Тела под въздействието на гравитацията. Движението на телата под въздействието на гравитацията. Движение на тялото под въздействието на гравитацията: формули за решаване на задачи

Въз основа на тълкуването на втория закон на Нютон можем да заключим, че промяната в движението става чрез сила. Механиката разглежда сили от различно физическо естество. Много от тях се определят с помощта на действието на гравитационните сили.

През 1862 г. законът за всемирното притегляне е открит от И. Нютон. Той предположи, че силите, които държат Луната, са от същата природа като силите, които карат една ябълка да падне на Земята. Смисълът на хипотезата е наличието на сили на привличане, насочени по линия и свързващи центровете на масата, както е показано на фигура 1. 10. 1 . Сферичното тяло има център на масата, съвпадащ с центъра на топката.

рисуване 1 . 10 . 1 . Гравитационни сили на привличане между телата. F 1 → = - F 2 → .

Определение 1

Имайки предвид известните посоки на движение на планетите, Нютон се опита да разбере какви сили действат върху тях. Този процес се нарича обратна задача на механиката.

Основната задача на механиката е да се определят координатите на тяло с известна маса с неговата скорост по всяко време, като се използват известни сили, действащи върху тялото, и дадено състояние (пряка задача). Обратното се извършва чрез определяне на действащите сили върху тяло с известната му посока. Такива проблеми доведоха учения до откриването на дефиницията на закона за всемирното привличане.

Определение 2

Всички тела се привличат едно към друго със сила, право пропорционална на техните маси и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях.

F = G m 1 m 2 r 2 .

Стойността на G определя коефициента на пропорционалност на всички тела в природата, наречена гравитационна константа и обозначена с формулата G = 6,67 · 10 - 11 N · m 2 / k g 2 (CI).

Повечето явления в природата се обясняват с наличието на силата на всемирното притегляне. Движението на планетите, изкуствените спътници на Земята, траекториите на полета на балистичните ракети, движението на тела близо до повърхността на Земята - всичко се обяснява със закона на гравитацията и динамиката.

Определение 3

Проявата на гравитацията се характеризира с наличието земно притегляне. Така се нарича силата на привличане на тела към Земята и близо до нейната повърхност.

Когато M се обозначава като масата на Земята, RZ е радиусът, m е масата на тялото, тогава формулата за гравитацията приема формата:

F = G M R З 2 m = m g .

Където g е ускорението на гравитацията, равно на g = G M R 3 2.

Гравитацията е насочена към центъра на Земята, както е показано в примера Луна-Земя. При липса на други сили тялото се движи с ускорението на гравитацията. Средната му стойност е 9,81 m/s2. При известен G и радиус R 3 = 6,38 · 10 6 m, масата на Земята M се изчислява по формулата:

M = g R 3 2 G = 5,98 10 24 k g.

Ако едно тяло се отдалечи от повърхността на Земята, тогава ефектът от гравитацията и ускорението, дължащи се на гравитацията, се променят обратно пропорционално на квадрата на разстоянието r до центъра. Снимка 1 . 10. 2 показва как гравитационната сила, действаща върху астронавта на кораба, се променя с разстоянието от Земята. Очевидно F на неговото привличане към Земята е равно на 700 N.

рисуване 1 . 10 . 2 . Промени в гравитационната сила, действаща върху астронавт, докато той се отдалечава от Земята.

Пример 1

Земята-Луна е подходящ пример за взаимодействие на система от две тела.

Разстоянието до Луната е r L = 3,84 · 10 6 м. То е 60 пъти по-голямо от радиуса на Земята R Z. Това означава, че при наличие на гравитация, гравитационното ускорение α L на орбитата на Луната ще бъде α L = g R Z r L 2 = 9,81 m/s 2 60 2 = 0,0027 m/s 2.

Тя е насочена към центъра на Земята и се нарича центростремителна. Изчислението се извършва по формулата a L = υ 2 r L = 4 π 2 r L T 2 = 0,0027 m / s 2, където T = 27,3 дни е периодът на революция на Луната около Земята. Резултатите и изчисленията, извършени по различни начини, показват, че Нютон е бил прав в предположението си за същата природа на силата, която поддържа Луната в орбита, и силата на гравитацията.

Луната има собствено гравитационно поле, което определя ускорението на гравитацията g L на повърхността. Масата на Луната е 81 пъти по-малка от масата на Земята, а радиусът й е 3,7 пъти. Това показва, че ускорението g L трябва да се определи от израза:

g L = G M L R L 2 = G M Z 3, 7 2 T 3 2 = 0, 17 g = 1, 66 m / s 2.

Такава слаба гравитация е типична за астронавтите на Луната. Следователно можете да правите огромни скокове и стъпки. Скок от един метър на Земята съответства на седем метра на Луната.

Движението на изкуствените спътници се записва извън земната атмосфера, така че върху тях действат гравитационните сили на Земята. Траекторията на космическото тяло може да варира в зависимост от началната скорост. Движението на изкуствен спътник в околоземна орбита приблизително се приема като разстояние до центъра на Земята, равно на радиуса R Z. Те летят на височини от 200 - 300 km.

Определение 4

От това следва, че центростремителното ускорение на спътника, което се придава от гравитационните сили, е равно на ускорението на гравитацията g. Скоростта на спътника ще приеме обозначението υ 1. Викат я първа евакуационна скорост.

Прилагайки кинематичната формула за центростремително ускорение, получаваме

a n = υ 1 2 R З = g, υ 1 = g R З = 7,91 · 10 3 m/s.

При тази скорост спътникът успя да прелети около Земята за време, равно на T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 min 12 s.

Но периодът на въртене на сателит в кръгова орбита близо до Земята е много по-дълъг от посочения по-горе, тъй като има разлика между радиуса на действителната орбита и радиуса на Земята.

Сателитът се движи според принципа на свободното падане, смътно подобен на траекторията на снаряд или балистична ракета. Разликата е във високата скорост на спътника, а радиусът на кривината на неговата траектория достига дължината на радиуса на Земята.

Сателитите, които се движат по кръгови траектории на големи разстояния, имат отслабена гравитация, обратно пропорционална на квадрата на радиуса r на траекторията. Тогава намирането на скоростта на спътника следва условието:

υ 2 к = g R 3 2 r 2, υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r.

Следователно наличието на спътници на високи орбити показва по-ниска скорост на тяхното движение, отколкото от околоземна орбита. Формулата за периода на обръщение е:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR З υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.

T 1 приема стойността на орбиталния период на спътника в ниска околоземна орбита. T нараства с размера на орбиталния радиус. Ако r има стойност 6, 6 R 3, тогава T на сателита е 24 часа. Когато бъде изстрелян в екваториалната равнина, ще се наблюдава да виси над определена точка на земната повърхност. Използването на такива сателити е известно в космическата радиокомуникационна система. Орбита с радиус r = 6,6 RЗ се нарича геостационарна.

рисуване 1 . 10 . 3 . Модел на сателитно движение.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Действието на универсалните гравитационни сили в природата обяснява много явления: движението на планетите в Слънчевата система, изкуствените спътници на Земята, траекториите на полета на балистичните ракети, движението на тела близо до повърхността на Земята - всички те са обяснени въз основа на закона за всемирното притегляне и законите на динамиката.

Законът за гравитацията обяснява механичната структура на слънчевата система и законите на Кеплер, описващи траекториите на движението на планетите, могат да бъдат извлечени от него. За Кеплер неговите закони са чисто описателни - ученият просто обобщава наблюденията си в математическа форма, без да предоставя никакви теоретични основи за формулите. Във великата система на световния ред според Нютон законите на Кеплер стават пряко следствие от универсалните закони на механиката и закона за всемирното привличане. Тоест, ние отново наблюдаваме как емпиричните заключения, получени на едно ниво, се превръщат в строго обосновани логически заключения, когато преминем към следващия етап на задълбочаване на познанията ни за света.

Нютон е първият, който изразява идеята, че гравитационните сили определят не само движението на планетите от Слънчевата система; те действат между всякакви тела във Вселената. Едно от проявленията на силата на всемирното притегляне е силата на гравитацията - това е общоприетото наименование за силата на привличане на тела към Земята в близост до нейната повърхност.

Ако M е масата на Земята, RЗ е нейният радиус, m е масата на дадено тяло, тогава силата на гравитацията е равна на

където g е ускорението на свободното падане;

близо до повърхността на Земята

Силата на гравитацията е насочена към центъра на Земята. При липса на други сили тялото пада свободно към Земята с ускорението на гравитацията.

Средната стойност на гравитационното ускорение за различни точки от земната повърхност е 9,81 m/s2. Познавайки ускорението на гравитацията и радиуса на Земята (RЗ = 6,38·106 m), можем да изчислим масата на Земята

Картината на структурата на слънчевата система, която следва от тези уравнения и съчетава земната и небесната гравитация, може да бъде разбрана с помощта на прост пример. Да предположим, че стоим на ръба на отвесна скала, до оръдие и купчина гюлета. Ако просто пуснете гюле вертикално от ръба на скала, то ще започне да пада вертикално и равномерно ускорено. Движението му ще се описва със законите на Нютон за равномерно ускорено движение на тяло с ускорение g. Ако сега изстреляте гюле към хоризонта, то ще полети и ще падне в дъга. И в този случай неговото движение ще бъде описано от законите на Нютон, само че сега те се прилагат към тяло, движещо се под въздействието на гравитацията и имащо определена начална скорост в хоризонталната равнина. Сега, докато зареждате оръдието с все по-тежки гюлета и стреляте отново и отново, ще откриете, че тъй като всяко следващо гюле напуска цевта с по-висока начална скорост, гюлетата падат все по-далеч от основата на скалата.

Сега си представете, че сме опаковали толкова много барут в оръдие, че скоростта на гюлето е достатъчна, за да облети земното кълбо. Ако пренебрегнем съпротивлението на въздуха, гюлето, прелетяло около Земята, ще се върне в началната си точка точно със същата скорост, с която първоначално е излетяло от оръдието. Какво ще се случи след това е ясно: ядрото няма да спре дотук и ще продължи да се върти кръг след кръг около планетата.

С други думи, ще получим изкуствен спътник, обикалящ около Земята, като естествен спътник – Луната.

И така, стъпка по стъпка, преминахме от описание на движението на тяло, падащо единствено под въздействието на „земната“ гравитация (ябълката на Нютон) към описание на движението на спътник (Луната) в орбита, без да променяме природата на гравитацията. влияние от „земно“ към „небесно“. Именно това прозрение позволи на Нютон да свърже двете сили на гравитационното привличане, които се смятаха за различни по природа преди него.

Докато се отдалечаваме от повърхността на Земята, силата на гравитацията и ускорението на гравитацията се променят обратно пропорционално на квадрата на разстоянието r до центъра на Земята. Пример за система от две взаимодействащи тела е системата Земя-Луна. Луната се намира на разстояние от Земята rL = 3,84·106 м. Това разстояние е приблизително 60 пъти радиуса на Земята RЗ. Следователно ускорението на свободното падане aL, дължащо се на гравитацията, в орбитата на Луната е

С такова ускорение, насочено към центъра на Земята, Луната се движи по орбита. Следователно това ускорение е центростремително ускорение. Може да се изчисли с помощта на кинематичната формула за центростремително ускорение

където T = 27,3 дни е периодът на въртене на Луната около Земята.

Съвпадението на резултатите от изчисленията, извършени по различни начини, потвърждава предположението на Нютон за единствената природа на силата, която държи Луната в орбита, и силата на гравитацията.

Собственото гравитационно поле на Луната определя ускорението на гравитацията gL на нейната повърхност. Масата на Луната е 81 пъти по-малка от масата на Земята, а нейният радиус е приблизително 3,7 пъти по-малък от радиуса на Земята.

Следователно ускорението gЛ ще се определя от израза

В условия на такава слаба гравитация се оказаха астронавтите, които кацнаха на Луната. Човек в такива условия може да направи гигантски скокове. Например, ако човек на Земята скочи на височина 1 m, то на Луната той би могъл да скочи на височина над 6 m.

Нека разгледаме въпроса за изкуствените спътници на Земята. Изкуствените спътници на Земята се движат извън земната атмосфера и върху тях действат само гравитационните сили от Земята.

В зависимост от началната скорост траекторията на космическото тяло може да бъде различна. Нека разгледаме случая на изкуствен спътник, който се движи по околоземна орбита. Такива спътници летят на височини от порядъка на 200-300 км, а разстоянието до центъра на Земята може да се приеме приблизително равно на нейния радиус RЗ. Тогава центростремителното ускорение на спътника, придадено му от гравитационните сили, е приблизително равно на ускорението на гравитацията g. Нека означим скоростта на спътника в ниска околоземна орбита с υ1 - тази скорост се нарича първа космическа скорост. Използвайки кинематичната формула за центростремително ускорение, получаваме

Движейки се с такава скорост, спътникът би обиколил Земята във времето

Всъщност периодът на въртене на сателит в кръгова орбита близо до повърхността на Земята е малко по-дълъг от определената стойност поради разликата между радиуса на действителната орбита и радиуса на Земята. Движението на сателита може да се разглежда като свободно падане, подобно на движението на снаряди или балистични ракети. Единствената разлика е, че скоростта на спътника е толкова висока, че радиусът на кривината на неговата траектория е равен на радиуса на Земята.

За спътниците, движещи се по кръгови траектории на значително разстояние от Земята, гравитацията на Земята отслабва обратно пропорционално на квадрата на радиуса r на траекторията. Така на високи орбити скоростта на сателитите е по-малка, отколкото на ниска околоземна орбита.

Орбиталният период на спътника се увеличава с увеличаване на орбиталния радиус. Лесно е да се изчисли, че при орбитален радиус r, равен на приблизително 6,6 RЗ, орбиталният период на спътника ще бъде равен на 24 часа. Сателит с такъв орбитален период, изстрелян в екваториалната равнина, ще виси неподвижно над определена точка на земната повърхност. Такива сателити се използват в космическите радиокомуникационни системи. Орбита с радиус r = 6,6 RЗ се нарича геостационарна.

Втората космическа скорост е минималната скорост, която трябва да се придаде на космически кораб на повърхността на Земята, така че той, преодолявайки гравитацията, да се превърне в изкуствен спътник на Слънцето (изкуствена планета). В този случай корабът ще се отдалечи от Земята по параболична траектория.

Фигура 5 илюстрира евакуационните скорости. Ако скоростта на космическия кораб е υ1 = 7,9·103 m/s и е насочена успоредно на повърхността на Земята, тогава корабът ще се движи по кръгова орбита на малка височина над Земята. При начални скорости над υ1, но по-малки от υ2 = 11,2·103 m/s, орбитата на кораба ще бъде елипсовидна. При начална скорост υ2 корабът ще се движи по парабола, а при още по-висока начална скорост по хипербола.

Космически скорости

Посочени са скоростите в близост до земната повърхност: 1) υ = υ1 – кръгова траектория;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – параболична траектория; 5) υ > υ2 – хиперболична траектория;

6) Траектория на Луната

Така открихме, че всички движения в Слънчевата система се подчиняват на закона на Нютон за всеобщото привличане.

Въз основа на малката маса на планетите и особено на другите тела на Слънчевата система можем приблизително да приемем, че движенията в околослънчевото пространство се подчиняват на законите на Кеплер.

Всички тела се движат около Слънцето по елиптични орбити, като Слънцето е в един от фокусите. Колкото по-близо е едно небесно тяло до Слънцето, толкова по-голяма е неговата орбитална скорост (планетата Плутон, най-отдалечената известна, се движи 6 пъти по-бавно от Земята).

Телата могат да се движат и по отворени орбити: парабола или хипербола. Това се случва, ако скоростта на тялото е равна или надвишава стойността на втората космическа скорост за Слънцето на дадено разстояние от централното тяло. Ако говорим за спътник на планета, тогава скоростта на бягство трябва да се изчисли спрямо масата на планетата и разстоянието до нейния център.

Движението на тялото под въздействието на гравитацията е една от централните теми в динамичната физика. Дори един обикновен ученик знае, че разделът за динамика се основава на три. Нека се опитаме да анализираме тази тема задълбочено и статия, описваща подробно всеки пример, ще ни помогне да направим изследването на движението на тяло под въздействието на гравитацията възможно най-полезно.

Малко история

Хората наблюдаваха с любопитство различни явления, случващи се в живота ни. Дълго време човечеството не можеше да разбере принципите и структурата на много системи, но дългото пътуване на изучаване на света около нас доведе нашите предци до научна революция. В днешно време, когато технологиите се развиват с невероятна скорост, хората почти не се замислят как работят определени механизми.

Междувременно нашите предци винаги са се интересували от мистериите на природните процеси и структурата на света, търсели са отговори на най-сложните въпроси и не са спирали да учат, докато не са намерили отговори на тях. Например, известният учен Галилео Галилей задава въпросите още през 16 век: „Защо телата винаги падат надолу, каква сила ги привлича към земята?“ През 1589 г. той провежда серия от експерименти, резултатите от които се оказват много ценни. Той подробно изучава моделите на свободно падане на различни тела, пускащи предмети от известната кула в град Пиза. Изведените от него закони са подобрени и описани по-подробно с формули от друг известен английски учен, сър Исак Нютон. Именно той притежава трите закона, на които се основава почти цялата съвременна физика.

Фактът, че моделите на движение на тялото, описани преди повече от 500 години, са все още актуални днес, означава, че нашата планета е подчинена на непроменливи закони. Съвременният човек трябва поне повърхностно да изучава основните принципи на света.

Основни и спомагателни понятия на динамиката

За да разберете напълно принципите на такова движение, първо трябва да се запознаете с някои концепции. И така, най-необходимите теоретични термини:

• Взаимодействието е влиянието на телата едно върху друго, при което настъпва промяна или началото на тяхното движение едно спрямо друго. Има четири вида взаимодействие: електромагнитно, слабо, силно и гравитационно.
• Скоростта е физическа величина, която показва скоростта, с която се движи тялото. Скоростта е вектор, което означава, че има не само стойност, но и посока.
• Ускорението е величината, която ни показва скоростта на промяна в скоростта на тялото за определен период от време. Тя е също
• Траекторията на пътя е крива, а понякога и права линия, която тялото очертава при движение. При равномерно праволинейно движение траекторията може да съвпадне със стойността на преместването.
• Пътят е дължината на траекторията, тоест точно толкова, колкото тялото е изминало за определено време.
• Инерционната отправна система е среда, в която е изпълнен първият закон на Нютон, т.е. тялото запазва своята инерция, при условие че всички външни сили напълно отсъстват.

Горните концепции са напълно достатъчни, за да нарисувате правилно или да си представите в главата си симулация на движение на тяло под въздействието на гравитацията.

Какво значи сила?

Нека да преминем към основната концепция на нашата тема. И така, силата е величина, чийто смисъл е въздействието или влиянието на едно тяло върху друго количествено. А гравитацията е силата, която действа върху абсолютно всяко тяло, намиращо се на повърхността или близо до нашата планета. Възниква въпросът: откъде идва тази сила? Отговорът се крие в закона за всемирното привличане.

Какво е гравитацията?

Всяко тяло от Земята се влияе от гравитационната сила, която му придава известно ускорение. Силата на гравитацията винаги има вертикална посока надолу, към центъра на планетата. С други думи, гравитацията привлича обекти към Земята, поради което обектите винаги падат надолу. Оказва се, че гравитацията е частен случай на силата на всемирното притегляне. Нютон извежда една от основните формули за намиране на силата на привличане между две тела. Изглежда така: F = G * (m 1 x m 2) / R 2.

Какво е ускорението поради гравитацията?

Тялото, което се освобождава от определена височина, винаги лети надолу под въздействието на гравитацията. Движението на тялото под въздействието на гравитацията вертикално нагоре и надолу може да се опише с уравнения, където основната константа ще бъде стойността на ускорението "g". Тази стойност се дължи единствено на силата на гравитацията и нейната стойност е приблизително 9,8 m/s 2 . Оказва се, че тяло, хвърлено от височина без начална скорост, ще се движи надолу с ускорение, равно на стойността на "g".

Движение на тялото под въздействието на гравитацията: формули за решаване на задачи

Основната формула за намиране на силата на гравитацията е следната: F гравитация = m x g, където m е масата на тялото, върху което действа силата, а „g“ е ускорението на гравитацията (за да се опростят проблемите, обикновено се счита равна на 10 m/s 2) .

Има още няколко формули, използвани за намиране на едно или друго неизвестно, когато тялото се движи свободно. Така например, за да се изчисли пътят, изминат от тяло, е необходимо да се заменят известни стойности в тази формула: S = V 0 x t + a x t 2 / 2 (пътят е равен на сумата от продуктите от началната скорост, умножена по времето и ускорението по квадрата на времето, разделено на 2).

Уравнения за описание на вертикалното движение на тяло

Вертикалното движение на тяло под въздействието на гравитацията може да се опише с уравнение, което изглежда така: x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 / 2. Използвайки този израз, можете да намерите координатите на тялото при a известен момент във времето. Просто трябва да замените количествата, известни в задачата: начално местоположение, начална скорост (ако тялото не е просто пуснато, а избутано с известна сила) и ускорение, в нашия случай ще бъде равно на ускорението g.

По същия начин можете да намерите скоростта на тяло, което се движи под въздействието на гравитацията. Изразът за намиране на неизвестно количество във всеки момент от време: v = v 0 + g x t (стойността на началната скорост може да бъде равна на нула, тогава скоростта ще бъде равна на произведението от ускорението на гравитацията и времевата стойност по време на които тялото се движи).

Движението на телата под въздействието на гравитацията: проблеми и методи за тяхното решаване

Когато решавате много проблеми, свързани с гравитацията, препоръчваме да използвате следния план:

1. За да определите удобна инерционна референтна система за себе си, обикновено е обичайно да изберете Земята, тъй като тя отговаря на много от изискванията за ISO.
2. Начертайте малка рисунка или картина, която показва основните сили, действащи върху тялото. Движението на тяло под въздействието на гравитацията включва скица или диаграма, която показва в каква посока се движи тялото, когато е подложено на ускорение, равно на g.
3. След това трябва да се избере посоката за проектиране на силите и получените ускорения.
4. Запишете неизвестните величини и определете посоката им.
5. Накрая, използвайки формулите за решаване на проблеми по-горе, изчислете всички неизвестни величини, като заместите данните в уравненията, за да намерите ускорението или изминатото разстояние.

