ট আছে এক্স = সঙ্গে, কগ খ

বিভিন্ন আদেশের ডেরিভেটিভস।

ফাংশন যাক y =চ(এক্স) কিছু ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য [ ক, খ]। ডেরিভেটিভ মান চ ў( এক্স), সাধারণভাবে বলতে গেলে, নির্ভর করে এক্স, অর্থাৎ অমৌলিক চ ў( এক্স) এছাড়াও একটি ফাংশন এক্স. এই ফাংশনের পার্থক্য করার সময়, আমরা ফাংশনের তথাকথিত দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পাই চ(এক্স), যা চিহ্নিত করা হয় চ ўў ( এক্স).

অমৌলিক n-ফাংশনের তম ক্রম চ(এক্স) কে ডেরিভেটিভের (প্রথম ক্রম) ডেরিভেটিভ বলা হয় n- 1- th এবং চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় y(n) = (y(n– 1))ў।

বিভিন্ন আদেশের পার্থক্য।

ফাংশন ডিফারেনশিয়াল y = চ(এক্স), কোথায় এক্স- স্বাধীন পরিবর্তনশীল, হ্যাঁ dy = চ ў( এক্স)dx, থেকে কিছু ফাংশন এক্স, কিন্তু থেকে এক্সশুধুমাত্র প্রথম ফ্যাক্টর নির্ভর করতে পারে চ ў( এক্স), দ্বিতীয় ফ্যাক্টর ( dx) হল স্বাধীন ভেরিয়েবলের বৃদ্ধি এক্সএবং এই ভেরিয়েবলের মানের উপর নির্ভর করে না। কারণ dyথেকে একটি ফাংশন আছে এক্স, তাহলে আমরা এই ফাংশনের পার্থক্য নির্ধারণ করতে পারি। একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়ালের ডিফারেনশিয়ালকে এই ফাংশনের সেকেন্ড ডিফারেনশিয়াল বা সেকেন্ড অর্ডার ডিফারেনশিয়াল বলা হয় এবং এটি চিহ্নিত করা হয় d 2y:

d(dx) = d 2y = চ ўў( এক্স)(dx) 2 .

ডিফারেনশিয়াল n-প্রথম ক্রমকে ডিফারেনশিয়ালের প্রথম ডিফারেনশিয়াল বলা হয় n- 1- তম আদেশ:

d n y = d(d n–1y) = চ(n)(এক্স)dx(n).

আংশিক ডেরিভেটিভ.

যদি একটি ফাংশন একটির উপর নির্ভর করে না, তবে বেশ কয়েকটি আর্গুমেন্টের উপর নির্ভর করে একাদশ(i 1 থেকে পরিবর্তিত হয় n,i= 1, 2,… n),চ(এক্স 1,এক্স 2,… x n), তারপর ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসে আংশিক ডেরিভেটিভের ধারণাটি চালু করা হয়, যা শুধুমাত্র একটি যুক্তি পরিবর্তিত হলে বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হারকে চিহ্নিত করে, উদাহরণস্বরূপ, একাদশ. 1ম অর্ডার আংশিক ডেরিভেটিভ সাপেক্ষে একাদশএকটি সাধারণ ডেরিভেটিভ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং এটি ব্যতীত সমস্ত আর্গুমেন্ট অনুমান করা হয় একাদশ, ধ্রুবক মান রাখা. আংশিক ডেরিভেটিভের জন্য, স্বরলিপি চালু করা হয়

এইভাবে সংজ্ঞায়িত 1ম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভস (একই আর্গুমেন্টের ফাংশন হিসাবে) এরও আংশিক ডেরিভেটিভ থাকতে পারে, এগুলি দ্বিতীয় ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভ ইত্যাদি। বিভিন্ন যুক্তি থেকে নেওয়া এই ধরনের ডেরিভেটিভগুলিকে মিশ্র বলা হয়। একই অর্ডারের ক্রমাগত মিশ্র ডেরিভেটিভগুলি পার্থক্যের ক্রম উপর নির্ভর করে না এবং একে অপরের সমান।

আনা চুগাইনোভা

অমৌলিক ফাংশনএকটি বিন্দুতে ফাংশনের বৃদ্ধির সাথে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা বলা হয়, শর্ত থাকে যে এটি শূন্যের দিকে থাকে।

ডেরিভেটিভ খোঁজার জন্য মৌলিক নিয়ম

যদি - এবং - বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য ফাংশন হয়, (অর্থাৎ বিন্দুতে ডেরিভেটিভ আছে এমন ফাংশন), তাহলে:

4) .

মৌলিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সারণী

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার নিয়ম।যদি এবং , i.e. , কোথায় এবং ডেরিভেটিভ আছে, তারপর

প্যারামেট্রিকভাবে নির্দিষ্ট একটি ফাংশনের পার্থক্য. একটি ভেরিয়েবলের উপর একটি ভেরিয়েবলের নির্ভরতা প্যারামিটারের মাধ্যমে প্যারামেট্রিকভাবে নির্দিষ্ট করা যাক:

টাস্ক 3. এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন।

1)

সমাধান. ডেরিভেটিভ এবং ডেরিভেটিভ টেবিলের সূত্র 1 এবং 2 খোঁজার জন্য নিয়ম 2 প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

সমাধান।ডেরিভেটিভ এবং ডেরিভেটিভ টেবিলের সূত্র 1 এবং 13 খোঁজার জন্য নিয়ম 4 প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

.

সমাধান।ডেরিভেটিভ টেবিলের ডেরিভেটিভ এবং সূত্র 5 এবং 11 খোঁজার জন্য নিয়ম 3 প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

সমাধান।ধরে নিই, যেখানে, একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সূত্র অনুসারে, আমরা পাই:

সমাধান. আমাদের আছে: তারপর, প্যারামেট্রিকভাবে নির্দিষ্ট একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সূত্র অনুসারে, আমরা পাই:

4. উচ্চ অর্ডার ডেরিভেটিভস. হাসপাতালের নিয়ম.

ফাংশনের সেকেন্ড অর্ডার ডেরিভেটিভএর ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ বলা হয়, অর্থাৎ . নিম্নলিখিত স্বরলিপি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য ব্যবহার করা হয়: বা , বা .

ফাংশনের ১ম ক্রম ডেরিভেটিভএর থ-অর্ডার ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ বলা হয়। তম অর্ডার ডেরিভেটিভের জন্য, নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়: বা , বা .

হাসপাতালের নিয়ম।বিন্দুর একটি আশেপাশে ফাংশন এবং পার্থক্যযোগ্য হতে দিন এবং ডেরিভেটিভটি অদৃশ্য হয়ে যায় না। যদি ফাংশন এবং একই সাথে হয় অসীমভাবে ছোট বা অসীমভাবে বড় হয়, এবং অনুপাতের একটি সীমা তে থাকে, তাহলে অনুপাতেরও একটি সীমা রয়েছে। তাছাড়া

.

নিয়ম যখন প্রযোজ্য।

নোট করুন যে কিছু ক্ষেত্রে, প্রকারের অনিশ্চয়তার প্রকাশ বা L'Hopital এর নিয়মের বারবার প্রয়োগের প্রয়োজন হতে পারে।

টাইপ অনিশ্চয়তা, ইত্যাদি প্রাথমিক রূপান্তরের সাহায্যে তারা সহজেই ফর্মের অনিশ্চয়তায় হ্রাস পেতে পারে বা।

টাস্ক 4. L'Hopital এর নিয়ম ব্যবহার করে সীমা খুঁজুন।

সমাধানএখানে আমরা ফর্ম অনিশ্চয়তা আছে, কারণ এ আসুন L'Hopital এর নিয়ম প্রয়োগ করি:

.

L'Hopital এর নিয়ম প্রয়োগ করার পরে, আমরা আবার ফর্মের অনিশ্চয়তা পেয়েছি, কারণ এ L'Hopital এর নিয়ম আবার প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

.

5. ফাংশন অধ্যয়ন

ক) ফাংশন বৃদ্ধি এবং হ্রাস

ফাংশন বলা হয় ক্রমবর্ধমানসেগমেন্টে , যদি কোন পয়েন্টের জন্য এবং সেগমেন্ট থেকে , যেখানে , অসমতা ধারণ করে। যদি একটি ফাংশন একটি ব্যবধানে এবং এর জন্য অবিচ্ছিন্ন থাকে, তবে এটি ব্যবধানে বৃদ্ধি পায়।

ফাংশন বলা হয় হ্রাসসেগমেন্টে , যদি কোন পয়েন্টের জন্য এবং সেগমেন্ট থেকে , যেখানে , অসমতা ধারণ করে। যদি একটি ফাংশন একটি ব্যবধানে এবং এর জন্য অবিচ্ছিন্ন থাকে, তবে এটি ব্যবধানে হ্রাস পায়।

যদি একটি ফাংশন একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে শুধুমাত্র বৃদ্ধি বা শুধুমাত্র হ্রাস হয়, তাহলে তাকে বলা হয় একঘেয়েব্যবধানে

খ) ফাংশনের চরম

সর্বনিম্ন পয়েন্টফাংশন .

যদি বিন্দুর একটি -প্রতিবেশী থাকে যেমন এই আশেপাশের সমস্ত পয়েন্টের জন্য অসমতা ধারণ করে, তারপর বিন্দুটিকে বলা হয় সর্বোচ্চ পয়েন্টফাংশন .

একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন বিন্দুকে তার বলে চরম পয়েন্ট।

বিন্দু বলা হয় স্থির বিন্দু,যদি বা না থাকে।

যদি একটি স্থির বিন্দুর -neighbourhood থাকে যেমন for এবং for , তাহলে ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু।

যদি একটি স্থির বিন্দুর -প্রতিবেশী হয় যেমন for এবং for, তাহলে ফাংশনের -ন্যূনতম বিন্দু।

ক) উত্তল দিক। ইনফ্লেকশন পয়েন্ট

উত্তল আপব্যবধানে , যদি এটি এই ব্যবধানের যেকোন বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে প্লট করা স্পর্শকের নীচে অবস্থিত হয়।

একটি ব্যবধানে একটি ফাংশনের গ্রাফের ঊর্ধ্বগামী উত্তলতার জন্য একটি পর্যাপ্ত শর্ত হল বিবেচিত ব্যবধানগুলির যেকোনোটির জন্য অসমতার পূর্ণতা।

একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের গ্রাফ বলা হয় নিচে উত্তলব্যবধানে , যদি এটি এই ব্যবধানের যেকোন বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে প্লট করা স্পর্শকের উপরে অবস্থিত থাকে।

একটি ব্যবধানে একটি ফাংশনের গ্রাফের নিম্নগামী উত্তলতার জন্য একটি পর্যাপ্ত শর্ত হল বিবেচিত ব্যবধানগুলির যেকোনোটির জন্য অসমতার পূর্ণতা।

যে বিন্দুতে কোন ফাংশনের গ্রাফের উত্তলতার দিক পরিবর্তন হয় তাকে বলে আনতি বিন্দু.

একটি বিন্দু যেখানে বা নেই সেটি হল একটি প্রবর্তন বিন্দুর অবসিসা যদি এর বাম এবং ডান দিকের চিহ্নগুলি আলাদা হয়।

ঘ) উপসর্গ

যদি একটি ফাংশনের গ্রাফের একটি বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার দূরত্ব শূন্য হয়ে যায় কারণ বিন্দুটি উৎপত্তি থেকে অসীম দূরে সরে যায়, তাহলে সরলরেখাকে বলা হয় ফাংশনের গ্রাফের উপসর্গ।

যদি এমন একটি সংখ্যা থাকে, তাহলে লাইনটি হয় উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট

সীমাবদ্ধতা থাকলে , তারপর লাইন হয় তির্যক (k=0 এ অনুভূমিক) অ্যাসিম্পটোট।

ঙ) ফাংশনের সাধারণ অধ্যয়ন

1. ফাংশন ডোমেইন

2. স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দু

3. ধারাবাহিকতা, জোড়/বিজোড় এবং পর্যায়ক্রমের জন্য একটি ফাংশনের অধ্যয়ন

4. একটি ফাংশনের একঘেয়েতার ব্যবধান

5. ফাংশনের চরম বিন্দু

6. একটি ফাংশন গ্রাফের উত্তল ব্যবধান এবং প্রবর্তন বিন্দু

7. একটি ফাংশনের গ্রাফের উপসর্গ

8. ফাংশন গ্রাফ।

টাস্ক 5. ফাংশনটি অন্বেষণ করুন এবং এর গ্রাফ তৈরি করুন।

সমাধান. 1) ফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যারেখায় সংজ্ঞায়িত করা হয় সেই বিন্দু ব্যতীত যেখানে ভগ্নাংশের হর শূন্যে যায়। . আমাদের আছে: এই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত নয়। ফলস্বরূপ, এই ফাংশনের স্থির বিন্দুগুলি হল ন্যূনতম মান সহ বিন্দু (চিত্রে দেখানো হয়েছে)।

8) প্রাপ্ত ডেটা ব্যবহার করে, আসল ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করা যাক: