Точки върху графиката на диференцируема функция. Диференциация на функциите. Непрекъснатост на функция с производна. Теорема

Съдържанието на статията

ПРОИЗВОДНО– производна на функцията г = f(х), дадени на определен интервал ( а, b) в точка хот този интервал се нарича границата, към която клони съотношението на нарастването на функцията fв този момент към съответното увеличение на аргумента, когато увеличението на аргумента клони към нула.

Производната обикновено се обозначава по следния начин:

Други обозначения също са широко използвани:

Незабавна скорост.

Нека точката Мсе движи по права линия. Разстояние сподвижна точка, считано от някаква начална позиция М 0 , зависи от времето T, т.е. сима функция на времето T: с= f(T). Нека в някакъв момент от времето Tподвижна точка Мбеше на разстояние сот изходна позиция М 0 и в някой следващ момент T+D Tсе оказа в положение М 1 - на разстояние с+D сот начална позиция ( виж снимка.).

Така за определен период от време Д Tразстояние ссе променя със сумата D с. В този случай те казват, че през интервала от време D Tвеличина сполучено увеличение D с.

Средната скорост не може във всички случаи точно да характеризира скоростта на движение на дадена точка Мв даден момент T. Ако, например, тялото в началото на интервала D Tсе движи много бързо и накрая много бавно, тогава средната скорост няма да може да отрази посочените характеристики на движението на точката и да даде представа за истинската скорост на движението й в момента T. За да изразите по-точно истинската скорост, като използвате средната скорост, трябва да вземете по-кратък период от време D T. Най-пълно характеризира скоростта на движение на дадена точка в момента Tграницата, към която клони средната скорост при D T® 0. Тази граница се нарича текуща скорост:

По този начин скоростта на движение в даден момент се нарича граница на коефициента на нарастване на пътя D скъм нарастване на времето D T, когато нарастването на времето клони към нула. защото

Геометричен смисъл на производната. Тангента към графиката на функция.

Конструирането на допирателни линии е един от онези проблеми, довели до раждането на диференциалното смятане. Първата публикувана работа, свързана с диференциалното смятане, написана от Лайбниц, беше озаглавена Нов метод за максимуми и минимуми, както и допирателни, за които нито дробните, нито ирационалните величини са пречка, и специален вид смятане за това.

Нека кривата е графиката на функцията г =f(х) в правоъгълна координатна система ( см. ориз.).

На някаква стойност хфункцията има значение г =f(х). Тези ценности хИ гточката на кривата съответства М 0(х, г). Ако аргументът хдайте увеличение D х, след това новата стойност на аргумента х+D хсъответства на новата стойност на функцията y+д г = f(х + д х). Съответстващата точка на кривата ще бъде точката М 1(х+D х,г+D г). Ако начертаете секуща М 0М 1 и означен с j ъгълът, образуван от напречна с положителната посока на оста вол, от фигурата веднага става ясно, че .

Ако сега Д хклони към нула, тогава точката М 1 се движи по кривата, приближавайки се до точката М 0 и ъгъл й промени с D х. При Dx® 0 ъгълът j клони към определена граница a и правата, минаваща през точката М 0 и компонентът с положителна посока на оста x, ъгъл a, ще бъде желаната тангенс. Наклонът му е:

следователно f´( х) = tga

тези. производна стойност f´( х) за дадена стойност на аргумент хе равен на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната към графиката на функцията f(х) в съответната точка М 0(х,г) с положителна посока на оста вол.

Диференцируемост на функциите.

Определение. Ако функцията г = f(х) има производна в точката х = х 0, тогава функцията е диференцируема в тази точка.

Непрекъснатост на функция с производна. Теорема.

Ако функцията г = f(х) е диференцируем в даден момент х = х 0, тогава той е непрекъснат в тази точка.

Следователно функцията не може да има производна в точките на прекъсване. Неправилен е обратният извод, т.е. от факта, че в един момент х = х 0 функция г = f(х) е непрекъснат, не означава, че е диференцируем в тази точка. Например функцията г = |х| непрекъснато за всички х(–Ґ x x = 0 няма производна. В тази точка няма допирателна към графиката. Има дясна допирателна и лява, но те не съвпадат.