Готово решение на лесна задача

Когато говорим за такова явление като движението на тялото под въздействието на това, което е най-практичният начин за решаване на даден проблем, може да бъде трудно. Има обаче няколко трика, с помощта на които можете лесно да решите и най-трудната задача. Така че, нека да разгледаме живи примери за това как да решим този или онзи проблем. Нека започнем с лесен за разбиране проблем.

Определено тяло беше пуснато от височина 20 m без начална скорост. Определете колко време ще му отнеме да достигне повърхността на земята.

Решение: знаем пътя, изминат от тялото, знаем, че началната скорост е била равна на 0. Можем също да определим, че върху тялото действа само силата на гравитацията, оказва се, че това е движението на тялото под влияние на гравитацията и следователно трябва да използваме тази формула: S = V 0 x t + a x t 2 /2. Тъй като в нашия случай a = g, тогава след някои трансформации получаваме следното уравнение: S = g x t 2 / 2. Сега всичко, което остава, е да изразим времето чрез тази формула, откриваме, че t 2 = 2S / g. Нека заместим известните стойности (приемаме, че g = 10 m/s 2) t 2 = 2 x 20 / 10 = 4. Следователно t = 2 s.

И така, нашият отговор: тялото ще падне на земята за 2 секунди.

Трикът за бързо решаване на проблема е следният: можете да забележите, че описаното движение на тялото в горния проблем се случва в една посока (вертикално надолу). То е много подобно на равномерно ускореното движение, тъй като върху тялото не действа никаква сила освен гравитацията (пренебрегваме силата на съпротивлението на въздуха). Благодарение на това можете да използвате лесна формула за намиране на пътя по време на равномерно ускорено движение, заобикаляйки изображенията на чертежи с подреждането на силите, действащи върху тялото.

Пример за решаване на по-сложен проблем

Сега нека да видим как най-добре да решаваме проблеми за движението на тяло под въздействието на гравитацията, ако тялото не се движи вертикално, а има по-сложен характер на движение.

Например следната задача. Обект с маса m се движи с неизвестно ускорение по наклонена равнина, чийто коефициент на триене е равен на k. Определете стойността на ускорението, което възниква при движението на дадено тяло, ако е известен ъгълът на наклон α.

Решение: Трябва да използвате плана, описан по-горе. Първо начертайте чертеж на наклонена равнина, изобразяваща тялото и всички сили, действащи върху него. Оказва се, че върху него действат три компонента: гравитация, триене и опорна реакционна сила. Общото уравнение на резултантните сили изглежда така: Триене F + N + mg = ma.

Основният акцент на проблема е условието за наклон под ъгъл α. Когато ox и ос oy е необходимо да се вземе предвид това условие, тогава получаваме следния израз: mg x sin α - F триене = ma (за оста на ox) и N - mg x cos α = F триене (за ой ос).

Триенето F е лесно да се изчисли с помощта на формулата за намиране на силата на триене, тя е равна на k x mg (коефициент на триене, умножен по произведението на масата на тялото и гравитационното ускорение). След всички изчисления остава само да замените намерените стойности във формулата и ще получите опростено уравнение за изчисляване на ускорението, с което тялото се движи по наклонена равнина.

Според втория закон на Нютон, предпоставката за конфигурацията на движението, с други думи, предпоставката за ускоряването на телата, е силата. Механиката се занимава със сили от различно физическо естество. Много механични явления и процеси се определят от действието на силите земно притегляне. Закон за глобалната гравитацияе открит от И. Нютон през 1682г. Още през 1665 г. 23-годишният Нютон предполага, че силите, които поддържат Луната в нейната орбита, са от същото естество като силите, които карат една ябълка да падне на Земята. Според неговото предположение между всички тела на Вселената съществуват сили на привличане (гравитационни сили), насочени по протежение на ивицата, свързваща масови центрове(фиг. 1.10.1). За тяло под формата на хомогенна топка центърът на тежестта съвпада с центъра на топката.

През следващите години Нютон се опитва да намери физическо обяснение за законите на движението на планетите, открити от астролога И. Кеплер в началото на 17 век, и дават количествен израз на гравитационните сили. Знаейки как се движат планетите, Нютон искаше да открие какви сили действат върху тях. Този път се нарича проблем с обратната механика.Ако основната задача на механиката е да се определят координатите на тяло с известна маса и неговата скорост във всеки момент от времето въз основа на известни сили, действащи върху тялото, и дадени начални условия ( прост механичен проблем), тогава когато решавате обратна задача, трябва да намерите силите, действащи върху тялото, ако е ясно как се движи. Решението на този проблем доведе Нютон до откриването на закона за глобалната гравитация. Всички тела се привличат едно към друго със сила, право пропорционална на техните маси и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях:

Коефициентът на пропорционалност G е еднакъв за всички тела в природата. Наричат ​​го гравитационна константа

Много явления в природата се обясняват с действието на глобалните гравитационни сили. Движението на планетите в Слънчевата система, движението на изкуствените спътници на Земята, линиите на полета на балистичните ракети, движението на тела близо до повърхността на Земята - всички тези явления се обясняват въз основа на закона за глобалната гравитация. и законите на динамиката. Едно от проявленията на силата на глобалната гравитация е земно притегляне. Това е общоприетото наименование за силата на привличане на тела към Земята близо до нейната повърхност. Ако M е масата на Земята, RЗ е нейният радиус, m е масата на дадено тяло, тогава силата на гравитацията е равна на

където g - ускорение на гравитациятана повърхността на Земята:

Гравитацията е насочена към центъра на Земята. При липса на други сили тялото пада свободно към Земята с ускорението на гравитацията. Средната стойност на гравитационното ускорение за различни точки от земната повърхност е 9,81 m/s2. Познавайки ускорението на гравитацията и радиуса на Земята (RЗ = 6,38·106 m), можем да изчислим масата на Земята M:

Докато се отдалечаваме от повърхността на Земята, силата на гравитацията и ускорението на гравитацията се променят обратно пропорционално на квадрата на разстоянието r до центъра на Земята. Ориз. 1.10.2 илюстрира промяната в гравитационната сила, действаща върху астронавт в космически кораб, докато той се отдалечава от Земята. Силата, с която астронавтът е привлечен от Земята близо до нейната повърхност, се приема за 700 N.

Пример за система от две взаимодействащи тела е системата Земя-Луна. Луната се намира на разстояние от Земята rЛ = 3,84·106 м. Това разстояние е приблизително 60 пъти по-голямо от радиуса на Земята RЗ. Както следва, ускорението на гравитацията aL, дължащо се на гравитацията, в орбитата на Луната е

С такова ускорение, насочено към центъра на Земята, Луната се движи по орбита. Както следва, това ускорение е центростремително ускорение.Може да се изчисли с помощта на кинематичната формула за центростремително ускорение (виж §1.6):

където T = 27,3 дни е периодът на орбитата на Луната около Земята. Съвпадението на резултатите от изчисленията, извършени по различни методи, потвърждава предположението на Нютон за единната природа на силата, която държи Луната в орбита, и силата на гравитацията. Собственото гравитационно поле на Луната определя ускорението на гравитацията gL на нейната повърхност. Масата на Луната е 81 пъти по-малка от масата на Земята, а нейният радиус е приблизително 3,7 пъти по-малък от радиуса на Земята. Следователно ускорението gА ще се определя от израза:

В условия на такава слаба гравитация се оказаха астронавтите, които кацнаха на Луната. Човек в такива условия може да направи огромни скокове. Например, ако човек на Земята скочи на височина 1 м, то на Луната той би могъл да скочи на височина над 6 м. Нека сега разгледаме въпроса за изкуствените спътници на Земята. Изкуствените спътници се движат извън земната атмосфера и се влияят само от гравитационните сили от Земята. В зависимост от началната скорост линията на движение на галактическото тяло може да бъде различна (виж §1.24). Тук ще разгледаме само случая на радиално движещ се изкуствен спътник близо до Земятаорбита. Такива спътници летят на височини от порядъка на 200-300 км, като разстоянието до центъра на Земята може приблизително да се приеме равно на нейния радиус RЗ. Тогава центростремителното ускорение на спътника, придадено му от гравитационните сили, е приблизително равно на ускорението на гравитацията g. Нека означим скоростта на спътника в ниска околоземна орбита като υ1. Тази скорост се нарича първа космическа скорост. Използвайки кинематичната формула за центростремително ускорение (виж §1.6), получаваме:

Движейки се с такава скорост, сателитът ще обиколи Земята за време.Всъщност периодът на орбитата на спътника в радиална орбита близо до повърхността на Земята леко надвишава посочената стойност поради разликата между радиуса на действителната орбита и радиуса на Земята. Движението на сателита може да се разглежда като свободно падане, подобно на движението на снаряди или балистични ракети. Разликата се състои единствено във факта, че скоростта на спътника е толкова висока, че радиусът на кривината на неговата линия на движение е равен на радиуса на Земята. За спътниците, движещи се по радиални траектории на значително разстояние от Земята, гравитацията на Земята отслабва назад пропорционално на квадрата на радиуса r на линията на движение. Скоростта на сателита υ се намира от условието

Така в големи орбити скоростта на спътниците е по-малка, отколкото в ниска околоземна орбита. Периодът на повикване T на такъв сателит е равен на

Тук T1 е периодът на повикване на спътника в ниска околоземна орбита. Периодът на повикване на спътника се увеличава с увеличаване на орбиталния радиус. Лесно е да се изчисли, че при орбитален радиус r, равен приблизително на 6,6RZ, периодът на сателитно повикване ще бъде равен на 24 часа. Сателит с такъв период на повикване, изстрелян в екваториалната равнина, ще кръжи неподвижно над определена точка на земната повърхност. Такива сателити се използват в космическите радиокомуникационни системи. Нарича се орбита с радиус r = 6.6R3 геостационарен.

Име на раздели и теми		Часов обем	Ниво на майсторство
Тема 3.3. Движението на небесните тела под въздействието на гравитационните сили.	Законът за всемирното притегляне. Смущения в движението на телата на Слънчевата система. Маса и плътност на Земята. Определяне на масата на небесните тела. Придвижване на изкуствени спътници на Земята и космически кораби към планетите. Описание на особеностите на движението на телата на Слънчевата система под въздействието на гравитационните сили в орбити с различни ексцентритети. Обяснение на причините за приливите и отливите на Земята и смущенията в движението на телата в Слънчевата система. Разбиране на особеностите на движението и маневрите на космически кораби за изследване на телата на Слънчевата система.

3.3.1. Законът за всемирното притегляне.

Според закона за всемирното привличане, изучаван в курса по физика,

всички тела във Вселената се привличат едно към друго със сила, право пропорционална на произведението на техните маси и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях:

Където т 1И t 2- телесни маси;r - разстоянието между тях;Ж - гравитационна константа.

Откриването на закона за всемирното притегляне беше значително улеснено от законите за движението на планетите, формулирани от Кеплер и други постижения на астрономията през 17 век. По този начин знанието за разстоянието до Луната позволи на Исак Нютон (1643-1727) да докаже идентичността на силата, която държи Луната, докато се движи около Земята, и силата, която кара телата да падат на Земята.

В края на краищата, ако силата на гравитацията варира обратно пропорционално на квадрата на разстоянието, както следва от закона за всемирното привличане, тогава Луната, разположена от Земята на разстояние приблизително 60 от нейните радиуси, трябва да изпита ускорение 3600 пъти по-малко от ускорението на гравитацията на земната повърхност, равно на 9,8 m/s. Следователно ускорението на Луната трябва да бъде 0,0027 m/s 2 .

В същото време Луната, както всяко тяло, движещо се равномерно в кръг, има ускорение

Където ω - неговата ъглова скорост,r - радиусът на неговата орбита. Ако приемем, че радиусът на Земята е 6400 km, тогава радиусът на лунната орбита ще бъдеr= 60 6 400 000 m = 3,84 10 6 м. Сидеричен период на революцията на Луната T= 27,32 дни, в секунди е 2,36 10 6 с. След това ускорението на орбиталното движение на Луната

Равенството на тези две стойности на ускорението доказва, че силата, която държи Луната в орбита, е силата на гравитацията, отслабена 3600 пъти в сравнение с тази, действаща на повърхността на Земята.

Можете също така да се убедите, че когато планетите се движат, в съответствие с третия закон на Кеплер, тяхното ускорение и гравитационната сила на Слънцето, действаща върху тях, са обратно пропорционални на квадрата на разстоянието, както следва от закона за всемирното привличане. В действителност, според третия закон на Кеплер, отношението на кубовете на големите полуоси на орбититед и квадрати на периодите на обръщение Tима постоянна стойност:

Ускорението на планетата е

От третия закон на Кеплер следва

следователно ускорението на планетата е равно

И така, силата на взаимодействие между планетите и Слънцето отговаря на закона за всемирното привличане.

3.3.2. Смущения в движението на телата на Слънчевата система.

Законите на Кеплер са стриктно изпълнени, ако се разглежда движението на две изолирани тела (Слънцето и планетата) под влияние на тяхното взаимно привличане. В Слънчевата система обаче има много планети; всички те взаимодействат не само със Слънцето, но и помежду си. Следователно движението на планетите и другите тела не се подчинява точно на законите на Кеплер. Отклоненията на телата от движение по елипси се наричат смущения.

Тези смущения са малки, тъй като масата на Слънцето е много по-голяма от масата не само на отделна планета, но и на всички планети като цяло. Най-големи смущения в движението на телата в Слънчевата система причинява Юпитер, чиято маса е 300 пъти по-голяма от масата на Земята. Отклоненията на астероидите и кометите са особено забележими, когато преминават близо до Юпитер.

В момента смущенията се вземат предвид при изчисляване на положението на планетите, техните спътници и други тела на Слънчевата система, както и траекториите на космически кораби, изстреляни за тяхното изследване. Но обратно през 19 век. изчисляването на смущенията позволи да се направи едно от най-известните открития в науката „на върха на писалката“ - откриването на планетата Нептун.

Провеждане на друго изследване на небето в търсене на неизвестни обекти, Уилям Хершел през 1781 г. той открива планета, по-късно наречена Уран. След около половин век стана ясно, че наблюдаваното движение на Уран не съвпада с изчисленото, дори когато се вземат предвид смущенията от всички известни планети. Въз основа на предположението за наличието на друга „субауранска“ планета бяха направени изчисления на нейната орбита и позиция в небето. Решихме този проблем независимоДжон Адамс в Англия и Урбен Льо Верие във Франция. Въз основа на изчисленията на Льо Верие, немският астроном Йохан Хале На 23 септември 1846 г. той открива неизвестна досега планета в съзвездието Водолей – Нептун. Това откритие стана триумфът на хелиоцентричната система, най-важното потвърждение на валидността на закона за всемирното притегляне. Впоследствие се забелязват смущения в движението на Уран и Нептун, които стават основа за предположението за съществуването на друга планета в Слънчевата система. Нейното търсене беше увенчано с успех едва през 1930 г., когато след разглеждане на голям брой снимки на звездното небе беше открита най-отдалечената от Слънцето планета Плутон.

3.3.3. Маса и плътност на Земята.

Законът за всемирното привличане направи възможно определянето на масата на нашата планета. Въз основа на закона за всемирното притегляне, ускорението на гравитацията може да се изрази, както следва:

Нека заместим известните стойности на тези количества във формулата:

g = 9,8 m/s, G = 6,67 10 -11 N m 2 /kg 2, R = 6370 km - и намираме, че масата на Земята е M = 6 10 24 kg

Познавайки масата и обема на земното кълбо, можем да изчислим неговата средна плътност: 5,5 10 3 kg/m 3 . С дълбочина, поради увеличаване на налягането и съдържанието на тежки елементи, плътността се увеличава.

3.3.4. Определяне на масата на небесните тела.

По-точна формула за третия закон на Кеплер, получена от Нютон, дава възможност да се определи една от най-важните характеристики на всяко небесно тяло - масата. Нека изведем тази формула, като приемем (в първо приближение) орбитите на планетите да са кръгли.

Нека две тела, взаимно привличащи се и въртящи се около общ център на масата, имат масим 1 И м 2 , са разположени на разстояние от центъра на масатаr 1И r 2и се въртят около него с точка T.Разстояние между центровете имР= r 1 + r 2 . Въз основа на закона за всемирното привличане ускорението на всяко от тези тела е равно на:

Ъгловата скорост на въртене около центъра на масата е . Тогава центростремителното ускорение ще бъде изразено за всяко тяло, както следва:

Приравнявайки получените изрази за ускорения, изразявайки от тяхr 1 И r 2 и добавяйки ги термин по термин, получаваме:

където

Тъй като дясната страна на този израз съдържа само постоянни величини, той е валиден за всяка система от две тела, взаимодействащи по закона на гравитацията и въртящи се около общ център на масата - Слънце и планета, планета и спътник. Нека да определим масата на Слънцето, за това пишем израза:

Където М- маса на Слънцето;м 1 - маса на Земята; t 2- маса на Луната;Т 1Иа 1 - периодът на въртене на Земята около Слънцето (година) и голямата полуос на нейната орбита; Т 2И а 2- периодът на въртене на Луната около Земята и голямата полуос на лунната орбита.

Пренебрегвайки масата на Земята, която е пренебрежимо малка в сравнение с масата на Слънцето, и масата на Луната, която е 81 пъти по-малка от масата на Земята, получаваме:

Замествайки съответните стойности във формулата и приемайки масата на Земята за 1, получаваме, че Слънцето е приблизително 333 000 пъти по-голямо по маса от нашата планета.

Масите на планетите, които нямат спътници, се определят от смущенията, които имат върху движението на астероиди, комети или космически кораби, летящи в близост до тях.

3.3.5. Причини за приливи и отливи на Земята

Под влияние на взаимното привличане на частиците тялото се стреми да приеме формата на топка. Ако тези тела се въртят, те се деформират и компресират по оста на въртене.

Освен това промяна във формата им настъпва и под влияние на взаимното привличане, което се предизвиква от явления, т.нар. приливиПознати на Земята от дълго време, те бяха обяснени само въз основа на закона за всемирното привличане.

Нека разгледаме ускоренията, създадени от привличането на Луната в различни точки на земното кълбо (фиг. 3.13). Тъй като точките А, Бса на различни разстояния от Луната, ускоренията, създадени от нейната гравитация, ще бъдат различни.

Разликата в ускорението, причинена от привличането на друго тяло в дадена точка и в центъра на планетата, се нарича приливно ускорение.

Приливни ускорения в точки АИ INнасочени от центъра на Земята. В резултат на това Земята и най-вече нейната водна обвивка се разтягат в двете посоки по линия, свързваща центровете на Земята и Луната. По точки АИ INима прилив и по кръг, чиято равнина е перпендикулярна на тази линия, на Земята настъпва отлив. Гравитацията на Слънцето също причинява приливи и отливи, но поради по-голямото му разстояние те са по-малки от тези, причинени от Луната. Приливите и отливите се наблюдават не само в хидросферата, но и в атмосферата и литосферата на Земята и други планети.

Поради ежедневното въртене на Земята, тя има тенденция да влачи приливни гърбици заедно със себе си, докато в същото време поради гравитацията на Луната, която се върти около Земята за един месец, приливната лента трябва да се движи по земната повърхност много по-бавно. В резултат на това възниква приливно триене между огромните маси приливна вода и океанското дъно. Той забавя въртенето на Земята и предизвиква увеличаване на продължителността на деня, който в миналото е бил много по-кратък (5-6 часа). В същото време приливите и отливите, причинени от Земята на Луната, са забавили нейното въртене и тя сега е обърната към Земята с една страна. Същото бавно въртене е характерно за много спътници на Юпитер и други планети. Силните приливи и отливи, причинени от Слънцето на Меркурий и Венера, изглежда са причина за изключително бавното им въртене около оста си.

3.3.6. Придвижване на изкуствени спътници на Земята и космически кораби към планетите.

Възможността за създаване на изкуствен спътник на Земята е теоретично обоснована от Нютон. Той показа, че има такава хоризонтално насочена скорост, при която тялото, падайки на Земята, все пак няма да падне върху нея, а ще се движи около Земята, оставайки на същото разстояние от нея. С тази скорост тялото ще се приближи до Земята поради привличането си точно толкова, колкото ще се отдалечи от нея поради кривината на повърхността на нашата планета (фиг. 3.14). Тази скорост, която се нарича първа космическа (или кръгова), ви е известна от курса по физика:

Изстрелването на изкуствен спътник на Земята се оказа практически възможно само два века и половина след откриването на Нютон - 4 октомври 1957 г. Повече от четиридесет години от този ден, който често се нарича началото на космическата ера на човечеството, около 4000 сателита са изстреляни в много страни по света с различни устройства и цели. Създадени са орбитални станции, на които екипажи, състоящи се от космонавти от различни страни, работят дълго време, като се сменят един друг. Американските астронавти многократно посещаваха Луната; автоматичните междупланетни станции изследваха всички планети на Слънчевата система, с изключение на най-отдалечената планета Плутон.

Космическите кораби (SV), които се изпращат до Луната и планетите, изпитват привличане от Слънцето и според законите на Кеплер, точно както самите планети, се движат по елипси. Орбиталната скорост на Земята е около 30 km/s. Ако геометричната сума на скоростта на космическия кораб, която му беше докладвана при изстрелването, и скоростта на Земята е по-голяма от тази стойност, тогава космическият кораб ще се движи в орбита, която се намира извън орбитата на Земята. Ако е по-малко, вътре в него. В първия случай, когато лети до Марс или друга външна планета, разходите за енергия ще бъдат минимални, ако космическият кораб достигне орбитата на тази планета на максималното й разстояние от Слънцето - в афелия (фиг. 3.15). Освен това е необходимо да се изчисли времето за изстрелване на космическия кораб, така че до този момент планетата да пристигне в същата точка на своята орбита. С други думи, началната скорост и денят на изстрелване на космическия кораб трябва да бъдат избрани по такъв начин, че космическият кораб и планетата, всеки от които се движи в своя собствена орбита, едновременно да се приближат до точката на среща. Във втория случай - за вътрешната планета - срещата с космическия кораб трябва да се случи в перихелия на неговата орбита (фиг. 3.16). Такива траектории на полета се наричат полуелипсовидни.Главните оси на тези елипси минават през Слънцето, което е в един от фокусите, както се очаква от първия закон на Кеплер.