Някои теореми за диференцируеми функции. Теорема за корените на производната (теорема на Рол).Ако функцията f(х) е непрекъснат на сегмента [а,b], е диференцируем във всички вътрешни точки на този сегмент и в краищата х = аИ х = bотива на нула ( f(а) = f(b) = 0), след това вътре в сегмента [ а,b] има поне една точка х= с, а c b, в която производната fў( х) отива на нула, т.е. fў( ° С) = 0.

Теорема за крайно нарастване (теорема на Лагранж).Ако функцията f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b] и е диференцируем във всички вътрешни точки на този сегмент, след това вътре в сегмента [ а, b] има поне една точка с, а c b това

f(b) – f(а) = fў( ° С)(b– а).

Теорема за съотношението на нарастванията на две функции (теорема на Коши).Ако f(х) И ж(х) – две непрекъснати на отсечката функции [а, b] и диференцируеми във всички вътрешни точки на този сегмент, и жў( х) не изчезва никъде в този сегмент, след това в сегмента [ а, b] има такава точка х = с, а c b това

Производни от различни поръчки.

Нека функцията г =f(х) е диференцируем на някакъв интервал [ а, b]. Производни стойности f ў( х), най-общо казано, зависят от х, т.е. производна f ў( х) също е функция на х. При диференцирането на тази функция получаваме така наречената втора производна на функцията f(х), което е означено f ўў ( х).

Производна н-ти ред на функция f(х) се нарича производна (от първи ред) на производната н- 1- и се обозначава със символа г(н) = (г(н– 1))ў.

Диференциали от различни поръчки.

Функционален диференциал г = f(х), Където х– независима променлива, да dy = f ў( х)dx, някаква функция от х, но от хсамо първият фактор може да зависи f ў( х), вторият фактор ( dx) е нарастването на независимата променлива хи не зависи от стойността на тази променлива. защото dyима функция от х, тогава можем да определим диференциала на тази функция. Диференциалът на диференциала на функция се нарича втори диференциал или диференциал от втори ред на тази функция и се обозначава д 2г:

д(dx) = д 2г = f ўў( х)(dx) 2 .

Диференциал н-от първи ред се нарича първи диференциал на диференциала н- 1- ти ред:

d n y = д(d n–1г) = f(н)(х)dx(н).

Частична производна.

Ако една функция зависи не от един, а от няколко аргумента x i(азварира от 1 до н,аз= 1, 2,… н),f(х 1,х 2,… x n), тогава в диференциалното смятане се въвежда концепцията за частична производна, която характеризира скоростта на промяна на функция на няколко променливи, когато се променя само един аргумент, например, x i. Частична производна от 1-ви ред по отношение на x iсе определя като обикновена производна и се приема, че всички аргументи освен x i, поддържайте постоянни стойности. За частни производни се въвежда обозначението

Дефинираните по този начин частни производни от първи ред (като функции на едни и същи аргументи) могат от своя страна също да имат частни производни, това са частни производни от втори ред и т.н. Такива производни, взети от различни аргументи, се наричат ​​смесени. Непрекъснатите смесени производни от един и същи ред не зависят от реда на диференциране и са равни една на друга.

Анна Чугайнова

Производна функциив точка се нарича граница на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, при условие че клони към нула.

Основни правила за намиране на производната

Ако - и - са диференцируеми функции в точката (т.е. функции, които имат производни в точката), тогава:

4) .

Таблица с производни на основни функции

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Правилото за диференциране на сложна функция.Ако и , т.е. , където и има производни, тогава

Диференциране на параметрично зададена функция. Нека зависимостта на променлива от променлива е зададена параметрично с помощта на параметъра:

Задача 3. Намерете производни на тези функции.

1)

Решение. Прилагайки правило 2 за намиране на производни и формули 1 и 2 от таблицата за производни, получаваме:

Решение.Прилагайки правило 4 за намиране на производни и формули 1 и 13 от таблицата с производни, получаваме:

.

Решение.Прилагайки правило 3 за намиране на производни и формули 5 и 11 от таблицата с производни, получаваме:

Решение.Ако приемем , където , съгласно формулата за намиране на производната на сложна функция, получаваме:

Решение. Имаме: Тогава съгласно формулата за намиране на производната на функция, зададена параметрично, получаваме:

4. Производни от по-висок порядък. Правилото на L'Hopital.

Производна от втори ред на функциятасе нарича производна на нейната производна, т.е. . За втората производна се използват следните обозначения: или , или .

Производна от 1-ви ред на функциятасе нарича производна на нейната производна от ти ред. За производна от ти порядък се използват следните обозначения: или , или .

Правилото на L'Hopital.Нека функциите и са диференцируеми в околност на точката и производната не е нулева. Ако функциите и са едновременно или безкрайно малки, или безкрайно големи при , и има граница на съотношението при , тогава има и граница на съотношението при . освен това

.

Правилото важи и когато.

Обърнете внимание, че в някои случаи разкриването на несигурности от вида или може да изисква повторно прилагане на правилото на L'Hopital.

Типови несигурности и др. с помощта на елементарни трансформации те могат лесно да бъдат сведени до неопределености на формата или .

Задача 4. Намерете границата, като използвате правилото на L'Hopital.

РешениеТук имаме несигурност на формата , защото при . Нека приложим правилото на L'Hopital:

.

След прилагане на правилото на L'Hopital отново получихме несигурност на формата, т.к при . Прилагайки отново правилото на L'Hopital, получаваме:

.

5. Функционално изследване

а) Нарастващи и намаляващи функции

Функцията се извиква повишаване нана сегмента , ако за всякакви точки и от отсечката , където , неравенството е в сила. Ако една функция е непрекъсната на интервал и за , тогава тя нараства на интервала.

Функцията се извиква намаляващина сегмента , ако за всякакви точки и от отсечката , където , неравенството е в сила. Ако една функция е непрекъсната на интервал и за , тогава тя намалява на интервала.

Ако функция само нараства или само намалява на даден интервал, тогава тя се извиква монотоненна интервала.

б) Екстремуми на функции

минимална точкафункции .

Ако има -околност на точката такава, че за всички точки от тази околност неравенството е в сила, тогава точката се нарича максимална точкафункции .

Точките на максимум и минимум на функция се наричат ​​нейни екстремни точки.

Точката се нарича неподвижна точка,ако или не съществува.

Ако има -околност на стационарна точка, така че за и за , Тогава е максималната точка на функцията.

Ако има -околност на стационарна точка, така че за и за , тогава -минималната точка на функцията .

а) Изпъкнала посока. Инфлексни точки

изпъкнал нагорена интервала , ако се намира под допирателната, начертана върху графиката на функцията във всяка точка от този интервал.

Достатъчно условие за възходяща изпъкналост на графиката на функция върху интервал е изпълнението на неравенството за всеки от разглежданите интервали.

Графиката на диференцируема функция се нарича изпъкнал надолуна интервала , ако се намира над допирателната, начертана върху графиката на функцията във всяка точка от този интервал.

Достатъчно условие за низходяща изпъкналост на графиката на функция върху интервал е изпълнението на неравенството за всеки от разглежданите интервали.

Точката, в която се променя посоката на изпъкналост на графиката на функция, се нарича инфлексна точка.

Точка, където или не съществува, е абсцисата на инфлексна точка, ако знаците отляво и отдясно на нея са различни.

г) Асимптоти

Ако разстоянието от точка на графиката на функция до определена права линия клони към нула, докато точката се отдалечава безкрайно от началото, тогава правата линия се нарича асимптота на графиката на функцията.

Ако има число, такова че , Тогава линията е вертикална асимптота.

Ако има граници , тогава линията е наклонена (хоризонтална при k=0) асимптота.

д) Общо изследване на функцията

1. Функционална област

2. Пресечни точки на графиката с координатните оси

3. Изследване на функция за непрекъснатост, четно/нечетно и периодичност

4. Интервали на монотонност на функция

5. Точки на екстремум на функцията

6. Интервали на изпъкналост и точки на инфлексия на графика на функция

7. Асимптоти на графиката на функция

8. Функционална графика.

Задача 5. Разгледайте функцията и постройте нейната графика.

Решение. 1) Функцията е дефинирана на цялата числова ос, с изключение на точката, където знаменателят на дробта отива към нула. . Имаме: не принадлежи към областта на дефиниране на тази функция. Следователно стационарните точки на тази функция са точките с минимална стойност (както е показано на фигурата).

8) Използвайки получените данни, нека изградим графика на оригиналната функция: